高三公开课《利用导数研究函数的单调性》课件
若a<0,f（x）的单调增区间为（ln(-a),+）
四．[归纳总结] 1.求函数的单调区间方法一： ①确定函数y＝f(x)的定义域； ②求导数y′＝f′(x)； ③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2.求函数的单调区间方法二： ①确定函数y＝f(x)的定义域； ②求导数y′＝f′(x)， 令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间 内的一切实根； ③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各 实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x) 的定义区间分成若干个小区间； ④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相 应区间内的单调性．
解得x<k-1 f（x）的单调增区间为（k-1,+） f（x）的单调减区间为（-，k -1）
变式练习：
1.函数f(x) =(3-x 2 )e x的单调增区间是( D )
A.(,0) C.(, 3)和（1， +）
2.函数f(x) =xe x的单调增区间是( A )
B.(0, ) D.( 3,1) B.(, 1] D.(,1]
二．知识要点
1.在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任 意子 区间内都不恒等于0. f′(x) > 0⇔f(x)在(a，b)上为 增 函数． f′(x) < 0⇔f(x)在(a，b)上为 减 函数．
2. 求函数的单调区间的步骤： ①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y＝f′(x)； ③解不等式f′(x) > 0，解集在定义域内的部分为 单调 增 区间； ④解不等式f′(x) < 0，解集在定义域内的部分为 单调 减 区间．
x 5 3 (2)由(1)可知f(x) = ln x (x 0) 4 4x 2 1 5 1 x2 4 x 5 f(x)= (x 0) 2 2 4 4x x 4x 令f (x)>0,即x 2 -4x-5>0 解得x>5 令f (x)<0,即x 2 -4x-5<0 解得0<x<5 f（x）的单调增区间为（5,+） f（x）的单调减区间为（0,5）
变式练习：
1.已知函数
f (x) e ax 1
x
,求 f(x)的单调区间.
解：f(x)的定义域为R,f(x)=e x a 若a 0，则f(x)=e x a 0 f(x)的增区间为（-， +） 若a<0 令f (x)>0,即e x +a>0,解得x>ln(-a) 令f (x)<0,即e x a 0, 解得x<ln(-a) f（x）的单调增区间为（ln(-a),+） f（x）的单调减区间为（-，ln(-a)） 综上所述当a 0，f(x)的增区间为（-， + ） f（x）的单调减区间为（-，ln(-a))
1．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝ f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为( C )
3 1 A. , [1,2) 2 2 1 C. ,1 [2,3) 3 1 4 8 B. 1, [ , ] 2 3 3 3 1 4 8 D.( , 1] [ , ] [ ,3] 2 2 3 3
五．作业布置 1.蓝本P37例二（第一节） 2.蓝本P37互动探究2（第一节） 3.课时训练P19第9题（第一节） 补充作业 （２０１３全国新课标文）4.已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x， 曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性。
4.解：(1)f (x)的定义域为（0， +） 1 2 a f (x) x a ln x f '(x) x 2 x 曲线y f (x)在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行 a 3 f '(2) 2 a 1 2 2
1 2 (2)由(1)可知f(x) = x ln x ( x 0) 2 1 x2 1 f(x)=x x x 令f (x)>0,即x 2 -1>0 解得x>1 令f (x)<0,即x 2 -1<0 解得0<x<1 f（x）的单调增区间为（1,+） f（x）的单调减区间为（0,1）
一．考纲要求 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间(其中多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件；会用导数求函数的极大值、极小 值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求 闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项 式函数一般不超过三次).
例二.已知函数f(x)＝(x－k)ex，求f(x)的单调区间
解：f(x)的定义域为R e x +(x-k)(ex ) f(x)=(x-k)
x =e （ x -k+1） x 令f (x)>0,即e （ x -k+1）>0
解得x>k-1
x 令f (x)<0,即e （ x -k+1）<0
变式练习：
1 2 2.函数 y x ln x 2
的单调递减区间为
3.函数f(x) =x3 x 2 x的单调增区间是
(0,1) (, )
.
