史荣昌魏丰版矩阵分析第一章(1)

矩阵分析主讲教师：张艳霞矩阵理论的应用微分方程、概率与统计、优化、信号处理、控制工程、经济理论等等。

工程经济理论等等如需更深入地学习和了解在自己专业的应用，可如需更深入地学习和了解在自己专业的应用可参考：《矩阵分析与应用》，张贤达著，清华大学出版社；《Matrix Analysis for Scientists & Engineers》:Alan J. Laub，SIAM.第章第一章线性空间和线性变换线性空间的基本概念及其性质线性空间的基底，维数, 坐标变换线性空间的基底维数线性空间的子空间，交与和线性映射及其值域、核线性变换及其矩阵表示矩阵（线性变换）的特征值与特征向量矩阵的可对角化条件第一节第节线性空间一：线性空间的定义与例子线性间的义定义设是一个非空的集合，是一个数域，V F 在集合中定义两种代数运算,一种是加法运算,来表示另种是运算用来表示V 用来表示; 另一种是数乘运算, 用来表示, +i并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律αββα+=+（2）加法结合律()()αβγαβγ++=++（3）零元素: 在中存在一个元素，使得对于V 0任意的都有V α∈0αα+=（4）负元素: 对于中的任意元素都存在一V α个元素使得β0αβ+=（5）i =1αα（6）()()k l kl αα=（7）()k l k l ααα+=+（8）()k k k αβαβ+=+为数域F 称这样的上的线性空间。

V例1全体实函数集合构成实数域上的线性空间。

R 例2复数域上的全体型矩阵构成的集C m n ×合为上的线性空间。

m n × C C 例3实数域上全体次数小于或等于的多项式R n 集合构成实数域上的线性空间;1[]n R x +R 实数域上全体次数等于的多项式集合不构成实数域上的线性空间;R n R二：线性空间的基本概念及其性质定义:线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩向量组的极大线性无关组向量组的秩R例1实数域上的函数空间中，函数组2x x1,cos,cos2是线性相关的函数组。

是线性相关的函数组上的函数空间中函数组R 例2实数域上的函数空间中，函数组234x x x xe e e e是一组线性无关的函数.,,,上的函数空间中函数组例3实数域上的函数空间中，函数组R 1cos cos2cos ⋅⋅⋅是线性无关的。

1,cos ,cos2,,cos x x nx提示：连续求导2n 次，分别令x =0 代入得方程组。

线性空间的基底维数线性空间的基底，维数定义上的个线性空间如果在设为数域上的一个线性空间。

如果在中存在个线性无关的向量使得中的任意个向量V F 12,,,n ααα⋅⋅⋅V V n 的任意一个向量都可以由线性表出α12,,,n ααα⋅⋅⋅则称的个1122n nk k k αααα=++⋅⋅⋅+)为的一个基底；为向量在基底下的坐标。

此时我们为个维线性空间记为12,,,n ααα⋅⋅⋅V 12(,,,Tn k k k ⋅⋅⋅α12,,,n ααα⋅⋅⋅di 称为一个维线性空间，记为n V dim .V n =例1实数域上的线性空间中向量组R 3R (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)与向量组(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)(,,),(,,),(,,)都是的基。

是3维线性空间。

3R 3R例2实数域上的线性空间中的向量组R 1[]n R x +21,,,,nx x x⋅⋅⋅与向量组21,2,(2),,(2)nx x x −−⋅⋅⋅−都是的基底。

的维数为1[]n R x + 1.n +1[]n R x +注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。

利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。

目前，我们主要讨论有限维的线性空间。

例3在4维线性空间中，向量组22R×1011⎡⎡⎤⎡⎤0111,,,11110110⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦与向量组011⎡⎤⎤⎤11111,,,0⎡⎡⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0001011⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2⎡⎤是其两组基，求向量在这两组基下134A =⎢⎥的坐标。

⎣⎦设向量在第组基下的坐标为A 解：设向量在第一组基下的坐标为T1234(,,,),x x x x 于是可得基变换与坐标变换⋅⋅⋅⋅⋅⋅设（旧的）与（新的）是维线性空间的两组基底，它们之间的关系为12,,,n ααα12,,,n βββn V a a a ααα=+++ 11221i i i ni ni a β⎡⎤21,2,ia i nααα⎢⎥⎢⎥== []12,,,,,,,n ⎢⎥⎢⎥ ni a ⎣⎦将上式矩阵化可以得到下面的关系式11121n a a a ⎡⎤⎥ 21222n a a a ααα=⋅⋅⋅⎢⎢⎥[][]1212,,,,,n n βββ⎢⎥⎢⎥12n n nn a a a ⎣⎦a a a ⎡⎥ n 1112121222n n a a a ⎤⎢⎢⎥= 称阶方阵P ⎢⎥⎢⎥12n n nn a a a ⎣⎦是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成⎡1212,,,,,n n P βββααα=⋅⋅⋅⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 定理：过渡矩阵是可逆的。

