排队论练习题
排队考试题及答案
排队考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 排队理论中，顾客到达的过程通常被假设为（）。
A. 确定性过程B. 随机过程C. 周期性过程D. 线性过程答案：B2. 在排队系统中，如果服务时间是确定的，那么该系统被称为（）。
A. M/M/1B. M/D/1C. M/G/1D. D/M/1答案：B3. 排队理论中，以下哪个参数表示顾客在系统中的平均逗留时间？（）A. λ（到达率）B. μ（服务率）C. W（平均逗留时间）D. L（系统中的平均顾客数）答案：C4. 以下哪个公式用于计算排队系统中顾客的平均等待时间？（）A. Wq = λ / (μ - λ)B. Lq = λ / (μ - λ)C. Wq = 1 / (μ - λ)D. Lq = 1 / (μ - λ)答案：A5. 在排队理论中，如果顾客到达率和服务率都是随机的，这种类型的系统被称为（）。
B. M/G/1C. G/M/1D. G/G/1答案：D6. 以下哪个参数表示系统中顾客的平均数量？（）A. λ（到达率）B. μ（服务率）C. L（系统中的平均顾客数）D. W（平均逗留时间）答案：C7. 排队理论中，如果服务台数量为无限大，这种类型的系统被称为（）。
A. M/M/1B. M/M/∞C. M/M/k答案：B8. 在排队系统中，如果顾客到达过程是泊松分布，服务时间是指数分布，这种类型的系统被称为（）。
A. M/M/1B. M/D/1C. M/G/1D. G/M/1答案：A9. 以下哪个参数表示顾客在队列中的平均等待时间？（）A. λ（到达率）B. μ（服务率）C. Wq（队列中的平均等待时间）D. Lq（队列中的平均顾客数）答案：C10. 排队理论中，如果顾客到达率和服务率都是确定的，这种类型的系统被称为（）。
A. M/M/1B. D/D/1C. M/D/1D. D/M/1答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 排队理论中，以下哪些因素会影响顾客的平均等待时间？（）A. 到达率B. 服务率C. 服务台数量D. 顾客的耐心答案：ABC12. 在排队理论中，以下哪些参数是描述系统性能的？（）A. 系统中的平均顾客数（L）B. 队列中的平均顾客数（Lq）C. 系统中的平均逗留时间（W）D. 队列中的平均等待时间（Wq）答案：ABCD13. 以下哪些是排队理论中常见的排队规则？（）A. 先来先服务（FCFS）B. 后来先服务（LCFS）C. 随机服务（RS）D. 最短处理时间优先（SPT）答案：ABD14. 以下哪些是排队理论中常见的到达和服务时间分布？（）A. 泊松分布B. 指数分布C. 均匀分布D. 确定性分布答案：ABCD15. 在排队理论中，以下哪些因素会影响顾客的满意度？（）A. 等待时间B. 服务时间C. 服务台数量D. 环境舒适度答案：ABD三、简答题（每题10分，共30分）16. 请简述排队理论中的“Little定律”。
【小升初专项训练】6 排队论问题
第6讲排队论问题第一关【例1】小伴侣排队做早操，无论从左数还是从右手笑笑都排在第5位，这排小伴侣有多少人？【答案】9【例2】几个体操队员排成一队正步向前走，穿黑运动服的队长排在第6个．教练员发令：“向后转”后，穿黑衣服的队长排在第5，这队一共有多少个体操队员？【答案】10【例3】同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起，李华都排在第8个．这一排共有多少个同学？【答案】15【例4】四（1）班全体同学站成一排，当从左往右报数时，小华报：18；当从右往左报数时，小华报：13．那么，该班有同学多少名?【答案】30【例5】明明排队去做操，从前数明明排第9，从后数明明排第4，这排小伴侣一共有多少人？【答案】12【例6】小华上体育课，站队时，从前向后数他是第10个，从后向前数他是第15个，这队共有多少人？【答案】24【例7】校外辅导员小王和四（2）班全体同学站成一排报数．从左向右报数，报到15是辅导员；从右向左报数，报到17是辅导员．则四（2）班共有同学多少人？【答案】30【例8】少先队员排队去参观科技馆，从排头数起小明是第10个；从排尾数起，小英是第13个．小明的前面就是小英，这队少先队员共有多少人？【答案】21【例9】中心学校五（2）班上体育课，全班排成一排，星星的位置是：从前面数第十个，从后面数第三十二个，五（2）班有多少名同学？【答案】41【例10】五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等．小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数第8个．这个班共有多少个同学？【答案】48【例11】二（1）班同学做早操，全班排4列，每列人数相等，佳佳站在一列中前面数过去是第5个，从后面数过来是第1个，二（1）班一共有多少人？【答案】20【例12】小伴侣们去郊游，排成5列纵队走，每列人数同样多，从前面数，小兰排第三，从后面数小兰排第五，算一算一共有多少人去郊游？【答案】35【例13】四三班上操正好排成人数相等的三行，小明排在中间一行，从前从后数都是第八个，全班有同学多少人?【答案】45【例14】同学们进行广播操竞赛，全班正好排成相等的6行．小红排在其次行，从头数，她站在第5个位置，从后数她站在第3个位置，这个班共有多少人？