1 2 x a ln x 4.已知函数 f (x) 2 若f（x）在x=2处的切线与直线3x﹣2y+1=0平行求f（x）的单
调区间.
A.[1, ) C.[1, )
例三．（2012年全国课标卷文）设函数 求 f(x)的单调区间.
f (x) e ax 2,
x
解：f(x)的定义域为R,f(x)=e x a 若a 0，则f(x)=e x a 0 f(x)的增区间为（-， +） 若a>0 令f (x)>0,即e x -a>0,解得x>lna 令f (x)<0,即e x a 0, 解得x<lna f（x）的单调增区间为（lna,+） f（x）的单调减区间为（-，lna） 综上所述当a 0，f(x)的增区间为（-， +） 若a>0,f（x）的单调增区间为（lna,+） f（x）的单调减区间为（-，lna）
三．典型例题：
例一P36（2014•重庆）已知函数
x a 3 f (x) ln x ，其中 4 x 2
a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂 1 直于直线 y= x． 2 （Ⅰ）Байду номын сангаасa的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间.
解：(1)f (x)的定义域为（0， +） x a 3 1 a 1 f (x) ln x f '(x) 2 4 x 2 4 x x 曲线y f (x)在点（1，f(1)）处的切线垂直于 1 直线y= x 2 1 5 f '(1) a 1 2 a 4 4
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新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第四章第二节利用导数研究函数的单调性pptx课件北师大版
第四章
第二节 利用导数研究函数的单调性
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.结合实例,借助几何直观了
解函数的单调性与导数的关
系.
2.能利用导数研究函数的单
调性,会求函数的单调区间.
3.能够利用导数解决与函数
单调性有关的问题.
衍生考点
核心素养
1.研究不含参函数的
单调性
数学抽象
+1
(2)若-1≤a<0,由于 ≤0,所以
+1
(- )
.
2
+1
,
+∞
+1
0,
.
f'(x)<0,即 f(x)的单调递减区间是(0,+∞).
;
+1
(3)若 a<-1, >0,当 x∈
当 x∈
+1
, +∞
+1
0,
时,f'(x)>0,所以 f(x)的单调递增区间是
且g(-2)=g(2)=2f(2)=0,g(0)=0.因为f(x)>0,所以当x>0时,由g(x)=xf(x)>0得
2.讨论含参函数的单
逻辑推理
调性
数学运算
3.与导数有关的函数
数学建模
单调性的应用
强基础 增分策略
知识梳理
1.函数的单调性与其导数的关系
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系:
(1)若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内,函数
第二节 利用导数研究函数的单调性
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.结合实例,借助几何直观了
解函数的单调性与导数的关
系.
2.能利用导数研究函数的单
调性,会求函数的单调区间.
3.能够利用导数解决与函数
单调性有关的问题.
衍生考点
核心素养
1.研究不含参函数的
单调性
数学抽象
+1
(2)若-1≤a<0,由于 ≤0,所以
+1
(- )
.
2
+1
,
+∞
+1
0,
.
f'(x)<0,即 f(x)的单调递减区间是(0,+∞).
