圆幂定理+讲义2023年九年级数学中考复习【附解析】
中考技巧圆幂定理 、共高定理、共角定理、共边定理
中考技巧圆幂定理、共高定理、共角定理、共边定理圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。
圆幂定理是一个总结性的定理。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
则有AE·CE＝BE·DE。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
则有PA²＝PC·PD。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。
从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。
经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。
点对圆的幂定义：P点对圆O的幂定义为OP²—R²。
性质：点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系有下述关系：点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；点P在圆O上→P对圆O的幂为0。
注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。
在某些书中，点P对圆O的幂表示为 |OP²—R²|。
共高定理如图1，延长△PAM的边AM至点B，得△PBM，根据面积公式可以证明以下定理．图1共高定理：若M在直线AB上，P为直线AB外一点，则有S△PAM：S△PBM＝AM：BM．证明：如图1，因为S△PAM＝1/2AM·PM，S△PAM＝1/2BM·PM，所以S△PAM：S△PBM＝AM：BM．【举一反三】如图2，点P在△ABC的边BC上，且∠BAP＝∠CAP，试用共高定理推出PB：PC＝AB：AC．图2共角定理中考数学压轴题昨天共角定理若两个三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第十二讲 圆(含答案)(全国通用版)
第十二讲圆专项一圆的相关概念及性质知识清单1．圆的定义及其相关概念圆：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做______．其固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做______，如图1，AC，BC是弦，BC是直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做______（用三个点表示，如图1中的ABC），小于半圆的弧叫做______（如图1中的AC）．圆心角：顶点在______的角叫做圆心角（如图1中的∠AOB是AB所对的圆心角）．圆周角：顶点在______上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图1中的∠ACB是AB所对的圆周角）．2．圆是轴对称图形，对称轴是_____________，由此可得垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是______）的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．3．圆是中心对称图形，对称中心是_____________，由此可得在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量________．4．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠BAC=12∠BOC（如图2）．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，即∠BAC=∠BDC（如图2）．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______，即∠BCA=90°（如图2）；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：圆内接四边形的对角______．考点例析例1 往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图1所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为（）A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm图1分析：如图1，作与弦AB垂直的半径，先利用垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长．归纳：过圆心作弦的垂线可以构造垂径定理基本图形，常结合勾股定理求线段长．在图1所示的AB，OB，OD，CD四个量中，OB=OD+CD，2222ABOD OB⎛⎫+=⎪⎝⎭，利用这两个关系式，知道其中任何两个，其余两个都能求出来．例2 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于．图2分析：根据圆内接四边形的性质可得∠ABC的度数，连接OA，OC，由圆周角定理求出∠AOC的度数，判断△OAC的形状后，可求⊙O的半径．例3如图3，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是AD所对的圆周角，∠ACD＝30°．（1）求∠DAB的度数；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．图3分析：（1）连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠ACD＝30°，再由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可求∠DAB的度数；（2）在Rt△ABD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD的长，在Rt△ADE中，DE=AD·sin∠DAE，再结合垂径定理可求出DF的长．解：归纳：在圆中经常构造直径所对的圆周角，利用圆周角定理与直角三角形的性质解题．跟踪训练1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点．若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（）A．34°B．36°C．46°D．54°第1题图2．P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．36°第3题图第4题图4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于D，E 两点，点B是CD的中点，则∠ABE＝．5．如图，AB为⊙O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．第5题图专项二与圆有关的位置关系知识清单1. 点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有点P在圆外⇔d___r；点P在____⇔d____r；点P在圆内⇔d____r．2. 直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有直线l与⊙O相交⇔d___r；直线l与⊙O相切⇔d___r；直线l与⊙O____⇔d___r．3. 切线的性质定理:圆的切线____于过切点的半径.4.切线的判定（1）和圆只有____个公共点的直线是圆的切线.（2）经过半径的外端并且____于这条半径的直线是圆的切线.（3）如果圆心到一条直线的距离____圆的半径，那么这条直线是圆的切线.5. 切线长定理（选学）切线长:经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间____叫做这点到圆的切线长.定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长____，这一点和圆心的连线____两条切线的夹角.6. 三角形的外接圆与内切圆外接圆内切圆圆心名称三角形的外心三角形的内心圆心位置三角形三条边的垂直平分线的交点三角形三条角平分线的交点性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三边的距离相等考点例析例1 如图1-①，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．