运筹学--第2节(线性规划-标准型)
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
MBA2 管理运筹学讲义：线性规划
• 约束条件
任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解 把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件 约束条件是决策方案可行的保障 LP的约束条件，都是决策变量的线性函数
• 目标函数
衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低 目标函数是决策变量的线性函数 有的目标要实现极大，有的则要求极小
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上海财经大学国际工商管理学院 上海财经大学国际工商管理学院
4
SHUFE
第一节 线性规划的标准型
≤8 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0 x1
x1 ≥0， x2 ≥0
• 例2. 运输问题 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、 A3, 其一级承销商有 4 个，分布在城市 B1 、 B2 、 B3 、 B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj 的每吨饮料运费为 Cij ，为发挥集团优势，公司要统 一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
二、非标准型向标准型转化
• 目标函数极小化问题
minZ=CTX，只需将等式两端乘以 -1 即变为极大化问题。
• 右端常数项非正
两端同乘以 -1
• 为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式， 非标准型可以转化为标准型。标准形式为：
目标函数极大化 约束条件为等式 右端常数项bi≥0 决策变量非负
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x1
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18
3
SHUFE
第二节 线性规划的图解法
SHUFE
第二节 线性规划的图解法
二 、解的可能性 • 唯一最优解：只有一个最优点。 • 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时 得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。
运筹学第二章线性规划
第二章线性规划教学目的和要求：目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。
要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了解图解法。
重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。
难点：线性规划基本定理，单纯形法。
教学方法：讲授法，习题法。
学时分配：12学时 作业安排：见教材P 38.线性规划是运筹学的一个重要分支。
1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。
1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。
此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。
第一节线性规划问题一、问题的提出在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。
例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A 、B 、C 三种产品，具体数据如下表所示。
A 、B 、C 单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。
问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？解：设产品A 、B 、C 产量分别为X 1,X 2,X 3件,Z 表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X 1+5X 2+7X 3的最大值，故记作极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X 1+2X 2+4X 3≦800，X 1+2X 2+3X 3≦650，4X 1+2X 2+3X 3≦850，2X 1+4X 2+2X 3≦700；同时产量应非负，故X j ≧0 (j=1,2,3)；以上问题可用数学模型表示为： 极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 满足 2X 1+2X 2+4X 3≦800 X 1+2X 2+3X 3≦6504X 1+2X 2+3X 3≦850 2X 1+4X 2+2X 3≦700X j ≧0 (j=1,2,3)例2.运输问题 设某种物资有m 个产地；A 1,A 2, …,A m ,它们的产量分别为a 1,a 2, …,a m ,有n 个销地B 1,B 2, …,B n 需要这种物资，它们的销量分别为b 1,b 2, …,b n 。
2 线性规划
第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m
第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学之线性规划的标准型及单纯形法
下步
• 4、根据max {σj } = σK 原则确定XK 进基变量；根
据θ规则 θ = min {b’i / a’ik a’ik >0} = b’l/ a’lk 确定XL出 基变量
• 5、以a’lk 为枢轴元素进行迭代
• 6、重复第二步到第五步
30
单纯形法的进一步探讨
• 极小化问题直接求解：检验数的判别由σj ≤0
……
am1x1+am2x2+…amnxn=bm x1,x2,…,xn≥0 （xj ≥0 j=1,2,…,n）
5
线性规划的标准型
• 和式：
Obj : S.T .
n
MaxZ c j x j j1
n
aij x j bi
j 1
i 1,2,, m
x j 0 j 1,2,, n
6
线性规划的标准型
70 120 0 0 0
X1 X2 X3 X4 X5
94 1 0 0 45 0 1 0 3 10 0 0 1
70 120 0 7.8 0 1 2.5 0 0 0.3 1 0
34 0 0
00 0 -0.4 1 -0.5 0 0.1
0 -12
0 0 1 -3.12 1.16 1 0 0 0.4 -0.2 0 1 0 -0.12 0.16
• 相应的基为可行基。 • 退化的基可行解：若某个基变量取值为零，
则称之为退化的基可行解。 • 基解的数目：最多Cmn=n!/m!(n-m)!