【答案】42【例15】三（1）班同学排成三排做早操，三排人数相等．小红排在中间一排．从左往右数，她是第6个；从右往左数，她是第7个，全班共有多少个人？【答案】36【例16】同学们排成正方形队列表演团体操，芳芳站在第3行，从左往右是第8个，从右往左是第9个．这个正方形队列一共有多少人？【答案】256【例17】同学们排队做操，每排的人数和排数正好相等，无论从前数，从后数还是从左数，小红都是第4人，这个队伍共多少人？【答案】49【例18】为庆祝六一，小伴侣们排成正方形的队伍，无论从前、从后数，还是从左、从右数，李丽都在第5个，队伍一共有多少个小伴侣？【答案】81【例19】小伴侣们排成方阵做广播体操，小明恰好站在方阵的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数时他都排在第5个；无论是从左往右或者从右往左数时他都排在第6个．则这个方阵中一共有多少位小伴侣？【答案】99【例20】一群鸭子排着队在河里游泳，它们是8只前面有8只，8只后面有8只，8只左面有8只，8只右面有8只，请问河里一共有几只鸭子？【答案】256【例21】同学们排队做操，每行人数同样多，小红的位置从左数起是第3个，从右数起是第3个；从前数起是第3个，从后数起也是第3个．做操的同学共有多少个?【答案】25【例22】体育课上，三（1）班的同学站成方队做广播体操．小敏的位置从左数第3个，从右数第5个：从前数第3个，从后数第6个．三（1）班共有多少人？【答案】56【例23】同学们做操，小红站在左起第5行，右起第7行，从前面数是第6个，从后面数是第4个，每行每列的人数同样多．做操的一共有多少人？【答案】99【例24】同学们参与运动会表演，排成每行人数相等的方阵：“从前面数我是第15个，从后面数我是第6个，从左边数我是第7个，从右边数我是第8个．”这个方阵共有多少名同学？【答案】280【例25】三班级跳集体舞的同学排成一个长方形．小婷站在左起第7列，右起第11列；从前面数她是第8个，从后面数她是第12个，每行的人数一样多，每列的人数也一样多，你知道共有多少人跳集体舞吗？【答案】323【例26】操场上，同学们排成一个长方形队列，小冬的东面有3人，西面有2人，南面有4人，北面有4人．这个队列一共有多少人？【答案】54【例27】学校各班级进行体操竞赛，四班级同学排成一个长方形的队伍，小明的位置从左数是第5个，从右数是4个；从前数是第3个，从后数是第5个．四班级共有多少同学参与？【答案】56【例28】同学们排成一方阵做操，从前和左数，小红都是第5个，从后和右数，小红都是第4个．你知道做操的一共有多少人吗？【答案】64【例29】二年1班同学排队做操，小明从前数第6个，从后数第4个，从左数第5个，从右数第3个，他们这班一共多少个人?【答案】63【例30】小金参与一团体操竞赛，他在竞赛时的位置从左往右数是第8个，从右往左数也是第8个，从前面往后面数是第5个，从后面往前面数是第16个，参与这个团体操竞赛的一共有多少人？【答案】300【例31】同学们在做操．小明站在左起第8列，右起第13列；从前面数他是第7个，从后面数是第14个．9每行每列人数同样多．做操的同学一共有多少人？【答案】400【例32】有若干名学校生围成一个圆圈，从某一个同学按1、2、3…开头报数，若按顺时针方向，那么报到小美时，她应当报“15”；若按逆时针方向，小美应报“7”．那么，这群学校生一共有多少名？【答案】20【例33】六（2）班全体同学站成一个圆圈做玩耍，从小军数起，按顺时针方向数，小强第27个，按逆时针方向数，小强是第20个，这班有多少名同学?【答案】45【例34】有若干名小伴侣围成一个圆圈，从某个同学开头报数．假如沿顺时针方向，那么报到小明时，他应当报“12”；假如沿逆时针方向，那么报到小明时，他应当报“8”．那么这一圈一共有多少名学校生?【答案】18【例35】同学们排队上车，李平的前面有5人，后面有4人．排队的一共有多少人？【答案】10【例36】小明站在小强身后，小明后面有四个人，小强身前有五个人，这个队伍一共有多少个人？【答案】11【例37】黄老师最近搬到新的工作室．她站在阳台上发觉往上看时有3个阳台；往下看时有6个阳台．那么，黄老师所在的这座大楼一共有多少层？【答案】10【例38】四（3）班同学站成两队（同样多）参与升旗仪式，小明前面有12位同学，后面有11位同学，四（3）班共有多少位同学参与升旗仪式?【答案】48【例39】体育课上，顽皮前面站3个人，后面站6人．（1）顽皮站的这一列一共多少人？（2）从前面数他在第2排，从后面数他在第3排，顽皮班级一共有多少人？【答案】（1）10；（2）40【例40】学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排，请问：（1）小悦和同班女生站成一排，她发觉自己的左侧有7人，右侧有8人，女生一共有多少人？（2）冬冬和同班男生站成一排，他发觉自己是左起第7个，右起第9个，男生一共有多少人？（3）阿奇也在男生队伍里，他发觉自己是左起第4个，他的右侧应当有几人？他应当是右起第几人？【答案】（1）16；（2）15；（3）12【例41】爱中、爱华兄弟俩与若干位小伴侣排成一行．从左边开头数第18位是爱华；从右边开头数爱中是第8位．这整一行最少有多少人?这时爱中、爱华兄弟俩中间有多少人？【答案】18；6【例42】若干个同学排成一列纵队购买电影票，假如你观看后发觉：除了前面的5个同学外，每个同学都要比从他往前数（不包括他）第5位的同学高：除了前面的3个同学外，每个同学都要比从他往前数（不包括他）第3位的同学矮．