矩阵分析 史荣昌 魏丰 第三版 第一章-第四章 期末复习总结

线矩 性阵 映表 射示
m
∑ 定义:设α1，α2， αn
是v
1
的一组基，
β1,
β
2
,
βm
v 是 2 的一组基，A
是v1到v 2
的一个线性映射则
A（ αj
）
=
αij
βi
α (j=1,2,3,…n)=(A( 1
),A( α2
), A( αn
))=(
β1,β2
,
βm
)
i =1
a11 a21
a12 a22
核
v v 定理：设 T 为 n 维线性空间 1 到 m 维线性空间 2 的线性映射，则 dim N(T)+dim R(T)=n
性质: A 的核与 A 的核完全一致
定义: 设 W 是数域 F 上的 n 维线性空间 V 的一个非空子集，如果 W 中的元素满足
(1) ∀α，β ∈ w，则α + β ∈ w;(2)∀α ∈ w ,λ ∈ R ,则λα ∈ w .则易证，W 也构成数域 F 上的线性空间.
特征子
空间
V 性质：特征子空间 λi 是线性变换 T 的不变子空间。
定义：设v1和v 2 是数域 F 上的两个线性空间，映射 A:v1 → v 2 ,如果对任何两个向量 α1,α2 ∈ v1和任何数λ ∈ F
有 A（ α1 + α2 ）=A（ α1 ）+A（ α2 ），A（ λα1 ）= λ A（ α1 ），便称 映射 A 是由v 1到v 2 的线性映射
是 v1
的一组基，
β1,β2
,
βn2
的一组基，则
α1， αn1
,
β1,
β
2
,
βn2
是v
1
+ v 2 的一组基
定义：设w 1,w 2,w 3 是线性空间 V 的三个子空间，且 w=w 1 ⊕ w 2 。则称 w 有一个直和分解。
补子 空间
特别的，若 w=v=w 1 ⊕ w 2 ,便称w 1和w 2 是线性空间 v 的一对互补子空间。或称w 1是w 2
子
空
定理 1:设v1 = span(a1，a2，a3， as ),v 2 = span(β1,β2,β3 βt ),则v1 + v 2 =span(
间
α1，α2，α3， αs , β1,β2,β3 βt )
定理 2： dim v1 + dim v 2 = dim(v1 + v 2 ) + dim(v1 ∩ v 2 )
a1n
a2n a3n
=(
β1,β2
,
βm
)A,矩阵 A 称为线性映射 A 在基( α1，α2， αn
)与（
β1,β2
,
βm
）下的矩阵表示
am1 am 2 amn
定理
1:设v 1 的基为(α1，α2， αn
),v 2
的基为(
β1,β2
,
βm
)，给定
m*n
矩阵
A=( aij
)
m
*n
B，则 B= AP
α α α 定理 2: 设
1,
2
,
n 是 n 维线性空间 V 的一组基，在这组基下，线性变换 A 对应一个 n 阶矩阵 A，线性变换 B 对应一个 n 阶矩阵 B，这个对应还具有以下几个性质：
矩
1) 线性变换 A 和 B 的和 A+B 对应于矩阵 A 和 B 的和 A+B
阵
2) 线性变换 A 的数量乘积 kA 对应于矩阵 A 的数量乘积 kA
定义：若v1 ∩ v =0，则称v1与v 2 的和空间v1 + v 2 是直和，用记号v1 ⊕ v 2 表示
交
定理：设v1与v 2 是线性空间 v 的两个子空间，则下列命题是等价的
与
和
1) v1 + v 2 是直和
直和
2) dim(v1 + v 2 )= dim v1 + dim v 2
3)
设
α1， αn1
定义 :给定数域 P 上的线性空间 V 到线性空间 V 的线性映射，称线性变换
a11
定义：设
T
是线性空间
V
的线性变换，
α1,α2
,
αn
是
V
的一组基，若
T(
α1,α2
,
αn
)=(
α1,α
2
,
αn
)
a21
a12 a21
a1n
a2n
=(
α1,α2
,
αn
)A
an1 an2 ann
代数补
定理：设 U 是线性 空间 V 的一个子空间，则一定存在 U 的代数补子空间 W,使 v=u ⊕ w
定 义 ： 设 aij ( λ )(i=1,2, … ,m; j=1,2, … n) 是 数 域 F 上 的 多 项 式 ， 则 称 以 aij ( λ ) 为 元 素 的 m*n 矩 阵
a11(λ
向
量
计 算 线性变换 A 的特征值和特征向量变成计算矩阵 A（线性变换在某一个基底下的矩阵）的特征值和特征向量。
方法
定理:相似矩阵有相同的特征多项式
推论 1：相似矩阵有相同的谱。
p α p Ap −1
−1
推论 2：设α是 A 的特征值λ对应的特征向量，则
是矩阵 B=
的特征值λ对应的特征向量
λ λ V 定义: n 阶方阵 A 有 n 个特征值，对于每个特征值 i 代入（ i E-A）X=0 可以得到相应的特征向量，这些特征向量加上零向量构成 n 维向量空间的一个子空间，称为特征子空间，记为 λi
