2021年四川省成都市新都区九年级一诊(上学期期末)数学试题
2020-2021成都市初三数学上期末一模试题及答案
A． B． 或 C．2或 D．2或 或
12．一只布袋里装有4个只有颜色不同的小球，其中3个红球，1个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出1个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
把点坐标代入y=2（x-3）2+k-1解方程即可得到结论．
【详解】
解：设抛物线y=2（x-3）2+k向下平移1个单位长度后的解析式为y=2（x-3）2+k-1，把点（2，3）代入y=2（x-3）2+k-1得，3=2（2-3）2+k-1，
∴k=2，
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x＝1D．不存在实数根
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc>0；②a+b+c>0；③a+c>b；④2a+b=0；⑤ =b2-4ac<0中，成立的式子有( )
2021年四川省成都市中考数学一诊试卷(附答案详解)
2021年四川省成都市中考数学一诊试卷1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高3℃时，气温变化记作+3℃，那么气温下降10℃时，气温变化记作()A. −13℃B. −10℃C. −7℃D. +7℃3.下列计算正确的是()A. a2⋅a4=a8B. a−2=−a2C. (a2)4=a8D. a4÷a4=a4.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DE//BC交AC于点E，AD=3，BD=2，则AE与EC的比是()A. 9：4B. 3：5C. 9：16D. 3：25.如图所示，点A、B、C都在⊙O上，若∠ABO=20°，∠ACO=30°，则∠BOC=()A. 100°B. 110°C. 125°D. 130°6.如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是()A.B.C.D.7.习近平总书记提出了五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11600000人，将数据11600000用科学记数法表示为()A. 1.16×106B. 1.16×107C. 1.16×108D. 11.6×1068.一个足球队23名队员的年龄统计结果如下表所示，这个足球队队员年龄的众数，中位数分别是()年龄/岁1213141516人数/人24575A. 14，15B. 14，14C. 15，13D. 15，159.若点A(m,y1)，点B(m+a2+1,y2)都在一次函数y=5x+4的图象上，则()A. y1<y2B. y1=−y2C. y1>y2D. y1=y210.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论：①a<0；②2a+b=0；⑧b2−4ac<0；④4a+2b+c<0.其中正确的有()A. 1个B. 3个C. 2个D. 4个11.计算：(2021−π)0=______ ．12.将点P(−3,1)向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为______ ．13.如图，在平行四边形ABCD中，AB//CD，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，MNAD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q，若∠D=110°，则∠AQD的度数为______ ．14. 若关于x 的方程x+m x−4+3m 4−x =3的解为正数，则m 的取值范围是______ ．15. (1)计算：3tan30°−√12−√2sin45°+3√13． (2)解不等式组：{3(x −2)≤4①x +1>2x−15②．16. 如图，从楼层底部B 处测得旗杆CD 的顶端D 处的仰角是53°，从楼层顶部A 处测得旗杆CD 的顶端D 处的仰角是45°，已知楼层AB 的楼高为3米.求旗杆CD 的高度约为多少米？(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43.)17. 先化简，再求值：(1+m m 2−m )÷m 2−1m 2−2m+1，其中m 从−1、0、1、2这四个数中选取．18.某校为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生做为样本进行调查．根据图中提供的不完整信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图，并求D类所对应扇形的圆心角的大小；(2)已知D类中有2名女生，从D类中随机抽取2名同学，求抽到“一男一女”的概率．(x>0)的图象分别交于点19.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kxA(m,3)和点B(6,1)，与y轴交于点C．(1)求m的值；(2)求直线AB的解析式；(3)若线段OC的垂直平分线交双曲线于点M，交直线AB于点N，求线段MN的长．20.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°.以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D，连接BD.点E为⊙O上一点，且CE=CB，连接EO并延长交CB的延长线于点F．(1)求证：△ADB∽△ABC；(2)求证：CE是⊙O的切线；(3)若AD⋅AC=36，BF=4，求AC的长．21.若二次根式√x+2有意义，则x的取值范围为______．22.设α、β是方程x2+2x−2021=0的两根，则α2+3α+β的值为______ ．23.如图，有A、B、C三类长方形(或正方形)卡片(a>b)，其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是______．24.如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若AB=4，则PC长的最小值为______ ．25.平面直角坐标系xOy中，矩形ABOC的顶点A(4,3)，点B在x轴上，双曲线y=kx−1(k>0)分别交两边AC，AB于E、F两点(E、F不与A重合)，沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合.若折叠后，△ABD是等腰三角形，则此时点D的坐标为______ ．26.某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是50元，若每箱销售80元，每星期可卖200箱.为了促销，该水果店决定降价促销.市场调查反映：若售价每降低1元，每星期可多卖出10箱.设该苹果每箱售价x元(50≤x≤80)，每星期的销售量为y 箱．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每箱为多少元时，每星期的销售利润达到6000元？27.如图，在矩形ABCD中，点O是边AD的中点，点E是边BC上的一个动点，延长EO到F，使得OE=OF．(1)当点E运动到什么位置时，四边形AEDF是菱形？(直接写出答案)(2)若矩形ABCD的周长为20，求四边形AEDF的面积的最大值；(3)若AB=m，且存在点E，使四边形AEDF能成为一个矩形，求BC的取值范围．28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当PD：OD的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使∠CMN=90°，且△CMN与△BOC相似，若存在，请直接写出点M的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】B【解析】解：若气温升高3℃时，气温变化记作+3℃，那么气温下降10℃时，气温变化记作−10℃．故选：B．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．本题主要考查了理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量，比较简单．3.【答案】C【解析】解：A、a2⋅a4=a6，故本选项不合题意；B、a−2=1，故本选项不合题意；a2C、(a2)4=a8，故本选项符合题意；D、a4÷a4=1，故本选项不合题意；故选：C．分别根据同底数幂的乘法法则，负整数指数幂的定义，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题主要考查了负整数指数幂，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵DE//BC，AD=3，BD=2，∴AEEC =ADDB=32，故选：D．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．在△OAB中，OA=OB，则∠BOD=∠ABO+∠OAB=2×20°=40°，同理可得：∠COD=∠ACO+∠OAC=2×30°=60°，故∠BOC=∠BOD+∠COD=100°．故选：A．过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC=2∠ABO+2∠ACO．本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．6.【答案】D【解析】解：从左边看底层是一个小正方形，上层一个三角形，故选：D．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．7.【答案】B【解析】解：11600000=1.16×107．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8.【答案】D【解析】解：这组数据中出现次数最多的是15，所以这组数据的众数是15，这组数据中第12个数据是15，所以这组数据的中位数是15，故选：D．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．9.【答案】A【解析】解：∵a2≥0，∴a2+1>0，∴m<m+a2+1．∵k=5>0，∴y随x的增大而增大，∴y1<y2．故选：A．由偶次方的非负性可得出a2≥0，进而可得出m+a2+1>m，由k=5>0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，进而可得出y1<y2．本题考查了偶次方的非负性以及一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：①由图可得，∵抛物线开口向下，∴a<0，故①正确；=1，②∵该抛物线的对称轴x=−b2a∴2a+b=0，故②正确；③∵抛物线与x轴的交点有2个，∴△=b2−4ac>0，故③不正确；④由图可得，当x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，故④不正确；综上所述，正确的个数是2个，故选：C．根据二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点即可求解．本题考查了二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点，解题的关键是判断出a、c的正负性．11.【答案】1【解析】解：(2021−π)0=1．故答案为：1．直接利用零指数幂的性质计算得出答案．此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．12.【答案】(−3,3)【解析】解：将点P(−3,1)向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为(−3,1+2)，即(−3,3)，故答案为：(−3,3)．根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加可得结论．本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．13.【答案】35°【解析】解：由作图可知，AQ平分∠DAB，∴∠DAQ=∠QAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD//AB，∴∠QAB=∠AQD，∴∠DAQ=∠AQD，∵∠D=110°，∴∠AQD−∠DAQ=12(180°−110°)=35°，故答案为35°．证明∠DAQ=∠AQD即可解决问题．本题考查作图−基本作图，平行四边形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14.【答案】m>−16且m≠4【解析】解：x+mx−4+3m4−x=3，去分母得，x+m−(x−4)=3(x−4)，整理得，3x=m+16，解得，x=m+163，∵分式方程的解为正数，∴m+163>0且m+163≠4，∴m>−16且m≠4．故答案为：m>−16且m≠4．先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．15.【答案】解：(1)原式=3×√33−2√3−√2×√22+3×√33=√3−2√3−1+√3=1；(2)解不等式①，得：x≤103，解不等式②，得：x>−2，则不等式组的解集为−2<x≤103．【解析】(1)先代入三角函数值、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可；(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16.【答案】解：过A作AE⊥CD于E，如图所示：则BC=AE，∠AED=90°，由题意得：∠DAE=45°，∠DBC=53°，AB=3米，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE，设BC=AE=DE=x米，则CD=(x+3)米，∵tan∠DBC=CDBC =tan53°≈43，∴x+3x ≈43，解得：x≈9，∴CD=9+3=12(米)，答：旗杆CD的高度约为12米．【解析】过A作AE⊥CD于E，则BC=AE，∠AED=90°，先证△ADE是等腰直角三角形，得AE=DE，设BC=AE=DE=x米，则CD=(x+3)米，再由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17.【答案】解：原式=m2−m+mm(m−1)⋅(m−1)2 (m+1)(m−1)=m2m(m−1)⋅(m−1)2(m+1)(m−1)=mm+1，当m=−1，0，1时，原式没有意义；当m=2时，原式=23．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：抽查的人数为：20×40%=50(人)，∴C类的人数为50−15−20−5=10(人)，D类所对应扇形的圆心角的度数为：360°×550=36°，补全条形统计图如下：(2)画树状图如图：共有20个等可能的结果，抽到“一男一女”的结果有12个，∴抽到“一男一女”的概率为1220=35．【解析】(1)先求出调查人数，再求出C类的人数，即可求解；(2)画树状图，共有20个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．19.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过点B(6,1)，∴k =6×1=6，∴反比例函数的解析式为y =6x ．又∵点A(m,3)在反比例函数y =6x 的图象上，∴m =63=2．(2)将点A(2,3)，B(6,1)代入y =ax +b 得：{2a +b =36a +b =1， 解得：{a =−12b =4， ∴直线AB 的解析式为y =−12x +4．(3)当x =0时，y =−12×0+4=4，∴点C 的坐标为(0,4)，∴线段OC 的垂直平分线为y =2．当y =2时，6x =2，解得：x =3，∴点M 的坐标为(3,2)；当y =2时，−12x +4=2，解得：x =4，∴点N 的坐标为(4,2)，∴MN =4−3=1．【解析】(1)由点B 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m 的值；(2)由点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的解析式；(3)利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出点M ，N 的坐标，进而可求出线段MN 的长．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出反比例函数解析式；(2)根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB 的解析式；(3)利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，分别求出点M ，N 的坐标． 20.【答案】(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∵∠ABC =90°，∴∠ADB=∠ABC，又∵∠BAD=∠CAB，∴△ADB∽△ABC；(2)证明：在△OBC和△OEC中，{OB=OE OC=OC BC=CE，∴△OBC≌△OEC(SSS)，∴∠OBC=∠OEC=90°，∴OE⊥EC，∴CE是⊙O的切线；(3)解：∵△ADB∽△ABC，∴ABAC =ADAB，∴AB2=AD⋅AC，∵AD⋅AC=36，∴AB=6，∴OB=3，∴OF=√OB2+BF2=√32+42=5，设CE=BC=x，在Rt△CEF中，CE2+EF2=CF2，∴x2+82=(x+4)2，∴x=6，∴BC=6，∴AC=√AB2+BC2=√62+62=6√2．【解析】(1)由圆周角定理可得出∠ADB=∠ABC，根据相似三角形的判定方法可得出结论；(2)证明△OBC≌△OEC(SSS)，由全等三角形的性质得出∠OBC=∠OEC=90°，则可得出结论；(3)由相似三角形的性质得出AB2=AD⋅AC，求出AB=6，由勾股定理求出OF的长，求出BC=6，则可得出答案．本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】x≥−2【解析】解：根据题意得，x+2≥0，解得x≥−2．故答案为：x≥−2．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．22.【答案】2019【解析】解：根据题意知，α2+2α−2021=0，即α2+2α=2021．又∵α+β=−2．所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=2021−2=2019．故答案是：2019．利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系作答．本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．23.【答案】13【解析】解：由题可得，随机选取两位同学，可能的结果如下：甲乙、甲丙、乙丙，∵a2+2ab+b2=(a+b)2，∴选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为(a+b)的正方形，∴能拼成一个正方形的概率为13，故答案为：13．依据选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为(a+b)的正方形，可得能拼成一个正方形的概率为13．本题考查列表法与树状图法、完全平方公式的运用，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24.【答案】2√5−2【解析】解：由题意得：BM=CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM=∠BCN=90°，AB=BC=4，在△ABM和△BCN中，{AB=BC∠ABM=∠BCN BM=CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠BAM=∠CBN，∵∠ABP+∠CBN=90°，∴∠ABP+∠BAM=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG⏜，是这个圆的14，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB=4，∴OP=OB=2，由勾股定理得：OC=√22+42=2√5，∴PC=OC−OP=2√5−2；故答案为：2√5−2．先证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，证出∠APB=90°，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧BG⏜，连接OC交圆O于P，此时PC最小，OP=OB=2，由勾股定理求出OC=2√5，得出PC=OC−OP=2√5−2即可．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．25.【答案】(238,32)或(115,35)【解析】解：过D点作DN⊥AB，①当BD=AD时，如图3，有∠AND=90°，AN=BN=12AB=32，∴∠DAN+∠ADN=90°，∵∠DAN+∠AFM=90°，∴∠ADN=∠AFM，∴tan∠ADN=tan∠AFM=AEAF =43，∴ANDN =43，∵AN=32，∴DN=98，∴D(4−98,32)，即D(238,32)；②当AB=AD=3时，如图4，在Rt△ADN中，sin∠ADN=sin∠AFM=AEAF =43，∴ANAD =45，∴AN=45AD=45×3=125，∴BN=3−AN=3−125=35，∵DN=34AN=34×125=95，∴D(4−95,35)，即D(115,35)；③当AB=BD时，△AEF≌△DEF，∴DF=AF，∴DF+BF=AF+BF，即DF+BF=AB，∴DF+BF=BD，此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，∴AB≠BD，综上所述，所求D点坐标为(238,32)或(115,35).分三种情况讨论：①AD=BD，②AD=AB，③AB=BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：(1)依题意得：y=200+10(80−x)=1000−10x(50≤x≤80)，即y=1000−10x(50≤x≤80)；(2)依题意得：(x−50)(1000−10x)=6000，整理得：x2−150x+5600=0，解得：x1=70，x2=80．答：当每箱售价为70或80元时，每星期的销售利润达到6000元．【解析】(1)根据每星期的销售量=200+10×降低的价格，即可找出y与x之间的函数关系式；(2)根据每星期的利润=每箱的利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．27.【答案】解：(1)当点E运动到BC的中点时，四边形AEDF是菱形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵E为BC中点，∴BE=CE，由勾股定理得：AE=DE，∵点O是边AD上的中点，OE=OF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴平行四边形AEDF是菱形．(2)存在，∵点O是AD的中点，∴AO=DO，∵OE=OF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴S四边形AEDF =2S△AED=S矩形ABCD，设AB=x，则BC=10−x，四边形AEDF的面积为y，y=x(10−x)=−x2+10x=−(x−5)2+25，当x=5时，四边形AEDF的面积最大为25．(3)当BC≥2m时，四边形AEDF能成为一个矩形，理由是：设BC=n，BE=z，则CE=n−z，当四边形AEDF是矩形时，∠AED=90°，∵∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠DEC=90°，∴∠BAE=∠DEC，∴△BAE∽△CED，∴ABCE =BECD，∴mn−z =zm，∴z2−nz+m2=0，当判别式△=(−n)2−4m2≥0时，方程有根，即四边形AEDF是矩形，解得：n≥2m，∴当BC≥2m时，四边形AEDF能成为一个矩形．【解析】(1)根据矩形的性质得出AB=CD，∠B=∠C=90°，求出四边形是平行四边形，根据勾股定理求出AE=DE，即可得出答案．(2)求出S四边形AEDF=2S△AED=S矩形ABCD，设AB=x，则BC=10−x，四边形AEDF的面积为y ，求出y =x(10−x)，求出二次函数的最大值即可．(3)根据矩形能推出△BAE∽△CED ，得出比例式，代入得出方程，求出方程的判别式，即可得出答案．本题考查了矩形的性质，菱形的判定，二次函数的最值，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．28.【答案】解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{a −b +3=09a +3b +3=0，解得{a =−2b =4， 故抛物线的表达式为y =−2x 2+4x +6；(2)由抛物线的表达式知，点C(0,6)，由B 、C 的表达式得，直线BC 的表达式为y =−2x +6，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，则△PDH∽△ODC ，则PD ：OD =PH ：OC ，设点P 的坐标为(x,−2x 2+4x +6)，则点H(x,−2x +6)，则PH =(−2x 2+4x +6)−(−2x +6)，=−2x 2+6x ，OC =6，∴PD ：OD =PH ：OC =16(−2x 2+6x)，∵−2×16<0，故PD ：OD 存在最大值，此时x =32， 故点P 的坐标为(32,152)；(3)存在，理由：过点M 作y 轴的平行线交过点C 与x 轴的平行线于点G ，交过点N 与x 轴的平行线于点H ，在Rt △BOC 中，OB =3，OC =6，则当△CMN与△BOC时，两个三角形的相似比为2或12，即MN：CM=OB：OC=1：2或MN：CM=OB：OC=2：1，设点M的坐标为(x,−2x2+4x+6)，设点N的坐标为(0,t)，∵∠CMG+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，∴∠CMG=∠HNM，∵∠MHN=∠CGM=90°，∴△MHN∽△CGM，∴MHCG =HNGH=MNCM=2或12，即−2x2+4x+6−tx =x6+2x2−4x−6=2或12，解得x=0(舍去)或3(舍去)或94，故点M的坐标为(94,39 8).【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)证明△PDH∽△ODC，则PD：OD=PH：OC，进而求解；(3)证明△MHN∽△CGM，则MHCG =HNGH=MNCM=2或12，进而求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2021年四川省成都市中考数学一诊试卷(解析版)