请问这支队伍最多有几个人？【答案】7【例43】若干名男生站成一排，站好后冬冬的左侧有15人，阿奇恰好在正中间，而且他们两人之间（不包括他们自己）一共有3人，队伍里可能有多少人？【答案】队伍里可能有23人或39人其次关【例44】一共有10只动物．【答案】5【例45】有6只小动物在排队照相，小猫从左边数排第2个，从右边数排第几个？【答案】5【例46】有16名同学排成一列，小芳从后往前数是第7个，她从前往后数是第几个？【答案】10【例47】16名小伴侣排成一队，小明在从左往右数第8个，那么从右往左数小明是第几个？【答案】9【例48】有28位小伴侣排成一行．从左边开头数第10位是张华，从右边开头数他是第几位？【答案】19【例49】有30位同学排成一行，假如从左边数起第11位是小华，那么从右边数起第几位还应是小华?【答案】20【例50】有35位同学排成一行，假如从左边数起第15位是小华，那么从右边数起第几位还应是小华?【答案】21【例51】有50位同学排成一行，假如从左边数起第23位是小明，那么从右边数起第几位还应是小明?【答案】28【例52】小亮站在班级队伍前排从右数第8的位置，老师要求前排从右向左1、2报数，问小亮报的数是几．【答案】2【例53】54个小伴侣排队做玩耍，每轮玩耍有12个小伴侣参与，玩耍结束后，这12个小伴侣按原来的先后挨次排到队尾，假如玩耍开头时，小亮站在队首，当小亮再次站在队首时，已经做了多少轮玩耍？【答案】9【例54】28位小伴侣排成一行，从左向右数，第10位是张华，张华左边的左边是李明，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】21【例55】28位小伴侣排成一行，从左向右数，第10位是张华，张华右边的右边是李明，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】17【例56】40位小伴侣排成一行，从左向右数，第12位是张华，张华左边的左边是李明，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】31【例57】40位小伴侣排成一行，从左向右数，第12位是张华，张华右边的右边是李明，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】27【例58】35位小伴侣排成一行，从左向右数，第10位是张华，张华和李明之间有4人，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】21或31【例59】50位小伴侣排成一行，从左向右数，第15位是张华，张华和李明之间有8人，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】27或45【例60】等候公共汽车的人在某站牌处整齐地排成一排，刘强也站在队里，他数了数人数，发觉排在他前面的人数是总人数的23，排在他后面的人数是总人数的14，从前往后数刘强排在第几名?【答案】9【例61】明明、历历、东东、方方一起去看电影，坐在同一排，东东紧靠在方方的右边，方方在明明的右边，在历历的左边，你能说出他们四人的挨次么？【答案】他们四人从左到右的挨次为：明明、方方、东东、历历【例62】甲、乙、丙、丁四个学校生站成一横排，他们手中共拿着35枝花．已知站在甲右边的同学共拿着16枝花，站在丙右边的同学共拿着4枝花，站在丁右边的同学共拿着25枝花．请问：手中花最多的人拿着多少枝花？【答案】12【例63】A、B、C、D、E五名同学站成一横排，他们的手中共拿着20面小旗．现知道，站在C左边的同学共拿着11面小旗，站在B左边的同学共拿着10面小旗，站在D左边的同学共拿着8面小旗，站在E左边的同学共拿着16面小旗．五名同学从左至右依次是谁？各拿几面小旗？【答案】五名同学从左到右依次是：ADBCE；各拿小旗：8面、2面、1面、5面、4面【例64】在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍旧是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有多少种不同排法？【答案】14第三关【例65】15个同学排成一列横队，从左边数起，小林是第11个；从右边数起，小刚是第10个．小林与小刚之间隔几个同学？【答案】4【例66】18名同学拍成一排跑步，从前往后数，亮亮排第8，从后往前数，聪聪排第6，亮亮和聪聪之间有几名同学？【答案】4【例67】19个人排队跳远，从前往后数第17位是小红，第9位是小山，请问小红和小山之间有几位同学？【答案】7【例68】20个小伴侣排成一排，从左往右数，芳芳排在第5；从右往左数，明明排在第8．芳芳和明明之间有多少人？【答案】7【例69】20位同学站成一排，从左往右小瓜站在第3个，从右往左小果站在第7个．小瓜和小果之间有多少人?【答案】10【例70】有27幅画在学校画廊展出．在这一行画中，小雅的画从左向右数是挂在第14幅，小胖的画从右向左数挂在第20幅，小雅和小胖的画之间还有多少幅画？【答案】5【例71】运动会闭幕式结束后，大家预备散场，班长小悦让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍中）．她先从左往右数，发觉冬冬是第25个；然后她又从右往左数，发觉阿奇正好是第29个，假如队伍里一共有31个，那么冬冬和阿奇之间有几个人？