定理
1:设
λ1,λ2
,
,λr
是
A
的
r
α 个互不相同的特征值， i
是对应于
λi
的特征向量（i=1,2,……,r）,则
α1
,α
2
,
αr
线性无关。
定理
2：
设
λ1,λ2
,
,λr
是
A
的
r
q 个互不相同的特征值， i
是
λi
的重
数，
αi
1,αi
2
,
,αiq
是对应于 λi 的 qi
个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 （ i=1,2,……,r ） 则
性质：（1）线性变换 T 的和与交仍然是 T 的不变子空间
（2）设
W=span（
α1,α
2
,
αn
），则
W
是线性变换
T
的不变子空间的充分必要条件是
T（ αi
源自文库）∈W
（3）V 的任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间
不
定理：设
W
是
T
的
不
变
子
空
间
，
α1,α
2
,
αr
是
W
的
一
组
基
，
α1,α2
,
α
r
，
αr
+1
2
的两组基，从
βi
到
βi'
的过度矩阵是
Q，线性映射
A
在基 α1，α 2，
αn
和基
β1,β2
,
βm
下的矩阵表示为
A，在基 α1',α2',
α
' n
和
β1',β2',
β
' m
下的矩阵表示为
B,则
B= Q
−1
AP
y1 a11
向量坐标变换公式：
y
2
= a21
a12 a22
a1n a2n
x1
矩逆
阵
阶单位阵，则称 B(λ)是 A(λ)的逆矩阵，记为 A −1(λ)
定理：一个 n 阶λ矩阵 A(λ)可逆 det A(λ)是一个非零常数
（1）矩阵的任意两行（列）互换位置
定义 （2）非零常数 C 乘矩阵的某一行（列）
初
（3）矩阵某一行（列）的Φ(λ)倍加到另一行（列）上，其中Φ(λ)是λ的多项式
)
a12(λ )
a1n(λ
)
A(λ )
=
a21(λ )
a22(λ )
a2n(λ
)
为多项式矩阵或者λ矩阵
am 1(λ )
a m
2(λ
)
amn(λ )
定义：如果λ矩阵 A(λ)中有一个(r≥1)阶子式不为零，而所有的 r+1 阶子式全部为零，则称 A(λ)的秩 r。
λ
逆矩阵：一个 n 阶λ矩阵称为可逆的，如果有一个 n 阶λ矩阵 B(λ)满足 A(λ) B(λ)= B(λ) A(λ)=E，其中 E 为 n
性
子
span(α1，α2，α3， αs )= k1α 1+k2α2 + + ksαs
空
间
定理 1：dim span(α1，α2，α3， ，αs )=rank(α1，α2，α3， ，αs )
定 理 2 ： 若 α1，α2， αs 和 β1,β 2, ,βt 都 是 n 维 向 量 组 ， 则
A
的所有这些特征向量
特性 征质
α11,α12
,
,α1q1
,α
α 21,
22
,
,α 2q 2
,
α
r
1,α
r
2
,
α rq r
线性无关
值
和
定理
3:设
A
是
n
阶方阵，它的
r
个互不相同的特征值为
λ1,λ2
,
,λr
对应的重根数分别为
p1
,
p
2
,
,pr
则称
pi
为
λi
的代数重复度。
特
征
λ q p 定理 4:矩阵 A 的任一特征值 i 的几何重复度 i 不大于它的代数重复度 i
表
3) 线性变换 A 和 B 的乘积 AB 对应于矩阵 A 和 B 的乘积 AB
示
A 4) 若线性变换 A 可逆，则 A 对应的矩阵 A 可逆，且 A 的逆变换对应于矩阵 −1
y1 x1
向量坐标变换公式:
y
2
=
A
x
2
y n xn
定义：设 T 是线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的线性子空间，如果对于任意的α∈W 都有 T(α)∈W,则称 W 是 T 的不变子空间
(1)A（0）=0；A（-a）=-A(a)
s
s
∑ ∑ 性 (2) A( kiαi )= ki A(αi )
质
i =1
i =1
(3)设
α1,α
2
,
αs
∈
V1,线性相关，则
A(α1 ),A(α 2
),
A(αs
)也线性相关。注意若
α1,α
2
,
αs
线性无关，则
A(α1
),A(α2
),
A(αs
)不一定线性无关
x
2
a3n
y m am1 am 2 amn xn
定义：设 T 是线性空间v 1 到v 2 的线性映射，命 T（v 1 ）={ β = T（ α ）∈ v 2 | ∀α v v ∈ 1 }称 T（ 1 ）是线性映射 T 的值域，记为 R(T),称 dim R（T）为 T 的秩，记为 rank T.
