矩阵分析 - 北京理工大学研究生院
北理工2018-2019学年第一学期《矩阵理论及其应用》期末考试题
北京理工大学2018-2019学年第一学期
《矩阵理论及其应用》期末考试试题
1. 给出正规矩阵和Hermite 矩阵的定义，并给出这两类矩阵的包含关系（10分）；
2. A 是n ×n 维矩阵，给出e A ,sin (A ),cos(A)的级数表达式（10分）；
3. 列举任意3种矩阵分解方法，并给出数学定义（10分）；
4. 对于任意m ×n 维复数矩阵A ，定义||A||=∑∑|a ij |n j=1m i=1，
证明||A||是矩阵范数（10分）；
5. 证明伪逆矩阵A +唯一（10分）；
6. 设A 是一个半正定H-阵且A ≠0,B 是一个正定的H-阵，证明|A +B|>|B|（10分）;
7. A 为正规矩阵，证明与A 酉相似的矩阵也是正规矩阵（10分）；
8. ||A ||<1，证明（E+A ）非奇异（10分）；
9. 证明ρ(A)≤||A||,其中ρ(A)为矩阵A 的谱半径，||A||为任意范数（10分）；
10. 已知V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间，证明dim (V 1)+dim (V 2)=dim (V 1+V 2)+dim(V 1∩V 2)（10分）.。
北京理工大学出版社矩阵分析习题解答
2005级电路与系统矩阵分析作业3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量[]n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。
（1）证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2）写出nC 中的Canchy －Schwarz 不等式。
(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。
証毕。
（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－3（1）已知.A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡502613803－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵 解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0，1，0）T是A 的特征向量。
选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520830631 取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283，|λE- A 1| = (λ+1)2λ= －1是A 1的特征值。
当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝0021，于是，α1 ＝（ --52，51）T是A 的特征向量，选择与α1正交的向量组成酉阵U 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152 -，U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：1))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
矩阵分析Chapter TwoSummary - 北京理工大学研究生课程
个。
（2）不变因子与行列式因子的关系：
d1() D1()
d2 ( )
X i1, X i2 , , X ini
（4）Jordan标准形的某些应用 a)求一个给定的矩阵的高次幂 b) 求解一个常微分方程组 c) 判断两个矩阵是否相似 d) 待补充…☺
J1
J
J2
J
s
为Jordan标准形矩阵。
定理： 设 A C nn , A的初等因子为
( a1)n1 , ( a2 )n2 ,
则
AJ
, ( as )ns
，这里
J1
J
J2
J
s
其中
ai 1
ai 1
Ji
,(i 1,2, , s)
1
ai ni ni
我们称 J 是矩阵 A 的Jordan标准形。
0
பைடு நூலகம்
0
其中 r 1, di ()是首项系数为1的多项式且
di () di1() (i 1,2, , r 1)
称这种形式的 矩阵为 A( ) 的Smith标准形。 d1(), d2(), , dr ()称为 A()的不变因子。
矩阵Smith标准形的唯一性
(1) 行列式因子
定 义： A()为一个 矩阵且 rank( A()) r 对
（2）用特征矩阵秩的方法求数字矩阵的Jordan标 准形. 具体操作步骤： （1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值；
《矩阵分析》课程教案
讨 论
练 习
作 业
作业：第3章练习题中任选5题
教学要求
熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概念和基本方法。
教学方法
课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告
教学手段
多媒体课件+案例+理论推导+编程实现
考核方式
结合课堂所学写一篇论文/开卷考试二者选一
教学参考资料
[1]《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版
[2]《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition》，Lars Eldén，The SIAM series on Fundamentals of Algorithms，2007.2