2021年四川省成都市中考数学一诊试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题）.1．的绝对值为（）A．6B．C．D．﹣62．如图，所示几何体的主视图为（）A．B．C．D．3．截至2020年2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，其中中央财政安排252.9亿元，为疫情防控提供了有力保障．其中数据252.9亿用科学记数法可表示为（）A．252.9×108B．2.529×109C．0.2529×1010D．2.529×10104．下列等式一定成立的是（）A．2m+3n＝5mn B．（x2）4＝x8C．m2•m3＝m6D．（m﹣n）2＝m2﹣n25．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°6．在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（5，4）B．（﹣5，4）C．（﹣5，﹣4）D．（5，﹣4）7．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0D．k＞且k≠0 8．如图，分别以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画弧形成一个弧线封闭图形，将这个封闭图形称为“凸轮”．若正三角形的边长为2，则“凸轮”的周长等于（）A．2πB．4πC．πD．π9．有下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程1﹣＝0的根为2；③方程＝的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；③4a+2b+c＜0；④2a+b＝0，其中结论正确的是（）A．①B．②C．③D．④二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）11．分解因式：2a3﹣8a＝．12．函数y＝+的自变量x的取值范围是．13．如图，将一副三角板△ABC和△BCD拼在一起，E为AC的中点，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，连接DE，若BC＝6，则DE＝．14．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于30，那么△FEC的面积等于．三、解答题15．（12分）（1）计算（）﹣2+|﹣2|﹣（3﹣π）0﹣3tan30°．（2）解不等式组，写出它的正整数解．16．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．17．（8分）最近，学校掀起了志愿服务的热潮，教育处也号召各班学生积极参与，为了解甲、乙两班学生一周服务情况，从这两个班级中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：分钟）进行收集、整理、分析，给出了部分信息：a．甲班40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图（数据分成6组）：A.20≤x＜40，B.40≤x＜60，C.60≤x＜80，D.80≤x＜100，E.100≤x＜120，F.120≤x＜140）；b．甲班40名学生一周志愿服务时长在60≤x＜80这一组的是：60 60 62 63 65 68 70 72 73 75 75 76 78 78c．甲、乙两班各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲75m90乙757685根据以上信息，回答下列问题：（1）上面图表中的m＝，扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为度；（2）根据上面的统计结果，你认为班学生志愿服务工作做得好（填“甲”或“乙”），理由是；（3）小江和小北两位同学都参加了水井坊街道的志愿者服务项目，该街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，请用列表或画树状图的方法，求小江、小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率．18．（8分）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A，C，D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝8km，∠ABD＝105°，求BD长．（结果精确到十分位≈1.732，≈1.414）19．如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，n）．过A作AC⊥x轴于C，交OB于E，且EB＝2EO．（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）当x为何值时，﹣x+b≥；（3）若点P是线段AB的中点，求△POB的面积．20．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B两点，连接CD，过C作⊙O的切线交AB延长线于点F．直线DB⊥CF于点E．（1）求证：∠ABD＝2∠BAC；（2）连接BC，求证：BC2＝2BE•BO；（3）当BD＝，sin∠F＝时，求CD的长．一、填空题（每小题4分，共20分）21．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值是．22．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式有解的概率为．23．如图，一次函数y＝6x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点C在x 轴上运动，连接AC，点Q为AC中点，若点C运动过程中，OQ的最小值为2，则k ＝．24．如图，小新同学是一位数学爱好者，想利用所学知识研究一个五边形面积．他先在矩形点阵中放入了一个矩形ABCD，A、B、C、D四个顶点刚好在格点上，接着又放入了一条线段EF，点E、F也恰好在格点上并与AD、CD分别交于点M、N．若点阵图中，单位格点正方形边长为1，则五边形ABCNM的面积为．25．正方形ABCD的边长为4，F是AD上的动点，将△FCD沿着CF折叠，当△AEF是等腰三角形（EF是腰），DF＝．二、解答题26．（8分）龙泉驿区五星枇杷品质优果形大，有枇杷之王之誉．近日五星枇杷陆续上市，起初售价为每斤30元，从第一周开始每周降价4元，从第六周开始，保持每斤10元的稳定价格销售，直到12周结束，该五星枇杷不再销售．（1）请写出五星枇杷销售价格y与周次x之间的函数关系式；（2）若该五星枇杷进货当周售完且每斤进价z与周次x的关系为z＝（x﹣8）2+5（1≤x≤12），且x为整数，那么该五星枇杷在第几周售出后，每斤获得利润最大？最大利润为多少？27．如图，正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，（1）如图1，若点F在线段BC上移动，且不与B、C两点重合，连接AF、AE、DE，点M、K、L分别为AF、AE、DE中点．①求证：ML＜（a+b）；②求线段ML与线段ED的关系；（2）若点F从点C出发，沿边CB→BA向终点A运动，整个运动过程中，求点E所经过的路径长（用含a的代数式表示）．28．（12分）如图，二次函数y＝mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，顶点D的横坐标为1．（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；（2）如图2，过B、C两点作直线BC，连接AC，点P为直线BC上方的抛物线上一点，PF∥y轴交线段BC于F点，过点F作FE⊥AC于E点．设m＝PF+FE，求m的最大值及此时P点坐标；（3）将原抛物线x轴的上方部分沿x轴翻折到x轴的下方得到新的图象G，当直线y＝kx+k﹣6与新图象G有4个公共点时，求k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，请把答案填涂到答题卡上）1．解：||＝，故选：C．2．解：正面看，底层是一个较大的矩形，上层是一个较小的矩形．故选：A．3．解：252.9亿＝25290000000＝2.529×1010．故选：D．4．解：A、2m与3n不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B、（x2）4＝x8，故本选项符合题意；C、m2•m3＝m5，故本选项不合题意；D、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故本选项不合题意；故选：B．5．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝52°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝38°；∴∠BCD＝∠A＝38°．故选：B．6．解：由题意，P与P′关于原点对称，∵P（﹣5，4），∴P′（5，﹣4），故选：D．7．解：∵方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4﹣12k＞0，解得：k＜．故选：A．8．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∴“凸轮”的周长是3×＝2π，故选：A．9．解：①解分式方程不一定会产生增根，所以①不正确；②1﹣＝0，去分母得：x+2﹣4＝0，x＝2，经检验：x＝2是方程1﹣＝0的根，所以②正确；③方程＝的最简公分母为2x（x﹣2），所以③不正确；④x+＝1+是分式方程，所以④正确；所以①③不正确，②④正确．故选：B．10．解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，﹣＝1，c＞0，∴b＝﹣2a＞0，∴2a+b＝0，abc＜0，结论①错误，④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，且1﹣（﹣）＝，﹣1＝，∴y1＝y2，结论②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），∴另一个交点坐标是（3，0），∴当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，结论③错误；综上所述：正确的结论是④，故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）11．解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），故答案为：2a（a+2）（a﹣2）12．解：由题意，得3﹣x＞0且x﹣2≠0，解得x≤3且x≠2，故答案为：x≤3且x≠2．13．解：设A'E与BC相交于点F，由题意知∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠A'＝60°，∵E为AC的中点，∴AE＝BE＝CE，∴△ABE和△A'BE为等边三角形，∴∠AEB＝∠A'EB＝60°，∴∠CEF＝60°，∴EF⊥BC，又∵△BDC为等腰直角三角形，∴DF⊥BC，∴D，E，F三点共线，∵BC＝6，∴CF＝3，∴EF ＝3，DF ＝3， ∴DE ＝DF ﹣EF ＝3﹣3． 故答案为：3﹣3．14．解：∵CE ＝2BE ，∴设BE ＝x ，则CE ＝2x ，BC ＝3x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝3x ，∴△ADF ∽△CEF ，∴＝，∵△ABC 的面积等于30，∴S △CFD ＝×S △ACD ＝＝12，∴S △EFC ＝＝8， 故答案为8．三、解答题15．解：（1）原式＝4+2﹣﹣1﹣3× ＝4+2﹣﹣1﹣ ＝5﹣2； （2）， 解①得x ≥﹣1，解②得x ＜3，不等式组的解集为﹣1≤x ＜3，不等式组的正整数解为1，2．16．解：原式＝﹣• ＝﹣ ＝， 当x ＝1时，原式＝．17．解：（1）由题意得：A的人数为：40×5%＝2（人），B的人数为：40×15%＝6（人），C的人数为14人，∴甲班的中位数为＝77，扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为：360°×＝126°，故答案为：77，126；（2）根据上面的统计结果，甲班学生志愿服务工作做得好，理由如下：①甲、乙两班的平均数相等，甲班的中位数比乙班的中位数大；②甲班的众数比乙班的众数大；故答案为：甲，①甲、乙两班的平均数相等，甲班的中位数比乙班的中位数大；②甲班的众数比乙班的众数大；（3）街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9个等可能的结果，小江、小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的结果有3个，∴小江、小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率为＝．18．解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝8km，∴∠ABE＝60°，BE＝4km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB ＝45°，∴BE ＝DE ＝4km ，∴BD ＝≈5.7（km ），即BD 的长是5.7km ．19．解：（1）∵EB ＝2EO ，∴OE ：OB ＝1：3，∵B 点横坐标为3，∴A 点的横坐标为1，即m ＝1，∵点A （1，3）在直线y ＝﹣x +b 及y ＝上，∴3＝﹣1+b ，3＝，解得b ＝4，k ＝3，∴一次函数为y ＝﹣x +4，反比例函数为y ＝；（2）由图象可知，当1≤x ≤3时，﹣x +b ≥；（3）连接OA ，作BD ⊥x 轴于D ，∵B （3，n ）在直线y ＝﹣x +4上，∴n ＝﹣3+4＝1，∴B （3，1），∴S △AOB ＝S △AOC +S 梯形ACDB ﹣S △BOD ＝S 梯形ACDB ＝（3+1）（3﹣1）＝4，∵点P 是线段AB 的中点，∴S △POB ＝S △AOB ＝2．20．（1）证明：连接OC，如图，∵OC⊥CF，DB⊥CF，∴CO∥BD，∴∠ABD＝∠COB，∵∠COB＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠BAC．（2）证明：连接BC，如上图，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥DB，∴∠CEB＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵OC⊥CF，∴∠BCE+∠OCB＝90°，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠CAB＝∠BCE，∴△CBE∽△ABC，∴，∴BC2＝AB•BE，∵AB＝2OB，∴BC2＝2BE•BO．（3）解：如图，连接AD，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴CF∥AD，∴∠BAD＝∠F，∴sin∠BAD＝sin F＝，∴AB＝BD＝＝12，∴OB＝OC＝AB＝6，∵OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴sin F＝，∴OF＝10，由勾股定理，得，CF＝＝8，∵OC∥DB，∴，即，∴CE＝，∴EF＝，∵BF＝OF﹣OB＝10﹣6＝4，∴BE＝，∴DE＝BD+BE＝＝，∴CD＝＝．一、填空题（每小题4分，共20分）21．解：∵a﹣b＝3，∴a＝b+3，∴a2﹣b2﹣6b＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9．故答案为：9．22．解：解得：2≤x＜，∵关于x的不等式组有解，∴＞2，解得：a＞3.5，∴使关于x的不等式组有解的概率为：＝．故答案为：．23．解：连接BC，∵点A、B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵Q为AC中点，∴OQ是△ABC的中位线，∴OQ＝BC，故当BC最小时，OQ也最小，当BC⊥x轴时，BC最小，此时BC＝2OQ＝4，即点B的纵坐标为﹣4，将点B的纵坐标代入y＝6x得：﹣4＝6x，解得：x＝﹣，故点B的坐标为（﹣，﹣4），∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴k＝﹣×（﹣4）＝，故答案为：．24．解：建立如图坐标系，设A（1，4），E（0，4），N（y，1），M（1，x），∴AM＝4﹣x，∴S△EAM ＝S△EPF﹣S四边形AMEP＝＝﹣（4﹣x+4），2﹣＝12﹣20+x ，解得，x ＝， ∵S △AQF ＝S △EPF ﹣S 四边形EPQN ，∴（6﹣y +6）， 解得y ＝，∴S 剩＝S 矩形ABCD ﹣S △MDN ＝4×＝12﹣＝12﹣＝．故答案为：． 25．解：当△AEF 是等腰三角形（EF 是腰）时，此题有两种情况：①如图1，当AF ＝EF 时，由折叠得：EF ＝DF ，∴AF ＝DF ，又∵正方形ABCD 的边长为4，∴DF ＝AD ＝2；②如图2，当点E 在AC 上时，过点E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于点N ，∴AM ＝FM ，∠AEM ＝∠FEM∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC＝45°，∵∠AEF＝90°，∴△AME是等腰直角三角形，∴AM＝EM，AE＝EF，设DF＝a，则FM＝AM＝EM＝（4﹣a），由折叠得EF＝DF＝a，在Rt△EFM中，由勾股定理得：EF2＝EM2+FM2，∴＝a2，解得：a1＝﹣4（不符题意，舍去），a2＝4﹣4，∵DF＝4﹣4；综上所述，DF＝2或4，故答案为：2或4．二、解答题26．解：（1）该种蔬菜销售价格y与天数x之间的函数关系式：y＝；（2）设利润为W，W＝y﹣z＝，W＝﹣x2+9，对称轴是直线x＝0，当x＞0时，W随x的增大而减小，＝8.75（元），∴当x＝1时，W最大W＝﹣（x﹣8）2+5，对称轴是直线x＝8，＝5（元），∴当x＝8时，W最大综上可知：在第1周进货并售出后，所获利润最大为8.75元．27．解：（1）如图1，连接MK，KL，∵M、K分别是AF，AE的中点，∴MK＝EF，∵K、L分别是AE、DE的中点，∴KL＝AD，∵MK+KL＞ML（三角形两边之和大于第三边），正方形ABCD边长为a，正方形CEFG 边长为b，∴ML＜（a+b）；（2）作LQ∥CE交CD于Q，∵KL为△ADE的中位线，∴KL＝AD，∵LQ∥CE，∴＝1，即DQ＝，∵AD＝CD，∴KL＝DQ，∵MK是△AEF的中位线，LQ是△DEC的中位线，∴MK＝，LQ＝，∴MK＝LQ，∵∠ECD＝∠LQD＝90°+45°＝135°，∠MKA＝∠FEA，∠APC＝∠AKC，∴∠FPE+∠FED＝∠MKL＝180°﹣45°＝135°＝∠ECD，在△MKL和△LQD中，，∴△MKL≌△LQD（SAS），∴ML＝DL＝ED；（2）在F运动过程中，点E的轨迹是C﹣P﹣B，△CPB为以P为顶点的等腰直角三角形，∴CP+PB＝BC＝a，①当点F在CB上时，如图中正方形F1E1CG1，∵四边形F1E1CG1为正方形，CF1为对角线，∴∠F1CE1＝45°，∵△BPC为等腰直角三角形，∴∠BCP＝45°，∴E1在CP上运动，当点F1到达点B时，E1与点P重合；②当点F在BA上时，如图中正方形F2E2CG2，连接E2P，由①得，∠F2CE2＝45°，∠BCP＝45°，∴∠F2CB＝∠E2CP，∵，∴△CF2B∽△CE2P，∴∠CPE2＝∠CBF2＝90°，∴E2在BP上，当F2到达A时，E2与B重合；综上所述，点E的轨迹在C﹣P﹣B上，轨迹长度为a．28．解：（1）y＝mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1顶点D的横坐标为1，∴＝1，解得m＝﹣1，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）过B作BH⊥AC于H，过F作FG⊥y轴于G，如图：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴交点C（0，3），且A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，OC＝3，AC＝，BC＝3，＝AB•OC＝AC•BH，∵S△ABC∴BH＝，Rt△BHC中，sin∠HCB＝＝＝，Rt△EFC中，EF＝CF•sin∠HCB＝CF，∴FE＝•CF＝CF，设P（n，﹣n2+2n+3），由B（3，0），C（0，3）得BC解析式为y＝﹣x+3，∴△BCO是等腰直角三角形，F（n，﹣n+3），∴△GFC是等腰直角三角形，GF＝n，∴CF＝GF＝n，∴CF＝2n，即FE＝2n，∴m＝PF+FE＝PF+2n＝（﹣n2+2n+3）﹣（﹣n+3）+2n＝﹣n2+5n，∴当n＝＝时，m最大，最大为﹣（）2+5×＝，此时P（，）；（3）直线y＝kx+k﹣6总过（﹣1，﹣6），k＜0时，它和新图象G不可能有4个公共点，如图：k＞0时，若二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3刚好经过B（3，0），由（﹣1，﹣6），B（3，0）可得直线解析式为y＝x﹣，此时直线y＝x﹣与新图象G有3个交点，∴直线y＝kx+k﹣6与新图象G有4个公共点，需满足k＜，而抛物线y＝﹣x2+2x+3关于x轴对称的抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，若直线y＝kx+k﹣6与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有两个交点，即是有两组解，∴x2﹣（2+k）x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即[﹣（2+k）]2﹣4（3﹣k）＞0，解得k＞﹣4+2或k＜﹣4﹣2（小于0，舍去），∴k＞﹣4+2，因此，直线y＝kx+k﹣6与新图象G有4个公共点，﹣4+2＜k＜．。