;
+1
(3)若 a<-1, >0,当 x∈
当 x∈
+1
, +∞
+1
0,
时,f'(x)>0,所以 f(x)的单调递增区间是
且g(-2)=g(2)=2f(2)=0,g(0)=0.因为f(x)>0,所以当x>0时,由g(x)=xf(x)>0得
2.讨论含参函数的单
逻辑推理
调性
数学运算
3.与导数有关的函数
数学建模
单调性的应用
强基础 增分策略
知识梳理
1.函数的单调性与其导数的关系
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系:
(1)若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内,函数
导数应用—单调性课件
边际分析
导数在经济学中常用于进行边际分析，例如边际成本、边际收益和边际效用等。通过求导，可以确定企业在一定 条件下的最优产量或价格策略。
04
导数与单调性的综合应用
导数在研究复杂函数单调性中的应用
判断函数单调性
通过求导数，可以判断函 数的单调性，进而研究函 数的极值、拐点等特性。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，通过导数的符 号变化，可以确定函数的 极值点。
导数计算方法
通过求极限或使用导数基 本公式来计算导数。
单调性的定义与分类
单调性定义
函数在其定义域内，对于任意两点x1和x2，当x1<x2时，若函数值f(x1)≤f(x2) ，则称函数在此区间内单调递增；反之，若f(x1)≥f(x2)，则称函数在此区间内 单调递减。
单调性分类
根据单调性的定义，可以将单调性分为递增和递减两类。
单调性与不等式
导数可以用来证明不等式 ，通过研究函数单调性， 可以推导出不等式的正确 性。
导数在解决多变量问题中的应用
最值问题
导数可以用来求多变量函数的最 值，通过求导数并令其为零，可
以找到函数的最值点。
优化问题
导数可以用来解决优化问题，通过 求导数并找到最优解，可以找到最 优的参数配置。
动态分析
导数与单调性的关系
单调递增的导数条件
当函数的导数大于0时，函数在此区 间内单调递增。
单调递减的导数条件
单调性与导数的关系总结
导数的符号决定了函数的单调性，通 过判断导数的符号可以判断函数的单 调性。
当函数的导数小于0时，函数在此区 间内单调递减。
02
导数在研究函数单调性中的应用
导数在判断函数单调性中的应用
导数在经济学中常用于进行边际分析，例如边际成本、边际收益和边际效用等。通过求导，可以确定企业在一定 条件下的最优产量或价格策略。
04
导数与单调性的综合应用
导数在研究复杂函数单调性中的应用
判断函数单调性
通过求导数，可以判断函 数的单调性，进而研究函 数的极值、拐点等特性。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，通过导数的符 号变化，可以确定函数的 极值点。
导数计算方法
通过求极限或使用导数基 本公式来计算导数。
单调性的定义与分类
单调性定义
函数在其定义域内，对于任意两点x1和x2，当x1<x2时，若函数值f(x1)≤f(x2) ，则称函数在此区间内单调递增；反之，若f(x1)≥f(x2)，则称函数在此区间内 单调递减。
单调性分类
根据单调性的定义，可以将单调性分为递增和递减两类。
单调性与不等式
导数可以用来证明不等式 ，通过研究函数单调性， 可以推导出不等式的正确 性。
导数在解决多变量问题中的应用
最值问题
导数可以用来求多变量函数的最 值，通过求导数并令其为零，可
以找到函数的最值点。
优化问题
导数可以用来解决优化问题，通过 求导数并找到最优解，可以找到最 优的参数配置。
动态分析
导数与单调性的关系
单调递增的导数条件
当函数的导数大于0时，函数在此区 间内单调递增。
单调递减的导数条件
单调性与导数的关系总结
导数的符号决定了函数的单调性，通 过判断导数的符号可以判断函数的单 调性。
当函数的导数小于0时，函数在此区 间内单调递减。
02
导数在研究函数单调性中的应用
导数在判断函数单调性中的应用
导数与函数的单调性课件
答案:A
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
利用导数研究函数的单调性-高三数学(新高考)一轮复习PPT优质公开课
∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，1a时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和a1，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；
②当 a＝1 时，1a＝1， ∴f′(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当 a>1 时，0<1a<1，
设 G(x)＝x12－2x，所以 a≥G(x)max，而 G(x)＝1x－12－1， 因为 x∈[1,4]，所以1x∈41，1， 所以 G(x)max＝－176(此时 x＝4)， 所以 a≥－176，又因为 a≠0，
所以 a 的取值范围是－176，0∪(0，＋∞)．
[变式探究] 本例中，若 f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求 a 的取值范围．
(2)已知 a≥0，函数 f(x)＝(x2－2ax)ex，若 f(x)在[－1,1]上是减函数， 则 a 的取值范围是________．
答案：43，＋∞ 解析：f′(x)＝[x2－2(a－1)x－2a]·ex，因为 f(x)在[－1,1]上是减函 数，所以 f′(x)≤0 对 x∈[－1,1]恒成立，所以 x2－2(a－1)x－2a≤0 对 x∈[－1,1]恒成立．设 g(x)＝x2－2(a－1)x－2a，所以gg－ 1≤1≤ 0，0， 所 以11＋ －22aa－ －11－ －22aa≤ ≤00， ， 解得 a≥34.
