湖北省荆州中学、宜昌一中两校2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
D．若 m ∥ ， n ，则 m ∥ n
6 ． 数 列 an 满 足 2an an1 an1 ， S n 是 数 列 an 的 前 n 项 和 ， a2 , a2019 是 函 数
f (x) x 2 6x 5 的两个零点，则 S2020 的值为（ ）
点 (1, 4) 到直线 AB 的距离 d 4 12 34 18 ,
5
5
( 18.
SABC ) min
15 2
解：（Ⅰ）由 a
b
(18 5
2
2) 4 sin
. cos
9,
得 sin cos
1,
4
4
(sin cos )2 1 2sin cos 1 1 3 , sin cos 6 .
21.（本小题满分
12 分）已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，Sn
2an
9 2n
,n N
* , bn
an
3 2n
.
（Ⅰ）求证：数列bn 为等比数列，并求出数列an 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数
，对任意 m, n N ，不等式 Sm
bn
恒成立？若存在，求出
x0 7 2
y0 2 2
x0
y0
2x 7 2y 2
，
由 (x0 1)2 ( y0 4)2 4 得 (2x 7 1)2 (2 y 2 4)2 4 ，
即 D 点的轨迹方程为 (x 4)2 ( y 3)2 1 .
（Ⅱ）计算得 AB 5 , 直线 AB 为 4x 3y 34 0,
荆州中学、宜昌一中 2019 年秋季学期
高二期末联考
数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1．
复数 z
2 3i 1i
（ i 为虚数单位）的虚部为（
）
A． 1 2
B． 1 i 2
5
C．
2
D． 5 i 2
2． a (2, m,0) ， b (1,3, n 1) ，若 a // b ,则 m n （ ）
A． 6
B． 7
C． 8
D． 9
3．
x2
椭圆
y2
1的焦距为 4，则 m 的值为（
）
m8
A．12
B．4
C．12 或 4
D．10 或 6
4． 曲线 y 1 x3 2x 3 在点（1， 4 ）处的切线的倾斜角为（ ）
11．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，满足 b c cos B cos C ， bc 8 ，则
a
sin A
ABC 的周长的最小值为( )
A． 3
B． 3 3 2
C． 4
D． 4 4 2
12．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1
程为（ ）
1
A．（x 2）2 +（y 1）2 =5
B．（x+2）2 +（y+1）2 =20
C．（x 4）2 +（y 2）2 =5
D．（x+4）2 +（y+2）2 =2
9．已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ,准线为 l ，点 M (2, y0 ) 在抛物线 C 上， M 与直
5
由
PF1
PF2
4 2a 得 a 2 ,椭圆 C 的方程为 x2 4
y2 3
1.
x2
（Ⅱ）联立
4
y2 3
1
，设 A(x1, y1)B(x2, y2 ) ,
y kx 2
得 (4k 2 3)x2 8 2kx 4 0 ,
x1
x2
8 4k 2
2
16.若点 P 是椭圆 C : x2 y2 1 上任意一点，点 A, B 分别为椭圆 C 的上下顶点，若直线 25 16
PALeabharlann 、PB的倾斜角分别为
、
，则
cos( cos(
) )
.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（本小题满分 12 分）若圆 M 的方程为 (x 1)2 ( y 4)2 4 ，△ ABC 中，已知 A(7,2) , B(4,6) ,
C． 10 1
D． 10 1
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分;把答案填在对应题号的横线上.）
13. 如图，已知平行四边形 ABCD 中， AD 4, CD 3, D 600 , PA 平面
ABCD ，且 PA 6 ，则 PC
.
14.各项均为正数的数列an 满足 an2
a 0,b 0
的左右焦点分别为 F1, F2 ， P 为双曲线 C 上一点， Q
为双曲线 C 渐近线上一点， P, Q 均位于第一象限，且 QP PF2 ， QF1 QF2 0 ，则双曲线 C 的
离心率为（ ）
A． 5 1 B． 5 1
19.
（
本小题满分
12
分）已知椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) 的左右焦点分别是 F1, F2 ,点 P 在椭
圆 C 上， PF1 PF2 4 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 y 2x 3 相切.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若直线 l : y kx 2 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点，求实数 k ，使得以线段 AB 为直径的圆
2
3
k
,
x1x2
4 4k 2 3
,
由题意可知： OA OB 0 ，即 x1x2 y1 y2 0 ,
即 x1x2 ( 2x1 3)( 2x2 3) 0 ,
得 3x x 3 2(x x ) 9 0 , 1 2
12
[来源 :学 _科_网 Z_X_X_K]
的取值范围，
若不存在请说明理由．
22．（本小题满分 12 分）如图，已知抛物线 y2 2x ，过点 P(1,1) 分别作斜率为 k1 、 k2 的抛物线的 动弦 AB 、 CD ，设 M 、 N 分别为线段 AB 、 CD 的中点． （Ⅰ）若 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程； （Ⅱ）若 k1 k2 1 ，求证：直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标．
PM 平面 PAD ，
PM AD,PM 平面 ABCD .
又 BM
AD,MB, MD, MP 两两互相垂直. [来源 :Zxxk.C om]
以 M 为坐标原点， MB, MD, MP 分别为 x 轴， y 轴, z 轴的正方向，
6
建立如图所示的空间直角坐标系 M xyz . AD 4,CD 3 ，
3
3
A．
4
B．
3
C． 2 3
D． 3 4
5． 已知, 是两相异平面， m, n 是两相异直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若 m ∥ n ， m ，则 n
m m B．若
，
，则
∥
[来源 :学科 网 ZXXK]
C．若 m ， m ，则
an1
an
，且 a5
5 ，则
3 a1
2 a2
的最小值为
.
15.已知 A 、B 为圆 C : (x 1)2 ( y 1)2 5 上的两个动点，且 AB 4 ，点 D 为线段 AB 的中点，
对于直线 l : y k(x 1) 上任-点 P ，都有 PD 1，则实数 k 的取值范围是__________.
4
2018 级高二上学期期末考试数学试卷答案
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C
B
C
D
D
D
A
A
CC
D
A
[来源 :
二、填空题
13．7
24
14．
5
三、解答题
15． k 3 4
9
16．
41
17.解：（Ⅰ）设
D(x,
y ), C ( x0 ,
y0)
有
x
y
(2
3,0,0), MN (0, 1,1)
由
m
MB
0
，得
2
3x1
0
，取
m
(0,1,1)
,
m MN 0 y1 z1 0
BC
(
3, 2,0), BP (2
3,0, 2) ，
线 l 相切于点 E ，且 EMF ，则 M 的半径为( 3
A． 2 3
B． 4 3
C． 8 3
)
D． 16 3
10．如图，正方形 ABCD 沿对角线 AC 折叠之后，使得平面 BAC 平面
2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高二上学期11月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．若集合{}2|log 1M x x =<，集合{}2|10N x x =-≤，则MN =（ ）A ．{}|12x x ≤<B ．{}|12x x -≤<C ．{}|11x x -<≤D ．{}|01x x <≤【答案】D【解析】由题意得(0,2),[1,1],(0,1]M N M N ==-⋂=，选D. 2．复数z 满足(1)1z i i -=-，则复数z 的实部是（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D【解析】利用复数模的运算、除法的运算化简z ，由此求得复数z 的实部. 【详解】依题意1i -==所以)()()111122i z i i i +===+--+，故z 的实部为. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.3．已知向量(2,3)a =，(,4)b x =.若//()a a b -，则x =（ ） A ．38B ．83C ．12D ．2【答案】B【解析】先求得a b -的坐标，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得x 的值. 【详解】依题意()2,1a b x -=--，由于//()a a b -，所以()()23210x -⨯-⨯-=，解得83x =.故选：B. 【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.4．已知圆222212x y 60x y -6y 0C C ++=+=：，：，则两圆的位置关系为( ) A ．相离 B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【解析】由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关系，即可求解． 【详解】由题意，可知圆1C ，即为22((2)1x y +-=，表示以1C 为圆心，半径为1的圆，圆2C ，即为22(3)9x y +-=，表示以1(0,3)C 为圆心，半径为3的圆，2=等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选D. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 5．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89C ．79D ．79-【答案】C【解析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.6．若偶函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增， 且(3)0f =， 则不等式()0f x x<的解集是（ ） A ．()()3,03,-⋃+∞ B ．(,3)(0,3)-∞-⋃ C ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞ D ．(3,3)-【答案】A【解析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，画出()f x 大致图像，根据图像求得不等式()0f x x<的解集. 【详解】由于函数()f x 是偶函数，在区间(,0]-∞上单调递增， 且(3)0f =，所以()()330f f -==，且函数在[)0,+∞上单调递减.由此画出函数图像如下图所示，由图可知，能使()0f x x<，即()0x f x ⋅<，也即自变量和对应函数值异号的x 的解集是()()3,03,-⋃+∞.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 7．如图，在四面体ABCD 中，已知,AB AC BD AC ⊥⊥那么D 在面ABC 内的射影H 必在（ ）A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．ABC ∆内部【答案】A【解析】由,,AB AC BD AC ⊥⊥可得AC ABD ⊥平面，即平面ABC 内的射影H 必在平面ABC 与平面ABD 的交线AB 上，故选A8．过点()0,1P 的直线l 与圆()()22111x y -+-=相交于A ，B 两点，若AB =则该直线的斜率为（ ）A ．1± B． C．D ．2±【答案】A【解析】先由题意，设直线的方程为1y kx =+；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】由题意设直线l 的方程为1y kx =+，因为圆()()22111x y -+-=的圆心为()1,1，半径为1r =，又弦长AB =2d ===，2=，解得1k =±. 故选A 【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属于基础题型. 9．已知,x y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为（ ）A ．53 B ．103C ．32D ．3【答案】D【解析】【详解】试题分析：434311333x y x x y x y x x y x ++=+-≥=++,当且仅当433x x yx y x+=+时取等号，故选D.【考点】基本不等式. 【方法点晴】本题主要考查的基本不等式，属于中档题.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双勾函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.10．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( ) A ．4a ≤ B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥【答案】D【解析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围 【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选：D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．在ABC ∆中,30B =,3BC =,AB =点D 在边BC 上,点,B C 关于直线AD 的对称点分别为B ,C '',则BB C ''∆的面积的最大值为ABCD【答案】D【解析】解三角形，建立坐标系，设AD 斜率为k ，用k 表示出B ′纵坐标，代入面积公式得出面积关于k 的函数，根据k 的范围和函数单调性求出面积最大值． 