本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。
山西财经大学研究生课程教案
课程名称
矩阵分析
课程编码
课程编号003201课程中文名称数学物理方法48学时3学分-理学院
课程编号003201课程中⽂名称数学物理⽅法48学时3学分-理学院课程编号：003201课程中⽂名称：数学物理⽅法48学时/ 3学分英⽂译名：Mathematics method in physics适⽤领域：⼯程技术及⾃然科学各领域开课单位：理学院任课教师：罗跃⽣，于涛教学⽬的：使学⽣掌握解决实际问题的这⼀有⼒的⼿段，并提⾼利⽤数学物理⽅法解决科学技术领域出现的问题的能⼒。
预备知识或先修课程要求：⾼等数学、常微分⽅程、线性代数、复变函数。
教学主要内容及对学⽣的要求：复变函数及应⽤，积分变换，求解偏微分⽅程的分离变数法及特殊函数⽅法，格临函数法等。
要求学⽣掌握复变函数的微分、解析、级数、积分等理论，并学会利⽤复变函数理论来研究函数的性质，分析微分⽅程的解。
求解较复杂的实积分等问题的⽅法，掌握拉普拉斯变换，傅⾥叶变换的概念、性质及应⽤⽅法。
学会利⽤分离变数法及特殊函数求解偏偏微分⽅程的⽅法，学会利⽤格临函数法、积分变换法等⽅法求解偏微分⽅程的技巧。
内容摘要：数学物理⽅法是解决物理学、⼒学、⼯程技术等领域中问题的有⼒数学⼿段，利⽤数学物理⽅法可以更科学、更准确地描述⾃然界和科学技术领域中出现的很多现象，并能更精确地计算出相应的结果。
主要内容包括：复数的基本概念、解析函数、初等函数、复数积分、级数、单值函数的孤⽴奇点、残数理论及其在积分上的应⽤、含参数的积分、拉普拉斯变换及傅⾥叶变换、线性常微分⽅程的级数解法和积分解法、偏微分⽅程的导出及定解问题导数的实际例⼦、分离变数法、特殊函数、格临函数等。
考核⽅式：开卷，笔试。
课程主要教材：数学物理⽅法．郭敦仁．⼈民教育出版社，1983主要参考书⽬：[1]数学物理⽅法．管平,计国君,黄骏．⾼等教育出版社，2003[2]数学物理⽅法．胡嗣柱,倪光炯．⾼等教育出版社，2002[3]数学物理⽅法．陆全康,赵慧芬．⾼等教育出版社，2002[4]数学物理⽅法．刘连寿,王正清．⾼等教育出版社，2002课程编号003202课程中⽂名称数值计算32学时/ 2学分英⽂译名：Numerical Computation适⽤领域：⾃然科学各领域开课单位：理学院数学系任课教师：沈艳教学⽬的：通过本课程的学习使学⽣了解数值计算是随着计算机产⽣发展⽽建⽴的⼀个重要数学分⽀，它是⼀门研究适合于在计算机上使⽤、实际可⾏、理论可靠、求取复杂的数学问题的数值解的⽅法、过程和理论。
北京理工大学出版社矩阵分析习题解答[1]
![北京理工大学出版社矩阵分析习题解答[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/95cd48a9d1f34693daef3e22.png)
2005级电路与系统矩阵分析作业3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量[]n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。
（1）证明在上述定义下，n C 是酉空间；（2）写出n C 中的Canchy －Schwarz 不等式。
(1)证明：),(αβ＝HA αβ=HHA )(βα=HA βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H=),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+HHHA A AHA αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知c n是酉空间。
証毕。
（2）解： ∑∑==njnij ijiHy ax A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==njnij ij i y a y ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤njnij ij i njninjnij ijij ijiy a y x ax y ax *3－3（1）已知.A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡502613803－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝0000201于是ε1＝（0，1，0）T 是A 的特征向量。
选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001010则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---52830631取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283，|λE- A 1| = (λ+1)2λ= －1是A 1的特征值。
当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝21，于是，α1＝（ --52，51）T 是A 的特征向量，选择与α1正交的向量组成酉阵U 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152-，U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：1))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。
2018级硕士研究生矩阵分析试题-A卷
二、 证明：线性变换在不同的基下所对应的矩阵相似。
