近10年高考全国卷,数学压轴题解题策略
高考数学压轴题解题技巧和方法
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：1中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法点差法：设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论,消去四个参数;如：1)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B,设弦AB 中点为Mx 0,y 0,则有02020=+k by a x ; 2)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B,设弦AB 中点为Mx 0,y 0则有02020=-k by a x 3y 2=2pxp>0与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为Mx 0,y 0,则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=;过A2,1的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程;2焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥;典型例题 设Px,y 为椭圆x a y b22221+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β; 1求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；2求|||PF PF 1323+的最值;3直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解;典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()() 1求证：直线与抛物线总有两个不同交点2设直线与抛物线的交点为A 、B,且OA ⊥OB,求p 关于t 的函数ft 的表达式;4圆锥曲线的相关最值范围问题圆锥曲线中的有关最值范围问题,常用代数法和几何法解决;<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决;<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数通常利用二次函数,三角函数,均值不等式求最值;1,可以设法得到关于a 的不等式,通过解不等式求出a 的范围,即：“求范围,找不等式”;或者将a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a 的范围；对于2首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即：“最值问题,函数思想”;最值问题的处理思路：1、建立目标函数;用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x 、y 的范围；2、数形结合,用化曲为直的转化思想；3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值; 典型例题已知抛物线y 2=2pxp>0,过Ma,0且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B,|AB|≤2p1求a 的取值范围；2若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N,求△NAB 面积的最大值;5求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决; 典型例题已知直线L 过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上;若点A-1,0和点B0,8关于L 的对称点都在C 上,求直线L 和抛物线C 的方程; 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题已知直角坐标平面上点Q2,0和圆C ：x 2+y 2=1, 动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λλ>0,求动点M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线;6 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内;当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决典型例题 已知椭圆C 的方程x y 22431+=,试确定m 的取值范围,使得对于直线y x m =+4,椭圆C 上有不同两点关于直线对称7两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k k y y x x 1212121···==-来处理或用向量的坐标运算来处理;典型例题 已知直线l 的斜率为k ,且过点P (,)-20,抛物线C y x :()241=+,直线l 与抛物线C 有两个不同的交点如图; 1求k 的取值范围；2直线l 的倾斜角θ为何值时,A 、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直;四、解题的技巧方面：在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大;事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量;下面举例说明：1充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量;典型例题 设直线340x y m ++=与圆x y x y 2220++-=相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP OQ ⊥,求m 的值;2 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到;典型例题 已知中心在原点O,焦点在y 轴上的椭圆与直线y x =+1相交于P 、Q 两点,且OP OQ ⊥,||PQ =102,求此椭圆方程; 3 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算;典型例题 求经过两已知圆C x y x y 122420：+-+=和C x y y 22224：+--=0的交点,且圆心在直线l ：2410x y +-=上的圆的方程;4充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法;典型例题 P 为椭圆22221x y a b+=上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四边形OAPB 面积的最大值及此时点P 的坐标;5线段长的几种简便计算方法① 