2018年东北三省数学建模联赛B题
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。
2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**） 对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。
2018年全国高中数学联合竞赛(B卷)
2018全国高中数学联赛（B卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设集合A={2,0,1,8} ，B={2a|a^A}，则AUB的所有元素之和是 ______________ .2•已知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，高为1.在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于45。
，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为_____________ .3. ___________________________________________________________________________ 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc + def是奇数的概率为_____________________________ .4. __________________________________________________________ 在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n =（3,1）是丨的一个法向量.已知数列{a n}满足：对任意正整数n,点（a n+,a n）均在I上.若a2 =6，则a-ia2a3a4a5的值为 __________________________________________________ .5. 设。
.戶满足tan（«+—） = -3，tan（0 —巴）=5，则tan（a -P、的值为3 66. 设抛物线C: y2 =2x的准线与x轴交于点A，过点B（-1,0）作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A作丨的平行线，与抛物线C交于点M , N，则△KMN的面积为________ .7.设f （x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间［1,2］上严格递减，且满足f （二）=1, f （2二）=0，0兰x兰1则不等式组《一一'的解集为______________ .［0 兰f（x）兰18.已知复数乙厶：满足| Z| AZ |=| Z31,|乙Z2 Z3 r，其中r是给定实数，则△•匕•生的实部Z2 Z3 Z1是______ （用含有r的式子表示）.二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. （本题满分16分）已知数列{a n} : a1=7,勺」=a n• 2, n =1,2,3,….求满足耳-42018a n10. （本题满分20分）已知定义在R ■上的函数f （x）为| Iog3x -1|,0 ::: X 乞9,4 -、、x,x 9.11. （本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A B与C、D分别是椭圆2 2x yC:二2=1（a b 0的左、右顶点与上、下顶点.设P、Q是C上且位于第一象限的两点，满足a bOQ//AP , M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R.证明：线段OQ、OR、BC能构成一个直角三角形.ir冬二f” \ c—r■X?加试（B卷）9的最小正整数n.f (x)二设a,b, c是三个互不相同的实数，满足 f (a) = f (b) = f (c)，求abc的取值范围（本题满分40分）设a,b是实数，函数f （x^ ax b 9.x 证明：存在汀［1,9］，使得| f（x°）| — 2。
2018东北三省三校高三一模数学(word版,答案扫描)
哈尔滨师大附中东北师大附中 2018年高三第一次联合模拟考试 辽宁省实验中学数 学 试 卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效题4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.复数ii +12的模为（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）2（D ）22.已知集合⎩⎨⎧-==29x y x A ，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a 的取值范围是( )（A ）(]3,--∞ （B ）（-∞，-3） (C)(]0,∞- （D ）[)+∞,33.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) （A ）41 （B ）21 （C)31 （D ）32 4.