①②图1分析：如图1-②，当⊙O平移最靠近点C，即当⊙O与CB，CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，结合切线的性质定理和切线长定理求解．例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝52，求⊙O的直径．图2分析：（1）连接OD，根据直角三角形斜边上中线的性质与等腰三角形的性质，可证∠EDO＝90°，从而判定DE与⊙O相切；（2）先在Rt△BDC中求出BC，BD的长，再借助相似三角形求出AC的长，即得⊙O的直径．解：归纳：切线的判定方法主要有两种：若直线与圆有交点，则连接过交点的半径，证其与直线垂直（连半径，证垂直）；若不能确定直线与圆有交点，则过圆心向直线作垂线段，证圆心到直线的距离等于半径（作垂线，证半径）．跟踪训练1．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD的度数为（）A．27°B．29°C．35°D．37°第1题图第2题图2．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝70°，则∠ABO等于（）A．30°B．35°C．45°D．55°3．如图，F A，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝°．第3题图4．如图①，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图②，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．①②第4题图5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD ＝AC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠ACE＝13，OE＝3，求BC的长．第5题图专项三弧长与扇形面积的计算知识清单1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l =_______．2．扇形面积公式：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S=_______；在半径为R的圆中，圆心角所对的弧长为l的扇形的面积S=_______．考点例析例1如图1，传送带的一个转动轮的半径为18 cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12π cm，则n ＝．图1分析：物品A被传送的距离等于转动轮转n°的弧长，根据弧长公式求弧所对的圆心角的度数即为n值．例2 如图2，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．4πC．33πD．233π图2分析：阴影部分是以AC为半径、以∠CAE为圆心角的扇形，借助正六边形的性质，分别求出AC的长与∠CAE的度数，根据扇形的面积公式计算．例3设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）A．有最大值94πB．有最小值94πC．有最大值92πD．有最小值92π分析：根据扇形的面积公式结合关系式2r+l＝6，列出圆锥的侧面积与r之间的函数解析式，再通过函数的性质求圆锥的侧面积的最大值或最小值．归纳：对于圆锥，要熟悉立体图形与展开图（平面图形）之间的对应关系：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长．跟踪训练1．图①是一把扇形书法纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA 的长为30 cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则CD的长为（）A．5π cm B．10π cm C．20π cm D．25π cm①②第1题图2．如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．1712π m2B．7712π m2C．254π m2D．176π m2第2题图3．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为（用含π的代数式表示），圆心角为度．4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD 上，∠BAC＝22.5°，则BC的长为．第4题图专项四正多边形与圆知识清单1．正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的______，这个圆就是这个正多边形的______．2．与正多边形有关的概念如图，已知正n边形的边长为a，半径为R，则这个正n边形的每个内角为180nn（-2），中心角α=______，边心距r=______，周长l=na，面积S=12 nar．考点例析例1 如图1，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则AB的长度为（）A．9πB．92πC．32πD．94π图1分析：连接OA，OB，则△OAB为等腰直角三角形．由正方形ABCD的面积为18，可求得边长AB，进而可得半径OA，根据弧长公式可求AB的长．例2（2021·河北）如图2，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧711A A的长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和P A1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长P A7的值．图2分析：（1）利用弧长公式求劣弧711A A的长度，与直径比较大小；（2）先直觉观察猜想结论，再利用圆周角定理证明；（3）由切线的性质可得Rt△P A1A7，解此三角形可得P A7的值．解：跟踪训练1．（2021·贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°第1题图2．（2021·绥化）边长为4 cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．3．（2021·湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”如图①，点C把线段AB分成两部分，如果512CBAC=≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．第3题图（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；（结果保留根号）（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；①作两条相互垂直的直径MN，AI；②作ON的中点P，以P为圆心，P A为半径画弧交OM于点Q；③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形．在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．专项五圆中的数学思想1. 方程思想例1（2021·西宁）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC ＝．图1分析：先由垂径定理求得CE的长，再在Rt△OCE中由勾股定理得出关于半径的方程，解方程即可．2. 分类讨论思想例2（2021·朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为3AB所对的圆周角的度数为．分析：弦AB所对圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，所以需要分两种情况讨论．解答时，利用垂径定理构造直角三角形，借助三角函数求弦AB所对的圆心角的度数，再根据圆周角定理及其推论求弦AB 所对的圆周角的度数．3．转化思想例3 （2021·枣庄）如图2，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作BD ，再分别以E ，F 为圆心，1为半径作圆弧BO ，OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣1B ．π﹣3C ．π﹣2D ．4﹣π图2分析：连接BD ，则OD 与线段OD 围成的图形面积等于OB 与线段OB 围成的图形面积，故阴影部分的面积等于扇形CBD 与直角三角形CBD 的面积之差．归纳：求不规则图形的面积，经常通过割补法或等积法将其转化为规则图形，再利用面积公式进行计算． 