【答案】21【例72】全班35名同学排成一行，从左边数，小红是第20位，从右边数，小刚是第2l位．问小红与小刚中间隔着多少名同学？【答案】4【例73】全班35名同学排成一行，从左边数，小红是第20位，从右边数，小明是第22位，小红与小刚中间间隔着多少名同学?【答案】5【例74】全班40名同学排成一行，从左边数，小红是第15位，从右边数，小明是第22位，小红与小刚中间间隔着多少名同学?【答案】3【例75】体育课上老师让42名同学站成一行，冬冬发觉有一半人站在他自己的左边；阿奇发觉自己是从右往左数的第12个，冬冬和阿奇之间有多少人？【答案】8【例76】全班45名同学排成一行，从左边数，小红是第17位，从右边数，小明是第21位，小红与小刚中间间隔着多少名同学?【答案】6【例77】46个小伴侣排成一队，从排头往后数，小刚是第19个，从排尾往前数，小丽是第12个，小丽和小刚中间有多少人？【答案】15【例78】56个小伴侣排成一队去春游，从排头数，小刚是第19个，从排尾数，小莉是第12个．小刚与小莉之间有多少个同学?【答案】25【例79】某单位有78个人，站成一排，从左边向右数，小王是第50个，从右边向左数，小张是第48个，则小王和小张之间有多少个人？【答案】18【例80】180个小伴侣平均排成两队去春游．小刚和小明在一个队里．从排头往后数，小刚说第49个，从排尾往前数，小明说第58个，你知道小刚和小明中间有几个人？【答案】15【例81】有一组上舞蹈课的同学间隔相等地站成一个圆圈，然后从1开头依次报数．报5号的同学正对着报23的同学．这群同学的总数是多少人？【答案】52【例82】有一组上舞蹈课的同学间隔相等地站成一个圆圈，然后从1开头依次报数．报8号的同学正对着报34的同学．这群同学的总数是多少人？【答案】36【例83】有一组上舞蹈课的同学间隔相等地站成一个圆圈，然后从1开头依次报数．报14号的同学正对着报46的同学．这群同学的总数是多少人？【答案】64【例84】班里一共有42名同学，站成一圈做玩耍，现在从小悦开头数．请问：（1）假如冬冬是顺时针数第26个，阿奇是顺时针数第17个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？（2）假如冬冬是顺时针数第22个，阿奇是逆时针数第13个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？（3）假如冬冬是顺时针数第27个，阿奇是逆时针数第31个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？【答案】（1）8；（2）8；（3）13【例85】从第15棵树数到46棵树，一共有多少棵树？【答案】32【例86】40名同学站成一排报数．从18号到40号都是男生，男生有多少人？【答案】23【例87】一（1）班第一组的同学站成一排，从左往右数1号～9号是男生，11号～15号也是男生，这个小组有多少名男生？【答案】14【例88】一（1）班第一组的同学站成一排，从左往右数1号～15号是男生，32号～40号也是男生，这个小组有多少名男生？【答案】24【例89】小刚从一本书的54页阅读到67页，苏明从95页阅读到135页，小强从180页阅读到237页，他们总共阅读了多少页？【答案】113【例90】甲、乙、丙、丁、戊这五名同学站成一排．已知丙在戊右边2米处，丁在甲右边3米处，丙在丁右边6米处，戊在乙左边3米处．请问：最左边和最右边的同学相距多少米？【答案】10【例91】10名男生排成一队，老师要求每两名男生之间插进一名女生，可以插进多少名女生？【答案】9【例92】28名男生排成一队，老师要求每两名男生之间插进一名女生，可以插进多少名女生？【答案】27【例93】有158个小伴侣排成一排，从左边第一个人起（第一个人发一个苹果）每隔一人发一个，然后又从右边起每隔2人发一个香蕉，求没有得到水果的小伴侣的人数．【答案】52第四关【例94】甲、乙、丙三名车工预备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开头工作．问：加工完七个零件最少需多长时间？【答案】17【例95】甲、乙、丙三名车工预备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为5，5，6，7，8，9，10分钟，三人同时开头工作．问：加工完七个零件最少需多长时间？【答案】17【例96】甲、乙两名车工预备在同样效率的2个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为12，12，14，16，16，18，20分钟，三人同时开头工作．问：加工完七个零件最少需多长时间？【答案】54【例97】“走美”主试委员会为三～八班级预备决赛试题．每个班级12道题，并且至少有8道题与其它各班级都不同．假如某道题消灭在不同班级，最多只能消灭3次．本届活动至少要预备多少道决赛试题?【答案】56【例98】5位同学同时找到班主任谈话，每人的谈话时间分别为8、4、2、6、5分钟，现在如何支配他们的谈话次序，使同学们化费的时间总和（每人等的时间和每人谈话的时间）最少？总共时间是多少？【答案】按2、4、5、6、8分钟的挨次进行谈话，用时最少．总共时间是61分钟【例99】理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，依据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟．怎样支配他们的理发挨次，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？【答案】甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发这样支配可以使这五人理发和等候所用时间的总和最少，最少要用128分钟．【例100】车间里有5台车床同时消灭故障．已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．问：（1）假如只有一名修理工，那么怎样支配修理挨次才能使经济损失最少？（2）假如有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？【答案】（1）按7、8、10、15、29分钟的挨次修理才能使经济损失最少；（2）修复时间最短为36分钟。
排队论练习题
第9章排队论判断下列说法是否正确：（1）若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从泊松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；（4）对M/M/1或M/M/C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流；（5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分别的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长；（10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
M/M/1、某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时间服从负指数分布，平均需6小时，求：（1）理发店空闲时间的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内顾客平均数；（5）在店内平均逗留时间；（6）等待服务的顾客平均数；（7）平均等待服务时间；（8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。
、某修理店只有一个修理工，来修理东西的顾客到达次数服从泊松分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。
求：（1）修理店空闲时间的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内顾客平均数；（4）店内等待顾客平均数；（5）顾客在店内平均逗留时间；（6）平均等待修理时间。
(完整word版)《运筹学》_第六章排队论习题及_答案
《运筹学》第六章排队论习题转载请注明1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
排队论练习题
分三种情况考虑： （1） 当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为： （a） 在时间t内没有病人排队，时刻也没有病人到达的概 率为。 （b） 在时间t内有一个病人，内没有顾客到达，但有一位 病人接受诊断后离去的概率为。 （c） 在时间t内没有病人排队，但在时刻内有一位病人到 达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为。
装卸费每泊位每天a=2千元，停留损失费b=1.5千元/日
目标是总费用最少。
解：模型 M/M/C/∞/∞ C待定
总费用：F=ac+bLs（c）
离散，无法用求导来解。
考虑。 M/M/C/∞/∞ 要求 ρ=λ/cμ<1 即c>λ/μ=1.5
讨论 c=2,3,4…….
M/M/2/∞/∞ M/M/3/∞/∞ M/M/4/∞/∞
队长 Ls =λ/μ-λ) 总费用 C=aμ+bLs=aμ+bλ/(μ-λ) 求极值（最小值）
求导dc/du=a+-bλ/(μ-λ)2 所以 μ=λ+(bλ/a)1/2=4.5(只/位数。
已知：预计到达 λ=3只/天，泊松流
装卸
μ=2只/天，负指数分布。
例2 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为200 辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。求L、Lq、W和Wq。
根据题意，=200辆/小时，=240辆/小时，=/=5/6。
例3．设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是 3分钟。求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。 解：设为M/M/1模型。
i链平均时延 E (T i )’ =1/ (2μC i -2λi) = 0.5 E (T i ) i链队长 E (N i )’ =2λi(0.5) E (T i )= E (N i )
小学生排队问题练习题
小学生排队问题练习题### 小学生排队问题练习题1. 基础队列问题- 题目：小明的班级有30名同学，老师要求他们站成一队。