已知sin 313=⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ65cos （ ） （A ）31 （B ）31- （C)322 （D ）32-5.中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（-2，4），则它的离心率为（ ）（A ）25（B ）2 （C)3 （D ）5 6.()52112⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 展开式中的常数项是（ ）（A ）12 （B ）-12 （C ）8 （D ）-87.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的 值是 （A ）23 （B ）29（C)1 （D ）38.已知函数()()0cos sin 3>+=ωωωx x x f 图象的相邻两条对称轴之间的距离是2π，则该函数的一个单调增区间为（ ） （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,125ππ （C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,3ππ9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m 的值为（ ）（A ）148 （B ）37 （C)333 （D ）010.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥， 如图，半球内有一接正四棱锥S-ABCD ，该四棱锥的侧面积为34，则该 半球的体积为（ ） （A ）34π （B ）32π（C)328π （D ）324π11.已知抛物线C:y 2=2x ，直线L:y=21-x+b 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与x 轴相切，则b 的值是（ ）（A ）51- （B ）32- （C)54- （D ）58-12.在△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC=4，M ，N 是边AB 上的两个动点，且|MN|=1，则CN CM ·的取值范围为( ) （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡9411， （B ）[]94，（C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡9415， （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡9411，第Ⅱ卷(非选择题共 90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高中数模美赛B题中文及解法思路
2018年高中数模美赛B题中文及解法思路2018年高中数模美赛B题中文及解法思路解法思路：1）根据外界环境温度变化，计算外界向室内传热数量，由传热数量，确定恒温器调整温度程度和时间；给出算法执行上述功能。
讨论系统是如何工作的。
然后与至少两个其他智能家居气候控制系统进行比较。
2）对一个更大的家庭，修改系统参数（传热量）对系统进行更改，并使用额外的恒温器来控制家中的几个加热/冷却区。
题B问题：舒适的智能住宅没有人愿意在供暖和空调上花费更多的钱。
但是，每个人都希望在家时感到舒适和惬意。
可编程恒温器的开发是帮助降低能源成本的初步努力。
使用可编程恒温器，您可以手动预设工作日和周末以及白天和夜间的温度升高和降低时间表，以在需要时保持家中凉爽或温暖，但在不需要时节省能源。
对时间表的任何调整都需要手动更换每个恒温器。
随着远程控制系统和移动应用程序的使用日益增多，有许多家庭气候控制程序允许您使用智能手机或计算机远程调节家庭供暖和/或空调系统。
有了第一代“智能家居”系统，您可以在任何地方（通过手机应用程序或在线网站）调节供暖系统或空调，以在外出时节约能源，并在回家时让家里温暖或凉爽。
下一代系统从你的行为中“学习”。
经过几天的行为和手动恒温器的改变后，系统会学习何时降低或提高温度。
如果您的计划发生变化，您可以在实际恒温器上或在移动设备上远程手动覆盖这些恒温器调整。
如果你的日程安排不规律，或者如果你家里有几个人的日程安排也不规律，那么可能需要进行许多手动更改。
考虑一下未来一代智能家居气候控制系统，无论您的日程安排多么不规律，该系统都会自动适当地调整您的房屋温度，以响应您的离开和预计您的到来。
考虑到智能气候系统应该能够结合外界环境温度变化以及地理/区域条件（如湿度、过敏原（如尘螨、花粉、霉菌）和空气污染水平）的一些测量。
此外，考虑到系统应综合您对温度（白天、夜晚、工作日、周末）和其他因素的偏好，如湿度和空气纯度水平。
最后，如果您的家或公寓中住着不止一个人（家庭成员或室友），请考虑系统要求。
东北三省四市教研联合体高考2018年数学三模试卷（理科）Word版含解析