跟踪训练1．（2021·兴安盟）如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C 是AB 的中点，且扇形CFD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．2π﹣1B ．2π﹣2C ．π﹣1D ．π﹣2第1题图2．（2021·青海）点P 是非圆上一点，若点P 到⊙O 上的点的最小距离是4 cm ，最大距离是9cm ，则⊙O 的半径是 ．3．（2021·绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5 cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm ．参考答案专项一圆的相关概念及性质例1 B 例2 2例3（1）连接BD．因为∠ACD＝30°，所以∠B＝∠ACD＝30°．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°．所以∠DAB＝90°﹣∠B＝60°．（2）因为∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，所以AD＝12AB＝2．因为∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，所以EF＝DE＝AD·sin60°所以DF＝2DE＝1．B 2．B 3．B 4．13°5．（1）证明：因为AC∥BE，所以∠E＝∠ACD．因为D，C为ACB的三等分点，所以BC CD AD==．所以∠ACD＝∠A．所以∠E＝∠A．（2）解：由（1）知BC CD AD==，所以∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E．所以BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BDE．所以CB BDBD DE=，即355DE=，解得DE＝253．所以CE＝DE﹣CD＝253﹣3＝163．专项二与圆有关的位置关系例1 +1例2 （1）证明：连接OD．因为AC是⊙O的直径，所以∠ADC＝90°，所以∠BDC＝90°．因为E是BC的中点，所以DE＝CE＝BE，所以∠EDC＝∠ECD．又OD ＝OC ，所以∠ODC ＝∠OCD ．因为∠OCD +∠DCE ＝∠ACB ＝90°，所以∠ODC+∠EDC ＝90°，即∠EDO ＝90°．所以DE ⊥OD ． 又OD 为⊙O 的半径，所以DE 与⊙O 相切．（2）解：由（1），得∠BDC ＝90°，DE ＝CE ＝BE ．因为DE ＝52，所以BC ＝5．所以BD =＝4． 因为∠BCA ＝∠BDC ＝90°，∠B ＝∠B ，所以△BCA ∽△BDC ． 所以AC BC CD BD =，即534AC =．解得AC ＝154．所以⊙O 的直径为154． 1．A 2．B 3．1804．（1）证明：连接OB ．因为直线MN 与⊙O 相切于点D ，所以OD ⊥MN ．因为BC ∥MN ，所以OD ⊥BC ．所以BD CD =．所以∠BOD ＝∠COD ．因为∠BAC ＝12∠BOC ，所以∠BAC ＝∠DOC ． （2）解：因为E 是OD 的中点，所以OE ＝DE ＝2．在Rt △OCE 中，CE =由（1）知OE ⊥BC ，所以BE ＝CE ＝又O 是AC 的中点，所以OE 是△ABC 的中位线．所以AB =2OE =4．因为AC 是⊙O 的直径，所以∠ABC ＝90°．在Rt △ABE 中，AE ==5．（1）证明：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，即∠ACE +∠BCE ＝90°．因为AD ＝AC ，BE ＝BC ，所以∠ACE ＝∠D ，∠BCE ＝∠BEC ．又∠BEC ＝∠AED ，所以∠AED +∠D ＝90°．所以∠DAE ＝90°，即AD ⊥AE ．因为OA 是⊙O 的半径，所以AD 是⊙O 的切线．（2）解：由（1），得tan ∠ACE ＝tan D ＝13，设AE ＝a ，则AD ＝AC ＝3a ． 因为OE ＝3，所以OA ＝a +3，AB ＝2a +6，BE ＝BC ＝a +3+3＝a +6．在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB 2＝BC 2+AC 2，即（2a +6）2＝（a +6）2+（3a ）2，解得a 1＝0（舍去），a 2＝2．所以BC ＝a +6＝8．专项三 弧长与扇形面积的计算例1 120 例2 A 例3 C1．B 2．B 3．12π 216 4．54π 专项四 正多边形与圆例1 C例2 （1）连接OA 7，OA 11．由题意，得∠A 7OA 11＝120°，所以711A A 的长为12064180ππ⨯=＞12．所以劣弧711A A 的长度更长．（2）P A 1⊥A 7A 11．理由：连接A 7A 11，OA 1．因为A 1A 7是⊙O 的直径，所以∠A 7A 11A 1＝90°．所以P A 1⊥A 7A 11．（3）因为P A 7是⊙O 的切线，所以P A 7⊥A 1A 7，所以∠P A 7A 1＝90°．因为∠P A 1A 7＝60°，A 1A 7＝12，所以P A 7＝A 1A 7•tan 60°＝1．A 23．解：（1）AC 的长为50．（2）点Q 是线段OM 的黄金分割点，理由如下：设⊙O 的半径为r ，则OP ＝12r ，所以PQ ＝AP=． 所以OQ ＝QP ﹣OP﹣12rr ，MQ ＝OM ﹣OQ ＝r．所以2MQ OQ =Q 是线段OM 的黄金分割点． （3）如图，作PH ⊥AE 于点H ．由题可知，AH ＝EH ．因为正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，所以∠PEH ＝180°﹣108°＝72°，即cos ∠PEH ＝cos72°＝EH PE． 因为点E 是线段PD 的黄金分割点，所以DE PE＝12． 又DE ＝AE ，HE ＝AH ＝12AE ，所以cos72°＝111222AE EH AE DE PE PE PE PE==⨯=⨯．第3题图专项五圆中的数学思想例1 294例2 60°或120°例3 C1．D 2．6.5cm或2.5cm 3．40。
2023年九年级中考数学高频考点--圆的综合
2023年中考数学高频考点--圆的综合1．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点P 在O 上，PBC C ∠=∠.（1）求证：CB PD ；（2）若82CD BE ==，，求O 的半径.2．如图，AB 是⊙O 的直径，F 为⊙O 上一点，AC 平分⊙FAB 交⊙O 于点C.过点C 作CD⊙AF 交AF的延长线于点D.（1）求证：CD 是⊙O 的切线. （2）若DC ＝3，AD ＝9，求⊙O 半径.3．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若8AF =，=1CF ，求O 的半径．4．已知O 的直径为10，四边形ABDC 内接于O ，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若BC 为O 的直径，求BD 的长； （2）如图2，若120BDC ∠=︒，求BD 的长．5．如图，以ABC 的边AB 为直径作O ，交BC 于D 点，交AC 于E 点，BD DE =．（1）求证：ABC 是等腰三角形；（2）若E 是AC 的中点，O 的半径为2，连接BE ，求阴影部分的面积（结果保留π）．6．如图，在ΔABC 中，90C ∠=︒，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E ，F ．（1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若25BD =2BF =，求⊙O 的半径．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接BC ，AC ，点E 是BC 的中点，连结并延长OE 交圆于点D ．（1）求证：OD //AC ．（2）若DE ＝2，BE ＝38．如图，以ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交边AC 于点D ，BC 为⊙O 的切线，弦DE AB ⊥于点F ，连接BE ．（1）求证：ABE C ∠=∠．（2）若点F 为OB 中点，且1OF =，求线段ED 的长．9．如图，AB 是O 的直径，BD 是弦，C 是BD 的中点，弦CE AB ⊥，H 是垂足，BD 交CE ，CA 于点F ，G ．（1）求证：CF BF GF ==；（2）若6CD =，8AC =，求圆O 的半径和BD 长．10．如图，AB 是O 直径，弦CD AB ⊥于点E ，过点C 作DB 的垂线，交AB 的延长线于点G ，垂足为点F ，连结AC ，其中A D ∠=∠．