充分利用现成结果,减少运算过程一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中,得到型如ax bx c 20++=的方程,方程的两根设为x A ,x B ,判别式为△,则||||AB k x x A B =+-=12·||12a k △·+,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程;例 求直线x y -+=10被椭圆x y 22416+=所截得的线段AB 的长; ② 结合图形的特殊位置关系,减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算;例 F 1、F 2是椭圆x y 222591+=的两个焦点,AB 是经过F 1的弦,若||AB =8,求值||||22B F A F +③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A3,2为定点,点F 是抛物线y x 24=的焦点,点P 在抛物线y 2=4x 上移动,若||||PA PF +取得最小值,求点P 的坐标;圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备： 1. 直线方程的形式1直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式; 2与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+3弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-=或12AB y y =- 4两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质1、椭圆的方程的形式有几种三种形式标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== 2、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<距离式方程：|2a = 3、三种圆锥曲线的通径你记得吗 4、圆锥曲线的定义你记清楚了吗如：已知21F F 、是椭圆13422=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 5、焦点三角形面积公式：122tan 2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅6、记住焦半径公式：100;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”;20||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为311||,||22p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 6、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗 第二、方法储备1、点差法中点弦问题 设()11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有1342121=+y x ,1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba 43-2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗经典套路是什么如果有两个参数怎么办设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式0∆≥,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ,将这两点代入曲线方程得到错误!错误!两个式子,然后错误!-错误!,整体消元······,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之;若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理;一旦设直线为y kx b =+,就意味着k 存在;例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点点A 在y 轴正半轴上.1若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; 2若角A 为090,AD 垂直BC 于D,试求点D 的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率,从而写出直线BC 的方程;第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC,从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；解：1设B 1x ,1y ,C 2x ,2y ,BC 中点为00,y x ,F2,0则有11620,1162022222121=+=+y x y x两式作差有16))((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04500=+ky x 1 F2,0为三角形重心,所以由2321=+x x ,得30=x ,由03421=++y y 得20-=y ,代入1得56=k直线BC 的方程为02856=--y x2由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x 2设直线BC 方程为8054,22=++=y x b kx y 代入,得080510)54(222=-+++b bkx x k2215410k kbx x +-=+,222154805k b x x +-= 2222122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入2式得 0541632922=+--k b b ,解得)(4舍=b 或94-=b直线过定点0,)94-,设Dx,y,则1494-=-⨯+xy x y ,即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()920()916(222≠=-+y y x ;4、设而不求法例2、如图,已知梯形ABCD 中CDAB2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围;分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力;建立直角坐标系xOy ,如图,若设C ⎪⎭⎫⎝⎛h c , 2,代入12222=-b y a x ,求得h =,进而求得,,E E x y ==再代入12222=-b y a x ,建立目标函数(,,,)0f a b c λ=,整理(,)0f e λ=,此运算量可见是难上加难.我们对h 可采取设而不求的解题策略,建立目标函数(,,,)0f a b c λ=,整理(,)0f e λ=,化繁为简.