东北三省四市教研联合体⾼考2018年数学三模试卷（理科）Word版含解析东北三省四市教研联合体⾼考2018年三模试卷（理科数学）⼀、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A ∪B 的真⼦集的个数为（）A ．7B ．8C ．15D ．162．设复数z 1，z 2在复平⾯内对应的点关于虚轴对称，且z 1=2+i ，则=（）A ．﹣4+3iB ．4﹣3iC ．﹣3﹣4iD ．3﹣4i3．已知函数f （x ）=，则f （a ）的值不可能为（）A ．2016B ．0C ．﹣2D ．4．设等⽐数列{a n }的公⽐q=，前n 项和为S n ，则=（）A ．5B ．7C ．8D ．155．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平⾯，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β；（2）若n ⊥α，m ⊥β，且n ⊥m ，则α⊥β；（3）若α⊥β，m ?α，m ⊥β，则m ∥α；（4）若m ，n 是异⾯直线，m ?α，m ∥β，n ?β，n ∥α，则α∥β．A ．1B ．2C ．3D ．46．在边长为2的等边三⾓形△ABC 中，点M 在边AB 上，且满⾜=3，则?=（）A ．B ．C ．D ．47．见如图程序框图，若输⼊a=110011，则输出结果是（）A ．51B ．49C ．47D ．458．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y=﹣3与抛物线交于点M ，|MF|=5，则抛物线的标准⽅程是（）A ．y 2=2xB ．y 2=18xC ．y 2=xD ．y 2=2x 或y 2=18x9．已知长⽅体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=BB 1=，在四边形ABC 1D 1内随机取⼀点M ，则满⾜∠AMB ≥135°的概率为（）A ．B ．C ．10．已知双曲线C ：的右焦点为F ，以F 为圆⼼和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的⼀个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离⼼率为（）A ．B ．C ．D ．211．△ABC 中，D 为BC 的中点，满⾜∠BAD+∠C=90°，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．等腰直⾓三⾓形D ．等腰或直⾓三⾓形12．已知函数f （x ）=|ln|x ﹣1||+x 2与g （x ）=2x 有n 个交点，它们的横坐标之和为（）A ．0B ．2C ．4D ．8⼆.填空题13．设a 为⾮零常数，已知（x+）（1﹣ax ）4的展开式中各项系数和为3，展开式中x 2项的系数是______．14．在椭圆=1上有两个动点M ，N ，K （3，0）为定点， ?=0，则?最⼩值为______．15．已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三⾓形，俯视图是边长为的等边三⾓形，侧视图是直⾓三⾓形，16．已知数列{2n ?a n }的前n 项和为，若存在n ∈N *，使得a n ≥m 成⽴，则m 的取值范围是______．三.解答题17．函数f （x ）=Asin （?x+φ）（A ＞0，0＜?＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f （x ）取得最⼤值1．（1）将函数f （x ）的图象向右平移个单位得到函数g （x ），求函数g （x ）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h （x ）=f （x ）+g （x ）+2cos 2x ﹣1，如果对于?x 1，x 2∈R ，都有h （x 1）≤h （x ）≤h （x 2），求|x 1﹣x 2|的最⼩值．（2）若从甲、⼄两位同学的数学考试成绩中各随机抽取2次成绩进⾏分析，设抽到的成绩中130分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯四边形ABCD是正⽅形，PA=PD，且PA⊥CD．（1）求证：平⾯PAD⊥底⾯ABCD；（2）设=λ，当λ为何值时直线PA与平⾯PBC所成⾓的余弦值为？20．已知A（﹣2a，0），B（2a，0）（a＞0），||=2a，D为线段BP的中点．（1）求点D的轨迹E的⽅程；（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，x=0是极值点．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=，试⽐较g（4）+g（9）+…+g（n2）与（n∈Z，n≥2）的⼤⼩．[选修4-4坐标系与参数⽅程]22．经过抛物线C：y2=2px（p＞0）外的点A（﹣2，﹣4），且倾斜⾓为的直线l与抛物线C交于M，N两（1）求抛物线C的⽅程；（2）E，F为抛物线C上的两点，且OE⊥OF（O为坐标原点），求△OEF的⾯积的最⼩值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最⼩值为1．（1）试求实数m的值；（2）求证：log（2a+2b）﹣m≥．2东北三省四市教研联合体⾼考2018年三模试卷（理科数学）参考答案与试题解析⼀、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A ∪B 的真⼦集的个数为（）A ．7B ．8C ．15D ．16【考点】⼦集与真⼦集．【分析】由根据集合的定义得到：集合A ∪B={1，2，3}，由此能求出集合A ∪B 的真⼦集个数．【解答】解：∵A={1，2}，B={1，3}，∴集合A ∪B={1，2，3}，∴集合A ∪B 的真⼦集个数为23﹣1=7．