（1）求证：AC CG =；（2）若8CD EG ==，求O 的半径．11．如图，AB 为O 的直径，BC 是圆的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD .（1）求证：DC 是O 的切线；（2）直线AB 与CD 交于点F ，且4DF =，2AF =，求O 的半径.12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作O ，交AB 边于点D ，在CD 上取一点E ，使BE CD =，连接DE ，作射线CE 交AB 边于点F ．（1）求证：A ACF ∠=∠；（2）若8AC =，6BC =，求BF 的长．13．如图，A 、P 、B 、C 是O 上的四个点，60APC CPB ∠=∠=︒.（1）判断ABC 的形状，并证明你的结论；（2）探究PA 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明你的结论.14．如图，点 A B ，在圆O 上，BAO ∠的平分线交圆O 于点D ，点C 在OA 的延长线上，且CBA D ∠=∠.（1）求证：CB 是圆O 的切线；（2）若//DB OA ，3BD =，求圆O 的半径．15．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且//OD BC ，OD 与AC 交于点E .（1）若72B ∠=︒，求CAD ∠的度数； （2）若13AB =，12AC =，求DE 的长.16．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，A （3，0），B （-3，0），D 是y 轴上的一个动点，⊙ADC ＝90°（A 、D 、C 按顺时针方向排列），BC 与经过A 、B 、D 三点的OM 交于点E ，DE 平分⊙ADC ，连结AE ，BD 。
圆幂定理，敲重点
圆幂定理，敲重点相交弦定理定理：如图，弦AB与弦CD交于圆O内一点P，则PA·PB=PC·PD．证明：连接AD、BC，根据有圆周角定理可得：∠DAP=∠BCP，∠ADP=∠CBP，∴△APD∽△CPB∴PA:PC=PD:PB∴PA·PB=PC·PD切割线定理定理：如图，P为圆O外一点，PA是圆的切线，PC是圆的割线，求证：PA²=PB·PC．证明：连接AB、AC，根据弦切角定理，可得：∠PAB=∠C，又∠P是公共角，∴△PAB∽△PCA∴PB:PA=PA:PC∴PA²=PB·PC割线定理定理：如图，P是圆O外一点，PB、PD是圆的两条割线，则PA·PB=PC·PD．证明：法一：连接AC、BD，根据圆内接四边形外角等于内对角，可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，∴△PAC∽△PDB∴PA:PD=PC:PB∴PA·PB=PC·PD法二：连接AD、BC，根据圆周角定理，可得：∠B=∠D，又∠P是公共角，∴△PAD∽△PCB∴PA:PC=PD:PB∴PA·PB=PC·PD圆幂定理定义点P到圆O的幂：OP²-r²．以上“相交弦定理”、“切割线定理”、“割线定理”统称为“圆幂定理”．（1）相交弦满足：PA·PB=PC·PD=r²-OP²（2）切线满足：PA²=OP²-r²（3）割线满足：PA·PB=PC·PD=OP²-r²【归纳】以上我们考察的量，如PA·PB、PA²等均等于OP²-r²或r²-OP²，故称圆幂定理．。
九年级数学专题第二十二讲 园幂定理
第二十二讲 园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．(成都市中考题) 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516 (全国初中数学联赛题)思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．(北京市海淀区中考题)思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE(四川省竞赛题)思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．(成都市中考题)思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D 点看可用切线长定理，从F 点看可用切割线定理． (2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT 的长为 ．(绍兴市中考题)2．如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC ：BD= ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点F ，若AB=CD=2，则CE= ．(天津市中考题)4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．8(苏州市中考题)5．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．22(昆明市中考题)新课标九年级数学竞赛辅导讲座6．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(福州市中考题)7．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．(绍兴市中考题)8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长． (北京市崇文区中考题)9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数． (山西省中考题)10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．(山东省临沂市中考题)11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．⌒⌒⌒12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a 13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23 D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．(太原市竞赛题)15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC (四川省中考题)16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．(国家理科实验班招生试题)17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值． (全国初中数学竞赛题)参考答案。
模型26 圆幂定理(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
1．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．2、相交弦定理【结论1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.3、切割线定理【结论2】如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r24、割线定理【结论3】如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等例题精讲考点一：相交弦定理【例1】．已知：如图弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，且AP＝2，PB＝3，则是⊙O的半径等于（）A．B．C．D．解：延长CO交⊙O于D，设⊙O的半径是R，∵弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，∴CP＝R＝OP，PD＝R+R，由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，则2×3＝R×（R+R），解得：R＝2，故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝2：3．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．【变式1-2】．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝，则的值为．