《运筹学》第二章线性规划
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学第二章第6节矩阵法求解线性规划问题
（3）初始单纯性表与当前单纯性表关系
单纯性法的每一步就是：令非基变量XN（XN1和 XS2）=0，则当前基本可行解X=（XB，0） =（B-1b，0）。当前的目标函数值为 Z=CBB-1b，通过刚才用矩阵法的展示，我们发现： 1）B：初始单纯性表中基。 2）BN：初始单纯性表非基变量在A中对应的矩阵。 3）B-1：初始单纯性表中单位矩阵所对应的列在当 前矩阵中所构成的矩阵。 4）CB：当前基变量的价值向量。 5）CN：当前非基变量的价值向量。
2 x1 [1] 4 0 2
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 1/4 -3/4 θ 4 -
-1/2 2
在迭代到单纯性表2时，当前的基变量为x3，x4，x2，其中 x3和x4是松弛变量。这时，松弛变量中，x5为基变量，x3和 x4为非基变量，因此：基变量XB由两部分组成，一部分是 XB1=x2，一部分是XS1=x3和x4；非基变量XN由两部分组成， 一部分是XN1=x1，另外一部分是XS2=x5。
BX X
B
B
b BN X
1
N1
S2 X
N1
S2
;
1
B b B B N1 X
1
1
1
B S 2 X s2 ;
1
目标函数： z C B B b (C N1 C B B B N1 ) X (C S 2 C B B I ) X
1 S N1
令非基变量=0，由上式得到：
x1 2 x 2 x 3 4 x1 4 x2 x
j
8
x4 0
16 x 5 12
j 1, 2 , , 5
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
运筹学--第二章 线性规划的对偶问题
习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
管理运筹学课件第2章线性规划
2019/7/14
课件
4
2.1.1 线性规划问题的提出
承导入案例
产品甲 产品乙 生产能力
设备A
2
1
10
设备B
1
1
8
单位利润 3
2
决策变量 （decision variable）
设两种产品产量为x1,x2,则有: 总利润表三达要式素
最大化 max z 3x1 2x2
目标函数 （objective function） 约束条件
最优值：z=18
10 2x1+x2=10
8
6
(2,6) z=3×2+2×6=18
【例2.3】用图解法求LP最优解
max z 3x1 2x2
s.t.
2xx11
x2 x2
≤10 ≤8
x1, x2 ≥ 0
可行域
o
45
令3x1+2x2=12
x1+x2=8
8
x1
2019/7/14
课件
课件
6
2.1.2 线性规划的数学模型
线性规划的一般形式：
max(min)z c1x1 c2x2 cn xn
a11x1 a12 x2 s.t.a21x1 a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn ≤ (或≥， ）b1 a2n xn ≤ (或≥， ）b2
11
2.2.3 线性规划几何解的讨论
线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷 多最优解、无界解、无可行解。 可行域为封闭有界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解两种情况； 可行域为非封闭无界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解，无界解三种情况； 可行域为空集时，没有可行解，原问题没有最优解。
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讨论一：模型求解时，可得到如下几种解的状况： （1）唯一最优解：只有一点为最优解点，简称唯一解； （2）无穷多最优解：有许多点为最优解点，简称无穷多解； （3）无界最优解：最优解取值无界，简称无界解； （4）无可行解：无可行域，模型约束条件矛盾。
讨论二：LP模型求解思路： （1）若LP模型可行域存在，则为一凸形集合； （2）若LP模型最优解存在，则其应在其可行域顶点上找到； （3）顶点与基本解、基本可行解的关系：
如 x1+x23 x1+x2+ x3=3
zmin
当 “”时，引进剩余（surplus）
z
变量 - xs； 如 x1+2x2 4 x1+2x2－x4=4
x
z = -
（4）约束右端项：当 bi < 0，则不等式 两端同乘（- 1）
z max z
例2-2 将以下线性规划问
题转化为标准形式
min z 2x1 3x2 x3
LP的标准化：
（1）变量：若 xj0，令 xj=-xj，xj0 若 xj无约束，则令 xj= xj－xj，xj0，xj0
（2）目标函数：若求 min z，则 即有 min z= - max （- z）
（3）约束方程：当 “”时，引进松 弛（slack）变量+xs； z
am1x1 am2x2 amjx j anmxn ()bm 称为约束条件，
x1，x2，…，xj，…，xn³0
称为变量的非负约束。
线性规划问题矩阵和向量的表达式
， ，
或 写 成
二 图解法
图解法的优点是直观性强，计算方便，但缺点是只适 用于问题中有两个变量的情况。
图解法的步骤是：建立坐标系，将约束条件在图上表 示；确立满足约束条件的解的范围；绘制出目标函数的图 形；确定最优解。
c2x2 a12x2 a22x2
cjx j a1jx j a2jx j
cn x n a1nxn a2nxn
(,)b1 (,)b2
am1x1 am2x2 amj x j amn xn (, )bm
x1
x2
xj
xn
0
线性规划模型的三要素：
（1）决策变量：指模型中要求解的未知量，简称变量。 （2）目标函数：指模型中要达到的目标的数学表达式。
目标函数 max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
约束条件
:
x1 2x2 8 4x1 16
4x2 12
x1 , x2 0
-4-
例2-1 美佳公司下设两个分工厂，两个仓库及一个配送中心。其中F1和 F2是两个工厂，W1和W2是两个仓库。DC是一个分销中心。由工 厂生产的产品经由图2-1所示的运输网络运往仓库。每一条路线 运输的单位成本在线段上给出，其中，F1→F2与DC→W2路线由
以如下线性规划问题为例说明如下：
max z 2x1 3x2
2 x1 2 x2 12
s.t.
