2020年国家开放大学电大《高等数学基础》形成性考核解析

高等数学基础作业1
第1章 函数
第2章 极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．
A. 2)()(x x f =，x x g =)(
B. 2)(x x f =，x x g =)(
C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=
D. 1)(+=x x f ，1
1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同
A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R
定义域不同，所以函数不相等；
B 、()f x x ==，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；
C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x >
所以两个函数相等
D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21()11
x g x x x -==+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。

故选C
⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．
A. 坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. x y =
分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称
偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称
()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，
奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称
设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+=
所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称
故选C
⒊下列函数中为奇函数是（B ）．
A. )1ln(2
x y += B. x x y cos = C. 2
x
x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()()()22ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数
B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数
或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数
C 、()()2
x x
a a y x y x -+-==，所以为偶函数 D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数
故选B
⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）．
A. 1+=x y
B. x y -=
C. 2x y =
D. ⎩⎨⎧≥<-=0,
10,1x x y 分析：六种基本初等函数
（1） y c =（常值）———常值函数
（2） ,y x α
α=为常数——幂函数
（3） ()0,1x y a a a =>≠———指数函数
（4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数
（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数 （6） [][]sin ,1,1,
cos ,1,1,tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x
=-=-==——反三角函数
分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对
对照比较选C
⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．
A. 12lim 22
=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0
=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x
x x 分析：A 、已知()1lim 00n x n x
→∞=> 2
2222222
11lim lim lim 1222101x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞====++++ B 、0
limln(1)ln(10)0x x →+=+= 初等函数在期定义域内是连续的
C 、sin 1lim
lim sin 0x x x x x
x →∞→∞== x →∞时，1x 是无穷小量，sin x 是有界函数， 无穷小量×有界函数仍是无穷小量
D 、1
sin
1lim sin lim 1
x x x x x x →∞→∞=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →== 故选D
⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．
A.
x
x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x
分析；()lim 0x a
f x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量 A 、0sin lim 1x x x
→=，重要极限 B 、01lim x x
→=∞，无穷大量 C 、01lim sin 0x x x →=，无穷小量x ×有界函数1sin x
仍为无穷小量 D 、()0
limln(2)=ln 0+2ln 2x x →+= 故选C
⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00
x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0
0x f x f x x x x -+→→= 分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即()()0
0lim x x f x f x →= 连续的充分必要条件()()()()()00000lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x f x →→+→-
=⇔== 故选A
（二）填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 {}|3x x > ． 分析：求定义域一般遵循的原则
（1） 偶次根号下的量0≥
（2） 分母的值不等于0
（3） 对数符号下量（真值）为正
（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1
（5） 正切符号内的量不能取()0,1,22k k π
π±=
然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域
)1ln(3
9)(2x x x x f ++--=要求 2903010x x x ⎧-≥⎪-≠⎨⎪+>⎩
得333
1x x x x ≥≤-⎧⎪≠⎨⎪>⎩或－
定义域为 {}|3x x >
⒉已知函数x x x f +=+2
)1(，则=)(x f x 2-x ． 分析：法一，令1t x =+得1x t =-
则()()22()11f t t t t t =-+-=-则()2
f x x x =- 法二，()()(1)(1)111f x x x x x +=+=+-+所以()()1f t t t =- ⒊=+∞→x x x
)211(lim ． 分析：重要极限1lim 1x x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，等价式()10lim 1x x x e →+=。