解：设AC，BD交于点F，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，如图，∵AC⊥BD，cos∠ACB＝，∴cos∠ACB＝＝，设CF＝3k，则CB＝5k，∴BF＝＝4k．∵CA＝CB，∴AC＝5k，∴AF＝AC﹣CF＝2k．∵CF•AF＝DF•BF，∴DF＝k．∵AC⊥BD，AE⊥AC，∴DF∥AE，∴，∴，∴AE＝k．∴CE＝＝k．∵AC⊥BD，AE⊥AC，BG⊥EA，∴四边形AFBG为矩形，∴BG＝AF＝2k，AG＝BF＝4k，∴EG＝AE+AG＝k，∴BE＝＝k，∴＝，故答案为：．考点二：弦切角定理【例2】．如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C是上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是110度．解：连接BD，则∠BDA＝90°，∵PD切⊙O于点D，∴∠ABD＝∠PDA＝20°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣20°＝70°；又∵四边形ADCB是圆内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠DAB＝180°﹣70°＝110°．变式训练【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC＝，则AB的长度为（）A．B．6C．D．5解：连接OA，OB，作OD⊥AC于D，CE⊥AP于E，∵OA＝OB，∴∠AOD＝∠AOC，AD＝DC＝，∴OD＝＝2，∵PA切⊙O于A，∴∠CAE＝∠B，∵∠B＝∠AOC，∴∠CAE＝∠AOD，∵∠AEC＝∠ADO＝90°，∴△ACE∽△OAD，∴＝＝，∴＝＝，∴CE＝，AE＝，∵∠P＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝CE＝，PC＝，∵PA＝AE+PE，∴PA＝，∵∠CAE＝∠B，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA，∴AC：AB＝PC：PA，∴2：AB＝：，∴AB＝6．故选：B．【变式2-2】．如图，BP是⊙O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点P，连接AD，BC．若DE＝DA＝，BC＝2，则线段CP的长为．解：连接BD，如图，∵DE＝DA，∴∠A＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DCB＝∠A，∴∠BEC＝∠DCB．∴BE＝BC＝2．∵∠DEB＝180°﹣∠BEC，∠BCP＝180°﹣∠BCE，∴∠DEB＝∠BCP，∵BP是⊙O的切线，∴∠BDE＝∠PBC，∴△DEB∽△BCP，∴，∴，∴CP＝．故答案为：．考点三：切割线定理【例3】．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为4．解：∵PC切半圆与点C，∴PC2＝PA•PB，即PA＝9，则AB＝9﹣1＝8，则圆的半径是4．故答案为4．变式训练【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则⊙O的直径为（）A．10B．C．5D．12解：连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G，∵∠C＝90°，∴四边形ODCG是矩形，∵CD是切线，CEA是割线，∴CD2＝CE•CA，∵CD＝2CE＝4，∴AC＝8，∴AE＝6，∴GE＝3，∴OD＝CG＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．【变式3-2】．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2．则BO的长是4．解：连接OC，如图，∵CD2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4（负根已经舍弃），∴OB＝4，故答案为4．【变式3-3】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若，求BD的长．（1）证明：连接OE，∵BE平分∠ABC交AC于点E，∴∠1＝∠EBC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠CBE，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线，∵⊙O是△BDE的外接圆，∴AC是△BDE的外接圆的切线；（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，根据切割线定理：AE2＝AD×AB，∵，∴（）2＝2×（2+BD），解得：BD＝4．∴BD的长是：4．考点四：割线定理【例4】．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3B．7.5C．5D．5.5解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．变式训练【变式4-1】．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝4．解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，∴PB＝AP+AB＝6，PC＝PD．又∵PA•PB＝PC•PD，∴4×6＝PD2，则PD＝4．故答案是：4．【变式4-2】．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为4．解：延长CD交⊙O于点G，设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB•CF＝CD•CG，∵CB＝CD，∴BF＝DG，∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．故答案为：4．1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM＝60°，则∠B的正切值是（）A．B．C．D．解：连接BD．AB是直径，则∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠BCM＝60°．∴∠CDA＝∠CDB+∠ADB＝150°．∵∠CBA＝180°﹣∠CDA＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝．故选：B．2．如图，从圆外一点P引圆的切线PA，点A为切点，割线PDB交⊙O于点D、B．已知PA＝12，PD＝8，则S△ABP：S△DAP＝9：4．解：由切割线定理可得PA2＝PD×PB，∵PA＝12，PD＝8∴PB＝18．由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA．：S△PBA＝PA2：PB2＝4：9．∴S△P AD3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若BC＝﹣1，则AC＝2．解：∵AB＝AC，∠C＝72°，BC是⊙O的切线，∴∠CBD＝∠BAC＝36°，∴∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠BCD＝72°，∴AD＝BD＝BC；又∵BC是切线，∴BC2＝CD•AC，∴BC2＝（AC﹣BC）•AC（设AC＝x），则可得到：（x﹣）2＝，解得：x1＝2，x2＝（x2＜0不合题意，舍去）．∴AC＝2．4．如图，⊙O的直径AB＝8，将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，则△ABC的面积为8．解：设弧BC沿弦BC折叠后的圆弧的圆心为O′，连接O′B，如图，∵将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，∴O′B⊥BD，∴∠O′BD＝90°．设∠ABD＝α，则∠BCD＝∠ABD＝α，∴∠ABC＝2α．由折叠的性质得：∠ABC＝∠O′BC＝2α，∴∠O′BD＝∠O′BC+∠DBC＝3α＝90°，∴α＝30°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB•cos∠ABC＝8×cos60°＝4，AC＝AB•sin∠ABC＝8×＝4．∴△ABC的面积为AC•BC＝4×＝8．故答案为：8．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是．解：连接OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，解法一：在Rt△AGO中，AG＝＝，∴GE＝，∴DE＝GE﹣GD＝．