【详解】由余弦定理可得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos B ＝12+9﹣2×3=3， ∴AC =AC 2+BC 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC ，以C 为原点，以CB ，CA 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设直线AD 的方程为y ＝kx当D 与线段AB 的端点重合时，B ，B '，C '在同一条直线上，不符合题意， ∴则k -＜，设B ′（m ，n ），显然n ＜0，则32213n m k n m k +⎧=⋅+⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得n =， ∵CC ′∥BB ′， ∴S △BB ′C ′＝S △BB ′C 11322BC n =⋅⋅=⨯=， 令f （k）=（k ＜），则f ′（k）()222333(1)k k +-=+， 令f ′（k ）＝0可得k =k =，∴当k ＜f ′（k ）＞0，当k 3-＜时，f ′（k ）＜0，∴当k =f （k ）取得最大值f （）=． 故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方法，属于较难题．二、多选题12．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项． 【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．三、填空题13．已知函数(),0{ln ,0x e x f x x x ≤=>，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________. 【答案】12【解析】由函数的解析式有：11ln 22f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 则：1ln 2111ln 222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______. 【答案】115【解析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可． 【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有210C =45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P 314515==， 故答案为：115【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15．过圆225x y +=上一点(2,1)M -作圆的切线， 则该切线的方程为______ ． 【答案】250x y --=【解析】求得圆心O 的坐标，进而求得直线OM 的斜率，从而求得过M 点的圆的切线的斜率，由此求得切线方程. 【详解】依题意圆心为()0,0O ，故12OM k -=，所以过M 点的圆的切线的斜率为2，由点斜式得切线方程为()()122y x --=-，即250x y --=. 故答案为：250x y --=. 【点睛】本小题主要考查过圆上一点的切线方程的求法，属于基础题.16的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA =，23ABC π∠=， 则球O 的表面积的最小值为________. 【答案】8π【解析】设出三角形ABC 的三边长，利用三棱锥P ABC -的体积列方程.计算出三角形ABC 的外接圆半径，由此计算出球O 的半径的表达式，并求得球O 的半径的最小值，进而求得其表面积的最小值. 【详解】设ABC ∆三条边长为,,AB c BC a AC b ===，则222222π2cos3b ac ac a c ac =+-=++①. 由于PA ⊥平面ABC ，所以三棱锥P ABC -的体积为112πsin 232366ac ⨯⨯==，所以1ac =②. 设ABC ∆的外心为1O ，球O 的球心为O .由正弦定理得ABC ∆外接圆的半径为112π22sin 3b r =⨯==由图可知，球O 的半径2222123PA b R r ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将①代入上式得2222111233a c ac ac acR ac +++=+≥+=+=，当且仅当1a c ==时等号成立.故球O 表面积的最小值为24π4π28πR =⨯=.故答案为：8π.【点睛】本小题主要考查有关几何体外接球表面积的最小值的计算，考查三棱锥的体积公式，考查基本不等式求最值，考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于中档题.四、解答题17．在ABC ∆中，a ， b ， c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin -sin )()(sin sin )a A B c b B C =-+.（1）求角C 的值：（2）设函数()cos sin()34f x x x π=⋅+-，求(A)f 的取值范围. 【答案】（1）60C =︒；（2）()11,22f A ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，进而求得C 的大小.（2）利用两角和的正弦公式、辅助角公式化简()f x 表达式，根据A 的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得()f A 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得：222a ab bc c b bc -=+--， ∴222a b c ab +-=，∴1cos 2C =，∴60C =︒. （2）()1cos sin 2f x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭()11cos 21sin 2sin 260422x x x +=+=+， ∵0120A ︒<<︒，60260300A <+<，∴()()111sin 260,222f A A ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，考查辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题. 18．已知圆22:2430C x y x y ++-+=.（1）若圆C 的切线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，求切线l 的方程； （2）若点(),P x y 是圆C 上的动点，求2=+t x y 的取值范围.【答案】（1）(2y x =或10x y ++=或30x y +-=；（2）t ≤≤ 【解析】（1）求出圆心和半径.当切线过原点时，设切线方程为y kx =，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 的值.当切线不过原点时，切线方程为x y a +=，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 的值.（2）将问题转化为直线20x y t +-=与圆C 有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】（1）由方程222430x y x y ++-+=知圆心为()1,2-，1︒当切线过原点时，设切线l 方程为y kx ==∴2k =±l方程为(2y x =.2︒ 当切线不过原点时，设切线l 方程为x y a +=，=∴1a =-或3a =，即切线l 方程为10x y ++=或30x y +-=.∴切线l方程为(2y x =±或10x y ++=或30x y +-=. （2）由题意可知，直线20x y t +-=与圆C 有公共点， 所以圆心()1,2-到直线20x y t +-=的距离d =≤即t ≤≤，即2=+t x y的取值范围是t ≤≤. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19．如图，ABCDFE 是由两个全等的菱形ABEF 和CDFE 组成的空间图形，2AB =，∠BAF ＝∠ECD ＝60°.（1）求证：BD DC ⊥；（2）如果二面角B －EF －D 的平面角为60°，求直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）7【解析】（1）取EF 的中点G ，连接BG 、DG ，,BF DE .利用菱形的性质、等边三角形的性质分别证得EF BG ⊥，EF DG ⊥，由此证得EF ⊥平面BDG ，进而求得EF BD ⊥，根据空间角的概念，证得BD DC ⊥.（2）根据（1）得到BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角，即60BGD ∠=︒，由此求得BD 的长.利用等体积法计算出D 到平面BCE 的距离h ，根据线面角的正弦值的计算公式，计算出直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值.【详解】（1）取EF 的中点G ，连接BG 、DG ，,BF DE .在菱形ABEF 中， ∵60BAF ∠=，∴BEF ∆是正三角形，∴EF BG ⊥，同理在菱形CDEF ，可证EF DG ⊥，∴EF ⊥平面BDG ，∴EF BD ⊥， 又∵//CD EF ，∴CD BD ⊥.（2）由（1）知，BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角，即60BGD ∠=︒，又BG GD ==BDG ∆是正三角形，故有BD =，如图，取DG 的中点O ，连接BO ，则BO DG ⊥，又由（1）得EF BO ⊥，所以，BO ⊥平面CDFE ，且32BO =，又BD CD ⊥，在直角BDC ∆中，BC =所以12BCE S ∆==，设D 到平面BCE 的距离为h ，则1134332B DCE DCE V BO S -∆=⋅=⨯=，1133D BCE BCE V h S h -∆=⋅⋅=⨯=h =，故直线BD 与平面BCE 所成角正弦值为h BD =.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率．【答案】（1）平均分68，众数65；（2）35【解析】（1）先求得成绩在区间[)80,90内的频率，然后根据平均数的计算公式，计算出平均分，利用最高的小长方形求得众数.（2）先求得[)80,90、[]90,100的人数，然后用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间[)80,90内的频率为()10.00520.0150.0200.045100.1-⨯+++⨯=.所以平均分0.05450.15550.45650.2075x =⨯+⨯+⨯+⨯0.10850.059568+⨯+⨯=，众数的估计值是65.（2）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”，由题意可知成绩在区间[)80,90内的学生所选取的有：0.01010404⨯⨯=人， 记这4名学生分别为a ，b ，c ，d ，成绩在区间[]90,100内的学生有0.00510402⨯⨯=人，记这2名学生分别为e ，f ， 则从这6人中任选2人的基本事件为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”的可能结果为：(),a e ，(),a f ，(),b e ，(),b f ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共9种，所以()93155P A ==． 故所求事件的概率为：35． 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查根据频率分布直方图估计平均数和总数，考查古典概型的计算，属于基础题.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为224x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若AB =l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =，NB nMB =，m ，n ∈R ，求m n +的值．【答案】（1）1y =+；（2）83m n +=【解析】（1）当直线l 斜率不存在时，AB .当直线l 斜率存在时，设出直线的斜截式方程，利用圆心到直线的距离以及弦长公式列方程，解方程求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程.（2）当直线l 斜率不存在时，求得,,N A B 的坐标，根据NA mMA =，NB nMB =，结合平面向量共线的坐标表示，求得,m n 的值，进而求得m n +的值.当直线l 斜率存在时，设出直线的斜截式方程，求得N 点坐标，联立直线l 的方程和圆的方程，写出韦达定理，结合平面向量共线的坐标表示，求得,m n 的表达式，进而求得m n +的值. 【详解】（1）1︒ 当直线l 的斜率不存在时，4AB =，不符合题意；2︒ 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，所以圆心O 到直线l的距离d =，因为AB =AB ==k = 所以直线l的方程为1y =+．（2）1︒ 当直线l 的斜率不存在时，不妨设()0,0N ，()0,2A ，()0,2B -， 因为NA mMA =，NB nMB =，所以()()0,20,1m =，()()0,20,3n -=-， 所以2m =，23n =，∴83m n +=. 2︒ 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为：1y kx =+，因为直线l 与x 轴交于点N ，所以1,0N k ⎛⎫-⎪⎝⎭．直线l 与圆O 交于点A ，B ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得()21230k x kx ++-=，∴12221k x x k +=-+，12231x x k =-+，因为NA mMA =，NB nMB =，所以()11111,,1x y m x y k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()22221,,1x y n x y k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以111111x k m x kx +==+，222111x k n x kx +==+， 所以12121211122x x m n k k x x x x ⎛⎫++=+⋅+=+⋅ ⎪⎝⎭128233k k =+⋅=， 综上83m n +=. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查根据弦长求直线方程，考查直线和圆相交，交点坐标的求法，考查平面向量共线的坐标表示，考查运算求解能力，属于中档题.22．已知函数()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2m =；（2）13a <?【解析】（1）利用奇函数的定义，由0x >时的解析式得0x <时，()()f x f x =--对应的解析式，即求出实数m 的值；（2）由（1）知函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以121a -<-≤，得实数的取值范围. 【详解】（1）设0x <，则0x ->，22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=---+-=+，所以2m =.（2）由()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩，知()f x 在区间[1,1]-上单调递增，所以121a -<-≤，解得13a <?. 【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性，属于基础题.。