当 a>1 时，函数 f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在a1，1上 单调递减．
[变式探究] 把本例中的参数 a 的范围改为 a∈R，结果如何？
解：a>0 时，讨论同上；
第1课时 利当用导数a≤研究0函数时的，单调a性x－1<0，
第1课时 第1课时
②当 a＝1 时，1a＝1， ∴f′(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当 a>1 时，0<1a<1，
设 G(x)＝x12－2x，所以 a≥G(x)max，而 G(x)＝1x－12－1， 因为 x∈[1,4]，所以1x∈41，1， 所以 G(x)max＝－176(此时 x＝4)， 所以 a≥－176，又因为 a≠0，
所以 a 的取值范围是－176，0∪(0，＋∞)．
[变式探究] 本例中，若 f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求 a 的取值范围．
(2)已知 a≥0，函数 f(x)＝(x2－2ax)ex，若 f(x)在[－1,1]上是减函数， 则 a 的取值范围是________．
答案：43，＋∞ 解析：f′(x)＝[x2－2(a－1)x－2a]·ex，因为 f(x)在[－1,1]上是减函 数，所以 f′(x)≤0 对 x∈[－1,1]恒成立，所以 x2－2(a－1)x－2a≤0 对 x∈[－1,1]恒成立．设 g(x)＝x2－2(a－1)x－2a，所以gg－ 1≤1≤ 0，0， 所 以11＋ －22aa－ －11－ －22aa≤ ≤00， ， 解得 a≥34.
当 a>1 时，函数 f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在a1，1上 单调递减．
[变式探究] 把本例中的参数 a 的范围改为 a∈R，结果如何？
解：a>0 时，讨论同上；
第1课时 利当用导数a≤研究0函数时的，单调a性x－1<0，
第1课时 第1课时
高考数学一轮复习-用导数研究函数的单调性ppt课件
恒成立，即 ≥
恒成立，又 =
在 , +∞ 上单调递减，故
< ，所以
+
+
+
≥ ，当 = 时，导数不恒为0.故选D.
02
研考点 题型突破
题型一 不含参数的函数的单调性
典例1 函数y = xln x(
D )
A.是严格增函数
B.在
1
0,
e
上是严格增函数，在
1
, +∞
e
上是严格减函数
为 , .故选A.
（2）函数f x
[解析] 函数
或 =
2
x2
0,
= x 的增区间为________.
ln 2
2
⋅ − ⋅ ⋅
= ，则′ =
，当
.
.令′ = ，解得 =
∈ −∞, 时,′ < ,函数 单调递减，当 ∈ ,
（2）已知函数f x = ex − e−x − 2x + 1，则不等式f 2x − 3 >
3
, +∞
1的解集为_________.
2
[解析] = − − − + ，其定义域为，
∴ ′ = + − − ≥ ⋅ − − = ，当且仅当 = 时取“=”，∴ 在
在 a, b 上单调递减，则当x ∈ a, b 时，f′ x ≤ 0恒成立.
2.若函数f x 在 a, b 上存在增区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x > 0有解；若函数f x
在 a, b 上存在减区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x < 0有解.
高考数学专题复习《利用导数研究函数的单调性》PPT课件
∴g(x)是R上的增函数.
又g(0)=f(0)-1=2 019,
∴g(x)>2 019的解集为(0,+∞),
即不等式exf(x)>ex+2 019的解集为(0,+∞).故选D.
解题心得利用导数比较大小或解不等式的常用技巧
利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利
用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式的问题.