解法二：在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝，∵AD×DE＝BD×CD，∴DE＝＝．故答案为：．6．如图，已知AC＝AB，AD＝5DB＝4，∠A＝2∠E．则CD•DE＝56．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，交CD于点H；过点B作BG∥AH，交DE于点G；∵AB＝AC，∴CF＝BF，∠A＝2∠HAD；而∠A＝2∠E，∴∠HAD＝∠E，∴A、H、B、E四点共圆，∴DH•DE＝DA•DB＝4×5＝20；∵BG∥AH，且CF＝BF，∴△AHD∽△BGD，CH＝HG；∴，设HD＝5λ，则DG＝4λ，∴CD＝CH+HD＝14λ，∴DH＝，∴•DE＝20，∴CD•DE＝56．故答案为56．7．如图：BE切⊙O于点B，CE交⊙O于C，D两点，且交直径于AB于点P，OH⊥CD于H，OH＝5，连接BC、OD，且BC＝BE，∠C＝40°，劣弧BD的长是．解：连接AD，BD∵BE＝BC∴∠E＝∠C＝40°，∠BOD＝80°，∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD）÷2＝50°∵BE是切线∴∠DBE＝∠C＝40°∴∠BDE＝180°﹣∠E﹣∠DBE＝100°∴∠HDO＝180°﹣∠ODB﹣∠BDE＝30°∵OH⊥CD∴OD＝＝10，即圆的半径是10∴弧BD的度数是80度弧BD＝＝．8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点A（4，3），点B与点C在y轴上，点B与原点O重合，且AB＝AC，AC与⊙O交于点D，延长AO与⊙O交于点E，连接CE、DE与x轴分别交于点G、F，则tan∠DFO＝，tan∠A＝．解：设圆O与y轴交于点H，K，过点A作AM⊥OC于点M，过点D作DN⊥OC于点N，如图，∵A（4，3），∴AM＝4，MO＝3，∴AO＝＝5．∵AB＝AC，点B与原点O重合，∴AB＝AC＝5．∴AE＝2AO＝10．∵AE为⊙O的直径，∴ED⊥AD．∵AB＝AC，AM⊥OC，∴OC＝2OM＝6．∴CH＝CO﹣OH＝6﹣5＝1，∴CK＝CH+HK＝1+10＝11．∵CD•CA＝CH•CK，∴CD＝＝，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣＝．∴DE＝＝．∴tan∠DAE＝＝＝．∵DH⊥OC，FO⊥OC，∴DH∥OF．∴∠DFO＝∠NDF．∵ED⊥AD，∴∠NDF+∠CDN＝90°．∵DN⊥OC，∴∠CDN+∠NCD＝90°．∴∠NDF＝∠NCD．∴∠DFC＝∠NCD．∴tan∠DFC＝tan∠NCD＝．故答案为：；．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E．（1）求证AD＝AB；（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACB，∵BC＝BD，AC＝AC，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴AB＝AD；（2）连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，∵△ACB≌△ACD，∴∠CAB＝∠CAD，∴＝，∴BC＝CE，∵BC＝CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠D＝∠CED，∵AB＝AC，AB＝AD，∴AD＝AC，∴∠ACD＝∠D，∴∠CED＝∠ACD，∴△DEC∽△DCA，∴＝，∴＝，∴DE＝4或DE＝﹣9（舍去），∴AD＝AE+DE＝9，∴AB＝AC＝AD＝9，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AF是BC的垂直平分线，∴AF⊥BC，BF＝CF＝BC＝3，∴AF＝＝＝6，设⊙O的半径为r，在Rt△OFC中，OF2+CF2＝OC2，∴（6﹣r）2+32＝r2，∴r＝，∴⊙O的半径为．10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，过点A作⊙O 的切线交CD的延长线于点F，连接FB．（1）求证：FB是⊙O的切线．（2）若AC＝4，tan∠ACD＝，求⊙O的半径．（1）证明：连接OA，OB，∵FA是⊙O的切线，∴OA⊥FA，∴∠FAO＝90°，∵直径CD⊥AB，∴CF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠FBE＝∠FAE，∵OA＝OB，∴∠OBE＝∠OAE，∴∠OBE+∠FBE＝∠FAE+∠OAE＝∠FAO＝90°，∴半径OB⊥FB，∴FB是⊙O的切线（2）解：∵tan∠ACD＝＝，∴令AD＝x，则CD＝2x，∵△ADC是直角三角形，∴AC＝＝＝x＝4，∴x＝4，∴AD＝4，CD＝8，∵AD2＝DE•CE，∴42＝8DE，∴DE＝2，∴CD＝DE+CE＝2+8＝10，∴⊙O的半径长是5．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE 交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴．∴∠DBA＝∠G．∵∠EFB＝∠BFG，∴△EFB∽△BFG，∴，∴FB2＝FE•FG；（2）解：连接OE，如图，∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，∴BD＝＝6．∴OB＝BD＝3．∵点E为AB的中点，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．∴．∴，∴，∴BF＝2；∵点E为AB的中点，∴AE＝BE＝3，∴EC＝＝3．∵AE•BE＝EG•EC，∴EG＝．12．如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于C、D，PE＝4，PB＝4，∠AEB＝60°．（1）求证：△PDE∽△PCA；（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；（3）求⊙O的面积．（答案保留π）（1）证明：由弦切角定理得∠PEB＝∠EAB，∵PC是∠APE的平分线，∴∠CPE＝∠CPA，∴△PDE∽△PCA；（2）解：由切割线定理得PE2＝PA•PB，∵PE＝4，PB＝4，∴PA＝12，∴PA+PB＝16，PA•PB＝48，∴所求方程为：x2﹣16x+48＝0；（3）解：连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，则BF是⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠AEB＝∠F＝60°在Rt△ABF中，sin60°＝＝＝＝＝，∴BF＝．∴⊙O的面积为：π（）2＝π（面积单位）．13．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE．（1）求证：CF是圆O的切线；（2）若，BE＝2，求圆O的半径和DE•EC的值．证明：（1）∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD．∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠ABC＝90°，∴∠CEF+∠BCE＝90°．∴∠ECF+∠ACD＝90°，即∠ACF＝90°．∴AC⊥CF．又∵点C在圆O上，∴CF是圆O的切线；（2）连接AD．∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∠ACD ＝∠BCD ．∴△BEC ∽△DEA ．∴DE •EC ＝AE •BE ，在Rt △ACF 和Rt △BCF 中，∵＝＝，设CF ＝3k ，则AF ＝5k ．∴BF ＝k ，AC ＝＝4k ．∵FC ＝FE ＝3k ，BE ＝FE ﹣BF ，∴3k ﹣k ＝2．∴k ＝．∴AC ＝．∴圆O 的半径＝AC ＝．∵AE ＝AF ﹣FE ＝5k ﹣3k ＝2k ＝，∴AE ×BE ＝×2＝．∴DE •EC ＝．14．