三、假设V = R[x]2 表示实数域上次数不超过 2 的多项式和零多项式构成的线性空间。在V 中
∫ 定义内积:
( f (x), g(x)) =
1
f (x)g(x)dx 。
−1
(1). 求基 x2 , x,1 的度量矩阵；
(2). 将基 x2 , x,1 转化为标准正交基；
ix1 x3
+
2 x2
x2
3;
1 2
x3
x3
(1). 写出 Hermite 二次型对应的矩阵； (2). 求酉矩阵 U ，使得二次型变为标准二次型。
2
六、已知
A
=
0
0
i
0
，求
A
的奇异值分解。
0
2 1 0
七、 已知=A
1
−1
0
，求
A、 ∞
A、 1
A 、A 。
2
F
0 0 1
2018工程数学(矩阵分析)试题-A卷
一.设 R3 中向量α = ( x1, x2 , x3 ) ，对 ∀x ∈ R3 定义变换 f ： f ( x) =(−2 x1 + x2 + x3 , x1 − 2 x2 + x3 , x1 + x2 − 2 x3 ) (1). 证明： f 是线性变换； (2). 求 f= 在基 e1 (1= , 0, 0);e2 (= 0,1, 0);e3 (0, 0,1) ,下的矩阵 A ； (3). 求 f 的值域 R( f ) 及核子空间 N ( f ) 的基及它们的维数。
(3). 求η = x2 在子空间W = L(1, x) 中的正投影η0 ，使得 η −η0=
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课程名称：矩阵分析
一、课程编码：1700002
课内学时： 32 学分： 2
二、适用学科专业：计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业
三、先修课程：线性代数，高等数学
四、教学目标
通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、线性变换、Jordan标准形，及各种矩阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有严格的数学理论依据。
五、教学方式
教师授课
六、主要内容及学时分配
1、线性空间和线性变换（5学时）
1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换
1.2子空间、线性变换
1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件
2、λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（4学时）
2.1 λ-矩阵及Smith标准形
2.2 初等因子与相似条件
2.3 Jordan标准形及应用；
3、内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵（6学时）
3.1 欧式空间、酉空间
3.2标准正交基、Schmidt方法
3.3酉变换、正交变换
3.4幂等矩阵、正交投影
3.5正规矩阵、Schur 引理
3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式
3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵
3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形
4、矩阵分解（4学时）
4.1矩阵的满秩分解
4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR分解）
4.3矩阵的奇异值分解
4.4矩阵的极分解
4.5矩阵的谱分解
5、范数、序列、级数（4学时）
5.1向量范数
5.2矩阵范数
5.3诱导范数（算子范数）
5.4矩阵序列与极限
5.5矩阵幂级数
6、矩阵函数（4学时）
6.1矩阵多项式、最小多项式
6.2矩阵函数及其Jordan表示
6.3矩阵函数的多项式表示
6.4矩阵函数的幂级数表示
6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数
7、函数矩阵与矩阵微分方程（2学时）
7.1 函数矩阵对纯量的导数与积分
7.2 函数向量的线性相关性
7.3 矩阵微分方程
(t)
()() dX
A t X t dt
=
7.4 线性向量微分方程
(t)
()()() dx
A t x t f t dt
=+
8、矩阵的广义逆（3学时）
8.1 广义逆矩阵
8.2 伪逆矩阵
8.3 广义逆与线性方程组
课时分配说明：第一章的课时根据学生的数学基础情况可以调整，最多5学时，如学生线
性代数的基础普遍较高，可以分配3学时，剩余2学时可在最后讲解第九章部分内容(Kronecker 积的概念和基本性质)。
七、考核与成绩评定
考核：闭卷考试，由授课老师单独命题、阅卷，复核。
成绩评定：期末考试成绩占70%，平时成绩占30%，按百分制给出总评成绩。
八、参考书及学生必读参考资料
教材：史荣昌，魏丰. 矩阵分析［M］.北京:北京理工大学出版社, 第三版.
参考书：
[1] 罗家洪主编. 矩阵分析引论 [M]. 广州：华南理工大学出版社，2000.
[2] Horn R.A. and Johnson C.R..Matrix Analysis [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1986.
[3] Alan ub, Matrix Analysis.[M]. Siam，2005.
[4] 程云鹏等.矩阵论（第二版）[M].西安：西北工业大学出版社，2003.
[5] Meyer C.D..Matrix Analysis and and Applied Linear Algebra [M].
Philadelphia：SIAM, 2000.
九、大纲撰写人：张艳霞。