18
例题6 基可行解说明
maxZ=70X1+120X2
P1 P2 P3 P4 P5
9X1+4X2+X3=360
94100
4X1+5X2 +x4=200
• 4、根据max {σj } = σK 原则确定XK 进基变量；根
据θ规则 θ = min {b’i / a’ik a’ik >0} = b’l/ a’lk 确定XL出 基变量
• 5、以a’lk 为枢轴元素进行迭代
• 6、重复第二步到第五步
30
单纯形法的进一步探讨
• 极小化问题直接求解：检验数的判别由σj ≤0
……
am1x1+am2x2+…amnxn=bm x1,x2,…,xn≥0 （xj ≥0 j=1,2,…,n）
5
线性规划的标准型
• 和式：
Obj : S.T .
n
MaxZ c j x j j1
n
aij x j bi
j 1
i 1,2,, m
x j 0 j 1,2,, n
6
线性规划的标准型
70 120 0 0 0
X1 X2 X3 X4 X5
94 1 0 0 45 0 1 0 3 10 0 0 1
70 120 0 7.8 0 1 2.5 0 0 0.3 1 0
34 0 0
00 0 -0.4 1 -0.5 0 0.1
0 -12
0 0 1 -3.12 1.16 1 0 0 0.4 -0.2 0 1 0 -0.12 0.16
• 相应的基为可行基。 • 退化的基可行解：若某个基变量取值为零，
则称之为退化的基可行解。 • 基解的数目：最多Cmn=n!/m!(n-m)!
18
例题6 基可行解说明
maxZ=70X1+120X2
P1 P2 P3 P4 P5
9X1+4X2+X3=360
94100
4X1+5X2 +x4=200
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是一种数学优化方法，用于解决一些实际问题，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
线性规划的标准形式是指将问题转化为一个标准的数学模型，以便于使用线性规划方法进行求解。
在本文中，我们将介绍线性规划的标准形式以及相关的数学概念和方法。
首先，让我们来定义线性规划的标准形式。
一个线性规划问题可以表示为：\[。
\begin{aligned}。
& \text{maximize} \quad c^Tx \\。
& \text{subject to} \quad Ax \leq b \\。
& \quad x \geq 0。
\end{aligned}。
\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是一个n维向量，表示决策变量；A是一个m×n的矩阵，表示约束条件的系数；b是一个m维向量，表示约束条件的右端项。
在这个标准形式中，我们的目标是最大化目标函数c^Tx，同时满足约束条件Ax≤b和x≥0。
这个问题可以用线性规划方法求解，得到最优的决策变量x和最优解c^Tx。
为了更好地理解线性规划的标准形式，让我们来看一个简单的例子。
假设有一个工厂需要生产两种产品A和B，利润分别为3和5。
同时，工厂有两种资源，分别是材料和人工，资源A和资源B的使用量分别为1和2。
工厂的资源总量分别为4和12。
那么，我们可以将这个问题表示为一个线性规划问题：\[。
\begin{aligned}。
& \text{maximize} \quad 3x_1 + 5x_2 \\。
& \text{subject to} \quad x_1 + 2x_2 \leq 4 \\。
& \quad x_1 + x_2 \leq 12 \\。
& \quad x_1, x_2 \geq 0。
\end{aligned}。
\]在这个例子中，目标函数是3x1+5x2，表示生产产品A和B的总利润；约束条件是资源A和资源B的使用量不超过总量。
运筹学--第2节(线性规划-标准型)
一、问题的提出 二、线性规划数学模型的一般形式 三、线性规划数学模型的标准形式
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
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润
1、确定决策 最 目标，明确主 大
要决策什么 ！
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司应制造A、B两种家电各多少件，使获取 的利润为最大。
max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
例4 原料
ABＣ
1
4 10
2
6 12
3
1 71
4
2
每单位添
加剂中维生 12
素最低含量
53 14 8
每单位成本 2 5 6 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i =1,2,3,4)
n
p j x j b
j1
X
0
AX=(P1 P2 …Pn )
x1 x2 = b
…