解法一：如图,以AB 为垂直平分线为y 轴,直线AB 为x 轴,建立直角坐标系xOy ,则CD ⊥y 轴因为双曲线经过点C 、D,且以A 、B 为焦点,由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称依题意,记A ()0 ,c -,C ⎪⎭⎫ ⎝⎛h c , 2,E ()00 ,y x ,其中||21AB c =为双曲线的半焦距,h 是梯形的高,由定比分点坐标公式得()()122120+-=++-=λλλλc cc x , λλ+=10h y设双曲线的方程为12222=-by a x ,则离心率a ce =由点C 、E 在双曲线上,将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 14222=-b h e , ①11124222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ ②由①式得14222-=e b h , ③将③式代入②式,整理得 ()λλ214442+=-e , 故1312+-=e λ由题设4332≤≤λ得,43231322≤+-≤e 解得 107≤≤e所以双曲线的离心率的取值范围为[]10, 7分析：考虑,AE AC 为焦半径,可用焦半径公式, ,AE AC 用,E C 的横坐标表示,回避h 的计算, 达到设而不求的解题策略．解法二：建系同解法一,(),E C AE a ex AC a ex =-+=+,()()22121E cc c x λλλλ-+-==++,又1AE AC λλ=+,代入整理1312+-=e λ,由题设4332≤≤λ得,43231322≤+-≤e 解得107≤≤e所以双曲线的离心率的取值范围为[]10, 75、判别式法 例3已知双曲线122:22=-x yC ,直线l 过点()0,2A ,斜率为k ,当10<<k 时,双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2,试求k 的值及此时点B 的坐标;分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到：过点B 作与l 平行的直线,必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=∆. 由此出发,可设计如下解题思路：()10)2(:<<-=k x k y l解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所把直线l ’的方程代入双曲线方程,消去y ,令判别式0=∆直线l ’在l 的上方且到直线l 的距离为2谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：,则点M 到直线l 的距离. 由于10<<k ,所以kx x x >>+22,从而有 于是关于x 的方程()*由10<<k 可知：方程()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k k x k k k x k 的二根同正,故02)1(22>+-+kx k k 恒成立,于是()*等价于()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k.由如上关于x 的方程有唯一解,得其判别式0=∆,就可解得 552=k . 点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C:x y 2228+=和点P4,1,过P 作直线交椭圆于A 、B 两点,在线段AB 上取点Q,使AP PB AQQB=-,求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手;其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.由于点),(y x Q 的变化是由直线AB 的变化引起的,自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数,如何将y x ,与k 联系起来一方面利用点Q 在直线AB 上；另一方面就是运用题目条件：AP PB AQQB=-来转化.由A 、B 、P 、Q 四点共线,不难得到)(82)(4B A BA B A x x x x x x x +--+=,要建立x 与k 的关系,只需将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程,利用韦达定理即可.通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,在得到()k f x =到关于y x ,()k f 即可得到轨迹方程;简解：设(,1x A 解之得：)(84212121x x x +-= 1设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ,代入椭圆C 的方程,消去y 得出关于 x 的一元二次方程：()08)41(2)41(412222=--+-++k x k k x k2∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=+.128)41(2,12)14(42221221k k x x k k k x x 代入1,化简得：.234++=k k x 3与1)4(+-=x k y 联立,消去k 得：().0)4(42=--+x y x 在2中,由02464642>++-=∆k k ,解得41024102+<<-k ,结合3可求得.910216910216+<<-x故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x 910216910216+<<-x .点评：由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例5设直线l 过点P0,3,和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点,试求APPB的取值范围.分析：本题中,绝大多数同学不难得到：AP PB=BA x x -,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个或某几个参数的函数关系式或方程,这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1: 从第一条想法入手,AP PB =BA x x-已经是一个关系式,但由于有两个变量B A x x ,,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y 得出关于x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.51-=PB AP ; )2y ,直线l 的方程为：3+=kx y ,代入椭解之得.4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称,点P 在y 轴上,所以只需考虑0>k 的情形. 当0>k 时,4959627221+-+-=k k k x ,4959627222+---=k k k x , 所以 21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 952≥k ,所以 51592918112-<-+-≤-k , 综上 511-≤≤-PB AP .