二次函数y=ax2+k的图象与性质(第3课时)
(3) 二次函数图像性质3-6课时
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
我思考，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2, y=-3(x-1)2-2,y=-3x² 和y=-3(x-1)2的图象 思考：
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=3x² ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系? （2）它们是轴对称图形吗? （3）它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? （4）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大? （5）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
(0,–1)
(2, 5) (– 4,2) (3,0)
4 y 2 x 2 5 2 5y 0.5x 4 2
向上 直线x= – 4
3 2 6 y x 3 4
向下
直线x=3
课堂练习 1.抛物线y=0.5(x+2)2–3可以由抛物线 y=0.5x2 先沿 x轴方向 左 平移 2 个单位，再沿y轴方向下 平 移 3 个单位得到。 2.已知s= –(x+1)2–3，当x为 –1 时，s取最 大 值 为 –3 。 3.顶点坐标为(1,1)，且经过原点的抛物线的函数 解析式是( D ) A.y=(x+1)2+1 C.y=(x–1)2+1 B. y= –(x+1)2+1 D. y= –(x–1)2+1
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似. 最大值= 2 (或最大值= - 2)..
X=1
一般：
y = ax2
向上、下平移k 个 单位
y = ax2 ± k
向左平移h个单位 向右平移h个单位
2第3课时二次函数y=ax2+k的图象PPT课件(人教版)
7
6
y 2x2 1
5
4
3
2
y 2x2
1
你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性 质吗?
完成填空：
当x__﹤__0__时，函数值y随x的增大而减小；当x_﹥___0__时， 函数值y随x的增大而增大，当x__=_0___时，函数取得最 ____小__值，最____小__值y＝___1___．
上加下减
6
4 2
－4 －2 －2
－4
24
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
yy 1 x2 1
1
2
y 10
9
-5 -4 -3 -2 y-1--12o121x2 2 3 4 5 x
8
-3
7
-4
6 5
将抛物线y=-x2+1向___下__平移___1__个单位得到抛物线y=-x2。
总结梳理 内化目标
二次函数y=ax²+k与y=ax²的关系
1.相同点: w (1)图象都是抛物线, 形状相同, 开口方向相 同. w(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. w(3)都有最(大或小)值.
2.不同点: (4)(增1)顶减点性不相同同:.分别是(0,k),(0,0). (2)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=ax²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平 移|k|个单位得到的.(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移).
达标检测 反思目标
C D
B 2
2.2 二次函数的图象与性质 第3课时 教案
一、情境导入二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到： 当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度．问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论． 二、合作探究探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 【类型一】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a＝－12，h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2的性质若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型四】 二次函数y ＝a (x －h )2与三角形的综合如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A 的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S 梯形ABOD －S △ACD －S △BOC ＝12(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB－12CD ·AD ＝12(4＋16)×6－12×2×4－12×4×16＝24. 方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 【类型五】 二次函数y ＝a (x －h )2的探究性问题某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位得到． (1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象； (2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点为B . ①求线段AB 的长及直线AB 的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝174，因此这个C 点的坐标为C 4(－2，174)． 综上所述，存在四个点，C 1(－2，217)，C 2(－2，－217 )，C 3(－2，－16)，C 4(－2，－174)．方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 三、板书设计二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质。
1.2 第3课时 二次函数的图象与性质-2024-2025学年九年级数学下册课件(湘教版)
（h,k）
当x=h时，y最小值=k
当x＜h时，y随x的 增大而减小；x＞h 时，y随x的增大而 增大.
a＜0
向下 直线x=h
（h,k）
当x=h时，y最大值=k 当x＞h时，y随x的 增大而减小；x＜h 时，y随x的增大而 增大.