如果小明站在队列的第10位，那么他前面有多少人？- 解答：小明前面有9人。
2. 队列变换问题- 题目：小华的班级有40名同学，老师要求他们分成两排站队。
如果小华站在第二排的第5位，那么第一排有多少位同学？- 解答：如果两排人数相等，那么第一排有20人。
3. 队列长度问题- 题目：小丽的班级有50名同学，老师要求他们站成一队，并且每两人之间保持1米的距离。
如果队列的起点到终点的总长度是51米，那么队列中有多少名同学？- 解答：队列中有51名同学，因为除了50名同学外，还有50个1米的距离，所以总长度是51米。
4. 队列位置问题- 题目：小刚的班级有35名同学，老师要求他们站成一队。
如果小刚站在队列的最后，那么他前面有多少人？- 解答：小刚前面有34人。
5. 队列间隔问题- 题目：小强的班级有25名同学，老师要求他们站成一队，并且每两人之间保持0.5米的距离。
如果队列的起点到终点的总长度是13米，那么队列中有多少名同学？- 解答：队列中有13名同学，因为除了12个0.5米的距离外，还有1名同学，所以总长度是13米。
6. 队列顺序问题- 题目：小芳的班级有20名同学，老师要求他们按照身高从高到低站成一队。
如果小芳身高是班级最高的，那么她应该站在什么位置？ - 解答：小芳应该站在队列的第一位。
7. 队列分组问题- 题目：小亮的班级有45名同学，老师要求他们分成5组站队，每组人数相同。
如果小亮被分到了第3组，那么他所在的组有多少人？ - 解答：每组有9人，因为45除以5等于9。
8. 队列方向问题- 题目：小美班级有60名同学，老师要求他们分成两排面对面站队。
如果小美站在第一排，那么她对面有多少人？- 解答：小美对面有60人，因为两排人数相同。
9. 队列速度问题- 题目：小林的班级有40名同学，老师要求他们站成一队进行跑步练习。
排队论习题
排队论习题排队论习题1. 一个车间内有10台相同的机器，每台机器运行时每小时能创造4元的利润，且平均每小时损坏一次。
而一个修理工修复一台机器平均需4小时。
以上时间均服从指数分布。
设一名修理工一小时工资为6元，试求：（i ）该车间应设多少名修理工，使总费用为最小；解:这个排队系统可以看成是有限源排队模型M/M/s/10，已知11,0.25,4,104m λλμρμ====== 设修理工数为s ,由公式()()11010s m n n n n n s m m p m n n m n s s ρρ---==??=+??--??∑∑()11001m q nn ss s s n q n n n L n s p L np L s p =--===-??=++-∑∑∑ 目标函数为min 64s s L =+，用lingo 求解得到1s =，此时平均队长9.5s L =台，又因为当维修工数10s =时平均队长8s L =，说明此模型不合理。
对模型进行修正，由于要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。
所以假设一名修理工修复一台机器平均需0.5小时，即设2μ=。
用lingo 求解得维修工数3s =，平均队长，此时的最小费用为35.97元。
（1）程序：model:lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10;load=m*rho;L_s=@pfs(load,s,m);lamda_e=lamda*(m-L_s);min=6*s+4*L_s;endLocal optimal solution found.Objective value: 35.97341Objective bound: 35.97341Infeasibilities: 0.1000005E-09Extended solver steps: 0Total solver iterations: 388Variable ValueLAMDA 1.000000MU 2.000000RHO 0.5000000M 10.00000LOAD 5.000000L_S 4.493352S 3.000000LAMDA_E 5.506648（ii）若要求不能运转的机器的期望数小于4台，则应设多少名修理工；L ，求得应设解：同上，用有限源排队模型求解，增加约束条件4 s4名修理工。
排队论练习
• 病人以平均每小时8人的速率来到只有一名 医生的诊所，候诊室有9把座椅供病人等候， 对每名病人诊断时间平均6min。计算： • （1）开诊时间内候诊室满员占的时间比例； • （2）求下述情况的概率 • a.有一个病人； • b.有2个病人在候诊室外排队。
• 某车间有5台机器，每台机器的连续运转时 间服从负指数分布，平均连续运转时间15 分钟，有一个修理工，每次修理时间服从 负指数分布，平均每次12分钟。 • 求： (1)修理工空闲的概率；(2)五台机器都 出故障的概率；(3)出故障的平均台数； • (4)等待修理的平均台数；(5)平均停工时间； （6）平均等待修理时间； • （7）评价这些结果。
• 某银行有3个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟 的泊松流到达，所有的顾客排成一队，出纳员与 顾客的交易时间服从平均数为0.5分钟的负指数分 布，试求： • （1）银行内空闲时间的概率； • （2）银行内顾客数为n时的稳态概率； • （3）平均队列长； • （4）银行内的顾客平均数； • （5）在银行内的平均逗留时间； • （6）等待服务的平均时间。
