格林函数方法-PPT精选
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§10.3格林公式-PPT课件
2 2 2 3 3 3 C x y a 例 1 ． 求 由 星 形 线 ： 所 围 成 的 面 积 A 。
3 x a cos t , 0 t 2 解 ： C 的 参 数 方 程 为 （ ） 。 3 y a sin t ,y
1 A xdy ydx 2C
X 型 Y 型 又 是 作 辅 助 线 把 D 分 成 两 个 既 是 的 区 域 y F D 和 D ， 1 2
D1
Q P ( x y )dxdy
D
A
D2
B
E
o Q P Q P ( ) dxdy ( ) dxdy ： （ 1 ） 若 D 既 是 。
D {( x , y ) y ( x ) y y ( x ), a x b } ， 1 2
P ∵ 连 续 ， y y y y (x ) 2 b y ( x ) P P N C 2 dxdy dx dy ∴ y ( x ) y a yA D B 1
4.用格林公式求平面图形的面积
Q P Pdx Qdy ( ) dxdy 若 在 中 ， C x y
D
P ( x , y ) y Q ( x , y ) x 取 ， ， 则 得
ydx xdy 2 dxdy , C
D
1 A xdy ydx ∴ 。 （ 其 中 A 是 区 域 D 的 面 积 。 ） C 2
P [ x ,y ( x )] P [ x ,y ( x )]} dx { 1 2
a b
P ∴ P ( x , y ) dx dxd 。 ① C y
D
D { ( x , y ) x ( y ) x x ( y ), c y d } 又 设 ， 1 2
738-第三节 格林公式及其应用-PPT精选文档
解 用格林公式。 记右半圆域为 D。 A Q P ( )dxdy 原式 x y D D
OA
OA
L
D
3dxdy
D
3 2 1 . 3| D | 0 sinydy cos 2
2
5/23
OA : x 0
D
例2. 求 (2x y4 )dx (3x5y6 )dy , L:
L
(0 ,0 ) 、 (3 ,0 ) 、 (3 ,2 )为 顶 点 的 三 角 形 ， 的 顺 边 时针方向。 D。 解 用格林公式。 记 相 应 三 角 域 为
原式
D
Q P ( ) dxdy x y D
L
3) 在 D 上， Pdx Qdy 与路径无 ；
AB
4) 在 D 上， Pdx Qdy 是某个函数的全 ( x, y) （ Qdy 是一个原函 . 数 即 有原函数 (x ,y ) Pdx
0 0
8/23
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
P d xQ d y P dxQ dy AB A
21/23
r
x
Q P d x d y P d x Q d y 格林公式 x y D L
用格林公式易证： xOy 面上有界闭区 D 的面
| D| xdy D ydx
D
1 xdy ydx . 2 D
x a cos 所围面积 : ( 0 2 π) 例如, 椭圆 L y b sin 1 A x d y y d x 2L 2 π 1 2 2 πab ( ab cos ab sin ) d 0 2
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
《格林函数方法》课件
04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
第四章格林函数法课件
特点：除 M0(x0,y0,z0)点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。
PPT学习交流
2
二维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x,y)ln ln
rM M 0
(xx0)2(yy0)2
特点：除 M0(x0, y0) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
n
n
从而得证
1
1 1 u (M )
Ò u (M 0) 4
[u (M ) ( )
nrM M 0 rM M 0
]d S n
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8
4 调和函数的基本性质
性质1：设 u ( x, y , z ) 在有界区域 内为调和函数，且在
上有一阶连续偏导数，则
Ò
u n
dS
0
证：令 v 1 将 u , v 代入第二Green公式即可。
uv
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11
证明：用反证法
若在 内有 u v ，即 uv0 ，而在边界上 uv0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。
推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
u0, u f
(x, y,z)
证明：设 u 1 和 u 2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足
由极值原理， u 0
u0, u 0
于是
r rMM0
r2 MM0
2
乙 u n(rM 1 M 0)d S1 2 u d S1 24 2u4 u
乙 rM 1M0 u ndS1 u ndS4 u n
PPT学习交流
7
