复合材料力学
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当应力i作用产生di的增量时，单位体积的功的增量 为：dw= i di
由i= Cij dj得：dw= Cij dj di 积分得：w=1/2 Cij j i
w
2w
i Cijj ij Cij
同理
2w ji Cji
Cij的脚标与微分次序无关： Cij=Cji 刚度矩阵是对称的，只有21个常数是独立的
2021/3/10
2
C12
C22
C23
0
C25
0
2
233 C013
C23 0
C33 0
0 C44
C35 0
C046233
31 C15 C25 C35 0 C55 0 31 12 0 0 0 C46 0 C6612
x
y
SS1211
S12
S13
S14
S15
S16yx
z yz
S31 S41
yzz
zx
S51
zx
xy S61 S62 S63 S64 S64 S66xy
6
弹性体受力变形的 位移与应变关系
本构方程
2021/3/10
iC ijj
柔度分量、模量分量
讲解：XX
8
u v w 1x 2y 3z
讲解：XX
4
各向异性材料的应力应变关系
应力应变的广义虎克定律
对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小， 因此一般按平面应力状态进行分析
只考虑单层面内应力，不考虑单层面上应力
i Cijj i,j1,2,..6 ...,
应力分量，刚度矩阵，应变分量
i Sijj i,j1,2,..6 ...,
1 C11 C12 C13 0
2
C12
C22
C23
0
0 C16 1
0
C26
2
233 C013
C23 0
C33 0
0 C44
0 C45
C036233
31
0
0
0 C45 C55 0 31
12 C16 C26 C36 0 0 C6612
2021/3/10
讲解：XX
14
单对称材料
y=0
1 C11 C12 C13 0 C15 0 1
复合材料力学
2021/3/10
讲解：XX
1
第二课 简单层板的宏观力学性能
2021/3/10
讲解：XX
2
引言
简单层板：层合纤维增强复合材料的基本单元件 宏观力学性能：只考虑简单层板的平均表观力学性能， 不讨论复合材料组分之间的相互作用 对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小， 因此一般按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内 应力，不考虑面上应力，即认为它们很小，可忽略 在线弹性范围内
几何关系（位移和应变关系） 物理关系（应力和应变关系） 平衡方程
15个方程求15个未知数——可解 难以实现 简化或数值解法
2021/3/10
讲解：XX
10
各向异性材料的应力应变关系
回来继续关注刚度矩阵
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C21
C22
C23
C24
C25
C2
6
Anisotropic
Isotropy
Orthotropy
Failure Criterion
2021/3/10
讲解：XX
3
传统材料
对各向同性材料来说，表征他们刚度性能的工 程弹性常数有：E,G,v
E：拉伸模量 G：剪切模量 V：泊松比 其中
GE/2(1)
独立常数只有2个
2021/3/10
yz
x
zx y
xy
z
2 2z xy
z
yz
x
zx y
xy z
连续性方程或
变形协调方程
6
2021/3/10
讲解：XX
9
弹性力学问题的一般解法
六个应力分量 六个应变分量 三个位移分量
x , y , z , yz , zx , xy x , y , z , yz , zx , xy u, v, w
2
233
CC43
1 1
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
CC4366233
3
1
C51
C52
C53
C54
C55
C563
1
12 C61 C62 C63 C64 C65 C6612
2021/3/10
36个分量
讲解：XX
11
证明：Cij的对称性
在刚度矩阵Cij中有36个常数，但在材料中，实际常数 小于36个。首先证明Cij的对称性：
12 C16 C26 C36 C46 C56 C6612
2021/3/10
讲解：XX
13
单对称材料
如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少，例如 z=0平面为对称面，则所有与Z轴或3正方向有关的常 数，必须与Z轴负方向有关的常数相同
剪应变分量yz和xz仅与剪应力分量yzxz有关，则弹性 常数可变为13个，单对称材料
讲解：XX
12
各向异性的、全不对称材料——21个常数
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C12
C22
C23
C24
C25
C2
6
2
233
CC11
3 4
C23 C24
C33 C34
C34 C44
C35 C45
C3 C4
66233
31
C15
C25
C35
C45
C55
C5
63
1
过，斜面上剪应力为零的面为主平
x
面，其法线方向为主方向，应力为
主应力，三个主应力，包括最大和
2021/3/10
最小应力
讲解：XX
7
x xy xz 0 x y z xy y yz 0 x y z zx yz z 0 x y z
3
各向异性体弹性 力学基本方程
2021/3/10
柔度矩阵
讲解：XX
5
各向异性材料的应力应变关系
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
wenku.baidu.com
2
233 CC4311
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
CC4366233
31 C51 C52 C53 C54 C55 C5631 12 C61 C62 C63 C64 C65 C6612
w v w u u v 2 3 y z3 1 x z1 2 y x
2 xy xy
2 x y 2
2 y x 2
2 zx xz
2 x z 2
2 z x 2
2 yz yz
2 y z 2
2 z y 2
2 2x yz
x
yz x
zx y
xy z
2 2y zx
y
简写了表 达符号
2021/3/10
u v w 1x 2y 3z
几何方程
w v w u u v 2 3 y z3 1 x z1 2 y x
讲解：XX
6
弹性力学知识
z
z
yz
xz
σy
六个应力分量 x,y,z,y,zzx ,xy