分析2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.简解2,消去y 得则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+2121x x x x 令λ=21x x ,在中,由判别式,0≥∆可得 952≥k , 从而有5362045324422≤+≤k k ,所以 536214≤++≤λλ,解得 551≤≤λ. 结合10≤<λ得151≤≤λ. 综上,511-≤≤-PB AP . 点评：范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知着,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心;以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程;在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系充分性、必要性、充要性等,做到思考缜密、推理严密;通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力;例6椭圆长轴端点为B A ,,O 为椭圆中心,F 为椭圆的右焦点,且1=⋅FB AF 1=．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ记椭圆的上顶点为M ,直线l 交椭圆于Q P ,两点,问：是否存在直线l ,使点F 恰为PQM ∆的垂心若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由;思维流程：ⅠⅡ消元,22a ba b>>又∵1=⋅FBAF即22()()1a c a c a c+⋅-==-,∴22a=故椭圆方程为2212xy+=Ⅱ假设存在直线l交椭圆于QP,两点,且F恰为PQM∆的垂心,则设1122(,),(,)P x y Q x y,∵(0,1),(1,0)M F,故1=PQk,于是设直线l为y x m=+,由2222y x mx y=+⎧⎨+=⎩得,2234220x mx m++-=∵12210(1)(1)MP FQ x x y y⋅==-+-又(1,2)i iy x m i=+=得1221(1)()(1)0x x x m x m-+++-=即212122()(1)0x x x x m m m++-+-=由韦达定理得解得43m=-或1m=舍经检验43m=-符合条件．点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零．例7、已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过(2,0)A-、(2,0)B、31,2C⎛⎫⎪⎝⎭三点．Ⅰ求椭圆E 的方程：Ⅱ若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点,(1,0),(1,0)F H -,当ΔDFH 内切圆的面积最大时,求ΔDFH 内心的坐标；ⅠⅡ41,914m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得11,43m n ==.∴椭圆E 的方程22143x y += ．Ⅱ||2FH =,设ΔDFH 边上的高为h h S DFH =⨯⨯=∆221当点D 在椭圆的上顶点时,h ,所以DFH S ∆．设ΔDFH 的内切圆的半径为R ,因为ΔDFH 的周长为定值6．所以,621⨯=∆R S DFH 所以R 的最大值为3．所以内切圆圆心的坐标为.点石成金：的内切圆的内切圆的周长∆∆⨯∆⨯=r S 21例8、已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ,过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.Ⅰ若线段AB 中点的横坐标是12-,求直线AB 的方程；Ⅱ在x 轴上是否存在点M ,使MB MA ⋅为常数若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.思维流程：Ⅰ解：依题意,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为(1)y k x =+, 将(1)y k x =+代入5322=+y x , 消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， 由线段AB 中点的横坐标是12-, 得2122312312x x k k +=-=-+,解得k =,符合题意;所以直线AB 的方程为10x -+=,或10x +=. Ⅱ解：假设在x 轴上存在点(,0)M m ,使MB MA ⋅为常数.① 当直线AB 与x 轴不垂直时,由Ⅰ知 22121222635. (3)3131k k x x x x k k -+=-=++，所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+++22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++将(3)代入,整理得222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++2216142.33(31)m m m k +=+--+ 注意到MB MA ⋅是与k 无关的常数, 从而有761403m m +==-，, 此时4.9MA MB ⋅= ② 当直线AB 与x 轴垂直时,此时点A B ，的坐标分别为11⎛⎛-- ⎝⎝、,当73m =-时, 亦有4.9MA MB ⋅=综上,在x 轴上存在定点703M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,使MB MA ⋅为常数.点石成金：222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++例9、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点;Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ求m 的取值范围；Ⅲ求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y xⅡ∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距为m 又K OM =21m x y l +=∴21的方程为：由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m 且解得Ⅲ设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可 设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且 则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形⇔021=+k k例10、已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ,过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.231求双曲线的方程；2已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C,D 且C,D 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值. 