• 某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作 10小时，来访人员和接待时间都是随机的。若来 访人员按普阿松流到达，其到达速率=7人/小时， 接待时间服从负指数分布，其服务速率=7.5人/小 时。现在问： • (1)来访者需要在接待室逗留多久？等待多长时间？ • (2)排队等待接待的人数。 • (3)若希望来放者逗留时间减少一半，则接待人数 应提高到多少？
• 一个机修工人负责3台机器的维修工作，设 每台机器在维修之后平均可运行5天，而平 均修理一台机器的时间为2天，试求稳态下 的各运行指标。
• 一个工人负责照管6太自动机床，当机床需 要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停 车，等待工人照管。设每台机床平均每小 时停车一次，每次需要工人照管的平均时 间为0.1h。试分析该系统的运行情况。
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4．在第一题中，设顾客到达速率增加到12人/小时，这时又增加一个同样熟练的修理工，平均 修理时间也是6分钟。求： （1）店内空闲的概率； （2）店内有两个或更多顾客的概率； （3）计算运行指标L，Lq，W，Wq。
Ls=1.47708 (7) Wq=1.08分钟
Ws=6.08分钟
例10 某车站候车室在某段时间旅客到达服从泊松流分布，平均速度 为50人/小时，每位旅客在候车室内逗留的时间服从负指数分布，平均 停留时间为0.5小时，问候车室内平均人数为多少？ 解：把旅客停留在候车室看做服务，于是就看为M/M/∞/∞/∞
服从负指数分布，平均理发时间为15分钟。求：
（1）顾客来店理发不必等待的概率； （2）理发店内顾客平均数； （3）顾客在理发店内的平均逗留时间； （4）当顾客到达速率是多少时，顾客在店内的平均逗留时间将超过1.25小时。
解：这是一个[M/M/1]:[//FCFS]排队系统
=3，=4，=/=3/4=0.75 （1） P0=1-=1-0.75=0.25 （2） （3） （4） ，=3.2，
解：这是一个[M/M/1]:[//FCFS]排队系统
=4，=10，=/=2/5=0.4 （1） P0=1-=1-2/5=3/5=0.6 （2） P3=3(1-)=0.43×0.6=0.0384 （3） 1-P0=1-(1-)==0.4 （4） （5） （6）
（7）
例7．一个单人理发点，顾客到达服从Poisson分布，平均到达时间间隔为20分钟；理发时间
问题解决：
分三种情况考虑： （1） 当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为： （a） 在时间t内没有病人排队，时刻也没有病人到达的概 率为。 （b） 在时间t内有一个病人，内没有顾客到达，但有一位 病人接受诊断后离去的概率为。 （c） 在时间t内没有病人排队，但在时刻内有一位病人到 达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为。
例2 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为200 辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。求L、Lq、W和Wq。
根据题意，=200辆/小时，=240辆/小时，=/=5/6。
例3．设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是 3分钟。求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。 解：设为M/M/1模型。
得利润为多少元？ （5） 求每小时损失掉的顾客数？ （6） 加油站平均有多少辆车在等待加油，平均有多少个车位被占用？ （7） 进入加油站的顾客需要等多长的时间才能开始加油，进入加油站
的顾客需要多长时间才能离去？ 解：
稳态概率关系：
P1=λ/μP0=3/2P0 P2=λ/2μP1=9/8P0
P3=9/16P0
例5．某网络的出口线路只有一条，速率为6.4kbps；该网络的外出报文率平均为每秒4个报文， 设外出报文的产生为泊松过程，报文长度为指数分布，平均长1408比特。 求：
（1） 90%时延和90%等待时间 （2） 如果90%的报文的排队时延不超过5秒，问允许的报文到达率为多大？此时平均队 长为多大？及排队时延增大的百分比各为多少？ 解： （1） =秒 λ=4报文/秒
队长 Ls =λ/μ-λ) 总费用 C=aμ+bLs=aμ+bλ/(μ-λ) 求极值（最小值）
求导dc/du=a+-bλ/(μ-λ)2 所以 μ=λ+(bλ/a)1/2=4.5(只/日)
例12 建造一口码头，要求设计装卸船只的泊位数。
已知：预计到达 λ=3只/天，泊松流
装卸
μ=2只/天，负指数分布。
2 某工人看管六台机器，平均每小时机器要更换一次工件，每更 换一次工件平均要6分钟，已知机器完成一个工件的生产时间和 工人更换工件的时间都服从负指数分布，试求（1）工人空闲的 概率（2）停止生产的机器的平均台数？（3）每台机器为更换工 件平均停工的时间？ 答案：（1）0.4845（2）0.8454（3）0.164小时