19-20学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=1−i2+i(i为虚数单位)的虚部为()A. 15B. 35C. −35D. 35i2.已知两个向量a⃗=(2,−1,3),b⃗ =(4,m,n)，且a⃗//b⃗ ，则m+n的值为()A. 8B. 4C. 2D. 13.椭圆x2m +y29=1的焦距是2，那么实数m的值为()A. 5B. 5或13C. 8或10D. 104.曲线y=13x3−2在点(−1,−73)处的切线的倾斜角为()A. 30°B. 45°C. 135°D. −45°5.已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是()A. 若m//α，α∩β=n，则m//nB. 若m⊥α，m⊥β，则α//βC. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD. 若m//n，m⊥α，则n⊥α6.已知数列{a n}的前n项和S n=an2+bn(a,b∈R)，且S25=100，则a12+a14=()A. 16B. 8C. 4D. 不确定7.平面内到定点M(2,2)与到定直线x+y−4=0的距离相等的点的轨迹是()A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线8.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别A，B，O是坐标原点，则△AOB外接圆的方程为()A. (x−4)2+(y−2)2=20B. (x−2)2+(y−1)2=5C. (x+4)2+(y+2)2=20D. (x+2)2+(y+1)2=59.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M(2,y0)在抛物线C上，⊙M与直线l相切于点E，且∠EMF=π3，则⊙M的半径为()A. 23B. 43C. 83D. 16310.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将▵ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C−AB−D的平面角的大小为θ，则sinθ的值等()A. 34B. √74C. 3√77D. 4511.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足cosB=ca，则A为()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°12.已知P(1,√3)是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是()A. 2B. √2C. √5D. √52二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，已知PA⊥平面ABCD，则当PC⊥________时，AC⊥BD．14.已知数列{a n}满足a1=−2，a n+1=2+2a n1−a n，则a4=______ ．15.已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y−10=0上的动点，则|PQ|的最小值为______ ．16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32,A、B分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知定点A(−2,0)，点B是圆x2+y2−8x+12=0上一动点，求AB中点M的轨迹方程．18.己知向量a⃗=(sinθ,cosθ−2sinθ)，b⃗ =(1,2)．(1)若a⃗//b⃗ ，求sinθ⋅cosθ1+3cosθ的值；(2)若|a⃗|=|b⃗ |，0<θ<π，求θ的值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x−y+√6=0相切，过点P(4,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若原点O在以线段AB为直径的圆内，求直线l的斜率k的取值范围．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD=60°，M，N分别为AD，PA的中点．(Ⅰ)证明：平面BMN//平面PCD；(Ⅱ)若AD=6，CD=√3，求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值．21.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n，(n∈N∗)a n+3(1)求数列{a n}的通项公式a n，a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式(−1)nλ<T n对一切(2)若数列{b n}满足b n=(3n−1)n2nn∈N∗恒成立，求λ的取值范围．22.已知抛物线y2=−2px(p>0)的焦点为F，x轴上方的点M(−2,m)在抛物线上，且|MF|=5，直2线l与抛物线交于A，B两点(点A，B与M不重合)，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)当k1+k2=−2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：化简可得z=1−i2+i =(1−i)(2−i) (2+i)(2−i)=2−i−2i+i222−i2=1−3i5=15−35i，∴复数的虚部为：−35故选：C．化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．2.答案：B解析：本题考查了向量共线定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．a⃗//b⃗ ，则存在实数k使得a⃗=k b⃗ ，即可得出．解：∵a⃗//b⃗ ，∴存在实数k使得a⃗=k b⃗ ，∴{2=4k−1=km3=kn，解得k=12，m=−2，n=6．则m+n=4．故选B．3.答案：C解析：本题给出含有字母参数m的方程，在已知焦距的情况下求参数的值，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念，属于基础题．分椭圆的焦点在x轴或y轴两种情况，根据椭圆基本量的关系建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．解：①当椭圆焦点在x轴上时，a2=m，b2=9，得c=√m−9，∴焦距2c=2√m−9=2，解之得m=10．②椭圆焦点在y轴上时，a2=9，b2=m，得c=√9−m，焦距2c=2√9−m=2，解之得m=8．综上所述，得m=10或8．故选C．4.答案：B解析：x3−2的导数为y′=x2，解：y=13)处的切线的斜率为1，在点(−1,−73由tanθ=1，可得倾斜角为45°，故选B．求出导数，求得切线的斜率，由斜率和倾斜角的关系，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查直线的斜率和倾斜角的关系，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在A中，m与n平行或异面；在B中，由面面垂直的判定定理得α//β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β正确；在D中，由线面垂直的判定定理得n⊥α．解：由α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，知：在A中，∵m//α，α∩β=n，∴m与n平行或异面，故A错误；在B中，∵m⊥α，m⊥β，∴由面面垂直的判定定理得α//β，故B正确；在C中，∵m⊥α，m⊂β，∴由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，∵m//n，m⊥α，∴由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．故选：A．6.答案：B解析：由S n可知数列是等差数列，这样可以用等差数列前n项和表示S25，根据等差数列性质，很容易就得到结果．解：由数列{a n}的前n项和S n=a n2+b n(a、b∈R)，可得数列{a n}是等差数列，=100，S25=(a1+a25)⋅252解得a1+a25=8，∴a1+a25=a12+a14=8．故选B．7.答案：D解析：解：因为点A(2,2)位于直线x+y−4=0上，所以动点的轨迹为过A点与直线x+y−4=0垂直的直线．故选D．判断定点A与直线的位置关系，然后判断动点的轨迹．本题考查动点的轨迹方程的求法，逻辑推理能力，考查计算能力．注意本题与抛物线定义的区别，易错选A．8.答案：B解析：解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为(2,1)，OP=2√5，∴四边形AOBP的外接圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=5，∴△AOB外接圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=5，由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．9.答案：C解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义，设圆的半径为r，r=|ME|=|MF|=2+p2，过M作MA⊥x轴交于A，|AF|=|MF|2，则2−p2=12(2+p2)，得出p的值，即可得出圆M的半径．解：设圆的半径为r，r=|ME|=|MF|=2+p2，过M作MA⊥x轴交于A，则|AF|=2−p2∵∠EMF=π3，∴∠AMF=π6，则|AF|=|MF|2，即2−p2=12(2+p2)，得p=43，∴r=2+p2=2+23=83，故选C．解析：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角是解答本题的关键．根据已知中矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C−AB−D的平面角大小为θ，我们可以得到∠CAD是二面角C−AB−D的平面角，解三角形CAD即可得到答案．解：由AO⊥平面BCD，CD在平面BCD内，知AO⊥CD又CD⊥BC，且AO交BC于O，故CD⊥平面ABC又AB在平面ABC内，故CD⊥AB，又DA⊥AB，且CD交DA于D，故AB⊥平面ACD，又AC在平面ACD内，故AB⊥AC，又AB⊥AD故∠CAD是二面角C−AB−D的平面角在△CAD中，由CD⊥平面ABC，AC在平面ABC内，可知CD⊥AC又CD=3，AD=4，故sin∠CAD=CDAD =34故选A．11.答案：C解析：解：∵cosB=ca，∴由余弦定理可得：ca =a2+c2−b22ac，整理可得：a2=c2+b2，∴可得A=90°．故选：C．由已知利用余弦定理可得a2=c2+b2，根据勾股定理即可得解．本题主要考查了余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，属于基础题．12.答案：A解析：本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．根据双曲线线方程求出渐近线方程，将点P坐标代入，结合双曲线的性质即可求解．解：∵P(1,√3)是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)渐近线上的点，∴ba=√3，∴c2−a2a2=e2−1=3，解得e=2．故选A．13.答案：BD解析：本题考查线面垂直的判定定理和性质，属于基础题．根据PA⊥面ABCD，得到PA⊥BD，当PC⊥BD时，由线面垂直的判定定理，有BD⊥面PAC，从而可得答案．解：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，若当PC⊥BD时，由线面垂直的判定定理，有BD⊥面PAC，∴AC⊥BD．故答案为BD．14.答案：−25解析：解：由a1=−2，a n+1=2+2a n1−a n，得a2=2+2a11−a1=2+−41−(−2)=23，a3=2+2a21−a2=2+2×231−23=6，a4=2+2a31−a3=2+2×61−6=−25．故答案为：−25．在已知递推式中分别取n=1，2，3即可求得a4的值．本题考查了数列递推式，考查了学生的计算能力，是基础题．15.答案：1解析：求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题．解：圆心(0,0)到直线3x+4y−10=0的距离d=|−10|5=2．再由d−r=2−1=1，知最小距离为1．故答案为1．16.答案：1±√22解析：本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线的斜率公式，直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．由椭圆的离心率e=ca =√a2−b2a2=√1−b2a2=√32，求得a=2b，椭圆方程为：x2a2+4y2a2=1，整理得：y2 x−a =−14，则tanα=yx+a，tanβ=yx−a，tanα⋅tanβ=yx+a⋅yx−a=y2x−a=−14，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x2−x−14=0的两个根，x=1±√22，则tanα=1±√22，即可求得直线PA的斜率．解：由题意可知：A(−a,0)，B(a,0)，P(x,y)，椭圆的离心率e=ca =√a2−b2a2=√1−b2a2=√32，整理得：a=2b，∴椭圆方程为：x2a2+4y2a2=1，∴y2=a2−x24，则y2x2−a2=−14，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，∴k PA =tanα=y x+a，k PB =tanβ=yx−a ， ∴tanα⋅tanβ=yx+a ⋅yx−a =y 2x 2−a 2=−14，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1， ∴tanα，tanβ是方程x 2−x −14=0的两个根， 解得：x =1±√22， ∴直线PA 的斜率k PA =tanα=1±√22， 故答案为：1±√22． 17.答案：解：设点M(x,y)，点B(x 0,y 0).因为M 为AB 的中点，所以x =x 0−22，y =y 0+02.所以x 0=2x +2，y 0=2y.将点B(x 0,y 0)代入圆x 2+y 2−8x +12=0得(2x −2)2+4y 2=4，化简得(x −1)2+y 2=1.即点M 的轨迹方程为(x −1)2+y 2=1．解析：本题考查中点坐标公式、圆的方程、轨迹方程的求解，考查运算求解能力、化归与转化思想． 设出点M 的坐标，以及点B 的坐标，利用M 为线段AB 的中点建立关系式，求得涉及点B 的坐标参数的关系式，再代入圆的方程即可确定对应的点M 的轨迹方程． 