τ xy
x
主应力和主方向
材料往往在受力最大的面发生破坏，
y 物体内每一点都有无穷多个微面通
由i= Cij dj得：dw= Cij dj di 积分得：w=1/2 Cij j i
w
2w
i Cijj ij Cij
同理
2w ji Cji
Cij的脚标与微分次序无关： Cij=Cji 刚度矩阵是对称的，只有21个常数是独立的
2021/3/10
2
C12
C22
C23
0
C25
0
2
233 C013
C23 0
C33 0
0 C44
C35 0
C046233
31 C15 C25 C35 0 C55 0 31 12 0 0 0 C46 0 C6612
x
y
SS1211
S12
S13
S14
S15
S16yx
z yz
S31 S41
yzz
zx
S51
zx
xy S61 S62 S63 S64 S64 S66xy
6
弹性体受力变形的 位移与应变关系
本构方程
2021/3/10
iC ijj
柔度分量、模量分量
讲解：XX
8
u v w 1x 2y 3z
讲解：XX
4
各向异性材料的应力应变关系
应力应变的广义虎克定律
对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小， 因此一般按平面应力状态进行分析
只考虑单层面内应力，不考虑单层面上应力
i Cijj i,j1,2,..6 ...,
应力分量，刚度矩阵，应变分量
i Sijj i,j1,2,..6 ...,
1 C11 C12 C13 0
2
C12
C22
C23
0
0 C16 1
0
C26
2
233 C013
C23 0
C33 0
0 C44
0 C45
C036233
31
0
0
0 C45 C55 0 31
12 C16 C26 C36 0 0 C6612
2021/3/10
讲解：XX
14
单对称材料
y=0
1 C11 C12 C13 0 C15 0 1
复合材料力学
2021/3/10
讲解：XX
1
第二课 简单层板的宏观力学性能
2021/3/10
讲解：XX
2
引言
简单层板：层合纤维增强复合材料的基本单元件 宏观力学性能：只考虑简单层板的平均表观力学性能， 不讨论复合材料组分之间的相互作用 对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小， 因此一般按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内 应力，不考虑面上应力，即认为它们很小，可忽略 在线弹性范围内
几何关系（位移和应变关系） 物理关系（应力和应变关系） 平衡方程
15个方程求15个未知数——可解 难以实现 简化或数值解法
2021/3/10
讲解：XX
10
各向异性材料的应力应变关系
回来继续关注刚度矩阵
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C21
C22
C23
C24
C25
C2
6
Anisotropic
Isotropy
Orthotropy
Failure Criterion
2021/3/10
讲解：XX
3
传统材料
对各向同性材料来说，表征他们刚度性能的工 程弹性常数有：E,G,v
E：拉伸模量 G：剪切模量 V：泊松比 其中
GE/2(1)
独立常数只有2个
2021/3/10
yz
x
zx y
xy
z
2 2z xy
z
yz
x
zx y
xy z
连续性方程或
变形协调方程
6
2021/3/10
讲解：XX
9
弹性力学问题的一般解法
六个应力分量 六个应变分量 三个位移分量
x , y , z , yz , zx , xy x , y , z , yz , zx , xy u, v, w
2
233
CC43
1 1
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
CC4366233
3
1
C51
C52
C53
C54
C55
C563
1
12 C61 C62 C63 C64 C65 C6612
2021/3/10
36个分量
讲解：XX
11
证明：Cij的对称性
在刚度矩阵Cij中有36个常数，但在材料中，实际常数 小于36个。首先证明Cij的对称性：
12 C16 C26 C36 C46 C56 C6612
2021/3/10
讲解：XX
13
单对称材料
如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少，例如 z=0平面为对称面，则所有与Z轴或3正方向有关的常 数，必须与Z轴负方向有关的常数相同
剪应变分量yz和xz仅与剪应力分量yzxz有关，则弹性 常数可变为13个，单对称材料
讲解：XX
12
各向异性的、全不对称材料——21个常数
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C12
C22
C23
C24
C25
C2
6
2
233
CC11
3 4
C23 C24
C33 C34
C34 C44
C35 C45
C3 C4
66233
31
C15
C25
C35
C45
C55
C5
63
1
过，斜面上剪应力为零的面为主平
x
面，其法线方向为主方向，应力为
主应力，三个主应力，包括最大和
2021/3/10
最小应力
讲解：XX
7
x xy xz 0 x y z xy y yz 0 x y z zx yz z 0 x y z
3
各向异性体弹性 力学基本方程
2021/3/10
柔度矩阵
讲解：XX
5
各向异性材料的应力应变关系
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
wenku.baidu.com
2
233 CC4311
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
CC4366233
31 C51 C52 C53 C54 C55 C5631 12 C61 C62 C63 C64 C65 C6612
w v w u u v 2 3 y z3 1 x z1 2 y x
2 xy xy
2 x y 2
2 y x 2
2 zx xz
2 x z 2
2 z x 2
2 yz yz
2 y z 2
2 z y 2
2 2x yz
x
yz x
zx y
xy z
2 2y zx
y
简写了表 达符号
2021/3/10
u v w 1x 2y 3z
几何方程
w v w u u v 2 3 y z3 1 x z1 2 y x
讲解：XX
6
弹性力学知识
z
z
yz
xz
σy
六个应力分量 x,y,z,y,zzx ,xy
τ xy
x
主应力和主方向
材料往往在受力最大的面发生破坏，
y 物体内每一点都有无穷多个微面通