九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷（一诊）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）计算2sin60°的值为（）A．B．C．1D．2．（3分）如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）已知，则的值为（）A．2.5B．C．D．4．（3分）下列说法正确的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．平分弦的直径垂直于弦C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似D．对角线相等的四边形是矩形5．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m 的图象与x轴的交点情况为（）A．没有交点B．有一个交点C．有两个交点D．不能确定6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B （﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点A'的坐标为（）A．（4，2）B．（1，1）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）7．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（）A．88B．90C．92D．938．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（）A．B．C．﹣1D．9．（3分）如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，在上取一点E（点E不与D重合），连接EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，有下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2＞4ac．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）已知点（3，a）在抛物线y＝﹣2x2上，则a＝．12．（4分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是．13．（4分）如图，反比例函数y＝的图象经过点A（m，3），则当y＞3时，x的取值范围为．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0﹣2tan60°+|1﹣2|．（2）解方程：x（x﹣2）+2﹣x＝0．16．（6分）2021年世界大运会将在成都举办，现有三种大运会纪念卡片（如图所示），分别是印有会徽图案的A种纪念卡片和印有吉祥物“蓉宝”图案的B种、C种纪念卡片．小王将圆形转盘三等分并标上字母A，B，C，分别代表三种纪念卡片，随机转动转盘后，指针落在某个字母所在扇形部分就表示获得一张该种纪念卡片（当指针指在分界线上时重转）．（1）填空：小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是；（2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求他两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率．17．（8分）近年来，成都IFS商业大楼成了网红打卡地，楼上“翻墙”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C处距离地面AD的高度，他在甲楼底端A 处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角为45°，已知AB＝4.5米，求熊猫C处距离地面AD的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别交边AD，BC于点E，F，交DC的延长线于点G．（1）求证：△CFO≌△AEO；（2）若AD＝5，CD＝3，CG＝1，求CF的长．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别交x 轴，y轴于A（3，0），B（0，﹣3）两点，将直线AB向上平移7个单位长度后，刚好与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点C，与y轴交于点D，连接AD，BC．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求点C的坐标及四边形ABCD的面积．20．（10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．i）若⊙O的直径为，sin B＝，求AD的长；ii）若CD＝2CE，求cos B的值．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则ab+a+b 的值为．22．（4分）一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b，则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为．24．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝的图象上（点A在第一象限），且线段AB经过点O，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，线段AC交x轴于点D，若＝，则点C的坐标是．25．（4分）如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直线AB上方一点，连接AD，BD，且∠ADB＝90°，过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的长度的最大值为．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）春节即将来临，某电商平台准备销售一批服装，已知购进时的单价是150元．调查发现：销售单价是200元时，月销售量是100件，而销售单价每降低1元，月销售量就增加10件．每件服装的售价不能低于进价，设该服装的销售单价在200元的基础上降低x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该服装的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？27．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为线段AB上一动点（点D不与A、B重合），连接CD，分别以AC，DC为斜边向右侧作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，连接EF．（1）当点F在△ABC的外部时，求证：△ACD∽△ECF；（2）如图1，当D，F，E三点共线时，求△ECF的面积；（3）如图2，当点D在BA的延长线上时，其它条件不变，连接DE，若DE∥AC，求AD的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴交于另一点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E为对称轴右侧的抛物线上的点．i）点F在抛物线的对称轴上，且EF∥x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD 相似，求出此时点E的坐标；ii）点G在平面内，则以点A，B，E，G为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E的坐标；若不能，请说明理由．2020-2021学年四川省成都市武侯区九年级（上）期末数学试卷（一诊）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）计算2sin60°的值为（）A．B．C．1D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：2sin60°＝2×＝．故选：A．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．2．（3分）如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看底层是一个小正方形，上层一个三角形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．（3分）已知，则的值为（）A．2.5B．C．D．【分析】利用比例的性质，由得到b＝a，然后把b＝a代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵，∴b＝a，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．4．（3分）下列说法正确的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．平分弦的直径垂直于弦C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据相似三角形的判定，垂径定理，菱形的判定，矩形的判定定理判断即可．【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；C、两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形不一定相似，故不符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂径定理，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．5．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m 的图象与x轴的交点情况为（）A．没有交点B．有一个交点C．有两个交点D．不能确定【分析】根据题意和二次函数与一元二次方程之间的关系可以解答本题．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，∴二次函数y＝x2+4x+4m的图象与x轴的交点情况为：有一个交点，故选：B．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与一元二次方程的关系解答．6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B （﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点A'的坐标为（）A．（4，2）B．（1，1）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．【解答】解：∵△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，∴点A的对应点A'的坐标为：[﹣8×（﹣），4×（﹣）]即（4，﹣2）．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．7．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（）A．88B．90C．92D．93【分析】根据中位数的定义求解即可．【解答】解：从小到大排列此数据为：88，90，92，93，93，92处在第3位为中位数．故选：C．【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是解答本题的关键．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（）A．B．C．﹣1D．【分析】先由勾股定理求出AB＝，再由BD＝BC＝1，得AE＝AD＝AB﹣BD＝﹣1，即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∵BD＝BC＝1，∴AE＝AD＝AB﹣BD＝﹣1，∴＝，故选：B．【点评】本题考查了黄金分割以及勾股定理；熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键．9．（3分）如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，在上取一点E（点E不与D重合），连接EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】连接DO、CO，构造90°的圆周角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．【解答】解：如图，连接DO、CO，∵四边形ABCD为正方形，∴∠COD＝90°，∴∠CED＝∠COD＝45°，故选：B．【点评】考查了正方形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，难度不大．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，有下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2＞4ac．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的开口方向以及与y轴的交点情况，则可对①进行判断；利用抛物线的对称轴公式得到b＝﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性，可对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即2a+b＝0，故②正确；∵抛物线对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，∴A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故③错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）已知点（3，a）在抛物线y＝﹣2x2上，则a＝﹣18．【分析】把点（3，a）代入解析式即可求得a的值．【解答】解：∵点（3，a）在抛物线y＝﹣2x2上，∴a＝﹣2×32＝﹣18，故答案为﹣18．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．12．（4分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是8m．【分析】利用入射与反射得到∠APB＝∠CPD，则可判断Rt△ABP∽Rt△CDP，于是根据相似三角形的性质即可求出CD．【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝，即＝，解得：CD＝8．答：该古城墙CD的高度为8m．故答案为：8m．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．13．（4分）如图，反比例函数y＝的图象经过点A（m，3），则当y＞3时，x的取值范围为0＜x＜2．【分析】先令y＝3代入反比例函数求出m的值，然后根据图象即可求出x的范围【解答】解：由题意可知：m＝＝2，∴y＝＞3，由图象可知：0＜x＜2．故答案为：0＜x＜2．【点评】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝．【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA＝EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得结论．【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴EA＝CE＝BC﹣BE＝2﹣BE，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得EA2＝AB2+BE2，∴（2﹣BE）2＝12+BE2，解得BE＝．故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0﹣2tan60°+|1﹣2|．（2）解方程：x（x﹣2）+2﹣x＝0．【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算；（2）先变形为x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）原式＝4﹣1﹣2×﹣（1﹣2）＝4﹣1﹣2﹣1+2＝2；（2）x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．16．（6分）2021年世界大运会将在成都举办，现有三种大运会纪念卡片（如图所示），分别是印有会徽图案的A种纪念卡片和印有吉祥物“蓉宝”图案的B种、C种纪念卡片．小王将圆形转盘三等分并标上字母A，B，C，分别代表三种纪念卡片，随机转动转盘后，指针落在某个字母所在扇形部分就表示获得一张该种纪念卡片（当指针指在分界线上时重转）．（1）填空：小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是；（2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求他两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9个等可能的结果，小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的结果有4个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有9个等可能的结果，小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的结果有4个，∴小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．17．（8分）近年来，成都IFS商业大楼成了网红打卡地，楼上“翻墙”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C处距离地面AD的高度，他在甲楼底端A 处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角为45°，已知AB＝4.5米，求熊猫C处距离地面AD的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】过点B作BE⊥CD于点E，根据已知条件求出BE＝AD，设CE＝x，则CD＝BC+BD ＝x+4.5，根据锐角三角函数求出x的值，即可得出CD的值．【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，由题意可知：∵∠CBE＝45°，∠CAD＝53°，AB＝4.5米，∵∠ABE＝∠BED＝∠ADE＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE＝AD，DE＝AB＝4.5米，设CE＝x，则CD＝CE+DE＝x+4.5，在Rt△CEB中，BE＝＝＝x，在Rt△ADC中，CD＝AD•tan53°，即x+4.5＝x•tan53°，∴x≈13.64，∴CE＝13.64（米），∴CD＝CE+DE＝13.64+4.5＝18.14≈18.1（米）．答：熊猫C处距离地面AD的高度为18.1米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别交边AD，BC于点E，F，交DC的延长线于点G．（1）求证：△CFO≌△AEO；（2）若AD＝5，CD＝3，CG＝1，求CF的长．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，即可证明结论；（2）根据四边形ABCD是平行四边形，证明△CGF∽△DGE，结合（1）即可求出CF 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△COF和△AOE中，，∴△CFO≌△AEO（ASA）；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠GCF＝∠GDE，∵∠CGF＝∠DGE，∴△CGF∽△DGE，∴＝，∵△CFO≌△AEO，∴EA＝FC，∵CD＝3，AD＝5，∴ED＝AD﹣AE＝5﹣CF，∵CG＝1，∴＝，∴CF＝1．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别交x 轴，y轴于A（3，0），B（0，﹣3）两点，将直线AB向上平移7个单位长度后，刚好与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点C，与y轴交于点D，连接AD，BC．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求点C的坐标及四边形ABCD的面积．【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，由平移后的直线与反比例函数图象只有一个交点，得到△＝42﹣4×1×（﹣m）＝0，求得m的值，解析式联立，解方程组求得c的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+b过A（3，0），B（0，﹣3）两点，∴，解得，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣3；（2）将直线AB向上平移7个单位长度后得直线表达式为：y＝x+4，由得x2+4x﹣m＝0，∵平移后的直线与反比例函数图象只有一个交点，∴△＝42﹣4×1×（﹣m）＝0，∴m＝﹣4，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，由得x2+4x+4＝0，解得：x1＝x2＝﹣2，∴y＝x+4＝﹣2+4＝2，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵直线CD的表达式为y＝x+4，令x＝0，则y＝4，∴D（0，4）∵A（3，0），B（0，﹣3），∴BD＝4﹣（﹣3）＝7，∴S四边形ABCD＝BD•|x A﹣x C|＝×7×|3﹣（﹣2）|＝．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．20．（10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．i）若⊙O的直径为，sin B＝，求AD的长；ii）若CD＝2CE，求cos B的值．