18.答案：解：(1)∵a ⃗ //b ⃗ ，∴2sinθ=cosθ−2sinθ，∴4sinθ=cosθ， ∵cosθ≠0，∴tanθ=14，∴sinθ⋅cosθ1+3cos 2θ=sinθ⋅cosθsin 2θ+4cos 2θ=tanθtan 2θ+4=465(2)∵|a ⃗ |=|b ⃗ |，∴sin 2θ+(cosθ−2sinθ)2=5， ∴1−4sinθcosθ+4sin 2θ=5， ∴−2sin2θ+2(1−cos2θ)=4， ∴sin2θ+cos2θ=−1，∴sin(2θ+π4)=−√22∵0<θ<π，∴π4<2θ+π4<9π4，∴2θ+π4=5π4或2θ+π4=7π4，∴θ=π2或θ=3π4．解析：(1)由共线定理结合齐次式弦化切可求；(2)由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得sin(2θ+π4)=−√22，再结合三角函数的性质可得到结果．本题考查了平面向量的共线定理、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)由e =c a =12，得a 2−b 2a 2=14，可得a 2=43b 2，又b =√6√1+1=√3，∴b 2=3，a 2=4．故椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)由题意知直线l 方程为y =k(x −4)． 联立{y =k(x −4)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0． 由△=(−32k 2)2−4(4k 2+3)(64k 2−12)>0， 得k 2<14.①设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2−124k 2+3．∴y 1y 2=k(x 1−4)⋅k(x 2−4)=k 2x 1x 2−4k 2(x 1+x 2)+16k 2． ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆内，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2−4k 2(x 1+x 2)+16k 2 =(1+k 2)⋅64k 2−124k 2+3−4k 2⋅32k 24k 2+3+16k 2 =25−874k 2+3<0，② 由①②，解得−√35<k <√35．∴当原点O 在以线段AB 为直径的圆内时，直线l 的斜率k ∈(−√35,√35).解析：本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．(1)由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a 、b 的值，代入椭圆方程即可； (2)联立直线与椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围．20.答案：(Ⅰ)证明：连接BD ．∵AB =AD ，∠BAD =60°，∴△ABD 为正三角形． ∵M 为AD 的中点，∴BM ⊥AD ． 又∵AD ⊥CD ，CD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM//CD ，又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴BM//平面PCD ．∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN//PD ．又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN//平面PCD ． 又BM ，MN ⊂平面BMN ，BM ∩MN =M ， ∴平面BMN//平面PCD ； (Ⅱ)解：连接PM ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD =AD ，PM ⊂平面PAD ，又PM ⊥AD ， ∴PM ⊥平面ABCD ．又BM ⊥AD ，∴MB ，MD ，MP 两两互相垂直．以M 为坐标原点，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz ． ∵AD =6，CD =√3，∴M(0,0，0)，P(0,0，3)，A(0,−3,0)，N(0,−32,32)，B(3√3,0,0)，C(√3,3,0)． 设平面BMN 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面BCP 的一个法向量n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)． ∵MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√3,0,0)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−32,32)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{3√3x 1=0−32y 1+32z 1=0，取m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)． ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√3,0,3)，由{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2√3x 2+3y 2=0−3√3x 2+3z 2=0，取n⃗ =(√3,2,3)． ．∴平面BMN 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值为5√28．解析：本题主要考查面面平行的判定，以及二面角，关键是建立坐标系，求平面的法向量． (I)连接BD ，利用条件证明BM//平面PCD 以及MN//平面PCD ，再根据面面平行的判定定理可证； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角求平面BMN 与平面BCP 所成的锐二面角大小的余弦值．21.答案：解：(1)∵数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a na n +3，(n ∈N ∗)∴1a n+1=a n +3a n =3a n+1，∴1a n+1+12=3(1a n+12)，∴1an+1+12=(1a 1+12)⋅3n−1=3n 2．∴a n =23n −1.(4分)(2)∵a n =23−1，b n =(3n −1)n2n a n ， ∴b n =(3n −1)⋅n 2n ⋅23n −1=n ⋅(12)n−1，∴T n =1⋅1+2⋅(12)+3⋅(12)2+⋯+n ⋅(12)n−1，①12T n=1⋅12+2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+n ⋅(12)n ，② ①−②，得12T n =1+12+122+⋯+12n−1−n2n =1−(12)n1−12−n2n =2−n+22n，∴T n =4−n+22n−1.(8分)，∵T n+1−T n =(4−n+32n)−(4−n+22n−1)=n+12n>0，∴{T n }为单调递增数列，∵不等式(−1)n λ<T n 对一切n ∈N ∗恒成立， ∴①当n 为正奇数时，−λ<T n 对一切正奇数成立， ∴(T n )min =T 1=1，∴−λ<1，∴λ>−1； ②当n 为正偶数时，λ<T n 对一切正偶数成立， ∵(T n )min =T 2=2，∴λ<2． 综上知−1<λ<2.(12分)解析：(1)由已知条件推导出1a n+1+12=3(1a n+12)，从而得到1a n+1+12=(1a 1+12)⋅3n−1=3n 2.由此能求出结果．(2)由b n =(3n −1)⋅n2n ⋅23n −1=n ⋅(12)n−1，利用裂项求和法求出T n =4−n+22n−1，从而得到{T n }为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出λ的取值范围．本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用．22.答案：解：(Ⅰ)由抛物线的定义可以|MF|=p 2−(−2)=52，∴p =1，抛物线的方程为y 2=−2x ；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，点M 的坐标为(−2,2)， 当直线l 斜率不存在时，设A(x 0,y 0)，B(x 0,−y 0)，又k 1+k 2=y 0−2x 0+2+−y 0−2x 0+2=−4x 0+2=−2，故x 0=0,y 0=0，此时A,B 重合，舍去；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +b ， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立直线l 与抛物线{y =kx +by 2=−2x , 得k 2x 2+(2kb +2)x +b 2=0， Δ=8kb +4>0， x 1+x 2=−2kb−2k 2，x 1x 2=b 2k2，①又k1+k2=y1−2x1+2+y2−2x2+2=−2，即(kx1+b−2)(x2+2)+(kx2+b−2)(x1+2)=−2(x1+2)(x2+2)，即2kx1x2+(2k+b−2)(x1+x2)+4b−8=−2x1x2−4(x1+x2)−8，将①代入得，b2−b−2−2k(b+1)=0，即(b+1)(b−2−2k)=0，解得b=−1或b=2+2k，当b=−1时，直线l为y=kx−1，此时直线恒过(0,−1)，当b=2+2k时，直线l为y=kx+2k+2=k(x+2)+2，此时直线恒过(−2,2)(舍去)，∴直线l恒过定点(0,−1)．解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义以及直线与抛物线的关系，属于较难题．(Ⅰ)由抛物线的定义求出p，从而求出抛物线的方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知点M的坐标，当直线l斜率不存在时，此时A,B重合，舍去；当直线l斜率存在时，设直线l的方程，将直线l与抛物线联立得关系式，通过韦达定理得到x1+x2 ,x1x2的表达式，代入k1+k2=−2化简后的式子中，得到k和b关系，从而证出直线l恒过定点(0,−1)．。
2019～2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中高二上学期期末联考数学试题及答案
绝密★启用前湖北省荆州中学、宜昌一中2019～2020学年高二年级上学期期末联考质量检测数学试题2020年1月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 复数231i z i +=-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．12- B ．12i - C ．52 D ．52i 2． )0,,2(m a =，)1,3,1(-=n b ，若a //b ,则=+n m （ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 93． 椭圆2218x y m +=的焦距为4,则m 的值为（ ） A ．12B ．4C ．12或4D ．10或6 4． 曲线 32313+-=x x y 在点（1,34）处的切线的倾斜角为（ ） A ．4π B ． 3π C ．π32 D ．π43 5． 已知,αβ是两相异平面,,m n 是两相异直线,则下列结论错误的是（ ）A ．若m ∥n ,α⊥m ,则n α⊥B ．若α⊥m ,β⊥m ,则α∥βC ．若α⊥m ,β⊂m ,则αβ⊥D ．若m ∥α,n =⋂βα,则m ∥n6．数列{}n a 满足112+-+=n n n a a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,20192,a a 是函数56)(2+-=x x x f 的两个零点,则2020S 的值为（ ）A ．6B ．12C ．2020D ．60607．平面直角坐标系内,到点(2,3)A 和直线:280l x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 8．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别B A ,,O 为坐标原点,则OAB ∆的外接C AD B 圆方程为（ ） A ． 222+1=5x y --（）（） B ．22+2++1=20x y （）（） C ．224+2=5x y --（）（） D ．22+4++2=2x y （）（） 9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ,点0(2,)M y 在抛物线C 上,M 与直线l 相切于点E ,且3EMF π∠=,则M 的半径为( ) A ．23 B ． 43 C ． 83 D ．163 10．如图,正方形ABCD 沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ,则二面角B CD A --的余弦值为( )A ．2B ．12 C ．33 D ．5511．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,,满足C B a c b cos cos +=+,8sin =Abc ,则ABC ∆的周长的最小值为( )A ． 3B ．332+C ． 4D ．442+ 12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,P 为双曲线C 上一点,Q 为双曲线C 渐近线上一点,,P Q 均位于第一象限,且2QP PF =,120QF QF ⋅=,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．15-B ．15+C ．110-D ．110+二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分;把答案填在对应题号的横线上.）13. 如图,已知平行四边形ABCD 中,060,3,4=∠==D CD AD ,⊥PA 平面ABCD ,且6=PA ,则=PC .14.各项均为正数的数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+,且55=a ,则2123a a +的最小值为 .15.已知A 、B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上的两个动点,且4=AB ,点D 为线段AB。
湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末联考数学(文)试题含答案
宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期末联考高二(文科)数学 命题人： 审题人：（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1、若直线经过((1,0),3A B 两点，则直线AB 斜率为（ ）A.33B.1C.3 D ．－3 2、设变量,x y ，满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩错误！未找到引用源。