如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且PC 2＝PB •PA ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵PC2＝PB•PA，即＝，∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴∠PCB＝∠PAC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图2所示：∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•PA，∴PA＝＝＝40，∴AB＝PA﹣PB＝30，∵△PBC∽△PCA，∴＝＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，解得：x＝6，即BC＝6，∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DFO＝∠ABC，∴△DOF∽△ACB，∴＝＝，∴OF＝OD＝，即AF＝，∵EF∥BC，∴＝＝，∴EF＝BC＝．15．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．16．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．证明：（1）如图①，∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝DI；（2）如图②，连接OD，∵∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）如图，作直径交⊙O于M，连接CM，BH，CH，∴∠MCH＝90°，∴∠M+∠CHM＝90°，∵∠B＝∠M，∴∠B+∠CHM＝90°，∵GH是⊙O的切线，∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，∴∠CHG＝∠B，如图③，连接BH，CH，∵GH是⊙O的切线，∴∠CHG＝∠HBG，∵∠CGH＝∠BGH，∴△HCG∽△BHG，∴＝，∴GH2＝BG•CG，∵AD∥GF，∴∠AFG＝∠CAD，∵∠CAD＝∠FBG，∴∠FBG＝∠AFG，∵∠CGF＝∠BGF，∴△CGF∽△FGB，∴＝，∴FG2＝BG•CG，∴FG＝HG．17．【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角“与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题：＝＝＝的度数的度数）（1）如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是127.5°．【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角．（2）如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系．【灵活运用】（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O 于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由．解：（1）∵∠AEC的度数＝（的度数+的度数），∴∠AEC＝（65°+40°）＝52.5°，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣52.5°＝127.5°，故答案为：127.5°；（2）连接OA，OB，OC，OD，BC，∵∠E＝∠ABC﹣∠BCE＝∠AOC﹣∠BOD＝（的度数﹣的度数），∴∠E＝（的度数﹣的度数）；（3）∠FGO的度数不变，连接OA，作AH⊥x轴于H，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴（的度数+的度数＝（的度数+的度数），∴的度数+的度数＝的度数+的度数，∴的度数﹣的度数＝的度数﹣的度数，由（2）知，∠FGO＝（的度数﹣的度数）＝（的度数﹣的度数），∵点A（，1），∴OH＝，AH＝1，∴tan∠AOH＝，∴∠AOH＝30°，∴∠AON＝120°，∠AOB＝60°，∴∠FGO＝（120°﹣60°）＝30°，∴∠FGO的度数不变，为30°．。
2021年中考数学复习讲义：第九章 圆 模型(三十五)——圆幂定理模型
第九章.圆模型（三十五）——圆幂定理模型模型讲解一、相交弦定理【结论1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP, ②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.【证明】①②二、切割线定理【结论2】如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2【证明】①②三、割线定理【结论3】如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD, ②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2【证明】口诀从两线交点处引出的共线线段的乘积相等小试牛刀典例1 ☆☆☆☆☆如图，在⊙O中，弦 AB与半径 OC 相交于点M，且 OM=MC，若 AM=1.5，BM=4，则 OC的长为（）.A.2B.C.2D.2【答案】D【解析】如图，延长 CO，交OO于D，则CD为OO的直径.∵OM＝MC,∴OC＝2MC＝2OM,DM＝3OM＝3MC.由相交弦定理得 DM·MC＝AM·BM，即 3MC2＝1.5×4，解得 MC ＝. ∴OC＝2MC=2.故选 D.典例2 ☆☆☆☆☆如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，若 CE∶BE=2∶3，则 AE∶ DE 的值为（A. B. C.D.【答案】A【解析】∶∵⊙O的弦AB，CD 相交于点E，根据相交弦定理得 AE·BE＝CE·DE，∴AE: DE=CE: BE=2:3.故选 A.典例3 ☆☆☆☆☆如图，过点 P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A，B和点C，D，已知PA=3，AB＝PC＝2，则 PD的长是( )A.3B.7.5C.5D.5.5【答案】B【解析】∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5,根据割线定理得 PA·PB=PC·PD，∴PD=7.5.故选 B.小试牛刀1.（★★☆☆☆）如图，过点P引圆的两条割线PAB 和PCD.分别交圆于点 A，B和C，D，连接 AC，BD ，则在比例式①＝,②＝＝中，正确的个数为( )A.3B.2C.1D.02.（★★☆☆☆）如图，已知⊙O中，弦 AB=25，M是AB上一点， OA=13，OM=5，则AM=（）A.16B.20C.20或9D.16或93.（★★☆☆☆）如图，在⊙O中，P为弦AB上一点，PO⊥PC，PC交⊙O于C，那么（）A.OP²=PA·PB，B.PC²=PA·PBC.PA²=PB·PC，D.PB²=PA·PC直击中考1.如图，在⊙O中，弦 AB＝CD，AB⊥CD于点E.已知 CE·ED＝3，BE＝1，则⊙O的直径是（）A.2B.C.2D.52.如图，半圆O的直径 BC=7，延长 CB到A，直线 AD交半圆于点E，D，且AE=ED=3，则AB的长为( ).A. B.2 C.D.9同幂定理是一个非常重要的定理，在计算过程中，如果涉及计算某条线段的长度，用普通的垂径定理，勾股定理，也能够得到答案，但是速记圆幂定理可以让我们更能看到图形的本质。
圆幂定理讲义(带答案解析)
【点评】 本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中， 常用 的方法是转化为解直角三角形．圆幂定理STEP 1: 进门考理念： 1. 检测垂径定理的基本知识点与题型2. 垂径定理典型例题的回顾检测。
3. 分析学生圆部分的薄弱环节。