P ，设在两组基下的坐标分别为V ∈任取设在两下的标分别为ζζ与，那么我们[,,,Tx x x [,,,Ty y y 有：]12n ]12n11x y ⎡⎤⎡⎤22x y P ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢ x ⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥ n n y ⎣⎦⎣⎦称上式为坐标变换公式。

例 1 在4维线性空间中，向量组22R×⎡120110,,1111εε⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111⎡⎤⎡⎤==34,,0110εε⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡与向量组121011,,μμ⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥0000⎣⎦⎣⎦341111,,1011μμ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦为其两组基，求从基到基εεεε1234,,,μμμμ为其两求从到的过渡矩阵，并求向量在这两组基下1234,,,12A ⎡⎤=⎥渡矩阵并求向在两下的坐标。

34⎢⎣⎦线性空间的子空间定义设为数域上的一个维线性空间,V F n W为的一个非空子集合,V 如果对于任意的,W αβ∈以及任意的都有,k l F ∈,k l W αβ+∈么我们称的个那么我们称为的一个子空间。

W V 例1线性空间和单个零向量构成的子空间是的两个平凡的子空间。

V {}0V证明实数域上的线性空间中全体上三角n nR×矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的n nR ×子空间这几个子空间的基底与维数分别是什么？子空间。

问题：这几个子空间的基底与维数分别是什么？子空间的交与和的两个子空间定义12,V V V 设是线性空间的两个子空间,命1212{|}V V V V ααα∩=∈∈且V V V V ααααα+==+∈∈且12121122{|,}1212:V V V V V ∩+可以验证和都构成的线性子空间，12V V 分别称为和的交空间与和空间。

L例oM3,{0}L M R +={0}.L M ∩=134定理1.3.4}}121211span{span{span 1212,,,},,,,},{,,,,,}.s t s t V V V V αααβββααββ==+= 设则定理1.3.5 (维数公式),V V V 设是线性空间的两个子空间,则12121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++∩子空间的直和补子空间子空间的直和、补子空间1212,{0},V V V V V ∩=设是线性空间的两个子空间,若121212,,.V V V V V V +⊕直和则称的和空间是记作1212,,,,W W W V W W W =⊕==设是线性空间的三个子空间且有一个12121.,,,,W W V W W W W V W ⊕则称有个特别的若直和分解互补的子空间则称是线性空间的一对或称2.W 是的代数补1.3.7的一个子空间则一定存在定理,.U V U W V U W =⊕设是线性空间的个子空间,则定存在的代数补子空间使得的代数补不是唯一的U 子空间.L1L2oM线性映射空间映射定义：2,121,V V V V F φ→设是数域上两个线性:空间,映射112,,V F ααλ∈如果对于的任何两个向量和任何数都有1212()()(),φααφαφα+=+11()().φλαλφα=则称映射是由到的线性映射。

称为φ1V 2V 1α1()φα的原像，为的像。

1()φα1α例设实矩阵若映射是实矩阵，若映射由下式确定()ij B b =m n ×:n mR R φ→(),.m nB R R ααα=∈∀∈φ则是线性映射。

φ线性映射的简单性质(0)0,ssφ=11()(),i i i i i i k k φαφα===∑∑)()()φφ12112,s s V αααααα∈ 设，，，且，，，线性相关，12(),),,.s φααα 则也是线性相关注意：121s V ααα∈ 若，，，线性无关，则12(),(),φαφα不定线性无关 ,().s φα不一定线性无关线性映射的矩阵表示设是的一组基，是1V 12,,,n ααα 12,,,m βββ 2V 的一组基的一个线性映射则12)mβ的一组基。

是到的一个线性映射，则φ1V 2V 1()(1,2,,j ij i i a j n φα===∑ ，212= 或12,12(,,)((),(),,())(,,,)n n mmmi i i i in i a a a φαααφαφαφαβββ= 111i i i ===∑∑∑11121n a a a ⎡⎤2122212,(,,)n m a a a βββ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥12m m mn a a a ⎢⎥⎣⎦12,(,,)m Aβββ= A矩阵称为线性映射在基与A φ12,(,,)n ααα 12,(,,)m βββ 下的矩阵表示。

线性映射的值域核线性映射的值域、核定义是的一个线性映射令φ定义：设到的一个线性映射，令1V 2V V V V αα==∈∀∈，121(){()}φβφ则：是的线性子空间，称为线性映射的1()V φ2V φ值域，记为().R φ若是的一组基，则12,,,n ααα 1V 12n span{(),(),,()}()R φφαφαφα=是的一个线性映射令V φ定义：设到的个线性映射，令1V 21(0){|()0}N V αα−==∈=1()()}φφφ则：是的线性子空间，称为线性映射的()N φ1V φi 核子空间，称为的零度。