则目标函数4z x y =+的最大值为( )A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
3下列说法错误的是（ ）A.对于命题2:,10P x R x x ∀∈++>，则200:,10P x R x x ⌝∃∈++≤B.“1x =”是“2x -3x+2=0”的充分不必要条件C.若命题p q ∧为假命题，则p ,q 都是假命题D.命题“若2x -3x+2=0则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠则2≠x -3x+20”4、在空间中，两不同直线a 、b ，两不同平面α、β，下列命题为真命题的是（ ） A.若//,//a b a α，则//b αB. 若//,//,,a b a b ααββ⊂⊂，则//βαC. 若//,//b αβα，则//b βD. 若//,a αβα⊂，则//a β5.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（ ） A ．476 B ．152C ．233D ． 66.送快递的人可能在早上6:307:30-之间把快递送到张老师家里, 张老师离开家去工作的时间在早上7:008:00-之间, 则张老师离开家前能得到快递的概率为（ ）A ．12.5%B ．50%C ．75%D ．87.5%7、以两点(3,1)A --和(5,5)B 为直径端点的圆的方程是( ) A ．22(1)(2)25x y -+-= B ．22(1)(2)25x y +++= C ．22(1)(2)100x y +++= D ．22(1)(2)100x y -+-= 8、对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A ．46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56 D ．45,47,539、现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是( )A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样10、有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为（ ） A ．320 B ．25 C ．15 D ．31011、在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若1AB ，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．75° D ．105°12、已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ,使得线段1PF 的垂直平分线恰好过焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2[,1)3B ．[13,2] C ．1[,1)3 D ．1(0,]3二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13、已知直线（3a+2）x+（1－4a ）y+8＝0与（5a －2）x+（a+4）y －7＝0垂直，则a ＝14、已知一个回归直线方程为$45+ｙ=1.5x （x i ∈{1,5,7,13,19}），则y ＝________.15、下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是__________16、已知三棱锥ABC O -,A,B,C 三点均在球心为O 的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥ABC O -的体积为45,则球O 的表面积是__________ 三、解答题（70分）17、（本小题满分10分）已知0m >，p :()()260x x +-≤,q :22m x m -≤≤+ ． （I ）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围18（本小题满分12分）、已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．19、（本小题满分12分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，问该公司如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润?并求出最大利润．20、（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC=CD=CE=2，AD=BG=1.(1)求证：DE ⊥BC ； (2)求证：AG ∥平面BDE ；21 、（本小题满分12分）某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类，B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．(1)A 类工人中和B 类工人中各抽查多少工人？(2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1：生产能力分组 [100,110) [110,120)[120,130) [130,140) [140,150)人数48x 5 3表2：生产能力分组[110,120) [120,130)[130,140) [140,150)人数6y3618①先确定x ，y ，再补全下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图 图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．22．(本题满分12分）设P 是圆2225x y +=上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影，M 为线段PD 上一点,且45MD PD =， (1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C 所截线段的长度.宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期末联考高二（文科）数学参考答案一、选择题：二、填空题13、0或1 14、58.515、6316、64π三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．）17.解：（I ）:26p x -≤≤p Q 是q 的充分条件[]2,6∴-是[]2,2m m -+的子集022426m m m m m >⎧⎪∴-≤-⇒≥∴⎨⎪+≥⎩的取值范围是[)4,+∞ ………………………5分 （Ⅱ）当5m =时，:37q x -≤≤，由题意可知,p q 一真一假，……………6分p 真q 假时，由2637x x x x -≤≤⎧⇒∈∅⎨<->⎩或 ………………………7分p 假q 真时，由26326737x x x x x <->⎧⇒-≤<-<≤⎨-≤≤⎩或或 ………………………9分所以实数x 的取值范围是[)(]3,26,7--U ………………………10分18,解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k l ＝－1，即y′－yx′－x ×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x′＋x 2－y′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－4x ＋3y －95， ③y′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．………………………6分 (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0. ……………………12分19.设该公司当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为 ， ……………1分则根据条件得 ， 满足的约束条件为 ……………5分目标函数 ．……………6分作出约束条件所表示的平面区域如图，……………9分 然后平移目标函数对应的直线 （即 ）知，当直线经过直线 与的交点时，目标函数取得最大值，即……………12分答：该公司派用甲、乙型卡车的车辆数分别 辆和 辆时可获得最大利润 元．20. 证明：(Ⅰ)∵∠BCD =∠BCE =2π, ∴CD ⊥BC ， CE ⊥BC ， 又 CD ∩CE =C ， ∴BC ⊥平面DCE ， ∵DE ⊂ 平面DCE ， ∴DE ⊥BC . ……………6分(Ⅱ)如图，在平面BCEG 中，过G 作GN ∥BC ，交BE 于M ，交CE 于N ，连结DM ，则BGNC 是平行四边形， ∴CN =BG =21CE , 即N 是CE 中点, ∴MN =21BC=1 ， ∴MG ∥AD ,MG =21BC =AD=1 ，∴四边形ADMG 是平行四边形， ∴AG ∥DM ，∵DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ， ∴AG ∥平面BDE . ……………12分(2)①由4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5，6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. —————4分 频率分布直方图如下：图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图 —————6分图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小． —————9分 ②x A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123， x B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8， x ＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1. —————12分 22. （Ⅰ）设的坐标为，的坐标为，由已知得， 因为在圆上，所以，即的方程为. —————6分（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为。
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2.4有理数的加法与减法（一） 汽车在公路上行驶，规定向东为正，向西为负，据下列情况，分别列算式，并回答：汽车两次运动后方向怎样？离出发点多远？ （1）向东行驶5千米后，又向东行驶2千米，（2）向西行驶5千米后，又向西行驶2千米， （3）向东行驶5千米后，又向西行驶2千米，（4）向西行驶5千米后，又向东行驶2千米， （5）向东行驶5千米后，又向西行驶5千米， （6）向西行驶5千米后，静止不动， （+5）+（+2） （-5）+（-2） （+5）+（-2） （-5）+（+2） （+5）+（-5） （-5）+0 甲、乙两队进行足球比赛，如果甲队在主场以4∶1赢了3球，在客场以1∶3输了2球，那么两场累计甲队净胜多少球？ 如果把赢球记为“+”，输球记为“-”，可得算式：（+3）+（-2）=1 比赛中胜负难料，两场比赛的结果还可能哪些情况呢？动动手填表： 赢 球 数 净胜球数 算 式 主场 客场 +3 +2 -3 -2 -3 +2 +3 -2 +3 -3 0 -3 填写表中净胜球数和相应的算式 通过思考，你能举出一些应用有理数加法的实际例子吗？ 探索：两个有理数相加，和的符号及绝对值怎样确定？你能找到有理数相加的一般方法吗？ 说一说：两个有理数相加有多少种不同的情形？ 议一议：在各种情形下，如何进行有理数的加法运算？ 从加数的符号入手，有理数加法可以分成三种情况． 同号相加 异号相加 一个数与０相加 有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 异号两数相加，绝对值相等时，和为０；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 一个数与0相加，仍得这个数． 小试牛刀 例1、计算 （1）（＋8）＋(＋5) （2）（－8)＋(－5) （3）（＋8)＋(－5) （4） (－8)＋(＋5) （5） (－8)＋(＋8) （6） (＋8)＋0； ? 解：原式=+（8+5）=+13 解：原式=-（8+5）=-13 解：原式=+（8-5）=+3 解：原式=-（8-5）=-3 解：原式=0 解：原式=+8 做一做 计算 （1）（+10）+（-4）（2）（-15）+（-32） （3）（-9）+ 0 （4）43+（-34） （5）（-10.5）+（+1.3）（6）（-1/2）+1/3 例2.某公司三年的盈利情况如下表所示，规定盈利为 “ +”（单位：万元） （1）该公司前两年盈利了多少万元？ （2）该公司三年共盈利多少万元？ 第一年 第二年 第三年 -24 +15.6 +42 -24+15.6=-8.4 -24+15.6+42=-8.4+42=33.6 试一试 例3.判断 （1）两个有理数相加，和一定比加数大. （） （2）绝对值相等的两个数的和为0.（ ） （3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中 至少有一个是负数. ( ) × × √ 练一练 1.某仓库原有粮食80吨，第一天运进粮食54 吨，第二天又运出粮食32吨，现在仓库共有粮食多少吨？ 2.一个正数与一个负数的和是（ ）A、正数B、负数C、零D、以上三种情况都有可能 3.两个有理数的和（ ）A、一定大于其中的一个加数B、一定小于其中的一个加数C、大小由两个加数符号决定D、大小由两个加数的符号及绝对值而决定 1．有理数的加法与小学学的加法有什么联系与区别？ 小学的加法是有理数加法中的一种特例，即两个正数相加或正数与0相加． 与小学不同的是，有理数由符号与绝对值两部分组成，运算时既要考虑符号，也要考虑绝对值． 小 结 （1）分类型；（2）确定和的符号； （3）确定和的绝对值．2．有理数加法运算的一般步骤：。
湖北省宜昌市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)含答案