对点训练3(1)设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f'(x)>g'(x),则当a<x<b时,有(
A.f(x)>g(x)
B.f(x)<g(x)
C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
)
(2)(2021年1月8省适应性测试)已知a<5,且ae5=5ea,b<4,且be4=4eb,c<3,且
e
2 +1
2
e
B.
2 +1
2
e
>
ln3 +1
D.
3
+1
e
>
>
ln3 +1
3
2 +1
+1
e
2
e
>
(2)(2020河北保定二模,文12)设函数f(x)是定义在R上的函数,其导函数为
f'(x),若f(x)+f'(x)>1,f(0)=2 020,则不等式exf(x)>ex+2 019的解集为(
导数的应用一单调性课件
•导数的应用一单调性
1．在某个区间(a，b)上，若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间上 单调递增；若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间上单调递减；若 f′(x) ＝0 恒成立，则 f(x)在这个区间上为常数函数；若 f′(x)的符号不 确定，则 f(x)不是单调函数．
•导数的应用一单调性
请注意！ 利用导数求单调性是高考的重要热点： 1．若 f(x)在区间(a，b)上为减函数不能得出在(a，b)上有
f′(x)<0； 2．划分单调区间一定要先求函数定义域； 3．单调区间一般不能并起来.
•导数的应用一单调性
•导数的应用一单调性
函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内 可导 ，若 f′(x) > 0，则 f(x) 为增函数；若 f′(x) < 0，则 f(x)为减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的 定义域 ； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x) > 0(或 f′(x) < 0)，解出相应的 x 的范围； ④当 f′(x)>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当f′(x)<0时， f(x)在相应区间上是减函数．
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ln2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x f′(x) f(x)
(－∞，0) 0 (0，ln2)
＋
0
－
极大值
ln2 (ln2，＋∞)
0
＋
极小值
由表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln2)，递增区间为(－ ∞，0)，(ln2，＋∞)．
•导数的应用一单调性
例 2 (2011·北京)已知函数 f(x)＝ 间．
1．在某个区间(a，b)上，若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间上 单调递增；若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间上单调递减；若 f′(x) ＝0 恒成立，则 f(x)在这个区间上为常数函数；若 f′(x)的符号不 确定，则 f(x)不是单调函数．
•导数的应用一单调性
请注意！ 利用导数求单调性是高考的重要热点： 1．若 f(x)在区间(a，b)上为减函数不能得出在(a，b)上有
f′(x)<0； 2．划分单调区间一定要先求函数定义域； 3．单调区间一般不能并起来.
•导数的应用一单调性
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函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内 可导 ，若 f′(x) > 0，则 f(x) 为增函数；若 f′(x) < 0，则 f(x)为减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的 定义域 ； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x) > 0(或 f′(x) < 0)，解出相应的 x 的范围； ④当 f′(x)>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当f′(x)<0时， f(x)在相应区间上是减函数．
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ln2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x f′(x) f(x)
(－∞，0) 0 (0，ln2)
＋
0
－
极大值
ln2 (ln2，＋∞)
0
＋
极小值
由表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln2)，递增区间为(－ ∞，0)，(ln2，＋∞)．
•导数的应用一单调性
例 2 (2011·北京)已知函数 f(x)＝ 间．
《导数与函数的单调性》示范公开课教学课件
点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
（1）
（2）
O
x
（3）
（3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数； 而y′＝3x2，若x≠0，其导数y′＝3x2＞0，当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0．
Ox （4）
新知探究
导入新课
问题 5．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数 的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解． 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢？
问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）函数y＝ 1 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在 x
（0，＋∞）上单调递减；
而y′＝
1 x2
，因为x≠0，所以y′＜0．
典例分析
小结：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，在表 示这些区间时不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字 隔开．