思维流程： 解：∵1,332=a c 原点到直线AB ：1=-bya x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x2把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ,整理得07830)31(22=---kx x k .设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ,则即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kk k k 又 故所求k=±7.点石成金: C,D 都在以B 为圆心的圆上⇔BC=BD ⇔BE ⊥CD;例11、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1． Ⅰ求椭圆C 的标准方程；II 若直线:l y =k x +m 与椭圆C 相交于A 、B 两点A 、B 不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．思维流程：解：Ⅰ由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,由已知得：31a c a c +=-=，,222213a cb ac ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=． II 设1122()()A x y B x y ，，，．联立221.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,则又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+． 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，,1AD BD k k ∴=-,即1222211-=-⋅-x y x y . 1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k--∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=． 解得：12227km k m =-=-，,且均满足22340k m +->． 当12m k =-时,l 的方程(2)y k x =-,直线过点(20)，,与已知矛盾； 当227k m =-时,l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以,直线l 过定点,定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点石成金：以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点⇔ CA ⊥CB; 例12、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线右支上.Ⅰ若当点P 的坐标为)516,5413(时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程；Ⅱ若||3||21PF PF =,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程：解：Ⅰ法一由题意知,1PF )516,5413(---=c , 2PF )516,5413(--=c , 21PF PF ⊥,,021=⋅∴PF PF )5413(--∴c 0)516()5413(2=-+-c 1分解得5,252=∴=c c . 由双曲线定义得: ,2||||21a PF PF =-2222)516()54135()516()54135(2-+---+--=∴a 6)341()341(22=--+=,4,3==∴b a∴所求双曲线的方程为: 116922=-y x法二 因21PF PF ⊥,由斜率之积为1-,可得解. Ⅱ设2211||,||r PF r PF ==, 法一设P的坐标为),( y x , 由焦半径公式得aex ex a r ex a ex a r -=-=+=+= ||,||21,ca x a ex ex a r r 2212),(3,3=∴-=+∴= ,,2,2a c a a x ≥∴≥ c a ≥∴2,e ∴的最大值为2,无最小值.此时31,2222=-=-==e aa c ab ac , ∴此时双曲线的渐进线方程为x y 3±=法二设θ=∠21PF F ,],0(πθ∈.1当πθ=时, 22121423,2r c r r c r r =∴==+，且 , 22122r r r a =-=此时2242222===r r a c e . 2当），（πθ0∈,由余弦定理得: θθcos 610cos 2222222122212r r r r r r c -=-+=）（∴2cos 6102cos 6102222θθ-=-⋅==r r a c e ,)1,1(cos -∈θ ,)2,1(∈∴e ,综上,e 的最大值为2,但e 无最小值. 以下法一附：1.圆锥曲线的两个定义：1第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹；双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视;若2a ＝|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在;若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支;如 1已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF 答：C ；2方程8=表示的曲线是_____答：双曲线的左支 2第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e ;圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化;如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P x ,y,则y+|PQ|的最小值是_____答：22.