xn P1 x1+ P2 x2 + … +Pn xn=b
化标准型
(1)、目标函数 (2)、约束条件 (3)、右端常数 (4)、变量
（1）目标函数
目标函数为求最小值，
n
min Z
CjX j
一、问题的提出 二、线性规划数学模型的一般形式 三、线性规划数学模型的标准形式
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24
x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8
xi 0 (i =1,…,4)
x1，x2 0
线性规划模型特点
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 决策人要考虑和控制的因素。非负。
=12
x1+ x2+7x3+5x4 - x6 =14
2x2+ x3+3x4
- x7 =8
x1 , …, x7 0 剩余变量
（3）右端常数
右端项b＜0时，只需将等式 或不等式两端同乘(－1)，则等式 右端项必大于零。
（4）变量
a、x 0的情况， 令x ' ＝-x。
b、x取值无约束的情况。令x= x'-x"
目标函数：maxZ=2x1＋x2
分析和表述问题
设
例1 美佳公司计划制造I，II2两、种要家辨电认产品哪。些已是知决各制造备一，件时 分别占用的设备A、B的台时策、调的试关时键间影及响A、因B素设，备和调调试工 序每天可用于这两种家电的能在力选、取各这售些出一关件键时因的素获利试情况如
表I—l所示。问该公司应制造时A、存B在两哪种些家电资各源多和少环件，工使获取
线性规划介绍
四、线性规划解决的管理问题：
1. 合理利用线材问题； 2. 配料问题； 3. 投资问题； 4. 产品生产计划； 5. 劳动力安排； 6. 运输问题。
线性规划介绍
五、线性规划问题的共同点：
1. 要求达到某些数量上的最大化或最小化； 2. 在一定的约束条件下追求其目标。
线性规划的数学模型
线性规划介绍
二、定义
如果规划问题的数学模型中: 决策变量的取值是连续的; 目标函数是决策变量的线性函数; 约束条件是含决策变量的线性等式或不等式; 则该类规划问题的数学模型称为线性规划的数学模型。
线性规划介绍
三、研究对象
❖ 有一定的人力、财力、资源条件下，如 何合理安排使用，效益最高
❖ 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省
x1' , x2 0
-6+6 x1+6 10+6
令x1' = x1 +6
0 x1' 16
x1' +x2+ x3 = 11
x1'
+x4 = 16
x1' , x2 , x3 , x4 ,,0
例： 将 min Z = -x1+2x2 –3x3
x1+x2 +x3 7 x1 -x2 +x3 2 x1，x20，x3无限制
化为标准型
解：① 令x3 =x4 - x5 ② 加松弛变量x6 ③加剩余变量x7 ④ 令Z'= -Z
min Z = -x1+2x2 –3x3
x1+x2 +x3 7 x1 -x2 +x3 2 x1，x20，x3无限制
maxZ'= x1 –2x2 +3x4 –3x5
x1 +x2 +x4 -x5 +x6 =7 x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
xij 0
第一章 线性规划及单纯形法
讲授：施宏远 日期：2015-03
目录
线性规划介绍 线性规划数学模型 线性规划的图解法 线性规划的单纯形法
线性规划介绍
一、线性规划的重要地位 ❖ 是运筹学中应用最广泛的方法之一； ❖ 是运筹学最基本的方法之一，整数规划，目标
规划和多目标规划，网络规划都是以线性规划 为基础的； ❖ 是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出 的费用最小或获得的收益最大。
（二）矩阵型
maxZ=CX AX=b X 0 b0
x1 X= x2
其中 A=
b1 b= b2
P1 P2 ……… Pn
a11 a12 ……… a1n a21 a22 ……… a2n ………………… am1 am2 ………amn
C=(C1 C2 …Cn )
… …
xn
bm
(三) 向量型
maxZ CX
j 1
令Z' = -Z
n
max Z ' C j X j j 1
Z
o
x
-Z
（2）约束条件
当约束条件为“≤”时，如 6x1 2x2 24 可化为 6x1 2x2＋x3 24 x3为松弛变量
当约束条件为“≥”时，如 10 x1 12 x2 18 可化为 10 x1 12 x2 x4 18 x4为剩余变量
令x1= x1'- x1 "
3x1+2x2 8 x1 –4x2 14
x20
3 x1' -3 x1 " +2x2 8 x1' - x1 " – 4x2 14
x1' , x1" ,x2 0
c、x两边有约束的情况。
x1+x2 5 -6 x1 10
x20
x1' +x2 11 x1' 16
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
