交叉列联表分析

交叉列联表分析 ---------用于分析属性数据
1. 属性变量与属性数据分析
从变量的测量水平来看分为两类：连续变量和属性(Categorical)变量，属性变量又可分为有序的(Ordinal)和无序的变量。

对属性数据进行分析，将达到以下几方面的目的：
1) 产生汇总分类数据——列联表；2) 检验属性变量间的独立性(无关联性)； 3) 计算属性变量间的关联性统计量；4) 对高维数据进行分层分析和建模。

在实际中，我们经常遇到判断两个或多个属性变量之间是否独立的问题，如：吸烟与患肺癌是否有关？色盲与性别是否有关？上网时间与学习成绩是否有关等等．解决这类问题常用到建立列联表，利用χ2
统计量作显著性检验来完成．
2．列联表（Contingency Table ）
列联表是由两个以上的属性变量进行交叉分类的频数分布表。

设二维随机变量（X ，Y ），X
可能取得值为x x x r ,,,2
1 ，Y
可能取得值
为y y y s ,,,2
1 ．现从总体中抽取容量为n 的样本，其中事件（X =x i Y =y j ）
发生的频率为n j i （i = 1,2, …,r ，j=1,2, …,s ，）记n i ∙=
∑=s j j i n 1
，n j ∙=∑=r
i j i n 1
，
则有n =
∑∑==r i s j j i n 11
=∑=∙r i i n 1
= ∑=∙s
j j n 1
，将这些数据排列成如下的表：
这是一张r ×s 列联表．
3．属性变量的关联性分析
对于不同的属性变量，从列联表中可以得到它们联合分布的信息。

但有时还想知道形成列联表的行和列变量间是否有某种关联性，即一个变量取不同数值时，另一个变量的分布是否有显著的不同，这就是属性变量关联性分析的内容。

属性变量关联性检验的假设为 H0：变量之间无关联性；
H1：变量之间有关联性
由于变量之间无关联性说明变量互相独立，所以原假设和备择假设可以写为：
H0：变量之间独立； H1：变量之间不独立
χ
2
检验
H 0：
X 与Y 独立．
记P (X =x i ，η=y j ) = p j
i ，i =1，2，…，r ，,j = 1，2，…，s ，
P (X =x i ) =
p
i .
， i =1，2，…，r ，P (Y =
y j ) =p j . ，j = 1，2，…，s ．
由离散性随机变量相互独立的定义，则原假设等价于 H 0：p
j
i =
p i .p j . ，i =1，2，…，r ，,j = 1，2，…，s ．
若
p
j
i
已知，我们可以建立皮尔逊χ2
统计量 χ
2
=
∑==∑
-r
i s
ij j
i j i j i p n p n n 1
1
2
)
(．
由皮尔逊定理知，χ2
的极限分布为)1(2
-rs χ
．但这里p j i 未知，因此用它
的极大似然估计
p ij ∧
代替，这时检验统计量为
χ
2
=
∑==∧
∧
∑-r
i s
ij j
i j
i j i p
n p n n 1
1
2
)
(．
在H 0成立的条件下，
p
j
i =
p i .p j .，即等价于用p i ∙和p j ∙.的极大似然估计
p i ∙∧
和p j ∙∧
的积去代替．可以求得
p i ∙∧
=
n
n i ∙
， i =1，2，…，r ， p j ∙∧
=
n
n j
∙ ， j = 1，2，…，s ，
则
p ij ∧
= n n i ∙n
n j ∙ ． i =1，2，…，r ，,j = 1，2，…，s ，
从而得到统计量
χ
2
=
∑==∧
∙∧
∙∧
∙∧∙∑-r
i s
ij j
i j
i j i p p n p p n n 1
1
2
)
(=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∑∑==∙∙1112r i s ij j i j i n n n n ． 在H 0成立的条件下，当n →∞时，χ2
的极限分布为
)12(2--+-
）（s r rs χ= ))1)(1((2--s r χ． 对给定的显著性水平α，当 χ
2
＞))1)(1((2
1---s r χα，则拒绝H 0，否则接
受H 0．
特别，当r = s = 2 时，得到2×2列联表，常被称为四格表，是应用最广的一种列联表．这时检验统计量为
χ
2
=n n n n n n n n n
2
121211222112
)
(∙∙∙∙-
它的极限分布为χ2
（1）．
对于二维随机变量（X ，Y ）是连续取值的情况，我们可采用如下方法将其离散化．
① 将X 的取值范围（-∞，+∞）分成r 个互不相交的区间，将Y 的取值范围
（-∞，+∞）分成s 个互不相交的区间，于是整个平面分成了rs 个互不相交的小矩形；
② 求出样本落入小矩形中的频数n j i i =1，2，…，r ，,j = 1，2，…，s ； ③ 建立统计量
χ2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-∑∑==∙∙1112r i s ij j i j i n n n n ， 在H 0成立时且n 充分大时，χ2
的极限分布为))1)(1((2
--s r χ
，拒绝域的确
定同离散型的情况． 3．属性变量的关联度计算
2χ检验的结果只能说明变量之间是否独立，如果不独立，并不能由2χ的
值说明它们之间关系的强弱，这可以由ϕ系数来说明
ϕ系数=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==++-∙∙∙∙其它,2,2
2
12121
122211n s r n n n n n n n n χ
其中 当r=s=2即2×2列联表时-1<ϕ<1，其它0<ϕ<1，|ϕ|越接近1，它们之间关联性越强，反之越弱。

主要用于2×2列联表
例1（教材p116例4.4）为了了解吸烟与患慢性气管炎的关系，对339名50岁以上的人作了调查，具体数据如下表：
利用交叉列连表分析，研究吸烟习惯与患慢性气管炎的关系。

解 检验 H 0：吸烟与患慢性气管炎无关．
已给数据构成一个四格表， n=339 ,n 11=43,
n 12=162，n 21=13，n 22=121，
n ∙1=205，n 1∙=13，n ∙2=134 ，n 2∙=121，则
χ
2
=n n n n n n n n n
2
121211222112
)
(∙∙∙∙-=121
20513413)1316212143(3392
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈7.469．
若给定α=0.05，查表得χ2
95.0（1）= 3.841 <7.469，所以拒绝 H 0，即认为吸烟习惯与患慢性气管炎有关．但ϕ系数=0.148较小，表示相关性不是太大 利用SPSS 软件完成
练习1 数据文件“电信用户.sav ”中记录了某电信运营商经营的各种情况，比如服务类型、设备租用、无线使用等。

选择其中4个变量： custcat(顾客服务)、ed （顾客受教育程度）、income （家庭收入）、ininc （电信消费），考察顾客与服务经营的情况
（1） 对变量custcat 和ed 进行频数分析；
（2） 分别考察ed 对income 的影响，custcat 对ininc 的影响 练习2 04年全国数学建模竞赛A 题 “奥运会临时超市网点设计”中第一问 根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。