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠D，∠D＝∠ACD，则∠B＝∠ACD，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，得出∠DCO＝90°，则可得出结论；（2）i）连接OC，由勾股定理求出BC＝3，证明△COB∽△DCB，由相似三角形的性质得出，求出BD的长，则可得出答案；ii）连接OC，设CE＝k，得出CD＝BC＝2k，DE＝3k，证明△DAE∽△COB和△COB∽△DCB，由相似三角形的性质可得出BC的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD＝BC，∴∠B＝∠D，∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∴∠B＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；解：（2）i）连接OC，∵∠ACB＝90°，AB＝，sin B＝，在Rt△ACB中，AC＝AB•sin B，∴AC＝＝1，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵OB＝CO，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D，∵∠CBO＝∠DBC，∴△COB∽△DCB，∴，∴CB2＝OB•BD，∵AB＝，∴OA＝OB＝，∴BD＝32×＝，∴AD＝BD﹣AB＝；ii）连接CO，∵CD＝2CE，设CE＝k，∴CD＝BC＝2k，∴DE＝3k，∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，∴△DAE∽△COB，∴，设⊙O的半径为r，∴AD＝r，∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，∵△COB∽△DCB，∴，∴BC2＝OB•BD，∴（2k）2＝r×r，∴k＝r，∴BC＝2k＝r，∴cos B＝．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则ab+a+b 的值为﹣2020．【分析】先由根与系数的关系得出a+b＝2，ab＝﹣2020，再代入ab+a+b计算可得．【解答】解：根据题意知a+b＝2，ab＝﹣2022，则ab+a+b＝ab+（a+b）＝﹣2022+2＝﹣2020故答案为：﹣2020．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．22．（4分）一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b，则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为．【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意列表如下：12﹣4 1﹣﹣﹣（1，2）（1，﹣4）2（2，1）﹣﹣﹣（2，﹣4）﹣4（﹣4，1）（﹣4，2）﹣﹣﹣所有等可能的情况有6种，其中满足a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的情况有4种，则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，列出所有情况是解题的关键，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为．【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，连接CM，根据折叠的性质得到AM＝PM，∠MPN＝∠A＝90°，∠AMN＝∠PMN，由全等三角形的性质得到CP＝CD＝3，∠CMP＝∠CMD，根据相似三角形的性质进而得到结论．【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，连接CM，∵将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，∴AM＝PM，∠MPN＝∠A＝90°，∠AMN＝∠PMN，∴∠CPM＝90°，∵点M为AD的中点，∴AM＝DM＝AD＝2，∴PM＝AM＝DM＝2，在Rt△CPM与Rt△CDM中，，∴Rt△CPM≌Rt△CDM（HL），∴CP＝CD＝3，∠CMP＝∠CMD，∴∠NMC＝∠NMP+∠CMP＝90°，∴CM＝＝＝，∵∠CMN＝∠CPM＝90°，∠MCP＝∠MCP，∴△CMP∽△CNM，∴＝，∴＝，∴CN＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝的图象上（点A在第一象限），且线段AB经过点O，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，线段AC交x轴于点D，若＝，则点C的坐标是（，﹣）．【分析】如图，连接BC，OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．设A （m，）．利用相似三角形的性质求出OF，CF，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程可得结论．【解答】解：如图，连接BC，OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．设A（m，）．∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CB＝CA，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴OC＝OA•tan60°＝OA，∵∠AEO＝∠OFC＝∠AOC＝90°，∴∠AOE+∠OAE＝90°，∠AOE+∠COF＝90°，∴∠OAE＝∠FOC，∴△AOE∽△OCF，∴＝＝，∴CF＝m，OF＝，∵AD：AC＝1：3，∴AD：CD＝1：2，∵AE∥CF，∴＝＝，∴＝，∴m＝或﹣（舍弃），∴OF＝，CF＝，∴C（，﹣）．故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．25．（4分）如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直线AB上方一点，连接AD，BD，且∠ADB＝90°，过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的长度的最大值为12．【分析】由勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，可证点C，点D在以AB为直径的圆上，取AB中点O，作OF⊥AC于H，交⊙O于点F，过点F作FE'⊥BC，交BC的延长线于E'，此时BE'最长，由垂径定理和三角形中位线的性质可求OH＝，可求FH＝E'C＝3，即可求解．【解答】解：∵BC＝9，AC＝12，AB＝15，∴BC2+AC2＝225，AB2＝225，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴点C，点D在以AB为直径的圆上，如图，取AB中点O，作OD'⊥AC于H，交⊙O于点F，过点F作FE'⊥BC，交BC的延长线于E'，此时BE'最长，∵OD'⊥AC，∴AH＝HC，又∵AO＝OB，∴OH是△ABC的中位线，∴OH＝BC＝，∴FH＝OF﹣OH＝＝3，∵OF⊥AC，FE'⊥BC，∠ACE'＝90°，∴四边形HCE'F是矩形，∴FH＝CE'＝3，∴BE'＝9+3＝12，故答案为12．【点评】本题考查了最短路线问题，勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质等知识，确定点E的位置是本题的关键．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）春节即将来临，某电商平台准备销售一批服装，已知购进时的单价是150元．调查发现：销售单价是200元时，月销售量是100件，而销售单价每降低1元，月销售量就增加10件．每件服装的售价不能低于进价，设该服装的销售单价在200元的基础上降低x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该服装的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？【分析】（1）根据月销售利润＝（每件的实际售价﹣进价）×（原月销售量+10×每件降低的价格）可得函数解析式；（2）将以上所得函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）根据题意，得y＝（200﹣150﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+400x+5000；（2）y＝﹣10x2+400x+5000＝﹣10（x﹣20）2+9000，∵﹣10＜0，∴当x＝20时，y有最大值9000，销售单价为200﹣20＝180（元），答：该服装的销售单价为180元时，月销售利润最大，最大的月销售利润是9000元．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质．27．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为线段AB上一动点（点D不与A、B重合），连接CD，分别以AC，DC为斜边向右侧作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，连接EF．（1）当点F在△ABC的外部时，求证：△ACD∽△ECF；（2）如图1，当D，F，E三点共线时，求△ECF的面积；（3）如图2，当点D在BA的延长线上时，其它条件不变，连接DE，若DE∥AC，求AD的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；（2）根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可；（3）过C作CN⊥AB于点N，过A作AM⊥DE于点M，根据相似三角形的性质和三角。
2021年四川中考一模测试《数学试题》含答案解析
四川中考数学仿真模拟测试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若21x -=，则x =( ) A. 12- B. 12 C. 2- D. 22.下列计算，正确的是( )A. 632a a a ÷=B. 339b b b ⋅=C. 2222x x x +=D. ()325m m =3.学校篮球队参加比赛，场上5名主力队员的身高(单位：cm )是：160164,168,170172,,．教练现用一名身高为166cm 的队员换下场上身高为172cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大 4.如图，//,115AD BC AC BC BAD =∠=︒,，则C ∠的度数是( )A . 55B. 50C. 45D. 405.如图，在66⨯的正方形网格中，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tanC 的值为( )A. 35B. 45C. 34D. 436.关于x 的方程111a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是( ) A. 2a >- B. 2a >-，且1a ≠- C. 1a >- D. 1a >-，且2a ≠- 7.如图，在ABC 中，90,30A C PQ ∠=︒∠=︒,垂直平分BC ，与AC 交于点,P 下列结论正确的是( )A. 2PC PA <B. 2PC PA >C. 2AB PA <D. 2AB PA >8.已知函数()22(0),1,0x x y x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则当函数值6y =-时，自变量x 的值是( ) A. 2± B. 2或5- C. 2或5 D. 2-或59.在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()()3,11,1,,3,1()A B C ----，把ABC 绕着一点旋转180︒得到CDA ．则点D 的坐标为( )A. ()1,1B. ()1,1-C. ()3,1D. ()3,1-- 10.对于二次函数()22110()y ax a x a a =--+-≠，有下列结论：①其图象与x 轴一定相交；②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；③无论a 取何非零实数，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a 取何非零实数，函数图象都经过同一个点，其中正确结论个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 二、填空题(每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上)11.(02180.52---=___________________．12.一个多边形的每个内角都比每个外角大60，这个多边形的对角线条数为____________________． 13.如图，两个转盘分别等分成3个和4个扇形，每个扇形上都标有数字．同时转动两个转盘，停止后，指针都落在奇数扇形的概率是____________________．14.若实数,a b 满足()()2211a b a b ++-=，则a b +=___________________．15.若方程220()0 ax ax c a -+=≠有一个根为1,x =-那么抛物线22y ax ax c =-+与x 轴两交点间的距离为_____________________．16.如图，在Rt ABC 中，90,4,3,C AC cm BC cm ∠=︒==点P 和Q 分别在AB 和AC 上，且2.CQ BP CPQ =为等腰三角形时，BP 的长为___________________．三、解答题 (本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.先化简，再求值：22121244x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭+---+，其中6x =． 18.如图，点,,,A B C D 在同一直线上，AB CD CE =,与BF 交于点O E EOF F ∠=∠=∠,．求证.CE DF =19.学校准备开办“书画、器乐、戏曲、棋类”四个兴趣班．为了解学生对兴趣班的选择情况，随机抽取部分学生调查．每人单选一项，结果如下(尚未完善)．()1求本次调查的学生人数和扇形图中“器乐”对应圆心角的大小．()2若全校共有1200名学生，请估计选择“戏曲”的人数．()3学校将从四个兴趣班中任选取两个参加全区青少年才艺展示活动，求恰好抽到“器乐”和“戏曲”的概率．20.已知关于x 的一元二次方程()2220m x mx --+=有两个不相等的实数根12,x x ． ()1求m 的取值范围；()2若20x <且121x x >-，试求整数m 的值． 21.如图，直线y kx b =+与x 轴交于点,A 与y 轴交于点B ，与双曲线a y x =其中一支交于1522C m m ⎛-⎪+⎫ ⎝⎭，，()2,4D -()1求直线和双曲线解析式． ()2有人说“OAC 与OBD 面积相等”，请判断是否正确并说明理由．22.如图，ABCD 中，45B ∠=︒． 以点A 为圆心，AB 为半径作A 恰好经过点C ．()1CD 是否为A 的切线？请证明你的结论．()2DEF 为割线，30ADF ∠=． 当2AB =时，求DF 的长． 23.受非洲猪瘟影响，2019 年肉价大幅．上涨．某养殖场与2018年相比，生猪出栏数减少500头．平均每头出栏价是2018年的2倍，销售总额比2018年增加60%．()1若养殖场2018年生猪销售额为500万元，求2019年平均每头生猪的出栏价格．()2一猪肉专营店在5月份经营中，售价为40元/,1kg 天可卖400kg ．6月份每千克上涨2元，则1天少卖40kg ．受产业链影响继续涨价，销量继续递减．若猪肉的成本折算为36元/,kg 专营店平均每天规划毛利约500元，求这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利．24.如图，正方形ABCD 的边长为26，点E 是AB 边的中点，点F 是AD 边上一动点(不含端点)，EG BF ⊥于H ，与直线CD 交于G ．()1求证：EG BF =．()2若,C ,AF x G y ==试写出y 与x 之间的函数关系式．()3求DH 的最小值．25.如图，抛物线()()112y x x n =-+-与x 轴交于A B ，两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点,C ABC 的面积为5．动点P 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位的速度向点B 运动，过P 作PN x ⊥轴交BC 于M．交抛物线于N．()1求抛物线的解析式．()2当MN最大时，求运动的时间．()3经过多长时间，点N到点B、点C 的距离相等？答案与解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若21x -=，则x =( ) A. 12- B. 12 C. 2- D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意根据解一元一次方程的解法进行运算即可得出答案.【详解】解：21x -=化系数为1：12x =-. 故选：A.【点睛】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键. 2.下列计算，正确的是( )A. 632a a a ÷=B. 339b b b ⋅=C. 2222x x x +=D. ()325m m = 【答案】C【解析】【分析】由题意根据整式的运算法则依次对各选项进行运算即可得出答案.【详解】解：A. 633a a a ÷=，故此选项错误；B. 336b b b ⋅=，故此选项错误；C. 2222x x x +=，故此选项正确；D. ()326m m =，故此选项错误.故选：C.【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握幂的四则运算法则与整式的运算法则是解题的关键.3.学校篮球队参加比赛，场上5名主力队员的身高(单位：cm )是：160164,168,170172,,．教练现用一名身高为166cm 的队员换下场上身高为172cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大【答案】A【解析】【分析】 根据题意分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可. 【详解】解：原数据的平均数1(160164168170172)166.85⨯++++=，方差为： 222221(160166.8)(164166.8)(168166.8)(170166.8)(172166.8)18.565⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦， 新数据的平均数1(160164168170166)165.65⨯++++=，方差为： 222221(160165.6)(164165.6)(168165.6)(170165.6)(166165.6)11.845⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦. 由上可知平均数变小，方差变小.故选：A.【点睛】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差和平均数的计算公式.4.如图，//,115AD BC AC BC BAD =∠=︒,，则C ∠的度数是( )A. 55B. 50C. 45D. 40【答案】B【解析】【分析】 由题意根据平行线的性质以及等腰三角形的性质进行分析计算即可.【详解】解：∵//115AD BC BAD ∠=︒,，∴18011565B ︒︒︒∠=-=，∵AC BC =，∴65,180(6565)50B BAC C ︒︒︒︒︒∠=∠=∠=-+=.故选：B.【点睛】本题考查几何图形角的运算，熟练掌握平行线的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键.5.如图，在66⨯的正方形网格中，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tanC 的值为( )A. 35B. 45C. 34D. 43【答案】D【解析】【分析】由题意直接根据三角函数进行分析运算即可. 【详解】解：4=3tanC =对边邻边. 故选：D.【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的求值方法是解题的关键.6.关于x 的方程111a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是( ) A. 2a >-B. 2a >-，且1a ≠-C. 1a >-D. 1a >-，且2a ≠-【答案】B【解析】【分析】由题意首先解关于x 的方程，利用a 表示出x 的值，然后根据分母不等于0，且解是正数求得a 的范围即可． 【详解】解：由111a x +=-可得11a x +=-，解得2x a =+， 因为关于x 的方程111a x +=-的解是正数即20x a =+>且1x ≠， 解得2a >-，且1a ≠-.故选：B.【点睛】本题考查分式方程，正确解出关于x 的方程以及注意分母不能为0是解题的关键.7.如图，在ABC 中，90,30A C PQ ∠=︒∠=︒,垂直平分BC ，与AC 交于点,P 下列结论正确的是( )A. 2PC PA <B. 2PC PA >C. 2AB PA <D. 2AB PA >【答案】C【解析】【分析】 由题意连接BP ，并根据垂直平分线的性质进行分析求解即可.【详解】解：连接BP则130C ∠∠︒＝＝．230∴∠︒＝2PC PB PA ∴＝＝．AB PB ＜，2AB PA ∴＜.故选：C.【点睛】本题考查垂直平分线相关，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键.8.已知函数()22(0),1,0x x y x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则当函数值6y =-时，自变量x 的值是( ) A. 2±B. 2或5-C. 2或5D. 2-或5 【答案】C【解析】【分析】根据题意分别把6y =-代入两个函数求出自变量x 的值即可.【详解】解：由226x －－＝－，得24x =，且0x ≤，故取2x ＝－，由16x －－＝－，得5x ＝． 故选：D.【点睛】本题考查求自变量的值，熟练掌握分段函数的性质进行分别代入是解题的关键.9.在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()()3,11,1,,3,1()A B C ----，把ABC 绕着一点旋转180︒得到CDA ．则点D 的坐标为( )A. ()1,1B. ()1,1-C. ()3,1D. ()3,1-- 【答案】A【解析】【分析】根据题意先求出旋转中心，进而利用图形旋转的特征进行分析求解即可.【详解】解：()31A －,与(31)C ,－关于原点对称，∴旋转中心是原点．()11B ∴－,－与D 关于原点对称()11D ∴,．故选：A.【点睛】本题考查中心对称，熟练掌握图形旋转180︒即中心对称的性质是解题的关键.10.对于二次函数()22110()y ax a x a a =--+-≠，有下列结论：①其图象与x 轴一定相交；②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；③无论a 取何非零实数，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a 取何非零实数，函数图象都经过同一个点，其中正确结论个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由题意根据二次函数的性质以及图象性质依次对结论进行判断即可. 【详解】解：()1令0y ＝，则()22110ax a x a +-－－＝．解得1211,a x x a-==． ∴函数图象与x 轴的交点为()1,0，1,0a a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭． ∴①④正确．()2当0a <时，11a a->． ∴函数在1x >时，y 先随x 的增大而增大，然后再减小． ∴②错误．