宜昌市第一中学2017年秋季学期高二年级期末考试理科数学试题考试时间：120分钟 考试满分：150分 命题人：李海峰 审题人：孙红波★祝考试顺利★一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.若1(2)(,)x i i y x y R i+=-∈，则x y +=A.1-B.1C.3-D.3 2.执行如图所示的程序框图，若输入1,3m n ==，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为A.1m n -<B.0.5m n -<C.0.2m n -<D.0.1m n -<3.某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y304050m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为ˆ 6.517.5yx =+，则表中m 的值为A.45B.50C.55D.60 4.已知、αβ是两个平面，直线,.l l αβ⊄⊄若以①l α⊥，②//l β，③αβ⊥中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个 5.“12m ≤-”是“x R ∀∈，使得13222x m x +->是真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，P 到其准线的距离为d ，Q 为圆22(4)1x y +-=上一个动点，d PQ + 的最小值是A.251B.252171172 7.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所 示，则该截面的面积为 A.92B.4C.3D.3328.下面给出的命题中： （1）已知函数0()cos af a xdx =⎰，则()12f π=； （2）“2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=互相垂直”的必要不充分条件；（3）已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=；（4）已知圆221:20C x y x ++=，圆222:10C x y +-=，则这两个圆恰有两条公切线.其中真命题的个数为A.1B.2C.3D.49.已知命题:p 函数20181()20181x xf x -=+是奇函数，命题:q 函数32()g x x x =-在区间(0,)+∞上单调递增，则下列命题中为真命题的是A.p q ∨B.p q ∧C.p q ⌝∧D.p q ⌝∨10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.()1,2 B ．()1,2- C ．()2,+∞ D ．[]2,+∞ 11.已知函数3()23f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在()1,0-与()0,1-内，则2a b-的取值范围是A.33(,)22- B ．3(,1)2-C ．13(,)22-D ．3(1,)212.已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，若()f x 满足：'(1)()()0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，22(2)()x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是 A ．(1)(0)f f < B ．(2)(0)f ef < C ．3(3)(0)f e f < D ．4(4)(0)f e f <二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
湖北省宜昌市第一中学、荆州中学2024-205学年高二上学期十月联考数学试卷
湖北省宜昌市第一中学、荆州中学2024-205学年高二上学期十月联考数学试卷一、单选题1．复数12z z ､满足1212z z z z +=，若11i z =-，则2z =（）AB ．1C D ．2．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间[]50,100内，按分数分成5组：[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（）A ．成绩在[)50,60上的人数最少B ．成绩不低于80分的学生所占比例为50%C ．50名学生成绩的极差为50D ．50名学生成绩的平均分小于中位数3．已知平面向量1e 和2e 满足21122,e e e == 在2e 上的投影向量为214e -，则2e 在1e 上的投影向量为（）A ．114e - B ．113e - C ．112e - D ．1e - 4．设,a b 为实数，若直线2ax by +=与圆221x y +=相切，则点(),P a b 与圆的位置关系（）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不能确定5．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则cos 2θ的值为（）A ．35B ．35-C ．15D ．15-6．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c =，则下列向量中与1B M相等的向量是（）．A ．1122a b c-++B ．1122++a b cC ．1122-+ a b cD ．1122--+ a b c7．在四边形ABCD 中，2AB BC ==，3AD =，90A CBD ∠=∠=︒，将BCD △沿BD 折起，使点C 到达点C '的位置，且平面C BD '⊥平面ABD .若三棱锥C ABD '-的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．17πB ．23πC ．25πD ．29π8．有5张未刮码的卡片，其中n 张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n 至少为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．下列说法不正确的是（）A ．“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”是“1a =-”的充分不必要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．若圆()222:(4)(4)0M x y r r -+-=>上恰有两点到点()1,0N 的距离为1，则r 的取值范围是()4,6D ．设b 为实数，若直线y x b =+与曲线x =11b -<≤10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C 为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（）A ．事件A 与事件B 相互独立B ．事件A 与事件B 互斥C ．()34P A B ⋃=D ．()5C 8P =11．如图，矩形ABCD 中，AD =AD ，BC 的中点分别为E ，F ，直线BE 交AC 于点G ，直线DF 交AC 于点H .现分别将ABE ，CDF V 沿BE ，DF 折起，点,A C 在平面BFDE 同侧，则（）A ．当平面AEB ⊥平面BEDF 时，AG ⊥平面BEDF B ．当平面//AEB 平面CDF 时，//AE CDC ．当,A C 重合于点P 时，二面角P DF B --的大小等于60︒D ．当,A C 重合于点P 时，三棱锥P BEF -与三棱锥P DEF -外接球的公共圆的周长为10π三、填空题12．已知空间向量()4,1,a λ=- ，()2,1,1b = ，()1,2,1c = ，若a ，b ，c共面，则实数λ=.13．若动直线1:30l mx y m --+=，圆22:(2)(4)3-+-=C x y ，则直线1l 与圆C 相交的最短弦长为．14．已知()()(){}()()(){}2222,|21,0,|21,0S x y x y m y x y x y m y =-+-=≥⋃-++=≥，()1,|2T x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，P S T = ，则下列结论中正确的是.①当12m =时，(){},|02,2S x y y ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋂==-+ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭；②当1m =时，P 有1个元素；③若P 有2个元素，则1,11,1m ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④若P 有4个元素，则m 无整数解；四、解答题15．2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+.(1)求角C 的大小；(2)若ABC Vc 的取值范围.17．已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，(1)求点M 的轨迹方程；(2)记（1）中所求轨迹为曲线C ，过定点()1,0的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，曲线C 的中心记为点C ，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．18．在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，AB AD ⊥，BC PA ⊥，222AB AD CD ===，PA 2PC =，E 是线段PB上的点．(1)求证：PC ⊥底面ABCD ；(2)是否存在点E 使得PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23若存在，求出BE BP的值；若不存在，请说明理由．19．蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q．(1)当0b =，r =12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；(2)①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想O 和O 的大小关系，并证明．。
湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题
【全国百强校】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若x 0,y 0>>，则x+y 1>是22x 1y +>的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件2．向量a ＝(1,2,)x , b ＝(2,,1)y -，若||a 且a b ⊥，则x y +的值为( ) A ．2- B ．2 C ．1- D ．13．若两直线3x+4y+3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为( )A B C ．25 D ．124．某中学高二(5)班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知3号，17号，45号同学在样本中，那么样本中另外一个同学的座号是( )A ．30B ．31C ．32D ．335．若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个 6．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ） A ．720种 B ．520种 C ．360种 D ．600种 7．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（ ）AB C ．D ．8．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为3655，则空白处应填入的条件是（ ）A ． i 9≤？B ．i 6？≤C ．i 9≥？D ． i 8≤？ 9．函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后为偶函数，设数列{}n a 的通项公式为()6n n a f π=，则数列{}n a 的前2019项之和为（ ） A ．0 B ．1 C ．32D ．2 10．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹（ ）A ．B ．C ．D ．11．春节期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“荆楚门户，秀丽荆门”、“三国故里，风韵荆州”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是（ ） A ．5081 B ．2081 C ．81125 D ．2712512．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．1(0,]2 C ．1,1) D ．1[,1)2二、填空题13．已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=4x+y 的最大值为____.14．给下列三个结论：①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”；②若2am b <2m ，则a b <的逆命题为真；③命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；其中正确的结论序号是_______________（填上所有正确结论的序号）．15．平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1AA =11120A AD A AB ∠=∠=︒，则对角线1BD 的长度为___.16．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和圆222()2b x y c +=+（c 为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是_____.三、解答题17．已知:p “k R ∀∈，直线1y kx =+与椭圆221y x a +=有两个不同的公共点”；q ：“0x R ∃∈，不等式00420x x a --≤成立”；若“p 且q”是假命题，“p 或q”是真命题，求实数a 的取值范围．18．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+（*n N ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 19．已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN π∠=，在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、.（Ⅰ）若a b c 、、依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（Ⅱ）若c =，ABC θ∠=，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值20．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点、、A B C 刚好是边长为3 cm 的等边三角形的三个顶点.（Ⅰ）第四次射击时，该运动员瞄准ABC ∆区域射击（不会打到ABC ∆外），则此次射击的着弹点距、、A B C 的距离都超过1?cm 的概率为多少？（弹孔大小忽略不计） (Ⅱ) 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5,8.5)内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5,10.5)内.现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a 和b ）进行技术分析.求事件“1a b ->”的概率.