x1 2 x2 8
4 x1
16
4 x2 12
x1, x2 0
a
b c d e f
图1-2
x2 2x1+2x2=12
Q4
Q3
Q2 (4,2)
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
300元/单位 X7
X6
需求60 W2 单位
图2-1 美佳公司的配送网络
第二节 线性规划模型与图解法
一 线性规划问题的数学模型
数学模型就是用数学表达式和符号对研究对象数量关系所进 行的定量描述。
线性规划问题的一般形式通常表现为以下几种形式
max(min) z c1x1
s.t.
a11x1
a 21x1
---第 1 章 线性规划---
第三节 单纯形法
一、线性规划模型的标准形式
（1）变量：所有变量均xj 0 （2）目标函数：为取“max”形式 （3）约束条件：全部约束方程均为“=”连接 （4）约束右端项：bi 0
非标准形式情况有
变量： xj 0 ,或xj无约束 目标函数：min 约束条件：“”或“” 约束右端项： bi<0
第 二 章 线性规划
Linear Programming
-1-
第二章 线性规划
第一节：线性规划问题及其建模 第二节：线性规划模型与图解法 第三节：单纯形法 第四节：对偶问题 第五节：灵敏度分析 第六节：运输问题 第七节：数据包络分析 第八节：线性规划的应用
第一节 线性规划问题及其建模
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位
产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。 每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问 应如何安排计划使该工厂获利最多?
资源 产品
Ⅰ
Ⅱ
拥有量
设备 A
2
2
12
设备 B
1
2
8
原材料 A
4
/
16
原材料 B
/
4
12
-3-
建立模型：
设 产品的产量 甲x1件 ，乙 x2件，则
x1 x2 2x3 3
s.t .
2x1 3x2 x1 x2
x3 5 x3 4
x1,
x3 0
解：设 z= - z, x2= x2 - x2 , x2 0 , x2 0, x40, x50, 则有
（3）约束条件：指模型中的变量取值所需要满足的一 切限制条件。
其中 max(min) z c1x1 c2x2 c jx j cn xn 称为目标函数
a11x1 a 21x1
a12x2 a22x2
a1jx j a2jx j
a1n x n a2nxn
()b1 ()b2
x1 2x2 8
4 x1
16
4x1=16
4x2 12
4x2 =12 x1, x2 0
x1+2x2=8
O
Q1
x1
唯一解 A
无界解
无穷多解 A
B
无可行解
步骤：（1）作平面直角坐标系，标上刻度； （2）做出约束方程所在直线，确定可行域； （3）做出一条目标函数等值线，判定优化方向； （4）沿优化方向移动，确定与可行域相切的点，确定最优 解，并计算最优值。
于受到路线中的桥梁承重上限的要求，因此有最大运输量限制。 其他路线有足够的运输能力来运输两个工厂生产的货物。
生产50 单位 F1
900元/单位 400元/单位
x3
W1 需求30
单位
200 x1
x2
元/
DC
单位 最多10单位
生产40 单位 F2
300元/单位 x4
200元/单位
100元/单位 最多80单位 x5
讨论二：LP模型求解思路： （1）若LP模型可行域存在，则为一凸形集合； （2）若LP模型最优解存在，则其应在其可行域顶点上找到； （3）顶点与基本解、基本可行解的关系：
如 x1+x23 x1+x2+ x3=3
zmin
当 “”时，引进剩余（surplus）
z
变量 - xs； 如 x1+2x2 4 x1+2x2－x4=4
x
z = -
（4）约束右端项：当 bi < 0，则不等式 两端同乘（- 1）
z max z
例2-2 将以下线性规划问
题转化为标准形式
min z 2x1 3x2 x3
LP的标准化：
（1）变量：若 xj0，令 xj=-xj，xj0 若 xj无约束，则令 xj= xj－xj，xj0，xj0
（2）目标函数：若求 min z，则 即有 min z= - max （- z）
（3）约束方程：当 “”时，引进松 弛（slack）变量+xs； z
am1x1 am2x2 amjx j anmxn ()bm 称为约束条件，
x1，x2，…，xj，…，xn³0
称为变量的非负约束。
线性规划问题矩阵和向量的表达式
， ，
或 写 成
二 图解法
图解法的优点是直观性强，计算方便，但缺点是只适 用于问题中有两个变量的情况。