()3顶点横坐标211122a x a a -==-，纵坐标()()24121144a a a y a a ---==- 1122y x ∴=-． 即无论a 取何非零实数，抛物线的顶点始终在直线1122y x =-． ∴③正确．故选：C.【点睛】本题考查二次函数的性质以及图象性质，熟练掌握二次函数的性质以及图象性质是解题的关键.二、填空题(每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上)11.(01--=___________________．【答案】【解析】【分析】根据去绝对值和零指数幂运算以及二次根式的性质进行运算即可.(01--112=--22=--=故答案为：2-. 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握去绝对值和零指数幂运算以及二次根式的运算是解题的关键. 12.一个多边形的每个内角都比每个外角大60，这个多边形的对角线条数为____________________．【答案】9【解析】【分析】由题意根据内外角关系求出多边形的边数，再根据根据多边形的对角线公式()23n n -进行计算即可． 【详解】解：设外角为x 度，内角则为(x+60)度，由内外角关系可得60180x x ++=，解得60x =，即多边形的外角为60°， 所以多边形的边数为：360660︒︒=(条)， 多边形的对角线条数为：6(63)92(条).故答案为：9.【点睛】本题考查多边形的内角和外角关系以及求多边形的对角线，熟记相关计算公式是解题的关键． 13.如图，两个转盘分别等分成3个和4个扇形，每个扇形上都标有数字．同时转动两个转盘，停止后，指针都落在奇数扇形的概率是____________________．【答案】13【解析】【分析】根据题意用列表法列举出所有情况，看转盘停止后，指针都落在奇数上的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：列表得：1 2 3共有12种结果出现，指针都落在奇数的结果有4种，所以指针都落在奇数扇形的概率是：41123=. 故答案为：13. 【点睛】本题考查求概率，熟练掌握列表法以及求概率公式是解题的关键.14.若实数,a b 满足()()2211a b a b ++-=，则a b +=___________________．【答案】1或12-【解析】【分析】根据题意设a+b=x ，根据()()2211a b a b ++-=，得出x (2x-1)=1，解方程即可．【详解】解：设a+b=x ，则x (2x-1)=1，则有(x-1)(2x+1)=0，解得x=1或12-，即a b +=1或12-. 故答案为： 1或12-. 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．15.若方程220()0 ax ax c a -+=≠有一个根为1,x =-那么抛物线22y ax ax c =-+与x 轴两交点间的距离为_____________________．【答案】4【解析】【分析】根据题意求出抛物线对称轴利用对称轴到与x 轴两交点间的距离相等进行分析即可求解.【详解】解：抛物线对称轴为212a x a=-=，由方程220()0 ax ax c a -+=≠有一个根为1,x =-∴另一根为3x ＝，则两交点间的距离为4．故答案为：4.【点睛】本题考查二次函数图象性质，熟练掌握对称轴到与x 轴两交点间的距离相等这一性质是快速解答此题的关键.16.如图，在Rt ABC 中，90,4,3,C AC cm BC cm ∠=︒==点P 和Q 分别在AB 和AC 上，且2.CQ BP CPQ =为等腰三角形时，BP 的长为___________________．【答案】1511，或22135- 【解析】【分析】根据题意作PH CQ ⊥于,H PD BC ⊥于D ，进而设5PB x =，则3,4BD x PD x ==，利用勾股定理和等腰三角形性质建立等量关系，进行分析求解即可.【详解】解：因为90,4,3,C AC cm BC cm ∠=︒==由勾股定理可得5AB =．作PH CQ ⊥于,H PD BC ⊥于D ，则PHCD 是矩形，PBD ABC ．设5PB x =，则3,4BD x PD x ==4CH x ∴=．()1PQ PC =显然不成立，否则22CQ CH BP ==．即CH BP PD ==．()2当PQ CQ ＝时，210PQ CQ BP x ＝＝＝6QH x ∴＝8CD PH x ∴＝＝．113BC x ∴＝＝． 311x ∴＝ 1511BP ∴＝ ()3当PP CQ ＝时，210PC CQ BP x ＝＝＝CD PH ∴＝＝()33BC x ∴＝＝x ∴=35BP ∴=.故答案为：1511或35. 【点睛】本题考查勾股定理和等腰三角形性质，熟练运用勾股定理和等腰三角形性质以及作辅助线的技巧是解题的关键.三、解答题 (本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.先化简，再求值：22121244x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭+---+，其中x =【答案】3x -， 【解析】【分析】根据题意先利用分式的运算法则对式子进行化简，再代入x =进行计算即可.【详解】解：2212 1244x x xx x x⎛⎫÷⎪-⎝⎭+---+()()222122xx xx x x---=⋅---3x=-当6x=时，原式6=-6=-.【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键.18.如图，点,,,A B C D在同一直线上，AB CD CE=,与BF交于点O E EOF F∠=∠=∠,．求证.CE DF=【答案】详见解析【解析】【分析】根据题意利用平行线的判定定理和性质以及全等三角形的判定进行综合分析证明即可.【详解】解：证明：AB CD=，BC BC=,.AC BD∴=E EOF∠∠＝//AE BF∴,A FBD∴∠∠＝．,,,E F A FBD AC BD∠∠∠=∠=＝()ACE BDF AAS∴≌，CE DF∴＝.【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握并利用平行线的判定定理和性质以及全等三角形的判定是解题的关键.19.学校准备开办“书画、器乐、戏曲、棋类”四个兴趣班．为了解学生对兴趣班的选择情况，随机抽取部分学生调查．每人单选一项，结果如下(尚未完善)．()1求本次调查的学生人数和扇形图中“器乐”对应圆心角的大小．()2若全校共有1200名学生，请估计选择“戏曲”的人数．()3学校将从四个兴趣班中任选取两个参加全区青少年才艺展示活动，求恰好抽到“器乐”和“戏曲”的概率．【答案】(1)200，144°；(2)240；(3)1 6【解析】【分析】(1)根据题意用部分数除以部分所占比即可求出整体数，再利用“器乐”所占比求出对应圆心角的大小即可；(2)根据题意先求出选择“戏曲”的百分数，可以估计全校选择“戏曲”的人数；(3)由题意列举出所有结果，利用抽到“器乐”和“戏曲”的结果除以所有结果数即可.【详解】解：()1调查人数为3015%200÷＝(人)扇形图“器乐”对应圆心角为80360144 200⨯=.()2选择“器乐”的百分数为8040%200=选择“戏曲”的百分数为()125%15%40%20%-++=．可以估计全校选择“戏曲”的人数约为120020%240⨯＝(人).()3选取结果不管顺序，结果为“书画、器乐”，“书画、戏曲”，“书画、棋类”， “器乐、戏曲”，“器乐、棋类”，“戏曲、棋类”．共6种等可能结果．“”“”16P ∴（抽到器乐和戏曲）＝. 【点睛】本题考查条形和扇形统计图相关，熟练掌握处理条形和扇形统计图的相关技巧是解题的关键. 20.已知关于x 的一元二次方程()2220m x mx --+=有两个不相等的实数根12,x x ． ()1求m 的取值范围；()2若20x <且121x x >-，试求整数m 的值． 【答案】(1)2m ≠，且4m ≠；(2)1m ＝．【解析】【分析】(1)由题意根据方程有两个不相等的实数根，其根的判别式大于0进行分析计算即可；(2)根据题意先求出关于x 的一元二次方程的解，进而代入20x <且121x x >-进行分析计算得出整数m 的值．【详解】解：()1判别式28(2)m m ∆＝－－ ()228164m m m +＝－＝－．由题意04m ∆∴≠＞，．同时，二次项系数20m ≠－．2m ∴≠． m ∴的取值范围是2m ≠，且4m ≠ .()2由()1，当2m ≠时，方程根()()422m m x m ±--＝ 12212x x m ∴-＝,＝ 110x ＝＞，2202xm ∴<-＝ 20m ∴－＜． 2m ∴＜又12212x m x -=>- 22m ∴－＞－0m ∴＞．02m ∴＜＜．∴取整数1m ＝．【点睛】本题考查一元二次方程相关，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程的解法是解题的关键. 21.如图，直线y kx b =+与x 轴交于点,A 与y 轴交于点B ，与双曲线a y x=其中一支交于1522C m m ⎛-⎪+⎫ ⎝⎭，，()2,4D -()1求直线和双曲线的解析式．()2有人说“OAC 与OBD 面积相等”，请判断是否正确并说明理由．【答案】(1)8y x =-，152y x =+；(2)正确，理由详见解析 【解析】【分析】 (1)由题意代入点()2,4D -求出双曲线的解析式，进而得出C 的坐标利用待定系数法求出直线的解析式；(2)根据题意作CE x ⊥轴于E DF y ⊥,于F ，由1502y x =+=，得10x ＝－，由152y x =+，知()0,5B ，以此进行分析判断即可.【详解】解：()1双曲线a y x =经过点()2,4D - 248a ∴⨯＝－＝－．∴双曲线为8y x =- 将152,2C m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭代入，得()15282m m -+=- 252160m m ∴+－＝．解得82,5m m =-=(舍去) ()81C ∴－,81,2 4.k b k b -+=⎧∴⎨-+=⎩ 解得1,52k b == ∴直线为152y x =+. 2OAC （）与OBD 面积相等，正确．理由如下：作CE x ⊥轴于E DF y ⊥,于F ．()81C －,1CE ∴＝．()24D －,，2DF ∴＝由1502y x =+=，得10x ＝－ 10OA ∴＝．由152y x =+，知()0,5B 5OB ∴＝．5ACE DBF S S ∴＝＝．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数结合，熟练掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解题的关键. 22.如图，ABCD 中，45B ∠=︒． 以点A 为圆心，AB 为半径作A 恰好经过点C ．()1CD 是否为A 的切线？请证明你的结论．()2DEF 为割线，30ADF ∠=． 当2AB =时，求DF 的长． 【答案】(1)CD 是A 的切线，理由详见解析；(2)62DF +＝．【解析】【分析】 (1)根据题意连接AC ，利用平行四边形的判定与性质进行分析证明即可；(2)由题意作AH DF ⊥于H ，连接AF ，根据平行四边形的性质以及勾股定理进行分析求解.【详解】解：()1CD 是A 的切线．理由如下．连接AC ，如下图，AB AC ＝，145B ∴∠∠︒＝＝．290∴∠︒＝ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴．3290∴∠∠︒＝＝．CD AC ∴⊥CD ∴是A 的切线()2作AH DF ⊥于H ，连接AF ，如上图，由()1，BC ＝＝ABCD 是平行四边形AD BC ∴＝＝30ADF ∠︒＝， 12AH AD ∴＝DH ∴2AF ＝，FH ∴DF ∴ 【点睛】本题考查平行四边形和圆相关，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及圆的相关性质是解题的关键.23.受非洲猪瘟影响，2019 年肉价大幅．上涨．某养殖场与2018年相比，生猪出栏数减少500头．平均每头出栏价是2018年的2倍，销售总额比2018年增加60%．()1若养殖场2018年生猪销售额为500万元，求2019年平均每头生猪的出栏价格．()2一猪肉专营店在5月份经营中，售价为40元/,1kg 天可卖400kg ．6月份每千克上涨2元，则1天少卖40kg ．受产业链影响继续涨价，销量继续递减．若猪肉的成本折算为36元/,kg 专营店平均每天规划毛利约500元，求这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利．【答案】(1)平均每头猪的出栏价格是4000元；(2)这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利约为2380元．【解析】【分析】(1)根据题意设2018年平均每头猪的出栏价格为x 元，并由题干等量关系建立方程求解即可；(2)由题意设涨价a 元/kg ，则每天总利润()4036(40040)2aW a =+-⨯－，运用配方法求出最大值即可.【详解】解：()1设2018年平均每头猪的出栏价格为x 元．由题意，得 ()5000000160%50000005002x x+=+． 即1000080001x x=+ 20001x ∴= 2000x ∴=．经检验，x=2000是原方程的解且符合题意．2019∴年平均每头猪的出栏价格是4000元．()2设涨价a 元/kg ，则每天总利润()4036(40040)2a W a =+-⨯－ 即()204(20)W a a +-＝－ ()2220168020(8)2880a a a --+＝－＝－－．当8a =时，2880W =最大．28805002380-=(元)即这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利约为2380元．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并题干等量关系建立方程求解是解题的关键.本题还要注意配方法的运用.24.如图，正方形ABCD 的边长为26，点E 是AB 边的中点，点F 是AD 边上一动点(不含端点)，EG BF ⊥于H ，与直线CD 交于G ．()1求证：EG BF =．()2若,C ,AF x G y ==试写出y 与x 之间的函数关系式．()3求DH 的最小值．【答案】(1)详见解析；(2)当06x ≤＜时，y 与x 之间的函数关系式为6y x -＝；当626x <<时，y 与x 之间的函数关系式为6y x -＝；(3)26【解析】【分析】(1)根据题意作GK AB ⊥于K ，运用正方形和矩形的性质以及全等三角形的判定进行分析求证即可；(2)由()1可知KE AF x BK CG y ＝＝,＝＝，进而得出y 与x 之间的函数关系式，并作GP AB ⊥于P 同理进行分析即可求解； (3)根据题意取BE 的中点O ，连接.OH OD ,则DH OD OH ≥-，进而结合勾股定理进行分析求值即可. 【详解】解：()1证明：如图1，作GK AB ⊥于K ．ABCD 是正方形， BCGK ∴是矩形90AB BC A ABC ∠∠︒＝,＝＝．901290KG BC AB EKG ∴∠︒∠+∠︒＝＝,＝,＝．EG BF ⊥1390∴∠+∠︒＝32∴∠∠＝()KGE ABF AAS ∴≌．EG BF ∴＝()2解：如图1，由()1KE AF x BK CG y ＝＝,＝＝6x y BE ∴+＝＝∴当06x ≤＜y 与x 之间的函数关系式为6y x ＝如图2，作GP AB ⊥于P同理，BCGP 是矩形，PGE ABF ≌．PE AF x BP CG y ∴＝＝,＝＝6x y BE ∴－＝＝∴626x <<y 与x 之间的函数关系式为6y x -＝()3解：如图1，取BE 的中点O ，连接.OH OD ,则DH OD OH ≥-．EG CF ⊥，12OH BE OE ∴==． 6BE AE ＝＝6OH OE ∴＝＝362OA ∴＝ 26AD AB ＝＝222925646644OD OA AD ∴+⨯+⨯=⨯＝＝ 562OD ∴＝51662622DH ∴≥=DH ∴的最小值为6【点睛】本题考查正方形的综合问题，熟练掌握正方形和矩形的性质以及全等三角形的判定是解题的关键. 25.如图，抛物线()()112y x x n =-+-与x 轴交于A B ，两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点,C ABC 的面积为5．动点P 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位的速度向点B 运动，过P 作PN x ⊥轴交BC 于M ．交抛物线于N ．()1求抛物线的解析式．()2当MN 最大时，求运动的时间．()3经过多长时间，点N 到点B 、点C 的距离相等？【答案】(1)213222y x x ++＝－，；(2)经过3s ，MN 最大；(3)141+秒，点N 到点B 、点C 的距离相等【解析】【分析】(1)根据题意分别表示出A B ，两点以及点C ，并利用ABC 的面积为5进行分析计算即可得出答案；(2)由()1可知()()4,0,0,2B C ，根据题意设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 213,222N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭得出MN 的关系式进行配方即可；(3)根据题意作BC 的中垂线，与BC 交于点D ，与y 轴交于点E ，运用相似三角形的性质，并设直线DE 为3y kx ＝－运用方程思维进行分析求解.【详解】解：()1()()1 12y x x n +＝－－， ()110,0,0,,02()A B n C n n ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭-，, 112AB n OC n ∴+＝,＝ 由1·52ABC S AB OC ＝＝，得1(1)54n n += ()120n n ∴+＝ 取正根，4n ＝()()1 142y x x ∴+＝－－， 即213222y x x ++＝－， ()2由()1，()()4,0,0,2B C∴直线BC 为122y x =-+ 设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，213,222N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213122222MN x x m ⎛⎫⎛⎫∴=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－ ()()2221112422222m m m m m =+=--=--+ 当2m ＝时，MN 最大．2OP ∴＝3AP ∴＝即经过3s ，MN 最大.()3如图2，作BC 的中垂线，与BC 交于点D ，与y 轴交于点E ．可知C ∠为公共角，90COB CDE ︒∠=∠=，则CDE COB ∽．12CD CO DE OB ∴== 由()2，25BC ＝()2,1D225DE CD ∴＝＝5CE ∴＝3OE ∴＝()03E ∴,-设直线DE 为3y kx ＝－将()2,1D 代入，得231k －＝．2k ∴＝．∴直线DE 为23y x ＝－． 由21322322x x x ++=-－ 得2100.x x +-= 取正根141x -+= 141OM -+∴= 1412AM ∴=即经过12 秒，点N 到点B 、点C 的距离相等．【点睛】本题考查二次函数图象的动点问题，熟练掌握二次函数图象的性质以及运用方程思维和数形结合思维分析是解题的关键.。
新都初中一诊数学试卷
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…D. 22. 已知a、b是实数，若a²+b²=1，则a²-b²的值是（）A. 0B. 1C. -1D. 23. 若m，n是方程x²-2x+m=0的两根，则m+n的值是（）A. 1B. 2C. -1D. 04. 在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°5. 已知函数f(x)=2x-1，若f(x)=3，则x的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共20分）6. 若a、b是方程x²-2x+m=0的两根，则a²+b²的值是______。
7. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(-1)的值是______。
8. 在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则△ABC的面积是______。
9. 若m，n是方程x²-2x+m=0的两根，则m+n的值是______。
10. 已知函数f(x)=2x-1，若f(x)=3，则x的值是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知函数f(x)=x²-4x+3，求：（1）f(x)的对称轴；（2）f(x)在x=2时的值；（3）f(x)在x∈[1,3]时的最大值和最小值。
12. 已知等腰三角形ABC中，底边BC=8，腰AB=AC=10，求：（1）∠BAC的度数；（2）△ABC的面积。
13. 已知函数f(x)=x³-3x²+4x-12，求：（1）f(x)的零点；（2）f(x)在x∈[1,4]时的最大值和最小值。
四、附加题（每题15分，共30分）14. 已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0），若f(1)=0，f(2)=5，f(3)=10，求a、b、c的值。
2021年四川省中考数学一诊试卷含答案