圆锥曲线的标准方程标准方程是指中心顶点在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程：1椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x 0a b >>⇔{cos sin xa yb ϕϕ==参数方程,其中ϕ为参数,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝10a b >>;方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么ABC ≠0,且A,B,C 同号,A ≠B;如1已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____答：11(3,)(,2)22---；2若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,22y x +的最小值是___22双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1,焦点在y 轴上：2222bx a y -＝10,0a b >>;方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么ABC ≠0,且A,B 异号;如1双曲线的离心率等于25,且与椭圆14922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程_______答：2214x y -=；2设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______答：226x y -=3抛物线：开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时22(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->;3.圆锥曲线焦点位置的判断首先化成标准方程,然后再判断： 1椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上;如已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是__答：)23,1()1,( --∞2双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上；3抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向;特别提醒：1在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F 1,F 2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,a b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向； 2在椭圆中,a 最大,222a b c =+,在双曲线中,c 最大,222c a b =+;4.圆锥曲线的几何性质：1椭圆以12222=+by a x 0a b >>为例：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心0,0,四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：ce a=,椭圆⇔01e <<,e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁;如1若椭圆1522=+my x 的离心率510=e ,则m 的值是__答：3或325； 2以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__答：222双曲线以22221x y a b-=0,0a b >>为例：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心0,0,两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：ce a=,双曲线⇔1e >,等轴双曲线⇔e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大；⑥两条渐近线：by x a=±;如 1双曲线的渐近线方程是023=±y x ,则该双曲线的离心率等于______答：；2双曲线221ax by -=则:a b = 答：4或14；3设双曲线12222=-by a x a>0,b>0中,离心率e ∈2,2,则两条渐近线夹角θ的取值范围是________答：[,]32ππ；3抛物线以22(0)y px p =>为例：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2p,其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点0,0；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：ce a =,抛物线⇔1e =;如设R a a ∈≠,0,则抛物线24ax y =的焦点坐标为________答：)161,0(a；5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x 0a b >>的关系：1点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；2点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；3点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+< 6．直线与圆锥曲线的位置关系：1相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0∆>,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0∆>,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件;如1若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点,则k 的取值范围是_______答：-315,-1； 2直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点,则m 的取值范围是_______答：1,5∪5,+∞；。
对高考数学压轴题应试策略的几点思考
对高考数学压轴题应试策略的几点思考摘要：在整个高考数学试卷中，压轴题是一道综合题型，对于学生的综合分析能力有着较高的要求，就如何应对高中数学压轴题来展开详细分析。
关键词：高考数学压轴题；应试策略；选择题在高考结束后，有很多考生反映，对于数学试卷中的最后一道题，不知道如何解，有的甚至反映，没有时间去看。
通过调查，我们发现，这种现象不是个别现象，在很多考生中都存在着这样的问题。
学生寒窗苦读12年，在高考的时刻，竟然连压轴题都没有看，我们有必要对其进行思考。
思考一：事出有因自从1978年恢复高考，直到现在，数学命题一直是数学教师关注的重点。
不可否认，压轴题是整个高考数学试卷中最难的题目。
之前，数学考题一般是对基础知识、基本技能、基本方法等三基的考查，会在选择题型和填空题型安排一些比较容易得分的题目，即使是前两个解答题也是比较容易的题型。
高考作为一个选拔性的考试，需要难易结合。
考生在解答前半部分的试题时较容易得分，在后面几个具有选拔性题型时，就会布置一些较难的题目。