5．如果将第10题中的两个修理工分别安排在两家修理店里，成为两个单人修理店，每个店顾客 到达速率都是6人/小时，服务速率都是6分2）将以上运行指标与第10题两个修理工的系统比较。
问题的提出：
在校医院就诊时，我发现外科诊室共有六张诊台，而且经常六张诊 台中总有一两张会被闲置下来。据此现象，我便想到了应如何利用运筹 学知识来根据就诊人数配置诊台的问题。
i链平均时延 E (T i )’ =1/ (2μC i -2λi) = 0.5 E (T i ) i链队长 E (N i )’ =2λi(0.5) E (T i )= E (N i )
-λi) E (N) =E (N i ) E (T) = E (N) / γ
E (N)’ =E (N i )’=E (N i ) = E (N) E (T)’= E (N) ‘/ 2γ= 0.5 E (T)
P4=27/128P0
P5=27/512P0 P6=27/4096P0
由 P0=P1+P2+P3+P4+P5+P6=1 解得：P0=0.22433
P1
P2
P3
P4
P5
0.33649 0.25237 0.12618 0.04732 0.01183
P6 0.00148
运行指标： (1) P0=0.22433 (2) P6=0.00148 (3) P忙=1-P0-P1=0.43918 (4) Μe=145.78（辆/每小时） (5) λ损=λ-λe=3.4218（辆/每小时） (6) Lq=0.26223
P0
0.14286
0.21053
0.22099
Lq
1.92857
0.23684
0.04475
Ls
3.42857
1.73684
1.54475
F
9.14286
8.60526
10.31713
结论：c=3 即设计三个装卸泊位可使每天的总费用最少,8.60526千 元。
课后习题： 1 设顾客以泊松流到达某单服务台理发店，平均每小时到达2人， 理发时间服从负指数分布，平均每人用20分钟，求（1）顾客不 用排队等候的概率；（2）理发店平均有几个顾客；（3）如果要 是顾客站着等的概率不大于0。1，理发店要设几个座位？ 答案：（1）1/3（2）2（3）6
这是M/M/1模型，计算结果如下表。
先前
当前
i链服务率
Ci /(1/μ)= μC I
2Ci /(1/μ)= 2μC i
i链报文到达率
λi
2λi
全网报文到达
γ
2γ
率
全网平均时延 E (T) = E (N) / γ
i链平均时延 E (T i ) =1/ (μC i -λi) i链队长 E (N i ) =λi E (T i )=λi / (μCi
则 略去二阶小量，整理得 。
（2） 当已有n个病人，且时，可分为以下四种情况： （a） 时间t内有n-1个病人在排队，时刻内有一位病人到 达，但没有任何病人被诊断的概率为。 （b） 时间t内有n+1个病人在排队，时刻内没有病人到达， 但有一位病人接受诊断后离去的概率为。 （c） 时间t内有n个病人在排队，时刻内没有病人到达，也 没有任何病人被诊断的概率为。 （d） 时间t内有n个病人在排队，时刻内有一个病人到达， 也有一位病人接受诊断后离去的概率为。
当顾客到达速率增加到每小时大于3.2人，即顾客相继到达的时间间隔缩短到18.75分钟以下 时，顾客在店内平均逗留时间将超过1.25小时。
例8．在上一题（例7）中，如果修理店内已有三个顾客时，店主就拒绝顾客排队。求：
（1）店内空闲的概率； （2）各运行指标L，Lq，W，Wq。 解：
应用举例
例9．某汽车加油站有两台加油泵为汽车加油，加油站内最多能容纳6辆 汽车。已知顾客到达的时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达18辆 汽车。若加油站中已有K辆车，当K≥2时，有K/6的顾客将自动离去。加 油时间服从负指数分布，平均每辆车需要5分钟。试求： （1） 系统空闲的概率为多少？ （2） 求系统满的概率是多少？ （3） 求系统服务台不空的概率 （4） 若服务一个顾客，加油站可以获得利润10元，问平均每小时可获
（3） 病人数时，与情况（2）类似，但相应的概率分别为： （a） （b） （c） （d）
由上面的公式得到： ， ， 解得：
由此可得， 平均病人数目为，
每个病人平均候诊时间为
问题的深入：
以上仅仅求得了平均病人数目和平均就诊时间，我们可以明显的看 到，当有一个诊台数目c时就可以得到对应的平均病人数目和平均就诊 时间，但我们并不能判断何时系统的诊台配置为最优，为此我们将此问 题进一步加以深入。假设加权系数，使得问题化为求，即适当选取c值 使得系统有最小值，则认为此时的c值即为最优选择。将问题进一步简 化，令，则原问题简化为求。 由上一步结论可见，在病人平均候诊时间中含有c的阶乘及乘方项，很 难对此问题进行求解。
装卸费每泊位每天a=2千元，停留损失费b=1.5千元/日
目标是总费用最少。
解：模型 M/M/C/∞/∞ C待定
总费用：F=ac+bLs（c）
离散，无法用求导来解。
考虑。 M/M/C/∞/∞ 要求 ρ=λ/cμ<1 即c>λ/μ=1.5
讨论 c=2,3,4…….
M/M/2/∞/∞ M/M/3/∞/∞ M/M/4/∞/∞
ρ=
报文 秒
=秒 秒 （2）设 则，
报文/秒 报文 ρ增大的百分比为： 排队时延增大的百分比为：
例6、某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达的次数服从Poisson分布，平均每小时4人； 修理时间服从负指数分布，每次服务平均需要6分钟。求：