2021年四川省某校中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. −3的倒数是（）A.3B.−3C.-D.2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是( )A. B. C. D.3. 我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000km2．把370000这个数用科学记数法表示为()A.37×104B.3.7×105C.0.37×106D.3.7×1064. 在平面直角坐标系中，点P(−3, 2)关于x轴对称的点的坐标是（）A.(3, 2)B.(2, −3)C.(−3, 2)D.(−3, −2)5. 已知，则的值为（）A.1B.−1C.±1D.无法确定6. 在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是( )A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定7. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；①分别以B，C为圆心，以大于12②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50∘，则∠ACB的度数为（）A.90∘B.95∘C.100∘D.105∘8. 若关于x的方程6−xx−3−2mx−3=0有增根，则m的值是（）A.3 2B.−23C.3D.−39. 如图，AC // EF // DB，若AC＝8，BD＝12，则EF＝（）A.3B.C.4D.10. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c<0；②a−b+c>1；③abc>0；④4a−2b+c<0；⑤c−a>1，其中所有正确结论的序号是()A.①②B.①③④C.①②③⑤D.①②③④⑤二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）分解因式：a2b−b＝________．已知一次函数y＝kx+k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第________象限．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30∘，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为________．已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这两位数所列的方程组是________．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）（1）计算：（2）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．先化简，再求值：a2−2ab+b2a2−b2÷a2−aba−2a+b，其中a，b满足(a−2)2+√b+1=0．某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班，为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如下表所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表：（1）统计表中的a＝________，b＝________；（2）根据调查结果，请你估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数；（3）王姝和李要选择参加兴趣班，若他们每人从A、B、C、D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率．某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65∘方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65∘≈0.91，cos65∘≈0.42，tan65∘≈2.14）(m≠0)的图象交于二、如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y = mx四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−2, 3)，点B的坐标为(4, n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AĈ = CĜ，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若OFFD = 23，求证：AE=AO；(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD = √2，求AD的长．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）已知a，b都是实数，，则a b的值为________．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−5x+a=0的两个实数根，且x12−x22=10，则a=________．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，∠B＝30∘，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．如图，过原点的直线与反比例函数y=2x (x>0)、反比例函数y=6x(x>0)的图象分别交于A、B两点，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=6x(x>0)的图象于C点，以AC为边在直线AC的右侧作正方形ACDE，点B恰好在边DE上，则正方形ACDE的面积为________．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿AE折叠至△AHE，连接BH，延长AE和BH交于点F，BF与CD交于点G，则FG＝________．五、解答题（本大题共3个小题，共30分）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y=1900元；超过15亩时，每亩获得利润y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种）．(1)请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润y与x的函数关系式；(2)如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积x不超过50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得的总利润为W元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润W（元）的最大值．天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：(1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP=CQ；(2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，CQ=2√2，求正方形ADBC的边长．在同一直角坐标系中，抛物线C1y＝ax2−2x−3与抛物线C2:y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D．（1）求A、B两点的坐标；（2）对于抛物线C2:y＝x2+mx+n在第三象限部分的一点P，作PF⊥x轴于F，交AD 于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021年四川省某校中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.【答案】C【考点】倒数【解析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】−3的倒数是-．2.【答案】C【考点】简单几何体的三视图【解析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误.故选C.3.【答案】B【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：370000用科学记数法表示应为3.7×105.故选B.4.【答案】D【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】分式的加减运算绝对值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】方差【解析】根据方差的意义求解可得．【解答】解：∵乙的成绩方差<甲成绩的方差，∴乙的成绩比甲的成绩稳定.故选B.7.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质作图—基本作图【解析】由CD＝AC，∠A＝50∘，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD＝BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．【解答】∵CD＝AC，∠A＝50∘，∴∠ADC＝∠A＝50∘，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∴∠B=1∠ADC＝25∘，2∴∠ACB＝180∘−∠A−∠B＝105∘．8.A【考点】分式方程的增根【解析】先将方程化为整式方程，由分式方程有增根可求解x值，再将x值代入计算即可求解m 值．【解答】由6−xx−3−2mx−3=0得6−x−2m＝x−3，∵关于x的方程6−xx−3−2mx−3=0有增根，∴x＝3，当x＝3时，6−3−2m＝3−3，解得m=32，9.【答案】D【考点】相似三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线当x=1、x=−1和x=−2时的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①结合图象可知，当x=1时，y=a+b+c<0，故①正确；②结合图象可知，当x=−1时，y=a−b+c>1，故②正确；③由抛物线的开口向下可知，a<0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c>0，对称轴为x=−b2a=−1，得2a=b，∴a，b同号，即b<0，∴abc>0，故③正确；④∵对称轴为x=−b2a=−1，∴点(0, 1)的对称点为(−2, 1)，∴当x=−2时，y=4a−2b+c=1>0，故④错误；=−1，即b=2a，⑤∵当x=−1时，a−b+c>1，−b2a∴c−a>1，故⑤正确．综上，正确的有①②③⑤．故选C.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）【答案】b(a+1)(a−1)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】a2b−b＝b(a2−1)＝b(a+1)(a−1)．【答案】一、二、三【考点】一次函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】5√3【考点】等腰三角形的性质三角形的外接圆与外心【解析】连接OA、OP，连接OB交AP于H，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠C＝60∘，根据正弦的概念计算即可．【解答】连接OA、OP，连接OB交AP于H，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60∘，∵PB＝AB，∴∠POB＝60∘，OB⊥AP，，则AH＝PH＝OP×sin∠POH=5√32∴AP＝2AH＝5√3，【答案】【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6个小题，共54分）【答案】原式＝3−4×+2＝3−2+2 ＝2； ，解不等式①得，x >−3，解x +5>4x −3得，x ≤4，∴ 不等式组的解集是3<x ≤2，∴ 不等式组的整数解是：−6，−1，0，5，2．【考点】解一元一次不等式组在数轴上表示不等式的解集零指数幂一元一次不等式组的整数解特殊角的三角函数值实数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：原式=(a−b)2(a+b)(a−b)⋅a a(a−b)−2a+b=1a +b −2a +b =−1a+b ，∵ a ，b 满足(a −2)2+√b +1=0，∴ a −2＝0，b +1＝0，a ＝2，b ＝−1，原式=−12−1=−1．【考点】非负数的性质：偶次方分式的化简求值非负数的性质：算术平方根【解析】先化简分式，然后将a 、b 的值代入计算即可．【解答】解：原式=(a−b)2(a+b)(a−b)⋅a a(a−b)−2a+b=1a +b −2a +b =−1a+b ，∵ a ，b 满足(a −2)2+√b +1=0，∴ a −2＝0，b +1＝0，a ＝2，b ＝−1，原式=−12−1=−1．【答案】60,0.252000×0.35＝700，所以估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数为700人；画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为7，所以两人恰好选中同一类的概率＝＝．【考点】频数（率）分布表用样本估计总体列表法与树状图法 【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥BC 于F ，则四边形EBFD 是矩形，设DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90∘，∵tan∠DAE＝，∴AE＝＝，∴BE＝300−，又BF＝DE＝x，∴CF＝414−x，在Rt△CDF中，∠DFC＝90∘，∠DCF＝45∘，∴DF＝CF＝414−x，又BE＝DF，即：300−＝414−x，解得：x＝214，故：点D到AB的距离是214m．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，根据BE＝DF＝CF，列方程可得结论．【解答】如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90∘，∵tan∠DAE＝，∴AE＝＝，∴ BE ＝300−，又BF ＝DE ＝x ，∴ CF ＝414−x ，在Rt △CDF 中，∠DFC ＝90∘，∠DCF ＝45∘，∴ DF ＝CF ＝414−x ，又BE ＝DF ，即：300−＝414−x ，解得：x ＝214，故：点D 到AB 的距离是214m ．【答案】解：(1)将点A 的坐标代入y = m x (m ≠0)，得：m =−2×3=−6， 则反比例函数的表达式为：y =−6x ， 将点B 的坐标代入上式并解得：n =−32，故点B(4, − 32)，将点A ，B 的坐标代入一次函数表达式y =kx +b ,得：{−2k +b =3，4k +b =−32， 解得：{k =−34，b =32， 故一次函数的表达式为y =−34x + 32． (2)在y =−34x + 32中，令y =0，则x =2，故点C(2, 0)， ①当∠APC 为直角时，则点P(−2, 0)；②当∠P(P′)AC 为直角时，由点A 、C 的坐标知，PC =4，AP =3，则AC =5，cos ∠ACP = PC AC = 45 = AC CP ′ = 5CP ′，解得：CP′ = 254，则OP′ = 254 − 2 = 174，故点P 的坐标为(−2, 0)或( − 174, 0)．【考点】待定系数法求一次函数解析式待定系数法求反比例函数解析式反比例函数综合题锐角三角函数的定义勾股定理【解析】(1)将点A 的坐标代入y = m x(m ≠0)得：m =−2×3=−6，则反比例函数的表达式为：y = − 6x ，将点B 的坐标代入上式并解得：n = − 32，故点B(4, − 32)，即可求解；(2)分∠APC 为直角、∠P(P ′)AC 为直角两种情况，分别求解即可．【解答】解：(1)将点A 的坐标代入y = m x (m ≠0)，得：m =−2×3=−6，则反比例函数的表达式为：y =−6x ，将点B 的坐标代入上式并解得：n =−32，故点B(4, − 32)， 将点A ，B 的坐标代入一次函数表达式y =kx +b ,得：{−2k +b =3，4k +b =−32， 解得：{k =−34，b =32， 故一次函数的表达式为y =−34x + 32．(2)在y =−34x + 32中，令y =0，则x =2，故点C(2, 0)， ①当∠APC 为直角时，则点P(−2, 0)；②当∠P(P′)AC 为直角时，由点A 、C 的坐标知，PC =4，AP =3，则AC =5，cos∠ACP = PCAC = 45 = ACCP′ = 5CP′，解得：CP′ = 254，则OP′ = 254 − 2 = 174，故点P的坐标为(−2, 0)或( − 174, 0)．【答案】(1)证明：连接OC，∵OC=OB，AĈ = CĜ，∴∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠CBD，∴∠CBD=∠OCB，∴OC // BD，∴∠ECO=∠EDB，∵CD⊥BG于点D，∴∠EDB=90∘，∴∠ECO=90∘，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)证明：∵OC // BD，∴∠OCF=∠DBF，∠COF=∠BDF，∴△OCF∼△DBF，∴OFDF = OCDB，∵OFFD = 23，∴OCDB = 23，∵OC // BD，∴△EOC∼△EBD，∴OCBD = EOEB，∴EOEB = 23，设OE=2a，则EB=3a，∴OB=OA=a，∴EA=a，∴AE=AO．(3)解：∵OC=OA=a，EO=2a，∴OC = 12EO，又∵∠OCE=90∘，∴∠E=30∘，∵∠BDE=90∘，BC平分∠EBD，∴∠EBD=60∘，∠OBC=∠DBC=30∘，∵CD = √2，∴ BC =2√2，BD = √6， ∵ OC BD = 23， ∴ OC = 2√63，作DM ⊥AB 于点M ，∴ ∠DMB =90∘，∵ BD = √6，∠DBM =60∘，∴ BM = √62，DM = 3√22， ∵ OC = 2√63， ∴ AB = 4√63，∴ AM =AB −BM = 4√63 − √62 = 5√66， ∵ ∠DMA =90∘，DM = 3√22， ∴ AD = √AM 2 + DM 2 = √(5√66)2 + (3√22)2 = √783． 【考点】切线的判定切线的性质相似三角形的性质与判定圆与相似的综合勾股定理【解析】(1)要证明CD 是⊙O 的切线，连接OC ，只要证明∠OCE =90∘即可，根据题目中的条件，可以证明OC // BD ，再根据CD ⊥BG 于点D ，从而可以证明结论成立；(2)根据三角形相似的判定与性质，OF FD = 23，可以证明AE =AO ； (3)在(2)的条件下，CD = √2，然后根据三角形相似和勾股定理可以求得AD 的长．【解答】(1)证明：连接OC ，∵ OC =OB ，AĈ = CG ̂，∴∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠CBD，∴∠CBD=∠OCB，∴OC // BD，∴∠ECO=∠EDB，∵CD⊥BG于点D，∴∠EDB=90∘，∴∠ECO=90∘，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)证明：∵OC // BD，∴∠OCF=∠DBF，∠COF=∠BDF，∴△OCF∼△DBF，∴OFDF = OCDB，∵OFFD = 23，∴OCDB = 23，∵OC // BD，∴△EOC∼△EBD，∴OCBD = EOEB，∴EOEB = 23，设OE=2a，则EB=3a，∴OB=OA=a，∴EA=a，∴AE=AO．(3)解：∵OC=OA=a，EO=2a，∴OC = 12EO，又∵∠OCE=90∘，∴∠E=30∘，∵∠BDE=90∘，BC平分∠EBD，∴∠EBD=60∘，∠OBC=∠DBC=30∘，∵CD = √2，∴BC=2√2，BD = √6，∵OCBD = 23，∴OC = 2√63，作DM⊥AB于点M，∴ ∠DMB =90∘， ∵ BD = √6，∠DBM =60∘， ∴ BM = √62，DM = 3√22， ∵ OC = 2√63， ∴ AB = 4√63，∴ AM =AB −BM = 4√63 − √62 = 5√66， ∵ ∠DMA =90∘，DM = 3√22， ∴ AD = √AM 2 + DM 2 = (5√66) + (3√22)= √783． 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）【答案】4【考点】二次根式有意义的条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】21 【考点】根与系数的关系【解析】由两根关系，得根x 1+x 2=5，x 1⋅x 2=a ，解方程得到x 1+x 2=5，即x 1−x 2=2，即可得到结论．【解答】解：由根与系数的关系，得根x 1+x 2=5，x 1⋅x 2=a ，由x 12−x 22=10得(x 1+x 2)(x 1−x 2)=10，若x 1+x 2=5，即x 1−x 2=2，∴ (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=25−4a =4， ∴ a =214.故答案为：214.【答案】2021+673【考点】旋转的性质规律型：图形的变化类含30度角的直角三角形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】4√3−4【考点】反比例函数图象上点的坐标特征一次函数图象上点的坐标特点【解析】设直线AB的解析式为y=kx，A(m, 2m )，B(n, 6n)，则C(m, 6m)，根据直线的解析式求得k=2m2=6n2，进而求得n=√3m，根据AC=AE，求得4m2=√3−1，因为S正方形=AC2=(4m)2即可求得正方形ACDE的面积；【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx，A(m, 2m )，B(n, 6n)，C(m, 6m)∴{2m =km6 n =kn，∴k=2m2=6n2，∴n=√3m，∵AC=AE，即6m −2m=n−m，∴4m =√3m−m，解得：4m2=√3−1，∵S正方形=AC2=(4m)2=4×4m2=4(√3−1)=4√3−4；【答案】2√1015【考点】翻折变换（折叠问题）正方形的性质【解析】过点H 作MN // AD ，交AB 于M ，交CD 于N ，通过证明△AMH ∽△HNE ，可得AM HN=MH EN=AH EH ，可得MH ＝2EN ，HN =1+EN 2，可求EN 的长，即可求BM ，MH ，HN 的长，由平行线分线段成比例可得HG ，GN ，EG ，GF 的长． 【解答】过点H 作MN // AD ，交AB 于M ，交CD 于N ，∴ ∠BAD ＝∠BMN ＝90∘，∠D ＝∠MNC ＝90∘， ∴ 四边形ADNM 是矩形， ∴ AM ＝DM ，MN ＝AD ＝2， ∵ 将△ADE 沿AE 折叠至△AHE ，∴ AH ＝AD ＝2，∠AHE ＝90∘，HE ＝DE ＝1，∴ ∠AHM +∠EHN ＝90∘，且∠MAH +∠AHM ＝90∘， ∴ ∠MAH ＝∠EHN ，且∠AMH ＝∠ENH ＝90∘， ∴ △AMH ∽△HNE ， ∴ AMHN =MH EN=AHEH ， ∴1+EN HN =MH EN=21，∴ MH ＝2EN ，HN =1+EN 2，∵ MH +HN ＝MN ＝2， ∴ 2EN +1+EN 2=2，∴ EN =35，∴ MH =65，HN =45，AM =85，∴ BM =25，∴ BH =√BM 2+MH 2=2√105， ∵ AB // CD ， ∴ BMNG =MH HN =BH HG =32，∴ NG =415，HG =4√1015，∴ BG =2√103，EG =13，∵ AB // CD ， ∴EG AB=FG BF，∴ 132=FG+2√103∴ FG =2√1015， 五、解答题（本大题共3个小题，共30分） 【答案】解：根据题意，设y =kx +b(k ≠0)，将x =20，y =1800和x =30，y =1600代入， 得{20k +b =1800,30k +b =1600, 解得{k =−20,b =2200,∴ y =−20x +2200(x >15). (2)当0<x ≤15时，W =1900x ， ∴ 当x =15时，W 最大=28500（元）；当15<x ≤50时，W =(−20x +2200)x =−20x 2+2200x =−20(x −55)2+60500， ∵ x ≤50，∴ 当x =50时，W 最大=60000（元），综上所述，小王家承包50亩荒山获得的总利润最大， 总利润W 的最大值为60000元． 【考点】根据实际问题列一次函数关系式 二次函数的应用【解析】（1）根据题意设y ＝kx +b ，如何待定系数法求解可得；（2）根据总利润＝每亩利润×亩数，分0<x ≤15和15<x ≤110两种情况分别求解可得． 【解答】解：根据题意，设y =kx +b(k ≠0)，将x =20，y =1800和x =30，y =1600代入， 得{20k +b =1800,30k +b =1600, 解得{k =−20,b =2200,∴ y =−20x +2200(x >15). (2)当0<x ≤15时，W =1900x ， ∴ 当x =15时，W 最大=28500（元）；当15<x ≤50时，W =(−20x +2200)x =−20x 2+2200x =−20(x −55)2+60500， ∵ x ≤50，∴当x=50时，W最大=60000（元），综上所述，小王家承包50亩荒山获得的总利润最大，总利润W的最大值为60000元．【答案】(1)问题发现：证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60∘，∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，{AB=AC，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，∴△BAP≅△CAQ(SAS)，∴BP=CQ．(2)变式探究：解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC=∠ACQ．理由如下：∵在等腰△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=12(180∘−∠ABC)，∵在等腰△APQ中，AP=PQ，∴∠PAQ=12(180∘−∠APQ)，∵∠APQ=∠ABC，∴∠BAC=∠PAQ，∴△BAC∼△PAQ，∴BAAC =PAAQ，∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，∴△BAP∼△CAQ，∴∠ABC=∠ACQ．