30
342
10
40 15 35
设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i ＝1，2，3， j ＝1，2，3)
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极
大或极小
线性规划的一般式
max(min)Z=C1x1+ C2x2+…+Cnxn a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2
……… am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm xj 0(j=1,…,n)
xn
a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2
………
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm
xj 0(j=1,…,n)
23
用矩阵形式表示：
线性规划的适用情况
•要解决的问题的目标可以用数值指标反映 •对于要实现的目标有多种方案可选择 •有影响决策的若干约束条件
线性规划标准形式
线性规划的标准形式 目标函数：max 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
max z CT X s.t. AX b
X 0
线性规划标准型的几种表示法
（一）一般型
maห้องสมุดไป่ตู้Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn a11x1+ a12x2+…+ a1nxn =b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn =b2 ………… am1x1+ am2x2+…+ amnxn =bm xj 0(j=1,2,…,n) 其中 bi 0 (i=1,2,…,m)
1、确定决策 最 目标，明确主 大
要决策什么 ！
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司应制造A、B两种家电各多少件，使获取 的利润为最大。
max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
例4 原料
ABＣ
1
4 10
2
6 12
3
1 71
4
2
每单位添
加剂中维生 12
素最低含量
53 14 8
每单位成本 2 5 6 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i =1,2,3,4)
n
p j x j b
j1
X
0
AX=(P1 P2 …Pn )
x1 x2 = b
…
xn P1 x1+ P2 x2 + … +Pn xn=b
化标准型
(1)、目标函数 (2)、约束条件 (3)、右端常数 (4)、变量
（1）目标函数
目标函数为求最小值，
n
min Z
CjX j
一、问题的提出 二、线性规划数学模型的一般形式 三、线性规划数学模型的标准形式
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24
x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8
xi 0 (i =1,…,4)
x1，x2 0
线性规划模型特点
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 决策人要考虑和控制的因素。非负。
=12
x1+ x2+7x3+5x4 - x6 =14
2x2+ x3+3x4
- x7 =8
x1 , …, x7 0 剩余变量
（3）右端常数
右端项b＜0时，只需将等式 或不等式两端同乘(－1)，则等式 右端项必大于零。
（4）变量
a、x 0的情况， 令x ' ＝-x。
b、x取值无约束的情况。令x= x'-x"
目标函数：maxZ=2x1＋x2
分析和表述问题
设
例1 美佳公司计划制造I，II2两、种要家辨电认产品哪。些已是知决各制造备一，件时 分别占用的设备A、B的台时策、调的试关时键间影及响A、因B素设，备和调调试工 序每天可用于这两种家电的能在力选、取各这售些出一关件键时因的素获利试情况如
表I—l所示。问该公司应制造时A、存B在两哪种些家电资各源多和少环件，工使获取
线性规划介绍
四、线性规划解决的管理问题：
1. 合理利用线材问题； 2. 配料问题； 3. 投资问题； 4. 产品生产计划； 5. 劳动力安排； 6. 运输问题。
线性规划介绍
五、线性规划问题的共同点：
1. 要求达到某些数量上的最大化或最小化； 2. 在一定的约束条件下追求其目标。
线性规划的数学模型
线性规划介绍
二、定义
如果规划问题的数学模型中: 决策变量的取值是连续的; 目标函数是决策变量的线性函数; 约束条件是含决策变量的线性等式或不等式; 则该类规划问题的数学模型称为线性规划的数学模型。