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =；（2）若1ACAB ⊥，160CBB ∠=︒，1AB BC ==，求二面角111A A B C --的余弦值的绝对值.22．已知椭圆C ：22221x y a b += （0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为2的直线与椭圆交于P 、Q 两点OP OQ ⊥，求直线l 的方程；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使得过点E 的任一直线与椭圆若有两个交点M 、N 则都有2211||||EM EN +为定值？若存在，求出点E 的坐标及相应的定值.参考答案1．B【分析】在第一象限中，画出1x y +>和221x y +>的范围，根据两者的包含关系判断充分、必要条件.【详解】在第一象限中，画出1x y +>和221x y +>的范围如下图所示，由图可知前者的范围包含后者的范围，故前者是后者的必要不充分条件条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查利用图像表示不等式，属于中档题.2．C【分析】利用a 的模求得x 的值，利用a b ⊥得到0a b ⋅=，求得y 的值，由此求得x y +的值.【详解】依题意212a =+=，解得0x =.由于a b ⊥，所以2200,1a b y y ⋅=++==-，故1x y +=-，所以选C.【点睛】本小题主要考查空间向量模的运算，考查两个空间向量垂直的坐标表示，属于基础题.3．D【分析】根据两条直线平行列方程，求得m 的值，再根据两条平行线的距离公式求得两直线间的距离.【详解】由于两条直线平行，故3460m -⨯=，解得8m =，即6810x y ++=，也即13402x y ++=，1312-=.故选D.【点睛】本小题主要考查两条直线平行的表示，考查两条平行线间的距离公式，属于基础题.对于直线1110A x B y C ++=和直线2220A x B y C ++=，如果两条直线平行，则有111222A B C A B C =≠，如果两条直线垂直，则有12210A B A B +=.再使用两条平行线距离公式时，要注意将两条直线的,A B 化为相同的数值.4．B【解析】试题分析：系统抽样抽取的数据构成等差数列，由抽中的号码3号，17号，45号可知样本中另外一个同学的座号是31考点：系统抽样5．A【详解】直线2244mx ny x y +=+=和圆22202m n >∴<+<点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆22m n +=2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆内，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2个 6．D【分析】分别计算甲乙只有一人参加、甲乙都参加两种情况下的发言顺序的种数，根据分类加法计数原理加和求得结果.【详解】甲、乙只有一人参加，则共有：134254480C C A =种发言顺序甲、乙都参加，则共有：322523120C A A =种发言顺序 根据分类加法计数原理可得，共有：480120600+=种发言顺序本题正确选项：D【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够通过分类的方式，分别计算两类情况的种数，属于常考题型.7．C【解析】x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0，0)到2x ＋y －15＝0的距离=d因此，公共弦长为.选C 8．A【分析】 运行程序，通过计算循环结构，当3655S =时，退出循环结构，由此确定空白处所填写的条件.【详解】运行程序，1,0i S ==，判断是，1,23S i ==，判断是，1111,33824S i =+==，判断是，111,4132435Si =++=⨯⨯⨯，判断是，1111,513243546S i =+++=⨯⨯⨯⨯，判断是，11111,61324354657Si =++++=⨯⨯⨯⨯⨯，判断是，111111,7132435465768Si =+++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，判断是，1111111,813243546576879S i =++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，判断是，11111111,913243546576879810S i =+++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，判断是，111111111,1013243546576879810911S i =++++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，此时111111111232435911S ⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭11111221011⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭3655=，需要退出程序，输出S 的值.故填“9?i ≤”，所以本题选A.【点睛】本小题主要考查程序框图，考查根据程序框图的输出值填写循环结构的条件，考查裂项求和法，属于基础题.9．B【分析】求得函数()f x 向左平移π6个单位后的函数，利用诱导公式求得ϕ的值，进而求得n a 的表达式，通过周期性求得n a 的前2019项和.【详解】函数()f x 向左平移π6个单位后得ππsin 2sin 263x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为偶函数，根据诱导公式可知πππ,326ϕϕ+==.故()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以n πn ππsin 636n a f ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数的周期性可知n a 是周期为6的周期数列，即每6项和为零，故2019201633123π5ππsinsin sin π1266S S S a a a +⎛⎫===++=+++= ⎪⎝⎭.故选B. 【点睛】 本小题考查三角函数图像变换，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数诱导公式，考查利用周期性求解数列的前n 项和.对于函数()sin y x ωϕ=+，当ππ2k k Z ，ϕ=+∈时，为偶函数，当πk k Z ϕ=∈，时，为奇函数，这个是利用诱导公式得到的.关于年份的问题，往往是有周期性的. 10．A 【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线得到结论. 【详解】根据题意可知PD DC =，则点D 符合“M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =”，设AB 的中点为N ，根据题目条件可知PAN CBN ∆≅∆，PN CN ∴=，点N 也符合“M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =”， 故动点M 的轨迹肯定过点D 和点N ，可排除,B C ，而到点P 与到点C 的距离相等的点的轨迹是线段PC 的垂直平分面， 线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线是一直线，故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于难题. 11．A 【分析】先求得基本事件的总数为53，5个同学分成三组的方法有两种：3,1,1或者2,2,1，分别计算出每种情况下事件的方法数，再相加求得符合“三个城市都有人选”事件的总数，根据古典概型概率计算公式计算出概率. 【详解】5个同学，随机任选3个城市，基本事件的总数为53.5个同学分成三组的方法有两种：3,1,1或者2,2,1.当按照3,1,1进行分组并排到三个城市的方法数有335310660C A ⋅=⨯=种，当按照2,2,1进行分组并排到三个城市的方法数有223533221036902C C A A ⨯⋅=⨯=种.故“三个城市都有人选”的事件有6090150+=种.所以三个城市都有人选的概率是515050381=，故选A. 【点睛】本小题主要考查利用古典概型计算事件的概率，考查分类加法计算原理，属于中档题.12．D 【解析】解：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等 |FA|=222222222222,[,][,]1{{11,21(0,1)[,1)2a b c PF a c a c c cb ac a c cac c b ac c cac c a c a c c ac c a c a a e e -=∈-+∈-+-≤≤+≤-≤-∴∴+≥-≤-≥∈∴∈于是，即13．14 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z =4x +y 得y =−4x +z ，平移直线y =−4x +z ，由图象可知当直线经过点B 时，直线的截距最大，此时z 最大，解得B （3,2）代入4z x y =+得最大值为14 故答案为14 14．① 【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识判断①是否正确；写出②的逆命题，然后利用特殊值判断②是否正确；根据否命题的知识判断③是否正确.由此得出正确的结论序号. 【详解】对于①，根据特称命题的否定是全称命题，并且否定的形式正确，故①正确.对于②，原命题的逆命题为：若a b <则22am bm <，当0m =时，上式不成立，故逆命题为假，故②错误.对于③，命题的否命题要同时否定条件和结论，故③错误.综上所述，正确的结论序号是①. 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，考查逆命题和否命题，属于基础题. 15．2 【分析】利用11BD AD AA AB =+-，两边平方后，利用向量数量积计算公式，计算得1BD . 【详解】对11BD AD AA AB=+-两边平方并化简得21BD 2221AD AA AB =++11222AD AA AD AB AA AB+⋅-⋅-⋅211212cos1200212cos1204=+++⨯⨯--⨯⨯=,故12BD =.【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查空间向量数量积的表示，属于中档题.16．3)5【分析】当圆的直径22r b c =+介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时，椭圆和圆有四个不同的焦点，由此列不等式，解不等式求得椭圆离心率e 的取值范围. 【详解】由于椭圆和圆有四个焦点，故圆的直径22r b c =+介于椭圆长轴和短轴长度范围之间，即222b b c a <+<.由22b b c <+得2b c <，两边平方并化简得22115c a <<，1e <<①.由22b c a +<得22b a c <-，两边平方并化简得25830e e -+>，解得305e <<②.由①②得355e <<.故填35⎫⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查椭圆和圆的位置关系，考查椭圆离心率取值范围的求法，属于中档题.17．114a -≤≤ 【解析】 【分析】对于命题p ：直线1y kx =+过点()1,0，在椭圆内部时，可使直线和椭圆有两个公共点，将()1,0代入椭圆方程列不等式，由此求得a 的取值范围.对于命题p ：将原不等式分离常数a 后，转化为()00min42x x a -≤有实数根，然后利用配方法求得左边的最小值，由此求得a的取值范围.由于“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，所以,p q 一真一假，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】若p 为真，则直线1y kx =+过的定点()0,1必在椭圆内部， 即1011a a<⇒ 若q 为真，则()00min42xx a -≤有实数根，即0002111422244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭；14a ∴≥- 由p 且q 为假，p 或q 为真得：114a a >⎧⎪⎨<-⎪⎩或114a a ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩∴实数a 的取值范围是114a -≤≤. 【点睛】本小题主要考查含有简单逻辑连接词命题真假求参数，考查直线和椭圆的位置关系，考查存在性问题的求解策略，属于中档题. 18．（1）21n a n =-；（2）12362n n -+-. 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()1212234,{12,a a a a a a +=+++=即12234,{8,a a a a +=+=所以()()()11114,{28,a a d a d a d ++=+++=解得11,{2,a d == 所以21n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）得112122n n n a n ---=，所以122135232112222nn n n n S ----=+++⋯++，① 23111352321222222n n n n n S ---=+++⋯⋯++，② -①②得：2211112123113222222n n n nn n S --+=++++⋯+-=-所以4662n nn S +=-． 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 19．（1）7c =或2c =.（2）2sin 2sin 3πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，2+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c 2-9c+14=0，再结合c ＞4，可得c 的值．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得AC=2s Ⅰnθ,BC=，△ABC 的周长f （θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f （θ）取得最大值．试题解析：（Ⅰ）∵a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2． 又因∠MCN=π，,可得,恒等变形得c 2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得. ∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,又,当,即时，f（θ）取得最大值.考点：1.余弦定理;2．正弦定理20．(I)1-27(II)35【解析】【分析】（I）用三角形ABC的面积减去三个扇形的面积，得到“着弹点距A B C、、的距离都超过1cm”的点的面积，用这个面积除以三角形ABC的面积得到所求的概率.（II）利用列举法列出所有的基本事件，进而得到符合题意的事件，利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.