(3)解决问题：解：连接AB，AQ，如图3所示：∵四边形ADBC是正方形，∴ABAC=√2，∠BAC=45∘，∵Q是正方形APEF的中心，∴APAQ=√2，∠PAQ=45∘，∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，∵ABAC =APAQ=√2，∴△ABP∼△ACQ，∴ACAB =CQBP=√2，∵CQ=2√2，∴BP=√2CQ=4，设PC=x，则BC=AC=4+x，在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，即62=(4+x)2+x2，解得：x=−2±√14，∵x>0，∴x=−2+√14，∴正方形ADBC的边长=4+x=4−2+√14=2+√14．【考点】全等三角形的性质与判定等边三角形的性质相似三角形的性质与判定正方形的性质勾股定理【解析】（1）问题发现易证AB＝AC，AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，由SAS证得△BAP≅△CAQ，即可得出结论；（2）变式探究由等腰三角形的性质得出∠BAC=12(180∘−∠ABC)，∠PAQ=12(180∘−∠APQ)，由∠APQ＝∠ABC，得出∠BAC＝∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出BAAC =PAAQ，易证∠BAP＝∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，得出∠ABC＝∠ACQ；（3）解决问题连接AB、AQ，由正方形的性质得出ABAC =√2，∠BAC＝45∘，APAQ=√2，∠PAQ＝45∘，易证∠BAP＝∠CAQ，由ABAC =APAQ=√2，得出△ABP∽△ACQ，则ACAB=CQ BP =√2，求出BP=√2CQ＝4，设PC＝x，则BC＝AC＝4+x，在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，代入求出x＝−2+√14，即可得出结果．【解答】(1)问题发现：证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60∘，∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，{AB=AC，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，∴△BAP≅△CAQ(SAS)，∴BP=CQ．(2)变式探究：解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC=∠ACQ．理由如下：∵在等腰△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=12(180∘−∠ABC)，∵在等腰△APQ中，AP=PQ，∴∠PAQ=12(180∘−∠APQ)，∵∠APQ=∠ABC，∴∠BAC=∠PAQ，∴△BAC∼△PAQ，∴BAAC =PAAQ，∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，∴△BAP∼△CAQ，∴∠ABC=∠ACQ．(3)解决问题：解：连接AB，AQ，如图3所示：∵四边形ADBC是正方形，∴ABAC=√2，∠BAC=45∘，∵Q是正方形APEF的中心，∴APAQ=√2，∠PAQ=45∘，∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，∵ABAC =APAQ=√2，∴△ABP∼△ACQ，∴ACAB =CQBP=1√2，∵CQ=2√2，∴BP=√2CQ=4，设PC=x，则BC=AC=4+x，在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，即62=(4+x)2+x2，解得：x=−2±√14，∵x>0，∴x=−2+√14，∴正方形ADBC的边长=4+x=4−2+√14=2+√14．【答案】∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝−3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝−1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2−2x−3，C2的函数表达式为y＝x2+2x−3；在C2的函数表达式为y＝x2+2x−3中，令y＝0可得x2+2x−3＝0，解得x＝−3或x＝1，∴A(−3, 0)，B(1, 0)；∵点E、E′关于直线PD对称，∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．∵PE平行于y轴，∴∠EPD＝∠PDE′，∴∠E′PD＝∠PDE′，∴PE′＝DE′，∴PE＝DE＝PE′＝DE′，即四边形PEDE′是菱形．当四边形PEDE′是菱形存在时，由直线AD解析式y＝−x−3，∠ADO＝45∘，设P(a, a2+2a−3)，E(a, −a−3)，∴DE=−√2a，PE＝−a−3−a2−2a+3＝−a2−3a，∴−a2−3a=−√2a，解得a1＝0（舍去），a2=√2−3，∴P(√2−3,2−4√2)．存在．∵AB的中点为(−1, 0)，且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，当AB为平行四边形的一边时，∴GQ // AB且GQ＝AB，由（2）可知AB＝1−(−3)＝4，∴GQ＝4，设G(t, t2−2t−3)，则Q(t+4, t2−2t−3)或(t−4, t2−2t−3)，①当Q(t+4, t2−2t−3)时，则t2−2t−3＝(t+4)2+2(t+4)−3，解得t＝−2，∴t2−2t−3＝4+4−3＝5，∴G(−2, 5)，Q(2, 5)；②当Q(t−4, t2−2t−3)时，则t2−2t−3＝(t−4)2+2(t−4)−3，解得t＝2，∴t2−2t−3＝4−4−3＝−3，∴G(2, −3)，Q(−2, −3)，当AB为平行四边形的对角线时，设G(m, m2−2m−3)，Q(n, n2+2n−3)，∴{−3+12=m+n20+0−m2+2m+3=n2+2n−3，解得m=√3，n＝−2−√3或m=−√3，n＝−2+√3，∴G(√3, −2√3)，Q(−2−√3, 2√3)或G(−√3, 2√3)，Q(−2+√3, −2√3)．综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G(−2, 5)，Q(2, 5)或G(2, −3)，Q(−2, −3)或G(√3, −2√3)，Q(−2−√3, 2√3)或G(−√3, 2√3)，Q(−2+√3, −2√3)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；（2）可判定四边形PEDE′是菱形，然后根据PE＝DE的条件，列出方程求解；（3）由题意可知AB可能为平行四边形的边或对角线，利用平行四边形的性质，可设出G点坐标和Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得G、Q的坐标．【解答】∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝−3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝−1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2−2x−3，C2的函数表达式为y＝x2+2x−3；在C2的函数表达式为y＝x2+2x−3中，令y＝0可得x2+2x−3＝0，解得x＝−3或x＝1，∴A(−3, 0)，B(1, 0)；∵点E、E′关于直线PD对称，∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．∵PE平行于y轴，∴∠EPD＝∠PDE′，∴∠E′PD＝∠PDE′，∴PE′＝DE′，∴PE＝DE＝PE′＝DE′，即四边形PEDE′是菱形．当四边形PEDE′是菱形存在时，由直线AD解析式y＝−x−3，∠ADO＝45∘，设P(a, a2+2a−3)，E(a, −a−3)，∴DE=−√2a，PE＝−a−3−a2−2a+3＝−a2−3a，∴−a2−3a=−√2a，解得a1＝0（舍去），a2=√2−3，∴P(√2−3,2−4√2)．存在．∵AB的中点为(−1, 0)，且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，当AB为平行四边形的一边时，∴GQ // AB且GQ＝AB，由（2）可知AB＝1−(−3)＝4，∴GQ＝4，设G(t, t2−2t−3)，则Q(t+4, t2−2t−3)或(t−4, t2−2t−3)，①当Q(t+4, t2−2t−3)时，则t2−2t−3＝(t+4)2+2(t+4)−3，解得t＝−2，∴t2−2t−3＝4+4−3＝5，∴G(−2, 5)，Q(2, 5)；②当Q(t−4, t2−2t−3)时，则t2−2t−3＝(t−4)2+2(t−4)−3，解得t＝2，∴t2−2t−3＝4−4−3＝−3，∴G(2, −3)，Q(−2, −3)，当AB为平行四边形的对角线时，设G(m, m2−2m−3)，Q(n, n2+2n−3)，∴{−3+12=m+n20+0−m2+2m+3=n2+2n−3，解得m=√3，n＝−2−√3或m=−√3，n＝−2+√3，∴G(√3, −2√3)，Q(−2−√3, 2√3)或G(−√3, 2√3)，Q(−2+√3, −2√3)．综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G(−2, 5)，Q(2, 5)或G(2, −3)，Q(−2, −3)或G(√3, −2√3)，Q(−2−√3, 2√3)或G(−√3, 2√3)，Q(−2+√3, −2√3)．。
精品解析：四川省成都市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2021~2022学年度上期九年级期末质量检测数学一、选择题1.20222021的相反数是（）A.20222021B.20212022 C.20212022D.20222021【答案】A【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】解：20222021的相反数是-20222021，故选：A．【点睛】本题考查的是相反数，熟练掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．2.下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接根据三视图中主视图的定义即可判断．【详解】根据几何体三视图中主视图的定义；正方体的主视图是矩形，不符合题意；圆柱体的主视图是矩形，不符合题意；圆锥的主视图是三角形，符合题意；B、球的主视图是圆，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面往后看．3.新华社日内瓦2021年12月15日电：世界卫生组织15日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例接近270000000例．将数据270000000用科学记数法表示为（）A.72710B.82.710C.92.710D.90.2710 【答案】B 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：270000000=82.710 ，故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.如图，在ABC 中，∠C ＝35°，AB ＝AC ，则∠B 的大小为（）A.20°B.25°C.30°D.35°【答案】D 【解析】【分析】根据等边对等角求角度．【详解】解：∵∠C ＝35°，AB ＝AC ，∴35B C ＝，故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，熟记性质是解题的关键．5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.两组对边分别相等B.对角线相等C.两组对边分别平行D.对角线互相平分【答案】B 【解析】【分析】根据矩形和平行四边形的性质逐一判断即可．【详解】解：A ．矩形和平行四边形的两组对边都分别相等，故此选项不符合题意；B ．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故此选项符合题意；C ．矩形和平行四边形的两组对边都分别平行，故此选项不符合题意；D ．矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，熟知二者的性质是解题的关键．6.下列计算正确的是（）A.222a b a b B.3263a b a b C.623a a a D.224a a a 【答案】B 【解析】【分析】根据完全平方公式计算并判定A ，积的乘方与幂的乘方计算并判定B ，同底数幂相除运算法则计算并判定C ，合并同类项法则计算并判定D ．【详解】解：A ．(a +b )2=a 2+2ab +b 2，故此选项不符合题意；B ．(-a 2b )3=-a 6b 3，故此选项不符合题意；C ．a 6÷b 2=a 4，故此选项不符合题意；D ．a 2+a 2=2a 2，故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查完全平方公式，积的乘方和幂的乘方运算，同底数幂相除的运算，合并同类项法则，掌握幂的运算法则是解题关键．7.如图，AB ∥CD ，AC 、BD 交于点O ，若AB ＝6，CD ＝3，DO ＝4，则BO 的长是（）A.10B.9C.8D.7【答案】C 【解析】【分析】首先利用AB ∥CD ，证得ABO CDO ∽，然后利用对应线段相似求出OB 的长．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴ABO CDO ∽，∴OB ABOD CD，即6 43 OB，解得：OB=8．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活利用已知条件及图形进行证明求解是解题的关键．8.一元二次方程220x x 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根【答案】D【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-7＜0，进而可得出方程220x x 没有实数根．【详解】解：∵△=b2-4ac=12-4×1×2=-7＜0，∴方程220x x 没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．9.下表是某公司某月的工资表统计图：则该月员工月收入的中位数、众数分别是（）A.5500，5000B.5000，3400C.3400，3000D.5250，3000【答案】C【解析】【分析】根据中位数和众数的概念，从小到大排列顺序后最中间的一个数叫这组数据的中位数；众数为出现次数最多的数；据此解答即可．【详解】解：数据3000出现次数最多，所以众数是3000，共25个数据，把数据按照从大到小排列后，排在中间位置的是3400元，所以中位数是：3400；故选：C．【点睛】此题考查中位数和众数的意义及运用：中位数代表一组数据的“中等水平”，众数代表一组数据的“多数水平”．10.在同一平面直角坐标系中，函数y ＝－mx －m 与 0my m x的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可．【详解】A.由一次函数图象知，0m ＞，由反比例函数图象知，0m ，不可能成立，故A 错误；B.由一次函数图象知，0m ＜，由反比例函数图象知，0m ，可能成立，故B 正确；C.由一次函数图象知，0m ＜，由反比例函数图象知，0m ，不可能成立，故C 错误；D.由一次函数图象知，0m ，由反比例函数图象知，0m ，不可能成立，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析，理解函数图象与系数之间的关系是解题关键．二、填空题11.分解因式：2a ab =_______________．【答案】a （a ﹣b ）．【解析】【详解】解：2a ab =a （a ﹣b ）．故答案为a （a ﹣b ）．【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．12.中字母x 的取值范围是______．【答案】x ≥2【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得：3x -6≥0，解得：x ≥2，故答案为：x ≥2．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．13.现有一小树苗高100cm ，以后平均每年长高50cm ．x 年后树苗的总高度y （cm ）与年份x （年）的关系式是______．【答案】 501000y x x 【解析】【分析】根据一小树苗高100cm ，以后平均每年长高50cm ，列出关系式即可．【详解】解：由题意得： 501000y x x ，故答案为： 501000y x x ．【点睛】本题主要考查了列关系式，正确理解题意是解题的关键．14.如图，平行四边形ABCD 中，AB >AD ，以点A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F 两点；再分别以E ，F 为圆心，大于EF 的一半长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线AG 交CD 于点H ．若BC ＝12，则DH ＝______．【答案】12【解析】【分析】依据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到DAH DHA ＝，进而得到DA ＝DH ．【详解】解：由作图可得，AH 平分∠BAD ，∴BAH DAH ＝，∵平行四边形ABCD ，∴CD ∥AB ，AD =BC =12∴BAH DHA ＝，∴DAH DHA ＝，∴DA ＝DH ，又∵AD ＝12，∴DH ＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查基本作图以及平行四边形的性质的运用，等腰三角形的性质与判定，解题关键是掌握平行四边形的对边平行．三、解答题15.（1）计算： 201π 3.1134；（2）解方程：24120x x ．【答案】（1）+7；（2）x 1＝6，x 2＝﹣2．【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂、化简绝对值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算加减即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．【详解】（1）解：201π 3.1134＝﹣﹣1＝+7；（2）解：x 2﹣4x ﹣12＝0，（x ﹣6）（x +2）＝0，则x ﹣6＝0或x +2＝0，解得x 1＝6，x 2＝﹣2．【点睛】本题主要考查实数混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．16.化简：221139x x x．【答案】x -3【解析】【分析】先通分，计算括号内的，再把除转化为乘，将分子、分母分解因式，最后约分即可求解．【详解】解：原式=11333x x x x x =33131x x x x x =x -3【点睛】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式四则运算法则与运算顺序．17.如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC 绕着点C 逆时针旋转90°．（1）画出旋转后的A B C △；（2）求线段AC 在旋转过程中所扫过的扇形的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 旋转后的对应点A′、B′的位置，然后顺次连接即可；（2）先求出AC 的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解．【小问1详解】解：如图所示，A B C △如图所示：【小问2详解】由图可知，AC =2，∴线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积2902360．【点睛】本题主要考查了画旋转图形，求图形扫过的面积，熟知相关知识是解题的关键．18.某学校为全体960名学生提供了A 、B 、C 、D 四种课外活动，为了解学生对这四种课外活动的喜好情况，学校随机抽取240名学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）在抽取的240人中最喜欢A活动的人数为______，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为______，估计全体960名学生中最喜欢B活动的人数有______；（2）现从甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人担任“课外活动安全监督员”，请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，求乙被选到的概率．【答案】（1）60人；108 ；336人（2）12【解析】【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数，先求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得，用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），则最喜欢C套餐的人数为240−（60＋84＋24）＝72（人），∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为72 360108240，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为84960336240（人），故答案为：60人，108°，336人；【小问2详解】（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中乙被选到的结果数为6，∴乙被选到的概率为：61122．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．由图表获取正确的信息是解题关键．19.如图，反比例函数1ky x（k 为常数，且0k ）的图象与一次函数222y x 的图象都经过点 1,A m ，点 ,B a b ．（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）求点B 的坐标，并结合图象直接写出当12y y 时x 的取值范围．【答案】（1）A （1，4），14y x；（2）B （-2，-2），x <-2或0<x <1【解析】【分析】（1）将点A 代入222y x ，求出m ，得到A 的坐标，再代入1ky x求出k 即可；（2）解方程422x x即可求出点B 的坐标；当12y y 时，即y 1的图象都在y 2图象的上方，根据图象直接得到答案．【小问1详解】解：将点A 代入222y x ，得m =4，∴A （1，4）；∵1k y x过点A ，∴144k ，∴反比例函数的表达式为14y x；【小问2详解】解：∵1k y x与222y x 交于点A ，点B ，∴422x x ，∴x =-2或x =1，∴y =-2或y =4，∴点B 的坐标为（-2，-2）；当12y y 时x 的取值范围是x <-2或0<x <1．【点睛】此题是一次函数与反比例函数的综合题，能利用待定系数法求函数解析式，求交点坐标，利用图象求自变量的取值范围，正确理解图象是解题的关键．20.