线性规划介绍
三、研究对象
❖ 有一定的人力、财力、资源条件下，如 何合理安排使用，效益最高
❖ 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省
x1' , x2 0
-6+6 x1+6 10+6
令x1' = x1 +6
0 x1' 16
x1' +x2+ x3 = 11
x1'
+x4 = 16
x1' , x2 , x3 , x4 ,,0
例： 将 min Z = -x1+2x2 –3x3
x1+x2 +x3 7 x1 -x2 +x3 2 x1，x20，x3无限制
化为标准型
解：① 令x3 =x4 - x5 ② 加松弛变量x6 ③加剩余变量x7 ④ 令Z'= -Z
min Z = -x1+2x2 –3x3
x1+x2 +x3 7 x1 -x2 +x3 2 x1，x20，x3无限制
maxZ'= x1 –2x2 +3x4 –3x5
x1 +x2 +x4 -x5 +x6 =7 x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
xij 0
第一章 线性规划及单纯形法
讲授：施宏远 日期：2015-03
目录
线性规划介绍 线性规划数学模型 线性规划的图解法 线性规划的单纯形法
线性规划介绍
一、线性规划的重要地位 ❖ 是运筹学中应用最广泛的方法之一； ❖ 是运筹学最基本的方法之一，整数规划，目标
规划和多目标规划，网络规划都是以线性规划 为基础的； ❖ 是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出 的费用最小或获得的收益最大。
（二）矩阵型
maxZ=CX AX=b X 0 b0
x1 X= x2
其中 A=
b1 b= b2
P1 P2 ……… Pn
a11 a12 ……… a1n a21 a22 ……… a2n ………………… am1 am2 ………amn
C=(C1 C2 …Cn )
… …
xn
bm
(三) 向量型
maxZ CX
j 1
令Z' = -Z
n
max Z ' C j X j j 1
Z
o
x
-Z
（2）约束条件
当约束条件为“≤”时，如 6x1 2x2 24 可化为 6x1 2x2＋x3 24 x3为松弛变量
当约束条件为“≥”时，如 10 x1 12 x2 18 可化为 10 x1 12 x2 x4 18 x4为剩余变量
令x1= x1'- x1 "
3x1+2x2 8 x1 –4x2 14
x20
3 x1' -3 x1 " +2x2 8 x1' - x1 " – 4x2 14
x1' , x1" ,x2 0
c、x两边有约束的情况。
x1+x2 5 -6 x1 10
x20
x1' +x2 11 x1' 16
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
30
342
10
40 15 35
设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i ＝1，2，3， j ＝1，2，3)
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极
大或极小
线性规划的一般式
max(min)Z=C1x1+ C2x2+…+Cnxn a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2
……… am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm xj 0(j=1,…,n)
xn
a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2
………
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm
xj 0(j=1,…,n)
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用矩阵形式表示：
线性规划的适用情况
•要解决的问题的目标可以用数值指标反映 •对于要实现的目标有多种方案可选择 •有影响决策的若干约束条件
线性规划标准形式
线性规划的标准形式 目标函数：max 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
max z CT X s.t. AX b
X 0
线性规划标准型的几种表示法
（一）一般型
maห้องสมุดไป่ตู้Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn a11x1+ a12x2+…+ a1nxn =b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn =b2 ………… am1x1+ am2x2+…+ amnxn =bm xj 0(j=1,2,…,n) 其中 bi 0 (i=1,2,…,m)