代入上式，得
Ò [u( 1)1u]dS4 u4 u0
数学物理方程 格林函数法优秀课件
由格林第三公式，得
u (,,) ( u n u n )d s u d V(7 )
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
而 在 u dV un d s 中 ，f( xun,y在,z边)d界V 和 上的 值u 未 n知ds，因 此(须x,进y,一z)步 n处d理s.。
( 1 1 )
将（10）和（11）带入到（9），
G u d V ( u n u n ) d s B ( u n u n ) d s ( 9 )
得到
G u d V ( u n u n )d s u (x ,y ,z ) u n (x ,y ,z )
5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
设 { ( x ,y ,z ) |z 0 } , { ( x ,y ,z ) |z 0 } 考虑定解问题
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。
5.2.1 基本解
设 P0(,,)R3 ，若做点 P0(,, ) 放置一单位正电荷，
则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 0 ）
uf(x,y,z),(x,y,z) (1)
u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2 (2)
设 P0(,,)，则 P1(,,) 为 P 0 关于 的对称点。
G (P G , P 0)( P 0 ,,P (0 x ),,(yx ,,zy ), z )
《高等数学教学课件》 第三节 格林公式及其应 用31页PPT文档
L x2y2
c x2y2
2 0 co t((c so itt))2 n s (ssiti(tn )n 2 co t)d s t022co2ts22si2ntdt
2
0 dt2.
例 3、 计算 (ey1x 2)d y x(xyecoy)d s,其 y L 是 中 L 曲y线 11x2上A 从 (1,1)到 B (1,1)一.段
(1).A(D)Lydx
(2).A(D)Lxdy
(3).A(D)12
xdyydx
L
证明 ( 1 )令 .:P ( x ,y ) y ;Q ( x ,y ) 0
由 格 林:公 式 Q P
yd x P (x ,y)d x Q (x ,y)dy ( )dxdy dxdyA(D).
L
L
D x y
(2).L包含原点 ,按逆时针方向
令:c: xy csion tts20
x d yy dx x d yy dx
P (x ,y )d x Q (x ,y )dy
Lx 2 y 2 cx 2 y 2 L c
由格林公式 Q P
( )dxdy 0dxdy0.
D x y
D
xdyydx xdyydx
证明与引1的 理证明类. 似
实际上引 2的理 条(件 1)可推广: 为 D是有界闭,L区 是D 域 的正向边界则结 正论 确 . 依然
格林公式：
定 理(格 林 公 式 )、设
(1).D是 有 界 闭,区 L是域D的 分 段 光 滑 的 正曲向线 ;边 界
(2)函 . 数P(x, y),Q(x, y)在D上 有 连 续 的 偏. 导 数
b P (x ,y )d xa[P (x , 1 (x ) )P (x , 2(x )d ).]x
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(x ) 0S(x ) n G (x ,x )d S —— 第一类边值问题
(x )0SG (x ,x ) n(x )d S —— 第二类边值问题
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相应格林函数问题：V0 内x 点上有单位点电荷，
边界上 G(x ,x ) 0解为 (x ) G (x ,x ) S
（2）二者的联系由格林第二公式给出
( 2 2) d V ( ) d S ( ) d
V
S
S n n
设 满足泊松方程，为V内电势
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二、格林函数 三、用格林函数求解一般的边值问题
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本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的 某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重 要的工具。
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解 的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。
格林函数的对称性 G (x ,x ) G (x ,x )（偶函数）
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（1）无界空间中的格林函数 x上单位点电荷在无穷空间中激发的电势
(x ) G (x ,x )1
1
x到 x的距离 40 (x x )2 (y y )2 (z z )2
r(x x )2 (y y )2 (z z )2
R
（它在 OP 连线上，题中b对应这里的
2 0
2
R
x
2
0）
R