但经过实践证明，有些压轴题会超出大纲范围，考生在解答这部分的题型时，不仅会耗到大部分的时间，而且成功率很低，所以考生在这部分的得分会很少。
针对于这样的高考数学试题的结构特点，大部分教师会在教学过程中采用“确保一、二题，稳拿三、四题，力争五、六、七，不理压轴题”的应考策略。
通过放弃这种高难度的试题，从而有更多的时间去解答容易得分的考题。
这样有的放矢，也同样可以获得不错的成绩。
“避难就易”的指导策略，有时确实会让学生得到不错的优惠效果。
但是，现在的时代不同了。
思考二：形势有变高考数学命题者已经充分认知到这一问题，与大部分考生实际掌握的知识水平有很大的差距，这样的难题设置就如形同虚设。
这样的试卷结构不仅不利于选拔优秀的学生，而且会在一定程度上干扰中学的教学秩序，从而会违背命题者最开始的想法。
所以，命题者在试题的设置上做了一定的调整。
1.降低压轴题的难度在降低压轴题的难度时，命题者采用了这样的措施。
高考数学压轴题的技巧
高考数学压轴题的技巧高考数学压轴题，是指在高考数学卷纸面末尾出现的试题，通常是难度较大、综合性较强、需要历年来所学知识的综合应用、思维难度较高的试题。
对于考生来说，这道题目有可能会成为考试的拦路虎，也有可能在不经意间成为抢分的机会。
下文将从几个角度来述说高考数学压轴题的技巧。
一、掌握数学知识这个听起来是肯定的，但是却有证据表明，有些考生在数学考试中，只是抱着会做17、18道题就过得思路。
数学题目的解法是脱离不了知识的，特别是对于中高难度的数学题目而言，所需要的知识点并不能仅限于该知识点名称，而是要理解知识点彼此的联系、相互影响，以及它们在复杂问题中的应用，相信这样做至少会让压轴题的难度降低很多。
二、提前研究到高考数学卷压轴题时，考生的头脑多半已经处于极度疲劳的状态。
如果此时才开始考虑如何解决难度较大的问题，那么一定会让自己更加紧张，甚至使自己惨遭失败。
所以，提前熟悉历年高考压轴题往往有助于压轴题的解决。
通览历年高考卷，可以发现有不少考题在难度和思维层次上有诸多相似之处，所以如果能在平时分析这些题目的解题思路，积累一些数学的解题经验，对于高考时的应对更是有益。
三、针对性解题针对性解题的方法是针对高考数学卷压轴题的特点，通过分析题目的难度，选用高考数学笔试中比较好掌握的部分解决高考数学卷压轴题这样一种方法。
特别是对于前三个题目的解决，往往关系到难题求解的过程，因此需要我们重点把握。
四、保持冷静由于高考数学卷压轴题的难度比较大，所以很容易让考生失去信心、紧张、焦虑等负面心理，甚至难以理解题目中的要点。
因此，保持冷静是解决高考压轴题的关键。
只有冷静下来，不慌不忙地分析题目，找到解题思路，才能顺利地解决该题。
五、动脑筋数学是一门学科，而不是简单的运算，高考数学卷压轴题的解题过程需要有创造性，需要考生在解题过程中运用自己的智慧，灵活运用数学知识。
所以，在解决高考数学卷压轴题的过程中，我们要学会动脑筋，灵活去解决问题。
数学高考新课程全国卷压轴题特点分析与教学策略建议
数学高考新课程全国卷压轴题特点分析与教学策略建议摘要：剖析历年新课程全国卷压轴题中有代表性的试题，即2011年、2012年、2013年新课程全国卷理科第21题，发现压轴题考点的共性、困难所在、求解策略、需要具备的基本能力，由此总结出针对压轴题的教学策略：注重过程，回归基础注重联系，注重几何直观，注重分析问题的能力。
关键词：新课程全国卷；压轴题；解题策略；教学策略压轴题——本文特指新课程全国卷理科的第21题，考什么？历年教育部考试中心出台的试题分析都会给出解释．比如，《高考理科试题分析（课程标准实验•2014年版）》第114页中写到：“本题考查函数的单调性和极值点的概念，考查求导公式和导数运算法则以及函数与方程的数学思想，考查学生灵活应用导数这一工具去分析问题、解决问题的能力．”在“命制过程”中写到：“……第（2）问将参数的范围与函数不等式结合起来，旨在考查学生利用导数工具分析、解决与函数有关的问题，为学生求解提供广阔的想象空间，对学生分析应用知识、寻找合理的运算策略以及推理论证能力提出较高要求……”可见，压轴题的考查目标是紧扣数学与数学学习的本质，因此应对压轴题的教学应该是回归数学的基础，包括基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验，提高分析、解决问题的能力．一、压轴题剖析下面以新课程全国卷理科第21题为例，通过剖析试题的求解过程，研究压轴题的破解之法．从2008年至2013年，新课程全国卷理科第21题一共有7道题目（2007年压轴题是解析几何试题；2013年分新课程全国1卷、新课程全国2卷，各有一道）．这7道题目又以2011年和2012年的两道题目最具代表性．【点评】通过上述的分析可以看出这种求解是自然的，考查的知识、技能都是最基本的；用到的数学思想方法也是常见的，关键是分析问题的能力．通过分析，不断地将问题转化，使得压轴题回归到数学的基础上来．【点评】例2与例1，虽然具体的表现形式不同，但是，比较两道题目的求解过程，其本质都是一致的．这种一致性正如历年“考试说明”中写到的，考查函数的概念和性质，考查导数的运算和利用导数研究函数性质的方法以及分类讨论的数学思想，考查学生灵活应用导数这一工具去分析、解决问题的能力等等．而这些考查点的核心是分析问题的能力．【点评】通过分析可见，这些压轴题考查的是数学的“四基”．每年都会有变化，但由分析能力掌控，通过分析，顺势而为，可以自然地求解．因此，通过分析，将压轴题分解回归到教材，回归到基本知识与技能，这是破解压轴题的秘籍．二、压轴题中的要素分析1．压轴题的求解“策略”根据上面的分析，我们可以大致概括出求解这类题目的“策略”。
高考数学压轴题解法与技巧
高考数学压轴题解法与技巧高考数学压轴题，一直以来都是众多考生心中的“拦路虎”。
然而，只要我们掌握了正确的解法与技巧，就能在这场挑战中脱颖而出。
首先，我们要明确什么是高考数学压轴题。
通常来说，压轴题是指在高考数学试卷的最后几道题目，它们综合性强、难度较大，往往涵盖了多个知识点，对考生的思维能力、计算能力和综合运用知识的能力都有很高的要求。
一、掌握扎实的基础知识要解决高考数学压轴题，扎实的基础知识是关键。
这包括对数学概念、定理、公式的深入理解和熟练掌握。
例如，函数的性质、导数的应用、数列的通项公式与求和公式、圆锥曲线的方程与性质等。
只有在基础知识牢固的基础上，我们才能在复杂的题目中找到解题的突破口。
以函数为例，要理解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并且能够熟练运用求导的方法来研究函数的单调性和极值。
如果对这些基础知识掌握不扎实，在面对压轴题中涉及函数的问题时，就会感到无从下手。
二、培养良好的数学思维1、逻辑思维在解决压轴题时，清晰的逻辑思维至关重要。
我们需要从题目中提取关键信息，分析已知条件和所求问题之间的逻辑关系，逐步推导得出结论。
比如，在证明一个数学命题时，要先明确证明的方向，然后根据已知条件选择合适的定理和方法进行推理。
在推理过程中，要保证每一步都有依据，逻辑严密，不能出现跳跃和漏洞。
2、逆向思维有时候，正向思考难以解决问题，我们可以尝试逆向思维。
即从所求的结论出发，反推需要满足的条件，逐步逼近已知条件。
例如，对于一些存在性问题，我们可以先假设存在满足条件的对象，然后根据假设进行推理，如果能够推出与已知条件相符的结果，那么假设成立；否则，假设不成立。
3、分类讨论思维由于压轴题的综合性较强，往往需要根据不同的情况进行分类讨论。
比如，对于含参数的问题，要根据参数的取值范围进行分类，分别讨论在不同情况下的解题方法。