故选：A ．2．设复数z 1，z 2在复平⾯内对应的点关于虚轴对称，且z 1=2+i ，则=（）A ．﹣4+3iB ．4﹣3iC ．﹣3﹣4iD ．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利⽤复数的运算法则与共轭复数的定义、⼏何意义即可得出．【解答】解：依题z 2=﹣2+i ，从⽽，于是=﹣3﹣4i ，故选：C ．3．已知函数f （x ）=，则f （a ）的值不可能为（）A ．2016B ．0C ．﹣2D ．【考点】函数的值．【分析】由分段函数分类讨论以确定函数的值域，从⽽确定答案．【解答】解：①当x ＞0时，f （x ）=x （x+4）＞0，②当x ≤0时，f （x ）=x （x ﹣4）≥0，故f （x ）≥0，故f （a ）的值不可能为﹣2，故选C ．4．设等⽐数列{a n }的公⽐q=，前n 项和为S n ，则=（）A ．5B ．7C ．8D ．15【考点】等⽐数列的通项公式．【分析】利⽤等⽐数列的通项公式与前n 项和公式即可得出．【解答】解：S 3==，a 3==，∴=7．故选：B ．5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平⾯，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β；（2）若n ⊥α，m ⊥β，且n ⊥m ，则α⊥β；（3）若α⊥β，m ?α，m ⊥β，则m ∥α；（4）若m ，n 是异⾯直线，m ?α，m ∥β，n ?β，n ∥α，则α∥β．A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】空间中直线与平⾯之间的位置关系．【分析】根据线⾯位置关系的性质和判定定理进⾏分析或举出反例，属于中档题．【解答】解：对于（1），设α∩β=l ，则当m ∥l ，m ?β时，结论不成⽴，故（1）错误．对于（2），设m ，n 的⽅向向量分别是，则分别为平⾯β，α的法向量，∵m ⊥n ，∴的夹⾓为90°，∴平⾯α与β所成⼆⾯⾓为直⾓，即α⊥β．故（2）正确．对于（3），∵α⊥β，m ⊥β，∴m ∥α，或m ?α．⼜m ?α，∴m ∥α．故（3）正确．对于（4），假设α，β不平⾏，则α，β相交，设交线为l ，∵m ?α，m ∥β，α∩β=l ，∴m ∥l ，同理：n ∥l ，∴m ∥n ，与m ，n 是异⾯直线⽭盾．∴假设错误，即α∥β．故（4）正确．故选：C ．6．在边长为2的等边三⾓形△ABC 中，点M 在边AB 上，且满⾜=3，则?=（）A ．B ．C ．【分析】⽤表⽰出，再计算?．【解答】解：∵=3，∴==，∴==+，∴则?=（+）=+=+=．故选：A ．7．见如图程序框图，若输⼊a=110011，则输出结果是（）A ．51B ．49C ．47D ．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利⽤循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运⾏过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第⼀次执⾏循环体后，t=1，b=1，i=2，不满⾜退出循环的条件，第⼆次执⾏循环体后，t=1，b=3，i=3，不满⾜退出循环的条件，第三次执⾏循环体后，t=0，b=3，i=4，不满⾜退出循环的条件，第四次执⾏循环体后，t=0，b=3，i=5，不满⾜退出循环的条件，第五次执⾏循环体后，t=1，b=19，i=6，不满⾜退出循环的条件，第六次执⾏循环体后，t=1，b=51，i=7，满⾜退出循环的条件，故输出b 值为51，故选：A ．8．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y=﹣3与抛物线交于点M ，|MF|=5，则抛物线的标准⽅程是（）A ．y 2=2xB ．y 2=18xC ．y 2=xD ．y 2=2x 或y 2=18x【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得|MF|=5=x M +，解得x M =5﹣＞0，把M代⼊抛物线⽅程解出即可得出．【解答】解：由题意可得|MF|=5=x M +，解得x M =5﹣＞0，∴M代⼊抛物线⽅程可得：（﹣3）2=2p，化为：p2﹣10p+9=0，解得p=1或9．∴抛物线的标准⽅程是y2=2x或y2=18x．故选：D．9．已知长⽅体ABCD﹣AB1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，在四边形ABC1D1内随机取⼀点M，则满⾜∠AMB≥135°的概率为（）A．B．C．D．【考点】⼏何概型．【分析】由题意通过圆和三⾓形的知识确定满⾜条件的图形，分别找出满⾜条件的点集对应的图形⾯积，及图形的总⾯积，作⽐值即可．【解答】解：长⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，∴B11=2，∴四边形ABC1D1为正⽅形，其⾯积为2×2=4，以AB为底边，向正⽅形外作顶⾓为90°的等腰三⾓形，以等腰三⾓形的顶点O为圆⼼，OA为半径作圆，根据圆周⾓相关定理，弧AB所对的圆周⾓为135°．即当M取圆O与ABC1D1的公共部分（⼸形），∠AMB必⼤于135°其中AB=2，OA=，S阴影=π（）2﹣××=﹣1，故所求的概率为=，故选：B．