P Prx R 0 2x R 2R 0 42RR 0 2cos
R 2
R 2
R 2
∵ Q 1Q R 0 Q R 0 (b R 0 2 R R 0 2 )
R R a R
G (x r,x r)(x r)1[
1
40 R 2 R 2 2 R R c o s
V( x ) d x V( x x ) d 1 V ( x V )
2．常用公式
V f( x )( x x ) d x f( x ) ( x V )
点电荷的泊松方程：设电势为
2(x)Q(xx) 0
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单位点电荷产生的电势
2(x)(x 0x)
VG(x,x)2(x)dV
1
0
G(x,x)(x)dV
V
(x)2G(x,x)dV
G(Vx,x) 0
1
0
(x)(xx)dV 1(x)
V
0
S
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∴ (x ) V G (x ,x )(x )d V 0S(x ) n G (x ,x )d S
球坐标中
G (x ,x )410 r40 1 x x （偶函数）
21 4 (x x ) G (x ,x ) r
显然满足点电荷泊松方程。
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（2）上半空间的格林函数
(x r)G(x r,x r)410[1 rr1]
r (xx)2(yy)2(zz)2 r (xx)2(yy)2(zz)2
（3）球外空间的格林函数 设点电荷Q = 1 坐标为 P(x,y,z)
观察点为 P(x, y,z)
Rx x2y2z2
R x x2y2z2
R0 R（ R 相当于题中的 a ）
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P P rx x R 2 R 2 2 R R c os
设假想点电荷在 P，它的坐标为 R
V[ 为2G 格((x xS 林[,)G x 函)( 数x ,2 G (x x0)( () x x （ ),( n x 为 x ) 讨)( x 论 )方2 (G x 便2 ) G x (G x 与 ( ,x (n xx x ,)0互,x d ] x )V 换)]d ）S
1
]
(RR)2 R0
R02
2RRcos
co cs c o o s ss i sn i c n o ) s(
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三、用格林函数求解一般的边值问题
1. 第一类边值问题求解的格林方法
（1）V内有电荷分布 (x)
(x) 。满足 2
，
S 给定，求V内
（真空情况）
空间区域V上的边界条件
S
0
或
常数 n S
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2. 格林函数 G(x,x)
对于静电场的点电荷问题
(x ) G (x ,x ) 称为静电场的格林函数
（ G 2(G x,(x x ),x ) 0或(x G 0 (xx ,x))
常数）
2只对 Sx微商。 n S
只要知道相应问题的
即可得到 (x)
G(x,x) 和
(x)
S
2．第二类边值问题解的格林函数方法
（1）求V内V有内电荷(x分)布相应(x格) 林，函S上数问 n 题S 给定，
G(x, x) n
S
常数（
x在S上）
（2） ( x ) V G ( x ,x )( x ) d V 0 S G ( x ,x ) n ( x ) d S S
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只要知道 G(x,x)和 ，即可马上得到 (x)
n S
3．格林函数方法求解讨论
（1）G(x,x) 的求解本身也不是一件很容易的事
情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。
电象法是求解格林函数的有效方法之一。
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的
边值问题。由 0
设V内电荷分布 已知，
① 给定V边界S上的各点电势 S
② 或给定边界S上法向分量
n S
求V内各点电势值。
—— 第一边值问题 —— 第二边值问题
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一、点电荷密度的 函数表示
1. 处( 于x x) 点上( 的x 单 位x 点)电[一荷般的密( 度x ) Q (x x )]
(x )0SG (x ,x ) n(x )d S —— 第二类边值问题
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相应格林函数问题：V0 内x 点上有单位点电荷，
边界上 G(x ,x ) 0解为 (x ) G (x ,x ) S
（2）二者的联系由格林第二公式给出
( 2 2) d V ( ) d S ( ) d
V
S
S n n
设 满足泊松方程，为V内电势
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二、格林函数 三、用格林函数求解一般的边值问题
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本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的 某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重 要的工具。