1）例题复习1. （2015?夏津县一模）一副量角器与一块含 30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点 C 落在量角器的直径 MN 上，顶点 A ，B 恰好都落在量角 器的圆弧上，且 AB ∥MN ．若 AB=8cm ，则量角器的直径 MN= cm ． 【考点】 M3：垂径定理的应用； KQ ：勾股定理； T7：解直角三角形． 【分析】 作 CD ⊥ AB 于点 D ，取圆心 O ，连接 OA ，作 OE ⊥AB 于点 E ，首先求得 CD 的长，即 OE 的长，在直角△ AOE 中，利用勾股定理求得半径 OA 的长，则 MN 即可求解． 解答】 解：作 CD ⊥AB 于点 D ，取圆心 O ，连接 OA ，作 OE ⊥ AB 于点 E ．在直角△ ABC 中，∠ A=30°，则 BC= AB=4cm ， 在直角△ BCD 中，∠ B=90°﹣∠ A=60°， =2 （cm ）， ∴ OE=CD=2 ， 在△ AOE 中， AE= AB=4cm ， ∴CD=BC?sinB=×4 则 OA= = =2 （ cm ）， 则 MN=2OA=4 （ cm ）． 故答案是： 4 ．2. （2017?阿坝州）如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过【考点】 M2：垂径定理； PB ：翻折变换（折叠问题）．【分析】 通过作辅助线， 过点 O 作 OD ⊥AB 交 AB 于点 D ，根据折叠的性质可知 OA=2O ，D 根据 勾股定理可将 AD 的长求出，通过垂径定理可求出 AB 的长． 【解答】 解：过点 O 作 OD ⊥ AB 交 AB 于点 D ，连接 OA ， ∵OA=2OD=2c ，m ∴ AD== = （ cm ），点评】 本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙ P 的圆心坐标是（ 3，a ） a >3），半径为 3，函数 y=x 的图象被⊙ P 截得的弦 AB 的长为 ，则 a的值A ．4考点】 M2：垂径定理； F8：一次函数图象上点的坐标特征； KQ ：勾股定理．cmD ．2 cm故选： D ．cm．专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】 PC ⊥x 轴于 C ，交 AB 于 D ，作 PE ⊥AB 于 E ，连结 PB ，由于 OC=3，PC=a ，易得D 点 坐标为（ 3， 3），则△ OCD 为等腰直角三角形，△ PED 也为等腰直角三角形．由 PE ⊥ AB ，根 据垂径定理得 AE=BE= AB=2 ，在 Rt △PBE 中，利用勾股定理可计算出 PE=1，则 PD= PE=，所以 a=3+ ．【解答】 解：作 PC ⊥x 轴于 C ，交 AB 于 D ，作 PE ⊥ AB 于 E ，连结 PB ，如图， ∵⊙ P 的圆心坐标是（ 3， a ）， ∴OC=3，PC=a ，把 x=3 代入 y=x 得 y=3， ∴ D 点坐标为（ 3，3）， ∴CD=3， ∴△ OCD 为等腰直角三角形， ∴△ PED 也为等腰直角三角形， ∵PE ⊥ AB ， ∴PE=， ∴PD= PE= ， ∴ a=3+ ． 故选： B ．4. （2013?内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A 13，0），直线 y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于 B 、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为【分析】 根据直线 y=kx ﹣3k+4 必过点 D （3，4），求出最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径 垂直的弦，再求出 OD 的长，再根据以原点 O 为圆心的圆过点 A （13，0），求出 OB 的长， 再利用勾股定理求出 BD ，即可得出答案．∴ AE=BE= AB在 Rt △ PBE 中， PB=3，考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．并且平分弦所对的两条弧．也【解答】解：∵直线y=kx ﹣3k+4=k （x﹣3）+4，∴k（x﹣3）=y﹣4，∵k 有无数个值，∴x﹣3=0，y ﹣4=0，解得x=3，y=4，∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，∵点 D 的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴ BD=12，∴ BC 的长的最小值为24；故答案为：24．【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．STEP 2: 新课讲解1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。
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圆幂定理九年级数学中考复习一、圆幂的定义：一点P对半径为r的圆O的幂=22
OP r
-
二、圆幂定理：是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统称。
1、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则··
PAPB PC PD
=()
PAC PBD
∆∆
∽
2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线(PA)长是割线和这点到割线（PD）与圆交点的两条线段长的比例中项²·
PA PC PD
=()
PAC PDA
∆∆
∽
3、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则·
PA PB PC PD
⋅=
总结：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
22
··
PA PB PC PD r OP
==-
222
·
PA PC PD OP r
==-
22
·
PA PB PC PD OP r
⋅==-
例题讲解
【例1】如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ， 若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为( )
A ．83
B ．3
C ．103
D ．52
【例2】如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于 点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．
【例3】如图，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若 6AP =，3PB =，则PC 的长为( )
A ．4
B ．5
C ．23
D ．32【例4】如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若 QP QO =，则QC QA
的值为( )
A ．231
B ．23
C 32
D 32+
【例5】如图，PA 切圆于点A ，直线PCB 交圆于C ，B 两点，切线长42PA =4PC =， 则AB AC
等于( )
A 2
B ．22
C ．2
D ．以上结果都不对 【例6】如图，AT 切O 于T ，若6AT =，3A
E =，4AD =，2DE =，则BC 等于(
)
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
【例7】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线 AXY ，若4AX AY ⋅=，则图中圆环的面积为( )
A ．16π
B ．8π
C ．4π
D ．2π
【例8】如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =， 5BE =，则DE 的长为( )
A ．3
B ．4
C ．154
D ．165
【例9】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB 、DC 的延长线交于点P ，若C 是PD 的中点，且6PD =，2PB =，那么AB 的长为( )
A ．9
B ．7
C ．3
D ．92
【例10】已知：P 为O 外一点，PQ 切O 于Q ，PAB 、PCD 是O 的割线，且
PAC BAD ∠=∠．求证：22PQ PA AC AD -=．
【例11】
圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项．
喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：
已知：如图①，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、
C．求证：2
=⋅．
PA PB PC
证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，
PA切O于点A，
∠+∠=︒．
PAB BAO
∴⊥，即90
PA AO
⋯
阅读以上材料，完成下列问题：
（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；
（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且4
PE=，求DE的长．
==，7
PB BC
挑战训练
【挑战训练1】如图，已知：PA切O于A，若AC为O的直径，PBC为O的割线，E 为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且45
FPB
∠=︒，点F到PC的距离为5，则FC 的长为()。