称 W 为线性空间 V 的一个线性子空间．简称子空间. 平凡子空间：零子空间和线性空间本身 定理：线性空间 V 的非空子集 W 构成子空间的充分必要条件是：W 对于 V 中的线性运算封闭．
线
定义：非空子集 span( α1，α2，α3， αs )是由向量 α1，α2，α3， ，αs 生成的生成子空间，
,
αn
是
V
的一组基，T
在
α1,α
2
,
αn
下的矩阵表示为
变
子 线
空 性
间 变
换
a11
a1r
a1,r +1
a1n
ar1 arr 0 0
ar ,r +1 ar +1,r +1
arn ar +1,n
反过来，如果
T
在
α1,α
2
,
αn
下的矩阵表示为
A=
A1
0
A2 A3
,则由
α α α 定理：(1) R(T)=span{T( 1 ),T( 2 ),……T( n )} (2)rank(T)=rank(A)(A 为线性映射在基下的矩阵表示)
值
域
性质:
设 A 是 n 维线性空间V1 到 m 维线性空间V2 的线性映射，α1，α2， αn
是V1
的一组基，β1,
β
2
,
,βm
是V2 的一组基。线性映射 A 在这组基下的矩阵表示是 m*n 矩阵 A=( A1，A2， An
α1,α
2
,
αr
生成的子空间为
T
的不变子空间。
0 0 an,r +1 ann
λ α λ λ λ 定义：设 T 是数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换，如果 V 中存在非零向量α，使得 T(α)= 0 , 0 ∈F.那么称 0 是 T 的一个特征值，称α是 T 的属于 0 的一个特征向量。
等 定理：对一个 m*n 的λ矩阵 A(λ)的行作初等行变换，相当于用相应 m 阶初等矩阵左乘 A(λ)。对 A(λ)作初等
变
列变换，相当于用相应的 n 阶初等矩阵右乘 A(λ)
)，
其中
Ai
是
m
行列矩阵。于是
A( α1，α 2，
αn
)=(
β1,β2
,
,βm
)A,故
A( αi
)=(
β1
,β2
,
,βm
)
Ai
。A
的值域和
A
的值域是一样的。
v v 定义：使 T(α)=0 的α的全体 N(T)={ α|α∈ 1 ,T(α)=0,}是 1 的子空间, N(T)称为线性映射 T 的核子空间。Dim(N(T))称为 T 的零度。
span( α1，α2， αs )=span( β1,β 2, ,βt ) ⇔ α1，α2， αs 与
β1,β 2, ,βt 互相等价。
命v1 ∩ v 2 ={α | α ∈ v1且α ∈ v 2 }，称v1 ∩ v 2 为v1与v 2 的交空间。
生
定义
成
命v1 + v 2 = {α = α1 + α2 | α1 ∈ v1且α2 ∈ v 2}称v1 + v 2 为v1,v 2 的和空间。
N
阶方阵
A
是线性变换
T
在
α1,α
2
,
αn
下的矩阵表示。
定理
1:
设
T
是线性空间
V
的线性变换，
α1,α2
,
αn
和 α1',α2', ,αn' 是
V
的两组基，由 αi
α'
到 i 的过度矩阵为
P，线性变换
T
在基
α1,α
2
,
α
n
下的矩阵表示为
A，在基
α1',α2', ,αn' 下的矩阵表示为
p −1
,则存在唯一的线性映射，它在这俩个基下的矩阵表示为
A.(In
another
word,在给定基以后，A
与矩阵表示是
一一对应的。)
定理
2：设
A
是v
1到v
2
的一个现行映射，α1，α2，
αn
和
α1',α2',
α
' n
是v
1
的两组基，从
αi
到 αi'
的过度矩阵是
P。
β1,β2
,
βm
和
β1',β2',
βm'
是v