如图，在四边形ABCD 中AD CB ∥，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与四边形ABCD 的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）当MN 平分AMC 时，①求证：四边形ANCM 为菱形；②当四边形ABCD 是矩形时，若8AD ，AC DM 的长．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②3【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AM =CN ，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）①根据角平分线的定义得到∠AMN =∠CMN ，根据平行线的性质得到∠AMN =∠CNM ，得到CM =CN ，根据菱形的判定定理得到平行四边形ANCM 为菱形；②根据菱形的性质得到∠ABN =90°，BC =AD =8，根据勾股定理得到即可得到结论．【小问1详解】证明：∵AD BC ∥，O 为对角线AC 的中点，∴AO CO ，OAM OCN ，AMO CNO在AOM 和CON 中，{OAM OCNAMO CNO AO CO，∴ AOM CON AAS △△，∴AM CN ，∵AM CN ∥，∴四边形ANCM 为平行四边形；【小问2详解】解：①∵MN 平分AMC ，∴AMN CMN ，∵AD BC ∥，∴AMN CNM ，∴CMN CNM ，∴CM CN ，∴平行四边形ANCM 为菱形；②∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABN ，8BC AD ，而AM CN ，∴4AB ，AM AN NC AD DM ，BN DM ，在Rt ABN △中，根据勾股定理，得222AN AB BN ，∴ 22284DM DM ，解得3DM ．故DM 的长为3．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明△AOM ≌△CON ．四、填空题21.若实数x ，y 满足x －2＝y ，则代数式222x xy y 的值为______．【答案】4【解析】【分析】由x －2＝y ，可知x -y =2，将222x xy y 转化为： 2x y ，整体代入，即可求得结果．【详解】解：∵x －2＝y ，∴x -y =2，∴ 22222=24x xy y x y ．故答案为：4．【点睛】本题主要考查的是整式乘法中利用整体代入的方法进行求值，灵活利用公式是解题的关键．22.若1x ，2x 是一元二次方程220210x x 的两个实数根，则2112325x x x 的值为______．【答案】2024【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2112021x x ，则2112325x x x 化为 1222027x x ，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是一元二次方程x 2-x -2021=0的根，∴x 12-x 1-2021=0，即x 12=x 1+2021，∴x 12-3x 1-2x 2+5=x 1+2021-3x 1-2x 2+5=-2（x 1+x 2）+2026，∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-x -2021=0的两个实数根，∴x 1+x 2=1，∴x 12-3x 1-2x 2+5=-2×1+2026=2024．故答案为：2024．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a，x 1•x 2=c a ．23.若点 11,A x y ， 22,B x y ， 33,C x y 都在反比例函数7y x的图象上，已知2130x x x ，则1y ，2y ，3y 由小到大的排列顺序是______．【答案】123y y y 【解析】【分析】根据反比例函数7y x，可知函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，进而得到1y ，2y ，3y 的大小关系．【详解】解：∵反比例函数解析式为7y x，∴函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，又∵2130x x x ∴30y ，120y y ，∴123y y y ，故答案为：123y y y ．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，利用函数的性质比较函数值的大小，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．24.若实数a 使关于x 的分式方程2411a x x 的解为正数，且使关于y 的不等式组 2132220y y y a的解集为y >a ，求符合条件的所有整数a 的和为______．【答案】13【解析】【分析】先解分式方程得x =64a ，再由题意可得64a ＞0，且64a ≠1，可求得a ＜6且a ≠2；再解不等式组，结合题意可得a ＞1，则可得所有满足条件的整数为1，3，4，5，求和即可．【详解】解：2411a x x ，2-a =4（x -1），2-a =4x -4，4x =6-a ，x =64a ，∵方程的解为正数，∴6-a ＞0，∴a ＜6，∵x ≠1，∴64a ≠1，∴a ≠2，∴a ＜6且a ≠2，213222()0y y y a ①②，由①得y ≥1，由②得y ＞a ，∵不等式组的解集为y ＞a ，∴a ≥1，∴符合条件a 的整数有1，3，4，5，∴符合条件的所有整数a 的和为13，故答案为：13．【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集取法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．25.如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上（AE <EC ），连接DE 并延长交AB 于点F ，过点E 作EG ⊥DE 交BC 于点G ，连接DG FG ，DG 交AC 于H ，现有以下结论：①DE ＝EG ；②222AE HC EH ；③DEH S为定值；④CG CD；⑤GF ．以上结论正确的有______（填入正确的序号即可）．【答案】①②④⑤【解析】【分析】通过证明点D ，点E ，点G ，点C 四点共圆，可得∠EGD =∠EDG =45°，可得DE =EG ，故①正确；由旋转的性质可得AN =CH ，DN =DH ，∠DCH =∠DAN =45°，∠CDH =∠ADE ，由“SAS”可证△DEN ≌△DEH ，可得EN =EH ，由勾股定理可得CH 2+AE 2=HE 2，故②正确；利用特殊位置可得EH 的长是变化的，且点D 到EH 的距离不变，则S △DEH 不是定值，故③错误；由“SAS”可证△DNE ≌△GCE ，可得NE =CE ，∠DEN =∠CEG ，由等腰直角三角形的性质可得CD +CG CE ，故④正确；通过证明△DEH ∽△DGF ，可得FG EH ，故⑤正确；即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD =∠ACB =45°，∵EG ⊥DE ，∴∠DEG =∠DCG =90°，∴点D ，点E ，点G ，点C 四点共圆，∴∠DCE =∠DGE =45°，∠GDE =∠GCE =45°，∴∠EGD =∠EDG ，∴DE =EG ，故①正确；如图，将△CDH 绕点D 顺时针旋转90°，得到△ADN ，连接NE ，∴AN =CH ，DN =DH ，∠DCH =∠DAN =45°，∠CDH =∠ADE ，∴∠NAE =90°，∴AN 2+AE 2=NE 2，∵∠FDG =45°，∴∠ADE +∠CDH =45°，∴∠ADE +∠ADN =45°，∴∠NDE =45°=∠FDG ，又∵DE =DE ，DN =DH ，∴△DEN ≌△DEH （SAS ），∴EN =EH ，∴AN 2+AE 2=HE 2，∴CH 2+AE 2=HE 2，故②正确；当点E 与点A 重合时，EH =2AC ，当AE=HC时，∵CH2+AE2=HE2，EH，∴AE=CH=2∴EH=-1）AC，∴EH的长是变化的，又∵点D到EH的距离不变，∴S△DEH不是定值，故③错误；如图，延长CD到N，使DN=CG，连接NE，∵点D，点E，点G，点C四点共圆，∴∠CDE+∠CGE=180°，又∵∠CDE+∠NDE=180°，∴∠NDE=∠CGE，又∵DN=CG，DE=GE，∴△DNE≌△GCE（SAS），∴NE=CE，∠DEN=∠CEG，∴∠NED+∠DEC=∠CEG+∠DEC=90°，∴∠NEC=90°，∴NC CE，∴CD+CG CE，故④正确；如图，连接HF，∵∠FDG =∠CAB =45°，∴点A ，点D ，点H ，点F 四点共圆，∴∠DAC =∠DFH =45°，∴∠DGE =∠DFH =45°，∴点E ，点F ，点G ，点H 四点共圆，∴∠EFG +∠EHG =180°，又∵∠EHG +∠DHE =180°，∴∠DHE =∠DFG ，又∵∠EDH =∠FDG ，∴△DEH ∽△DGF ，∴FG EH =DG DE ，∴FG EH ，故⑤正确；故答案为：①②④⑤．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形或全等三角形是解题的关键．五、解答题26.某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．经调查发现，这种台灯的售价x 每上涨1元，其销售量y 就将减少10个（40≤x ≤60）．（1）求每月销售量y （用含x 的代数式表示）．（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应购进台灯多少个？【答案】（1）1010004060y x x （2）这种台灯的售价应定为50元；这时应购进台灯500个【解析】【分析】（1）直接根据题意用x 表示y 即可；（2）根据销售利润=销售量×单个的利润=10000，列出方程，解方程即可．【小问1详解】解：∵以40元售出，平均每月能售出600个，售价x 每上涨1元，其销售量y 就将减少10个，∴每月销量y 与售价x 的函数关系式为：6001040101000y x x ；即 1010004060y x x ．【小问2详解】根据题意得： 3010100010000x x ，解得：150x ，280x ，∵4060x ，∴280x 舍去，∴这种台灯的售价应定为50元；这时应购进台灯：10501000500 （个）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出方程是解题的关键．27.如图所示，已知边长为13的正方形OEFG ，其顶点O 为边长为10的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，连接CE ，DG ．（1）求证：DOG COE ≌；（2）当点D 在正方形OEFG 内部时，设AD 与OG 相交于点M ，OE 与DC 相交于点N ．求证：MD ND ；（3）将正方形OEFG 绕点O 旋转一周，当点G ，D ，C 三点在同一直线上时，请直接写出EC 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）3或17【解析】【分析】（1）先由正方形的性质得到OD =OC ，OG =OE ，只需要证明∠GOD =∠EOC 即可证明DOG COE ≌；（2）如图所示，过点O 作OK ⊥AD 于K ，OJ ⊥CD 于J ，则四边形OJDK 是矩形，先证明四边形OJDK 是正方形，得到OK =OJ =DK =DJ ，则OD；再证OKM OJN ≌得到KM =JN ，由此即可得到答案；（3）分G 在CD 延长线上和G 在DC 的延长线上，两种情况讨论求解即可．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴OD =OC ，∠DOC =90°，∵四边形EFGO 是正方形，∴90GOE DOC ，OG =OE ，∴GOE DON DOC DON ，即∠GOD =∠EOC ，∴GOD EOC SAS ≌（）；【小问2详解】解：如图所示，过点O 作OK ⊥AD 于K ，OJ ⊥CD 于J ，则四边形OJDK 是矩形，又∵∠JDO =45°，∴DJO 是等腰直角三角形，∴DJ =OJ ，∴四边形OJDK 是正方形，∴OK =OJ =DK =DJ ，∴OD ；∵90GOE KOJ ，∴KOM JON ，又∵90OKM OJN ，∴OKM OJN ASA ≌（），∴KM =JN ，∴22DM DN DK KM DJ NJ DK KM DJ KM DJ OD【小问3详解】解：如图2所示，过点O 作OH ⊥CD 于H ，∵∠DOC =90°，CD =10，OD =OC ，OH ⊥DC ，∴DH =CH =5，∴152OH CD ，∵OG =13，∴2212GH OG OH ，∴DG =GH -DH =7，∵DOG COE ≌，∴CE =DG =3；如图3所示，当G 在DC 的延长线上时，同理可得GH =12，DG =DH +GH =17，∴CE =DG =17，综上所述，满足题意的CE 的长为3或17．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的相关知识．28.如图，点A 是反比例函数 0k y k x图象上的点，AB 平行于y 轴，且交x 轴于点 10B ,，点C 的坐标为 1,0 ，AC 交y 轴于点D ，连接BD ，AD（1）求反比例函数的表达式；（2）设点P 是反比例函数 0k y x x图象上一点，点Q 是直线AC 上一点，若以点O ，P ，D ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标；（3）若点 ,M a b 是该反比例函数k y x图象上的点，且满足∠MDB >∠BDC ，请直接写a 的取值范围．【答案】（1）4=y x（2），，(2 （3）2a 或11-3302a【解析】【分析】（1）由AB ∥y 轴，AD AC ，BC =2，再利用勾股定理即可求得AB ，得出点A (1，4)，运用待定系数法即可求得答案；（2）利用待定系数法求得直线AC 的解析式为y =2x +2，设Q (m ，2m +2)，分类讨论：当OD 为平行四边形的边时，运用平行四边形对边平行且相等建立方程求解即可；当OD 为平行四边形的对角线时，运用平行四边形对角线互相平分建立方程求解即可；（3）分两种情况：当点M (a ，b )在第三象限时，设直线AC 与双曲线4=y x在第三象限的交点为E ，求得点E 的横坐标即可得出答案；当点M (a ，b )在第一象限时，如图4，将△DBC 沿着DB 翻折得到△DBE ，过点B 当点M (a ，b )在第一象限时，如图|4，将△DBC 沿着DB 翻折得到△DBE ，过点B 作BK ⊥CD 于点K ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，延长DE 与双曲线4=y x在第一象限的交点为G ，运用翻折的性质和相似三角形性质求出点E 的坐标，再运用待定系数法求得直线DE 的解析式，求出直线DE 与双曲线的交点横坐标即可得出答案．【小问1详解】解：∵ 10B ,，C 1,0 ∴OB =OC =1∵AB ∥y 轴，AD∴AC ，BC =2∵∠ABC =90°∴AB 4∴A （1，4）∵点A 是反比例函数 0k y k x图象上的点∴4=1k解得k =4∴反比例函数的解析式是4=y x【小问2详解】解：设直线AC 的解析式为y =ax +b ，∵A (1，4)，C (-1，0)∴+=4-+=0a b a b 解得=2=2a b ∴直线AC 的解析式为y =2x +2设Q （m ，2m +2）当OD 为平行四边形的边时，如图1，则PQ ∥OD ，PQ =OD ，∴4(,)P m m ∴PQ =|2m +2-4m |在Rt △CDO 中，OD 2∴|2m +2-4m |=2解得=m 或=m ∵点P 在第一象限∴m >0∴或m∴1Q ，2Q ，当OD 为平行四边形的对角线时，如图2则33//O P D Q ∵3DQ 所在直线AC 的解析式为y =2x +2∴3OP 所在的直线的解析式为y =2x联立可得2x =4x∴= x ∵点P 在第一象限∴P ∵四边形33O P D Q 是平行四边形∴PK =DK ，33=P K Q K ∴+2=02m解得m∴3(Q综上，点Q 的坐标为，，(2 ．【小问3详解】当点M （a ，b ）在第三象限，如图，设直线ACAC 与双曲线4=y x 在第三象限的交点为E ，由42+2=x x，解得x =1或x =-2∴E （-2，-2）∵a <-2当点M （a ，b ）在第一象限时，如图4将△DBC 沿着DB 翻折得到△DBE ，过点B 做BK ⊥CD 于K ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，延长DE 与双曲线4=y x 在第一象限的交点为G ，∵11==22D BC S BC O D CD BK∴45===5BC O D BK CD ∴DK355由翻折知：∠DBE =∠DBC ，∠DEB =∠DCB ，∠BDE =∠BDC ，BE =BC =2∵Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AD =CD∴BD =CD △∴∠DBC =∠DCB∴∠DBE =∠DBC =∠DEB =∠DCB∵∠DBC +∠DCB +∠BDC =180°，∠DBC +∠DBE +∠EBF =180°∴∠EBF =∠BDC∵∠BFE =∠BKD =90°∴△BEF ∽△DBK ∴==BF EF BE D K BK BD==354555∴BF =65，EF =85∴OF =OB +BF =1+611=55∴118(,55E 设直线DE 的解析式为y =cx +d∵D （0，2），118(,55E ∴=2118+=55d c d 解得2=11=2c d ∴直线DE 的解析式是2211y x+ 由42=-+211x x ，解得1133=2x ∴11-3302a 综上，a 的取值范围是2a 或11-3302a．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．第28页/共28页。
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（2）若 ，连结 ，①求证： ；②求 的度数；
（3）若 ， ， ，M是 的中点，求 的长。
28．如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，已知点 、 ，点 、 在第二象限内.
（1）点 的坐标___________；
（2）将正方形 以每秒 个单位的速度沿 轴向右平移 秒，若存在某一时刻 ，使在第一象限内点 、 两点的对应点 、 正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时 的值以及这个反比例函数的解析式；
15．已知a是方程 的一个根，则代数式 的值为_______。
16．如图，已知直线 ∥ ∥ ∥ ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．
17．若方程 的根为负数，则k的取值范围是______。
18．如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ= （Q在P的下方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为______．
9．菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补
10．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（0，2.5）C．（0，2）D．（0，1.5）
2．A
【解析】5 700 000=5.7×1 000 000=5.7×106，
故选：A.
3．C
【分析】
根据整式的混合运算法则逐一进行判断即可．
24．如图，一次函数 的图象交反比例函数 的图象于 两点，交x轴于点C，P是x轴上一个动点。
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（3）若 与 相似，请直接写出点P的坐标。
25．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
19．如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连接OA、OB，若 ，则 ______．
三、解答题
20．（1）计算：
（2）解方程：
21．先化简，再求值： ，其中
22．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图．
销售单价x（元件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
400
300
200
…
（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；
（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过50元件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？
27．如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点E，交 的延长线于F，以 为邻边作平行四边形 。
二、填空题
11．若 ，则 ＝_____．
12．分解因式： =______．
13．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为_____m．
14．如图，点P在反比例函数y= （x＜0）的图象上，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，已知矩形PAOB的面积为8，则k=______．
C．570×104D．0.57×107
3．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
4．函数 中，自变量x的取值范围是（）
A． B． C． 且 D． 且
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
6．方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝3C． ， D． ，
（3）在（2）的情况下，问是否存在 轴上的点 和反比例函数图象上的点 ，使得以 、 、 、 四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点 、 的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
【分析】
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【详解】
解：|-2|=2
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
26．某工厂设计了一款成本为20元件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
8．已知反比例函数y＝ 的图象经过点(3，2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A．(3，－2)B．(－2，－3)C．(1，－6)D．(－6，1)
（1）求：本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图．
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．
（3）被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
23．济南市地铁R3线施工，某路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB的高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌的高度BC．
2021年四川省成都市新都区九年级一诊（上学期期末）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 的绝对值是（）
A． B．2C． D．
2．用科学记数法表示5 700 000，正确的是( )
A．5.7×106B．57×105