练一练
1点．坐标抛是物_线(_0_,-y_6_)_，12它x可2 以 看6 作的是开由口抛__向物__上线__，对y 称 轴12 是x2___y向_轴____下__，平顶
横坐标
a a
纵坐标
1 a-12
2
1 a-12 3
2
观察上表你 发现了什么？
从上表看出： 对于每一个相同的x 值， 函数
y
1 2
(
x
1)2
3的值都要比函数
y
1 2
(
x
1)2
的值大3，
y
8
y
1 2
(
x
1)2
3
76Leabharlann 5 4y1 2
(x
1)2
3
2
1
-4
-3
-2
y
1 2
(
x
1)2
-1
O1
2
3
4
5
6x
向上平移3个单位
y
1 2
(
x
1)2
3
探究三、 将二次函数
y
1 2
(x
1)2
的图象向下平移 7 个单位，
得到的是哪个函数的图象？
y
1 2
(
x
1)2
7
探究四、二次函数 y a( x h)2 与 y a(x h)2 k
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
【精】 《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案
《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。
让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(公开课)
拓展延伸
7.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线 y= 1x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，
5
则她与篮底的距离l是( B )
A.3.5 m
B.4 m
C.4.5 m
D.4.6 m
课堂小结
y=ax2
向右(h>0)[或向左 (h<0)]平移|h|个单位
y=a(x-h)2
向上(k>0)[或 向下(k<0)]平 移|k|个单位
O
-4 -2
2 4x
-2
y - 12（x+1）2-1
-4
顶点： (-1,-1)
-6
画一画，填出下表:
y - 12（Oxy +1）2
-4 -2
2 4x
-2 -4
y
-
1 2
x2
-6
y - 12（x+1）2-1y来自-1 2x
2
-1
怎样移动抛物线y
-
1 2
x
2就可以得到抛物线y
-
12（x
1）2 -1？
a>0
a<0
h<0 图象
h>0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上 直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大.
x=h时，y最小值=k
向下 直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小.
x=h时，y最大值=k
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
向上(k>0)[或 向下(k<0)]平 移|k|个单位
九级数学上册第二十二章第2节二次函数y=ax2的图象和性质课件(共22张PPT)
3.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
4.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y xx2 ④ yx2 x1
⑤ y1x2 2x4 3
讲授新课
一 二次函数y=ax2的图象和性质
探究归纳
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
24
么关系？
－2
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
－4
－6
y 1 x2
y 2x2
2
y x 2 －8
归纳总结
y＝ax2 图象
位置开
口方向
对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
图象 性质
抛物线 轴 对 称 图 形
开口方向及大小
重点关注4 个方面
对称轴 顶点坐标
增减性
课后作业
见《学练优》本课时练习
y
二次项系数互为相反数， 在对称轴的左侧, y随x的增大而
,
列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
(1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝x－2
开口相反，大小相同，它 （3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的最 值 .
3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是
影部分的面积之和．
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
坐标及增减性等；
2．掌握二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象的平移规律． 课堂导入
一个运动员打高尔夫球，如果球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数
解析式为 y＝－510(x－25)2＋12，那么高尔夫球飞行过程中的最大高度是多少？
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
(3)当 y＝1.5 时，1.5＝－34(x－1)2＋3， 解得 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2， 故当 0<m<1＋ 2时，才不会淋湿衣裳．
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
8．[2018·湘潭]如图 22-1-16，点 P 为抛物线 y＝14x2 上的一动点．
后的铅球沿一段抛物线轨迹运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离为 4 m.
(1)求这个二次函数的解析式． (2)该同学把铅球推出去多远？ 图 22-1-14
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
解：(1)设二次函数的解析式为 y＝a(x－4)2＋3， 把(0,0.6)代入，得 0.6＝a(0－4)2＋3，a＝－230， ∴y＝－230(x－4)2＋3. (2)当 y＝0 时，0＝－230(x－4)2＋3， 解得 x1＝4＋2 5，x2＝4－2 5(舍去)． 答：该同学把铅球推出去(4＋2 5) m.
2．[2017·金华]对于二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象与性质，下列说法正确的 是( B )
A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2 B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2 C．对称轴是直线 x＝－1，最小值是 2 D．对称轴是直线 x＝－1，最大值是 2
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二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
年级：九年级学科：数学主备：龚汉平审核：班级：姓名：
一、阅读课本：P6—8
二、学习目标：
1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；
3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．
三、探索新知：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．观察图象得：
把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．四、理一理知识点
1．
2．抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线y ＝2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
因此，把抛物线y ＝ax 2向上平移k （k ＞0）个单位，就得到抛物线_______________； 把抛物线y ＝ax 2向下平移m （m ＞0）个单位，就得到抛物线_______________． 3．抛物线y ＝－3x 2与y ＝－3x 2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________．
五、课堂巩固训练
2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________． 3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
4．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________ 六、目标检测
2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－1
3 x 2＋3向___________平移_________个单
位得到的．
3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．
4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．。