在分类讨论时，要做到不重不漏，条理清晰。
每一类的讨论都要独立进行，最后综合各类的结果得出最终答案。
高考数学压轴题解题技巧
高考数学压轴题解题技巧高考数学压轴题是所有数学题目中最重要的一道题目，考察的不仅仅是学生的数学能力，还考查学生对于数学思想和思维能力的掌握情况。
因此，在考场上若要顺利完成这道题，学生不仅需要对于数学基础知识有扎实的理解掌握，还需要拥有一定的解题技巧。
本文旨在介绍高考数学压轴题的解题技巧，帮助广大考生在考场上顺利解答。
第一，审题应当仔细。
在进行高考数学压轴题解题之前，考生首先要仔细审题。
了解所给出的题目内容以及题目所要求的答案，这将对学生的解题过程起到关键作用。
如果考生没有对题目进行仔细审阅，就会导致对题目的主题和核心思想没有深入的认识，因此，无论如何都不会成功地进行解答。
所以我们在考试最初的时候要耐心地阅读，仔细研究每一个问题，弄清题目的要求，并牢记题目信息，不遗漏任何重要的条件。
第二，多思考并构思问题。
高考数学压轴题都是由一些较为抽象的问题组成的，在考试期间，只凭空造作很难得到正确的答案。
因此，我们需要花时间构思问题。
在阅读完题目之后，我们应该停下来，思考一下。
通过思考，可以使我们更快的解决问题。
并且要注意的是，做题思考不光在解决这道题时有用，随时思考和练习也能启发我们，从而提高我们的思考能力，让我们对数学产生浓厚的兴趣和热情。
第三，运用合适的公式和方法。
在考试中，我们需要善于运用公式和方法，寻找最优解方案。
可以先把题目中的数据列出来，然后尝试用刚学过的公式去套用。
通过这样的方式，我们可以找到最合适的解题方法。
同时，在进行数学压轴题的过程中，我们也可以将所学的知识进行紧密的结合，各种知识点之间的联系也是需要学生进行深入的思考的。
最后，做高考数学压轴题的时间是比较紧张的，因此我们需要合理分配时间来解答。
在考试期间，学生必须坚定自己的信念，保持镇静，不要慌乱，冷静分析题目，在规定时间内尽可能地得到答案。
总之，高考数学压轴题是考察学生数学素养的重要环节之一，在考试期间，如果我们能够采用上述的方法，注重审题，多思考构思，运用合适的公式和方法解题，以及合理分配时间，相信我们一定能够顺利地完成数学压轴题目，取得好成绩。
高考数学压轴题的设计理念与解题策略
的系数均为 1，因此需要把 f (x) 中的各个加项的系数也变
为 1，即把它改造（写）成 f (x) sin x sin x sin 2x 的形式．
思路 1：凭经验和直觉，
f (x) sin x sin x sin 2x 的最小值可能在 sin x sin x sin 2x 且 sin x 0 ，
n
n
成立的充要条件是 g(x1) g(x2 ) g( x1 x2 ) 成立．
2
2
推论：在引理 3 中取 g(x) sin x ，
0 xi π, i 1, 2, L , n ， n 为正整数，则
sin x1 sin x2 L
sin xn
n sin x1 x2 L n
xn
成立的充要条件是 sin
案例 11 （2016 年四川卷理科 21 题）设函数 f (x) ax2 a ln x ，
其中 a R ．
（Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性； （Ⅱ）确定 a 的所有可能取值，
使得 f (x) 1 e1x 在区间 (1， ) 内恒成立（ e 2.718 为自然对数的底数）．
x
思路发现 1：用洛必达法则探求并发现a 的边界值
限定，比如，限定 0 x 2π ． f (x) 2cos x 2cos 2x 2(2cos x 1)(cos x 1) ．
令 f (x) 0 ，解得 cos x 1 ，或 cos x 1（舍去． 2
因为 f (x) 的符号在 cos x 1时的附近不变号）．
由
cos
x
1 2
，解得
x1
3 经验 4：在 ABC 中， cos A cos B cosC 在 A B C π 时取得最大值．
关于高考数学压轴题解题方法
关于高考数学压轴题解题方法关于高考数学压轴题解题方法压轴题的解题方法，具体题目依旧要具体分析，不能一一而谈，总体来说，思路如下：1. 复杂的问题简单化，确实是把一个复杂的问题，分解为一系列简单的问题，把复杂的图形，分成几个差不多图形，找相似，找直角，找专门图形，慢慢求解，高考是分步得分的，这种摸索方式尤为重要，能算的先算，能证的先证，踏上要点就能得分，就算结论出不来，中间依旧有许多分能拿。
2. 运动的问题静止化，关于动态的图形，先把不变的线段，不变的角找到，有没有始终相等的线段，始终全等的图形，始终相似的图形，所有的运算都基于它们,高中政治，在找到变化线段之间的联系，用代数式慢慢求解。
3. 一样的问题专门化，有些一样的结论，找不到一样解法，先看专门情形，比如动点问题，看看运动到中点如何样，运动到垂直又如何样，变成等腰三角形又会如何样，先找出结论，再慢慢求解。
另外，还有一些细节要注意，三角比要善于运用，只要有直角就可能用上它，从简化运算的角度来看，三角比优于比例式优于勾股定理，中考命题可不能设置太多的运算障碍，假如遇上繁难运算要及时回头，幸免钻牛角尖。
假如遇到找相似的三角形，要切记先看角，再算边。
遇上找等腰三角形同样也是先看角，再看底边上的高(用三线合一)，最后才是边。
这差不多上能大大简化运算的。
还有一些小技巧，比如用斜边上中线找直角，用面积算垂线等不一而足具体方法较多，假如有时刻，我会举实例进行分析。
最后说一下初中需要把握的要紧的数学思想：1. 方程与函数思想利用方程解决几何运算差不多不能算难题了，建立变量间的函数关系，也是经常会碰到的，常见的建立函数关系的方法有比例线段，勾股定理，三角比，面积公式等2. 分类讨论思想那个大伙儿碰的多了，就不多讲了，常见于动点问题，找等腰，找相似，找直角三角形之类的。
3. 转化与化归思想确实是把一个问题转化为另一个问题，比如把四边形问题转化为三角形问题，还有压轴题中时有显现的找等腰三角形，有时能够转化为找一个和它相似的三角形也是等腰三角形的问题等等，代数中用的也专门多，比如无理方程有理化，分式方程整式化等等语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。
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近10年高考全国卷，数学压轴题解题策略
解题策略
一
熟悉掌握以下六种基本函数及其图象
在遇到涉及指数函数式与对数函数式的综合题目时，可考虑将指数函数式和对数函数式分离成上述六种基本函数分析解答.
二
函数极值点存在不可求问题
利用函数最值解不等式问题时，遇到函数的最值在极值点处，函数极值存在却不可求，这时可以考虑设出极值点，利用整体代换的思路求解.
三
利用超越不等式放缩
牢记常用的超越不等式
常见变式
在需要确定函数取值范围时可以利用上述不等式将指数、对数、三角函数等超越函数放缩成非常熟悉的一次函数或反比例函数来分析求解.
四
方程根（函数零点）的个数问题
考虑函数零点个数问题时，应根据函数的导数确定原函数的单调性和极值，可结合函数图象和参数的取值范围确定零点个数，或根据零点个数确定参数取值范围.
五
以高等数学为背景的试题
（洛必达法则、拉格朗日中值定理等的应用）
遇到含参不等式的证明时常用的两种方式：对参数分类讨论和参变量分离法. 对于参变量分离的求解策略关键在于分离后构造的函数要存在最值.如遇最值不存在的问题，可以考虑用洛必达法则求出函数的极限，再由极限值构造函数.。