普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第五章 角动量

第五章 角动量

习题解答

5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 近=439km,远地点高度d 远=2384km,地球半径R 地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。

解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对地心的角动量守恒

m 月v 近（d 近+R 地）=m 月v 远（d 远+R 地）

v 近/v 远=（d 远+R 地）/（d 近+R 地）

=（2384+6370）/（439+6370）≈1.29

5.1.2 一个质量为m 的质点沿着j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+=

的空间曲线运动，其中a 、b 及ω皆为常数。

求此质点所受的对原点的力矩。

解： 0

)ˆsin ˆcos (ˆsin ˆcos /ˆcos ˆsin /222222=⨯-=⨯=-==-=+-=--==+-==r r m F r r m a m F r j t b i t a j t b i t a dt v d a j t b i t a dt r d v ωτωωωωωωωωωωωωω

5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场

j t i t t F ˆ)612(ˆ)43(2-+-= 中运动，其中t 是时间。该质点在t=0时位于原点，且速度为零。求t=2时该质点所受的对原点的力矩。

解：据质点动量定理的微分形式，)1()(===m v d v m d dt F

dt j t i t t v d ]ˆ)612(ˆ)43[(2-+-=∴

k

k k k i

j k j i j j i i j i j i F r j i j i F j

i j i r j t t i t t r dt t t j dt t t i r d dt

j t t i t t dt v r d j t t i t t v dt t j dt t t i v d r t t t t v ˆ40)ˆ(44ˆ18)2(ˆˆˆ,ˆˆˆ,0ˆˆˆˆ)

ˆ18ˆ4()ˆ4ˆ()2()2()2(ˆ18ˆ4ˆ)6212(ˆ)2423()2(ˆ4ˆˆ)2322(ˆ)22()2(ˆ)32(ˆ)()(ˆ6)2(ˆ]ˆ)(6ˆ)2[(ˆ)(6ˆ)2()612(ˆ)43(ˆ34

34

2342333244123332441

0002232232230020-=-⨯+⨯-=∴-=⨯=⨯=⨯=⨯+⨯+-=⨯=+=-⨯+⨯-⨯=+-=⨯-⨯+⨯-⨯=-+-=-+-=-+-==-+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ττ

5.1.4地球质量为

6.0×1024kg ，地球与太阳相距149×106km ，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。 解：606024365)10149(2100.62

924

2⨯⨯⨯⨯⨯⨯===πωr m mvr L s kgm /1065.21060

602436514920.6240422

⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=π

5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。

解：v r m p r L

⨯=⨯= k

mab k t ab k t ab m j t b i t a j t b i t a m ˆ)ˆsin ˆcos ()ˆcos ˆsin ()ˆsin ˆcos (22ωωωωωωωωωωω=+=+-⨯+=

5.1.6根据5.1.3题所给的条件，求质点在t=2时对原点的角动量。

解：)2()2()2()2()2(v r m p r L

⨯=⨯= k

j j i ˆ16ˆ12)ˆ4ˆ(134

-=⨯+-⨯=

5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g 小球，沿半径 为40cm 的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N 。如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm 的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？

解：设小球的质量为m=10×10-3kg,原来的运动半径为R 1=40cm,运动

速率为v 1;后来的运动半径为R 2=10cm,运动速率为v 2.

i ˆj ˆk ˆ

先求小球原来的速率v 1：据牛顿第二定律，F=mv 12/R 1，所以，

s m m F R v /2.010/104.0/2311=⨯==--

由于各力对过小孔的竖直轴的力矩为零，所以小球对该轴的角动量守恒，m v 1R 1=m v 2R 2，v 2=v 1R 1/R 2=0.2×0.4/0.1=0.8m/s

在由R 1→R 2的过程中，只有拉力F 做功，据动能定理，有

J v v v v m v v m mv mv A F 3221

1212212

1222121212221

103)2.08.0)(2.08.0(10))(()(--⨯=-+⨯=-+=-=-=

5.1.8 一个质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，其位置矢量为

j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，其中a 、b 和ω是正常数，试以运动学和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。

证明：

r

j t b i t a dt v d a j t b i t a dt r d v 222ˆsin ˆcos /ˆcos ˆsin /ωωωωωωωωω-=--==+-== ⑴运动学观点：

k mab k t mab k

t mab L k i j j i j j i i j t b i t a m j t b i t a v m r L ˆˆsin ˆcos ˆ)ˆ(ˆˆˆ,0ˆˆˆˆ)

ˆcos ˆsin ()ˆsin ˆcos (22ωωωωωωωωωωω=+=∴=-⨯=⨯=⨯=⨯+-⨯+=⨯= 显然与时间t 无关，是个守恒量。 ⑵动力学观点： ∵0)(22=⨯-=-⨯=⨯=⨯=r r m r m r a m r F r

ωωτ,∴该质点角动量守恒。

5.1.9 质量为200g 的小球 B 以弹性绳在光滑水平面上与固定点A 相连。弹性绳的劲度系数为8 N/m ，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度v 0如图所示。当小球

的速率变为v 时，它与A 点的距离最大，且等于800mm ，求此时的速

率v 及初速率v 0.

解：设小球B 的质量m=0.2kg,原来与固定点A 的距离r 0=0.4m,当

速率为v 时，与A 点距离r =0.8m,弹性绳自由伸展的长度为d =0.6m.

小球B 的速率由v 0→v 的过程中，作用在小球B 上的力对过A 点轴的力矩之和始终为零，因而小球对A 点的角动量守恒，有

r 0mv 0sin30º= rmv (最大距离时，)v r ⊥ （1）

另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，

)2()(221221

2021

mv d r k mv +-=

为求解方便，将⑴⑵化简，并代入已知数据可得：

)'2(6.1)'1(42200v v v v +==

解此方程组，求得：v 0 ≈1.3 m/s v ≈0.33 m/s