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆⼼和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的⼀个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离⼼率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线⽅程为y=x，运⽤点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF 垂直于x轴，可得a=b，运⽤a，b，c的关系和离⼼率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线⽅程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离⼼率e==，故选C．11．△ABC中，D为BC的中点，满⾜∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（）A．等腰三⾓形B．直⾓三⾓形C．等腰直⾓三⾓形D．等腰或直⾓三⾓形【考点】三⾓形的形状判断．【分析】由∠BAD+∠C=90°，根据三⾓形的内⾓和定理得到剩下的两⾓相加也为90°，设∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在三⾓形ABD和三⾓形ADC中，分别根据正弦定理表⽰出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD=CD，从⽽得到两⽐值相等，列出关于α和β的关系式，利⽤诱导公式及⼆倍⾓的正弦函数公式化简后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范围，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根据等⾓对等边可得AD=BD=CD，根据三⾓形⼀边上的中线等于这边的⼀半可得三⾓形ABC为直⾓三⾓形；由α+β=90°，可得AD与BC垂直，⼜D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB=AC，此时三⾓形ABC为等腰三⾓形．【解答】解：∵∠BAD+∠C=90°，∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C）=90°，设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=CD：AD，⼜D为BC中点，∴BD=CD，∴sinα：sinβ=sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=cosβ：cosα，∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，∴2α=2β或2α+2β=180°，∴α=β或α+β=90°，∴BD=AD=CD或AD⊥CD，∴∠BAC=90°或AB=AC，∴△ABC为直⾓三⾓形或等腰三⾓形．。
2018年东北三省数学建模联赛B题
2018年东北三省数学建模联赛B题B题-无线回传拓扑规划1.背景介绍在城区建设基站，传输光纤部署最后一公里的成本高，光纤到站率低，全球综合来看低于60%；如果使用微波传输，由于微波只能在LOS（视距）场景下部署，而城区场景中LOS信道比例低于50%。
在农村网建设基站，单站业务量低，收入低，ROI（投资回报率）差，运营商建站对成本较为敏感。
卫星传输租金、光纤传输建设费用对于运营商是很大的负担，而如果使用微波传输，对于相当一部分站点需要提升铁塔高度来满足微波的LOS场景要求，铁塔费用的增加对于运营商来说同样是不小的负担。
Relay无线回传方案利用FDD LTE或TDDLTE制式承载来为站点回传，相对微波有较强的NLOS（非视距）传输能力，可以解决城区、农网等场景下的传统传输方式不可达的问题，同时在部分场景下也可以替代微波，有效降低站高，节省加站费用。
图1 Relay架构RRN（eRelay Remote Node），是Relay方案中的无线回传设备，它用于为基站提供无线回传服务。
如图1所示。
Relay组网包含宿主基站DeNB和中继站RN两个逻辑节点：DeNB是在普通基站（DeNB）上增加了Relay功能，DeNB支持普通手机（UE）接入，也支持RRN的接入；RN包括RRN和ReBTS两部分。
RRN通过无线信号接入DeNB 并建立空口承载；ReBTS可供覆盖范围内的UE接入；ReBTS的传输由RRN提供为了方便理解，这里分别将DeNB和RRN称作宿主站和子站，一个宿主基站通常可以有1~3个宿主小区，分别覆盖不同的方向（可理解为扇区的定义），如图2所示。
图2中方块代表子站，每个宿主小区可以接入一定数量的子站，子站与子站之间可以级联（即多跳），但跳数有限制。
图2 Relay拓扑关系示意图2.任务表述2.1任务简述本任务中，在给定一个地区中候选站点的位置分布的情况下，参赛队伍需要根据站点间的相互位置、站点间拓扑关系限制等条件，在满足一定回传质量（本次任务仅根据宿主站与子站的距离是否满足某门限来判断是否满足最低回传质量要求。
2018年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)与答案
=
0
⇒
an+1
=
−
1 3
an，于是数列
{an}
是公比为
1 −3
的等比数列.