【详解】（Ⅰ）因为着弹点若与A B C、、的距离都超过1cm，则着弹点就不能落在分别以A B C、、为中心,半径为1cm的三个扇形区域内，只能落在图中阴影部分内.因为193=33sin6024 ABCS∆⨯⨯=图中阴影部分的面积为2131232ABC S S ππ∆=-⨯⨯⨯=-'，故所求概率为127ABCS p S ∆=-'=（Ⅱ）前三次射击成绩依次记为123x x x 、、，后三次成绩依次记为123y y y 、、，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：{}{}{}121323,,,,,,x x x x x x{}{}{}121323,,,,,,y y y y y y{}{}{}111213,,,,,,x y x y x y {}{}{}212223,,,,,,x y x y x y {}{}{}313233,,,,,x y x y x y ，共15个，其中可使1a b ->发生的是后9个基本事件.故93(1)155P a b ->==. 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查古典概型的计算，考查阅读与理解能力，属于基础题. 21．（1）证明见解析；（2）17. 【分析】（1）连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，证明1B C AO ⊥且1B C 平分AO 得到答案. （2）O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立空间直角坐标O xyz -，计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案. 【详解】证明：（1）连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ， 因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点，又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO . 由于AO ⊂平面ABO ，故1B C AO ⊥. 又1B O CO =，故1AC AB =. （2）因为1ACAB ⊥，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =.又因为AB BC =，所以BOA BOC ∆∆≌，故OA OB ⊥，从而1,,OA OB OB 两两相互垂直，O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立空间直角坐标O xyz - 因为160CBB ∠=︒，所以1CBB ∆为等边三角形，又AB BC =，则11110,0,,(,0,0),0,,0,0,,02222A B B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111113110,,,,0,,,02222AB A B AB B C BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设(,,)n x y z =是平面11AA B 的法向量，则11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11022102y z x z ⎧-=⎪⎪-=所以(1,3,n =. 设m 是平面111A B C 的法向量，则11110m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，同理可取(1,m =-,1cos ,7||||n m n m n m ⋅==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17.【点睛】本题考查线段相等的证明，建立空间直角坐标系解决二面角问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.22．（1）2214x y +=（2）220x y -±=（3）见解析【分析】（1）利用离心率和三角形OAB 的面积列方程，由此解得,,a b c 的值，进而求得椭圆的方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，根据OP OQ ⊥，斜率乘积为1-建立方程，解方程求得直线l 的方程.（3）设出过E 点的直线方程，联立直线方程和椭圆的方程，消去x ，化简后写出韦达定理，代入2211||||EA EB +计算，根据2211||||EA EB +为定值，求得E 点的坐标以及相应的定值. 【详解】 （1）由已知，1122c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c === ∴椭圆的方程为2214x y +=．（2）设直线l 的方程为2y x t =+，则由22142x y y x t⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得22224x y x y t -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()2224416160y y t t x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵OP OQ ⊥∴2221614244t t t t -=-⇒=⇒=±-∴直线l 的方程为22y x =±即220x y -±=．（3）设(),0E m 、()11,M x y 、()22,N x y ，当直线n 不为x 轴时的方程为x ty m =+，联立椭圆方程得：2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()()2224240t y tmy m ⇒+++-= 212122224,44tm m y y y y t t -∴+=-=++ ()()()()212122222222221212211111||||111y y y y EA EB y y t y t y t+-+=+=⋅+++ ()()()22222232828114m m tt m -++=⋅+-∴当且仅当2232828m m -=+即m =22115||||EA EB +=（定值）即在x 轴上存在点E 使得2211||||EA EB +为定值5点E 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．经检验，当直线AB 为x 轴时上面求出的点E 也符合题意． 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查两直线垂直斜率的关系，考查直线和椭圆相交的有关定值问题.在研究直线和椭圆的位置关系时，要注意设出直线合适的方程，联立直线方程和椭圆方程，消去x 或者消去y 得到一元二次方程，进而可以写出韦达定理或者利用判别式解题.。
湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
上运动并且使 MAC' PAC' ，那么点 P 的轨迹是椭圆
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．某校为了解高二学生寒假期间学习情况，抽查了 500 名同学，
统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这
.
16．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到
如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列 {an } ，则
2m)
f
(2m sin
2)
0
成立，则实数 m 的取值范围
A．
1 2
,
B．
1 2
,
C．
,
1 2
D．
,
1 2
二、不定项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
A．8
B．8.5
C．9
D．10
12．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A' B'C' D' 中，M 为 BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）
A． AM 与 DB 所成角的余弦值为 10 10
B．过三点 A、M、D' 的正方体 ABCD A' B'C' D' 的截面面积为 9
2
C．四面体 A'C' BD 的内切球的表面积为 3
湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末联考数学(理)试题含答案
宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期末联考高二(理科)数学（全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟）一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1、抛物线y=2x 2的焦点坐标是（ ） A ．（21，0 ） B ．（0，21） C ．（81，0） D ．（0，81） 2、下列说法错误的是（ ）A.对于命题P ：∀x єR,x 2+x+1>0,则⌝P ：∃x 0єR,x 02+x 0+1≤0 B.“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.若命题p ∧q 为假命题，则p ,q 都是假命题D.命题“若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2-3x+2≠0” 3、直线(cos6π)x+（sin 6π）y+2＝0的倾斜角为（ ） A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 4、已知向量(1,1,0)a =r ，(1,0,2)b =-r，且ka b +r r 与2a b -r r 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．15 C ．35 D ．755、某中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277； ②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299； ③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281； ④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A 、①③都可能为分层抽样B 、②④都不能为分层抽样C 、①④都可能为系统抽样D 、②③都不能为系统抽样6、在空间中，两不同直线a 、b ，两不同平面α、β，下列命题为真命题的是（ ） A.若//,//a b a α，则//b α B. 若//,//b αβα，则//b βC.若//,a αβα⊂，则//a βD. 若//,//,,a b a b ααββ⊂⊂，则//βα 7、有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为（ ） A ．310 B ．25 C ．15D ．3208、对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的 茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A ．46，45，56 B ．46，45，53 C ．47，45，56D ．45，47，539、已知双曲线1n y -m x 2222=（m>0,n>0）的离心率为3，则椭圆1ny m x 2222=+的离心率为（ ）A ．12B ．3C ．3D ．2210、如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个 四棱锥的侧面积为 ( )A ．2(23)+B ．2(23)+2+C ．6D ．211、已知平面区域1||1{(,)0,{(,)01y x y x x y y M x y y x +⎧⎫-+⎧⎫⎪⎪Ω==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭≤≤≥≥≤，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23 12、已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为2F ，)0,0)(,(0000>>y x y x M 是双曲线C上的点，),(00y x N --，连接2MF 并延长2MF 交双曲线C 与点P ，连接PN NF ,2，若P NF 2∆是以P NF 2∠为顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．x y 26±=C ．4y x =±D ．x y 210±=二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值 为14、已知直线(3a+2)x+(1－4a)y+8＝0与(5a －2)x+(a+4)y －7＝0垂直， 则a ＝15、在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若12AB BB =，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 . 16、某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 元. 三、解答题（70分）17、（本小题满分10分）已知0m >，p :()()260x x +-≤,q :22m x m -≤≤+ ． （I ）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围18、（本小题满分12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（I ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数； （Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“|m﹣n|＞10”概率．19、（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC=CD=CE=2，AD=BG=1.(Ⅰ)求证：DE ⊥BC ； (Ⅱ)求证：AG ∥平面BDE ； (Ⅲ)求几何体EGABCD 的体积.20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值．21、（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，CB CA CP ,, 两两垂直且相等，过PA 的中点D 作平面α∥BC ，且α分别交PC PB ,于N M ,，交AC AB ,的延长线于,E F ．（Ⅰ）求证：⊥EF 平面PAC ；（Ⅱ）若BE AB 2=，求二面角N DM P --的余弦值.22、（本小题满分12分）已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），直线l平行OM，且与椭圆交于A、B两个不同的点。