图解法的步骤是：建立坐标系，将约束条件在图上表 示；确立满足约束条件的解的范围；绘制出目标函数的图 形；确定最优解。
c2x2 a12x2 a22x2
cjx j a1jx j a2jx j
cn x n a1nxn a2nxn
(,)b1 (,)b2
am1x1 am2x2 amj x j amn xn (, )bm
x1
x2
xj
xn
0
线性规划模型的三要素：
（1）决策变量：指模型中要求解的未知量，简称变量。 （2）目标函数：指模型中要达到的目标的数学表达式。
目标函数 max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
约束条件
:
x1 2x2 8 4x1 16
4x2 12
x1 , x2 0
-4-
例2-1 美佳公司下设两个分工厂，两个仓库及一个配送中心。其中F1和 F2是两个工厂，W1和W2是两个仓库。DC是一个分销中心。由工 厂生产的产品经由图2-1所示的运输网络运往仓库。每一条路线 运输的单位成本在线段上给出，其中，F1→F2与DC→W2路线由
以如下线性规划问题为例说明如下：
max z 2x1 3x2
2 x1 2 x2 12
s.t.
x1 2 x2 8
4 x1
16
4 x2 12
x1, x2 0
a
b c d e f
图1-2
x2 2x1+2x2=12
Q4
Q3
Q2 (4,2)
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
300元/单位 X7
X6
需求60 W2 单位
图2-1 美佳公司的配送网络
第二节 线性规划模型与图解法
一 线性规划问题的数学模型
数学模型就是用数学表达式和符号对研究对象数量关系所进 行的定量描述。
线性规划问题的一般形式通常表现为以下几种形式
max(min) z c1x1
s.t.
a11x1
a 21x1
---第 1 章 线性规划---
第三节 单纯形法
一、线性规划模型的标准形式
（1）变量：所有变量均xj 0 （2）目标函数：为取“max”形式 （3）约束条件：全部约束方程均为“=”连接 （4）约束右端项：bi 0
非标准形式情况有
变量： xj 0 ,或xj无约束 目标函数：min 约束条件：“”或“” 约束右端项： bi<0
第 二 章 线性规划
Linear Programming
-1-
第二章 线性规划
第一节：线性规划问题及其建模 第二节：线性规划模型与图解法 第三节：单纯形法 第四节：对偶问题 第五节：灵敏度分析 第六节：运输问题 第七节：数据包络分析 第八节：线性规划的应用
第一节 线性规划问题及其建模
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位
产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。 每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问 应如何安排计划使该工厂获利最多?
资源 产品
Ⅰ
Ⅱ
拥有量
设备 A
2
2
12
设备 B
1
2
8
原材料 A
4
/
16
原材料 B
/
4
12
-3-
建立模型：
设 产品的产量 甲x1件 ，乙 x2件，则
x1 x2 2x3 3
s.t .
2x1 3x2 x1 x2
x3 5 x3 4
x1,
x3 0
解：设 z= - z, x2= x2 - x2 , x2 0 , x2 0, x40, x50, 则有
（3）约束条件：指模型中的变量取值所需要满足的一 切限制条件。
其中 max(min) z c1x1 c2x2 c jx j cn xn 称为目标函数
a11x1 a 21x1
a12x2 a22x2
a1jx j a2jx j
a1n x n a2nxn
()b1 ()b2
x1 2x2 8
4 x1
16
4x1=16
4x2 12
4x2 =12 x1, x2 0
x1+2x2=8
O
Q1
x1
唯一解 A
无界解
无穷多解 A
B
无可行解
步骤：（1）作平面直角坐标系，标上刻度； （2）做出约束方程所在直线，确定可行域； （3）做出一条目标函数等值线，判定优化方向； （4）沿优化方向移动，确定与可行域相切的点，确定最优 解，并计算最优值。
于受到路线中的桥梁承重上限的要求，因此有最大运输量限制。 其他路线有足够的运输能力来运输两个工厂生产的货物。
生产50 单位 F1
900元/单位 400元/单位
x3
W1 需求30
单位
200 x1
x2
元/
DC
单位 最多10单位
生产40 单位 F2
300元/单位 x4
200元/单位
100元/单位 最多80单位 x5