所以
a1a2a3a4a5
=
a53
=
(−2)5
=
−32.
5. 设 α, β
满足 tan
π α+
= −3, tan
π β−
= 5，则 tan(α − β) 的值为
3
6
.
解答
由于 − cot(α − β) = tan
π 2 + (α − β)
= tan
π
π
α+ 3
−
β− 6
tan
π α+
− tan
π β−
= 1 + tan
3 π
α+ 3
tan
6 π β− 6
= −3 − 5 = 4， 1−3·5 7
所以
cot(α
−
β)
=
4 −
⇒
tan(α
−
β)
=
−7.
7
4
6. 设抛物线 C : y2 = 2x 的准线与 x 轴交于点 A，过点 B(−1, 0) 作一直线 l 与
6!
10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， #n» = (3, 1) 是 l 的一个法向量.
已知数列 {an} 满足：对任意正整数 n，点 (an+1, an) 均在 l 上. 若 a2 = 6，则
a1a2a3a4a5 的值为
.
解答
依题意，直线
l
:
3x + y
2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷
an1 an 2, n 1, 2, 3, an
，2 求满足 an 42018 的
设 a,b,c 是三个互不相同的实数，满足 f (a) f (b) f (c) ，求 abc 的取值范围．
3
r
而 abc = r.
点（句， f(Co ）） 作平行于·x 抽的直线l，则l与 f(x） 的图像另有两个交点仰 ， ！（α ））， (b, /(b)) c其中αε （0，匀， bε （3, 9) ），满足 ！（α ） = f(b)= f(c） ，并且 ab=9 ，从
四本题满分50分给定整数2018年全国高中数学联合竞赛一试b卷参考答案及评分标准说明评阅试卷时请依据评分标填空题只设分和分两档其他各题评请严格按照本准次结不得增加他中间次如果考生解答方法本解答同只要思路合理步骤正确评卷时参考本评分标准适当划分档次评分解答题中第9小题分个档次小题分aub的所0124863解
’叫
一1.
显然｛a.｝单调递增．由于 a11 = 23012 1 < 24036 = 420 ,s, a = 26144 12 故满足题目条件的n的最小值是12.
..................... 8分 1 > 2喃36 = 420 1&' …………......... 16分
10. （本题满分20分）己知定义在R ＋ 上的函数 f(x） 为 [ pog 3 x-11，。＜λ三9, ) = ( /x { 卢 x>9. 14-..Jx,
f (9)=l ，故结合图像可知
cε （9, +oo),
..................... 5分
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年东北三省数学建模联赛B 题
B题-无线回传拓扑规划
1.背景介绍
在城区建设基站，传输光纤部署最后一公里的成本高，光纤到站率低，全球综合来看低于60%；如果使用微波传输，由于微波只能在LOS（视距）场景下部署，而城区场景中LOS信道比例低于50%。
在农村网建设基站，单站业务量低，收入低，ROI（投资回报率）差，运营商建站对成本较为敏感。
卫星传输租金、光纤传输建设费用对于运营商是很大的负担，而如果使用微波传输，对于相当一部分站点需要提升铁塔高度来满足微波的LOS场景要求，铁塔费用的增加对于运营商来说同样是不小的负担。
Relay无线回传方案利用FDD LTE或TDDLTE制式承载来为站点回传，相对微波有较强的NLOS（非视距）传输能力，可以解决城区、农网等场景下的传统传输方式不可达的问题，同时在部分场景下也可以替代微波，有效降低站高，节省加站费用。
