圆幂定理讲义(带答案)

圆幂定理STEP 1:进门考理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。

2. 垂径定理典型例题的回顾检测。

3. 分析学生圆部分的薄弱环节。

（1）例题复习。

（2015•夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN= cm．【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°，∴CD=BC•sinB=4×=2（cm），∴OE=CD=2，在△AOE中，AE=AB=4cm，则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4．【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．2.（2017•阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．2cm D．2cm【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm），∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4 B． C． D．【考点】M2：垂径定理；F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ：勾股定理．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．【考点】FI：一次函数综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．【解答】解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）=y﹣4，∵k有无数个值，∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4，∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：24．【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．STEP 2:新课讲解1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。

2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。

3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。

4、通过课上例题，结合课下练习。

掌握此部分的知识。

一、相交弦定理相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA•PB（相交弦定理推论）．➢基本题型：（2014秋•江阴市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（）A．6 B．12 C．8 D．不能确定【考点】M7：相交弦定理．【专题】11 ：计算题．【分析】由相交线定理可得出AP•BP=CP•DP，再根据AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP•BP=CP•DP，∴PD=，∵AP=3，BP=4，CP=2，∴PD=6，∴CD=PC+PD=2+6=8．故选C．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．（2015•南长区一模）如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A．B．5 C．+1 D．【考点】M7：相交弦定理．【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AE===，∵BC=3，BE=1，∴CE=2，由相交弦定理得：AE•EF=BE•CE，∴EF==，∴AF=AE+EF=；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．➢综合题型（2004•福州）如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ，下面结论：①∠1=∠2；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN2=PN•QN．其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤【考点】M7：相交弦定理；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案．【解答】解：延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF ∵∠PNM=∠QNM，MN⊥AB，∴∠1=∠2（故①正确），∵∠2与∠ANE是对顶角，∴∠1=∠ANE，∵AB是直径，∴可得PN=EN，同理NQ=NF，∵点N是MW的中点，MN•NW=MN2=PN•NF=EN•NQ=PN•QN（故⑤正确），∴MN：NQ=PN：MN，∵∠PNM=∠QNM，∴△NPM∽△NMQ，∴∠Q=∠PMN（故③正确）．故选B．【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解．➢与代数结合的综合题（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB 上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）A．B．C．D．【考点】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理．【专题】11 ：计算题．【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m 与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．即（r﹣m）（r+m）=m•QD，所以QD=．连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，即，解得所以，故选D．【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．➢需要做辅助线的综合题（2008秋•苏州期末）如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O 的直径AB交⊙M于C，若AB=8，BC=1，则AM= ．【考点】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理．【分析】根据相交弦定理可证AB•BC=EB•BF=（EM+MB）（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6．【解答】解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，则EM=MA=MF，由相交弦定理知，AB•BC=EB•BF=（EM+MB）（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，∵AB是圆O的直径，∴∠AMB=90°，由勾股定理得，AM2+MB2=AB2=64，∴AM=6．【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解．二、割线定理割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．➢基本题型（1998•绍兴）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B 和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.5【考点】MH：切割线定理．【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA•PB=PC•PD即可求得PD的长．【解答】解：∵PA=3，AB=PC=2，∴PB=5，∵PA•PB=PC•PD，∴PD=7.5，故选B．【点评】主要是考查了割线定理的运用．（2003•天津）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C 为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长．【考点】MH：切割线定理；KQ：勾股定理．【分析】Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；延长BC交⊙C于点F，根据割线定理，得BE•BF=BD•BA，由此可求出BD的长，进而可求得AD的长．【解答】解：法1：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4；根据勾股定理，得AB=5．延长BC交⊙C于点F，则有：EC=CF=AC=3（⊙C的半径），BE=BC﹣EC=1，BF=BC+CF=7；由割线定理得，BE•BF=BD•BA，于是BD=；所以AD=AB﹣BD=；法2：过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AD的中点，∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM=，∴AD=2AM=．【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用．➢综合题型（2015•武汉校级模拟）如图，两同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任意一点P作大圆的弦AB，则PA•PB的值是（）A．16 B．16πC．4 D．4π【考点】MH：切割线定理．【分析】过P点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，根据相交弦定理得到PA•PB=（OC﹣OP）•（OP+OD）=R2﹣r2，再利用πR2﹣πr2=16π得到R2﹣r2=16，所以PA•PB=16．【解答】解：过P点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，∵PA•PB=PC•PD，∴PA•PB=（OC﹣OP）•（OP+OD）=（R﹣r）（R+r）=R2﹣r2，∵两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16π，∴πR2﹣πr2=16π，∴R2﹣r2=16，∴PA•PB=16．故选A．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了相交弦定理．【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路？三、切割线定理切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．（2013•长清区二模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，PA=8cm，PB=4cm，求⊙O的半径．【考点】MH：切割线定理．【专题】11 ：计算题．【分析】连接OA，设⊙O的半径为rcm，由勾股定理，列式计算即可．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为rcm，（2分）则r2+82=（r+4）2，（4分）解得r=6，∴⊙O的半径为6cm．（2分）【点评】本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握．（2013秋•东台市期中）如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB=3，PB=2．则PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】MH：切割线定理．【专题】11 ：计算题．【分析】根据题意可得出PC2=PB•PA，再由OB=3，PB=2，则PA=8，代入可求出PC．【解答】解：∵PC、PB分别为⊙O的切线和割线，∴PC2=PB•PA，∵OB=3，PB=2，∴PA=8，∴PC2=PB•PA=2×8=16，∴PC=4．故选C．【点评】本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式PC2=PB•PA．四、切线长定理切割线定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．（2015•秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．38【考点】MG：切线长定理．【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选：B．【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键．（2015•岳池县模拟）如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O 于点E交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（）A．B．C．D．【考点】MG：切线长定理；MC：切线的性质．【分析】利用切线长定理得出CA=CF，DF=DB，PA=PB，进而得出PA=r，求出即可．【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，∴CA=CF，DF=DB，PA=PB，∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r，∴PA=r，则的值是：=．故选：D．【点评】此题主要考查了切线长定理，得出PA的长是解题关键．（2014秋•夏津县校级期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD 的周长和∠COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P【考点】MG：切线长定理．【分析】根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=∠AOB．【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=∠AOB，∴∠AOB=180°﹣∠P，∴∠COD=90°﹣∠P．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型．五、圆幂定理请尝试解出下列例题：（2005•广州）如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP•AM+BP•BN的值为．【考点】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理．【专题】16 ：压轴题；25 ：动点型．【分析】连接AN、BM，根据圆周角定理，由AB是直径，可证∠AMB=90°，由勾股定理知，BP2=MP2+BM2，由相交弦定理知，AP•PM=BP•PN，原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP•PM+BP2+BP•PN=AP2+BP2+2AP•PM=AP2+MP2+BM2+2AP•PM=AP2+（AP+PM）2=AP2+AM2=AB2=36．【解答】解：连接AN、BM，∵AB是直径，∴∠AMB=90°．∴BP 2=MP 2+BM 2∵AP •PM=BP •PN原式=AP （AP+PM ）+BP （BP+PN ）=AP 2+AP •PM+BP 2+BP •PN=AP 2+BP 2+2AP •PM=AP 2+MP 2+BM 2+2AP •PM=BM 2+（AP+PM ）2=BM 2+AM 2=AB 2=36．【点评】本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解．以上四条定理统称为圆幂定理。