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解 的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。
格林函数的对称性 G (x ,x ) G (x ,x )（偶函数）
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（1）无界空间中的格林函数 x上单位点电荷在无穷空间中激发的电势
(x ) G (x ,x )1
1
x到 x的距离 40 (x x )2 (y y )2 (z z )2
r(x x )2 (y y )2 (z z )2
R
（它在 OP 连线上，题中b对应这里的
2 0
2
R
x
2
0）
R
P Prx R 0 2x R 2R 0 42RR 0 2cos
R 2
R 2
R 2
∵ Q 1Q R 0 Q R 0 (b R 0 2 R R 0 2 )
R R a R
G (x r,x r)(x r)1[
1
40 R 2 R 2 2 R R c o s
V( x ) d x V( x x ) d 1 V ( x V )
2．常用公式
V f( x )( x x ) d x f( x ) ( x V )
点电荷的泊松方程：设电势为
2(x)Q(xx) 0
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单位点电荷产生的电势
2(x)(x 0x)
VG(x,x)2(x)dV
1
0
G(x,x)(x)dV
V
(x)2G(x,x)dV
G(Vx,x) 0
1
0
(x)(xx)dV 1(x)
V
0
S
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∴ (x ) V G (x ,x )(x )d V 0S(x ) n G (x ,x )d S
球坐标中
G (x ,x )410 r40 1 x x （偶函数）
21 4 (x x ) G (x ,x ) r
显然满足点电荷泊松方程。
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（2）上半空间的格林函数
(x r)G(x r,x r)410[1 rr1]
r (xx)2(yy)2(zz)2 r (xx)2(yy)2(zz)2
（3）球外空间的格林函数 设点电荷Q = 1 坐标为 P(x,y,z)
观察点为 P(x, y,z)
Rx x2y2z2
R x x2y2z2
R0 R（ R 相当于题中的 a ）
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P P rx x R 2 R 2 2 R R c os
设假想点电荷在 P，它的坐标为 R
V[ 为2G 格((x xS 林[,)G x 函)( 数x ,2 G (x x0)( () x x （ ),( n x 为 x ) 讨)( x 论 )方2 (G x 便2 ) G x (G x 与 ( ,x (n xx x ,)0互,x d ] x )V 换)]d ）S
1
]
(RR)2 R0
R02
2RRcos
co cs c o o s ss i sn i c n o ) s(
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三、用格林函数求解一般的边值问题
1. 第一类边值问题求解的格林方法
（1）V内有电荷分布 (x)
(x) 。满足 2
，
S 给定，求V内
（真空情况）
空间区域V上的边界条件
S
0
或
常数 n S
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2. 格林函数 G(x,x)
对于静电场的点电荷问题
(x ) G (x ,x ) 称为静电场的格林函数
（ G 2(G x,(x x ),x ) 0或(x G 0 (xx ,x))
常数）
2只对 Sx微商。 n S
只要知道相应问题的
即可得到 (x)
G(x,x) 和
(x)
S
2．第二类边值问题解的格林函数方法
（1）求V内V有内电荷(x分)布相应(x格) 林，函S上数问 n 题S 给定，
G(x, x) n
S
常数（
x在S上）
（2） ( x ) V G ( x ,x )( x ) d V 0 S G ( x ,x ) n ( x ) d S S
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只要知道 G(x,x)和 ，即可马上得到 (x)
n S
3．格林函数方法求解讨论
（1）G(x,x) 的求解本身也不是一件很容易的事
情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。
电象法是求解格林函数的有效方法之一。
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的
边值问题。由 0
设V内电荷分布 已知，
① 给定V边界S上的各点电势 S
② 或给定边界S上法向分量
n S
求V内各点电势值。
—— 第一边值问题 —— 第二边值问题
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一、点电荷密度的 函数表示
1. 处( 于x x) 点上( 的x 单 位x 点)电[一荷般的密( 度x ) Q (x x )]