典例分析
例3 求函数f（x）＝xex的单调区间．
解：根据题意有 f′（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex．
令f′（x）＞0，可得（x＋1）ex＞0，因为ex＞0恒成立， 所以x＋1＞0，因此x＞－1， 令f′（x）＜0，可得（x＋1）ex＞0，解不等式可得x＜－1． 因此，可知函数f（x）的单调递增区间为［－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1］．
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
（1）
（2）
O
x
（3）
（3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数； 而y′＝3x2，若x≠0，其导数y′＝3x2＞0，当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0．
Ox （4）
新知探究
导入新课
问题 5．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数 的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解． 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢？
问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）函数y＝ 1 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在 x
（0，＋∞）上单调递减；
而y′＝
1 x2
，因为x≠0，所以y′＜0．
典例分析
小结：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，在表 示这些区间时不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字 隔开．
典例分析
例3 求函数f（x）＝xex的单调区间．
解：根据题意有 f′（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex．
令f′（x）＞0，可得（x＋1）ex＞0，因为ex＞0恒成立， 所以x＋1＞0，因此x＞－1， 令f′（x）＜0，可得（x＋1）ex＞0，解不等式可得x＜－1． 因此，可知函数f（x）的单调递增区间为［－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1］．
《函数单调性与导数》课件
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
在运动学中，导数可以用来描述 物体的速度和加速度。例如，自 由落体运动中，物体的速度和加
速度可以通过求导得到。
热传导
在热力学中，导数可以用来描述 热量传递的过程。例如，通过求 导得到温度场的变化率，可以帮
助我们理解热传导的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描 述物体的应力应变关系。例如， 通过求导得到物体的应力分布和 应变状态，可以帮助我们理解物
调性
利用导数的符号变化，确定函数 在某区间内的增减性
通过求解一阶导数的不等式，判 断函数的单调性
利用导数判断函数单调性的方法
直接求导
对于已知函数，直接求导并分 析导数的符号变化
利用导数的几何意义
通过导数的几何意义，绘制函 数图像，直观判断函数的单调 性
构造新函数
通过构造函数并求导，利用导 数判断新函数的单调性来研究 原函数的单调性
成本效益分析
导数可以用来分析企业的成本效益，从而制定最优的经营策略。例如，通过求导找到最小 化成本或最大化的利润点，可以帮助企业制定合理的价格和产量策略。
投资组合优化
在金融领域，导数可以用来优化投资组合，以实现最大的收益或最小的风险。例如，通过 求导找到最优的投资组合比例，可以帮助投资者实现资产配置的目标。
详细描述：导数的计算方法包括定义法、求导公式和法则、复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数求导等。
03
利用导数判断函数单调性
导数与函数单调性的关系
导数大于零，函数单 调递增
导数等于零，函数可 能为极值点或拐点
导数小于零，函数单 调递减
单调性判定定理的推导
基于极限的导数定义，通过分析 函数在某区间的变化率来判断单
高三数学导数与函数的单调性PPT优秀课件
【解析】（1）错误.f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，反之 不一定．如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增，但 f′(x)≥0．所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分条件， 但不是必要条件． (2)错误．一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一 个. (3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极 大值可能比极小值大，也可能比极小值小.
极极值大点值. 极小值
极大值点 极小值点
（3）导数与极值
x f′(x) y=f(x)
(a,x0) +
增加
x f′(x) y=f(x)
(a,x0) -
减少
x0 0 极大值
x0 0 极小值
(x0,b) -
减少
(x0,b) +
增加
3.函数极值与最值的求法 (1)求可导函数y=f(x)极值的步骤： ①求出导数f′(x)； ②解方程f′(x)=0； ③对于方程f′(x)=0的每一个解x0，分析f′(x0)在x0左、右两 侧的符号（即f（x）的单调性），确定极值点：若f′（x）在 x0两侧的符号“_________”，则x0为极大值点；若f′（x） 在x0两侧的符号“左_正__右__负____”，则x0为极小值点；若f′（x） 在x0两侧的符号_____，则x0不是极值点.
(4)错误.对可导函数f(x)，f′(x0)=0只是x0点为极值点的必要条 件，如y=x3在x=0时f′(0)=0，而函数在R上为增函数，所以0 不是极值点． (5)正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极 值. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
1．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的递增区间为( )