图1 Relay架构
RRN（eRelay Remote Node），是Relay方案中的无线回传设备，它用于为基站提供无线回传服务。
如图1所示。
Relay组网包含宿主基站DeNB和中继站RN两个逻辑节点：
•DeNB是在普通基站（DeNB）上增加了Relay功能，DeNB支持普通手机（UE）接入，也支持RRN的接入；
•RN包括RRN和ReBTS两部分。
RRN通过无线信号接入DeNB并建立空口承载；ReBTS可供覆盖范围内的UE接入；ReBTS的传输由RRN提供
2.2 输入输出
1）输入：
每个地区内，所有站点列表，包括：
•站点经纬度；
•站型：RuralStar或蝴蝶站；
各种站型的综合成本，包括：
•宿主站的综合成本；
•子站的综合成本；
•卫星设备成本；
2）约束
输出的拓扑关系，应满足如下限制条件：
•首跳距离≤20km，之后每跳距离≤10km
•站点包含RuralStar和蝴蝶站两种不同站型；其中，RuralStar共包含1个扇区，蝴蝶站共包含2个扇区；若该站点为宿主站，则每个扇区第一级最大接入子站数4，最大总接入子站数6；为了简化问题，暂不考虑蝴蝶站的扇区覆盖方向；
•宿主站之间采用微波连接，最大通信距离为50KM
•宿主站和子站以及子站之间采用无线回传连接
•每个子站最多只能有2条无线回传连接；
•任意子站只能归属一个宿主站，到达所属宿主站有且只有一条通路，且该通路包含的跳数小于等于3
•任意宿主站都有且只有一颗卫星负责回传，成片连接的宿主站可共享同一颗卫星，但一颗卫星最多只能负担8个成片宿主站的回传数据
•成片宿主站中，宿主站总数不设上限
例如，如下图所示的连接关系中
•宿主小区2不满足“每个扇区第一级最大接入数4，最大总接入数6”•子站1、子站2不满足“任意子站只能归属一个宿主站，到达所属宿主站有且只有一条通路”
•子站4不满足“任意子站只能归属一个宿主站，到达所属宿主站有且只有一条通路，且该通路包含的跳数小于等于3”中的“跳数小于等于3”
•子站5不满足“任意子站只能归属一个宿主站，到达所属宿主站有且只有一条通路，且该通路包含的跳数小于等于3”中的“任意子站只能归属一个宿主站”
上图连接关系可修改如下（前提是其它约束条件也满足），即可满足约束条件：
3）输出：
按输入数据中站点顺序，输出以下数据：
输出文件包含以下两个
Graph.csv
包含：
1）二维矩阵表示所有站点间的连接关系，0表示没有连接关系，1表示采用无
线回传连接，2表示采用微波连接；
Posi.csv
包含以下数组，按列存储：
1）一维数组表示站点类型，0表示子站，1表示宿主站；例如：
如上图所示的连接关系，以上数组将表述为：
算法效率：5分钟内
站点规模：1000站点左右
2.3 挑战目标
在拓扑架构满足约束条件的前提下，
挑战目标1（最高优先级）：更低的总体成本
总体成本：宿主站数量*宿主站成本+子站数量*子站成本+卫星数量*卫星成本平均成本=总体成本/地区内站点总数
这里，卫星的数量等于Ceil(宿主站数量/8)，Ceil()表示向上取整。
下表为各种传输方式的成本，单位：W USD
挑战目标2：更低的回传路径损耗
虽然无线回传中存在NLOS影响，但为了简化问题，采用自由空间传播模型估计站点之间的路径损耗，公式如下：
PL=32.5+20*lg（D）+20*lg（F）
其中，PL是路径损耗，是两个站点之间的距离，D单位为km，F是发射频率，
单位为MHz，这里默认采用900MHz。
系统平均损耗=所有无线回传连接的损耗之和/无线回传连接数
需要注意，该路径损耗只考虑子站回传部分，宿主站之间采用微波传输，只需满足距离限制，不计算该损耗。
附：球面距离公式
计算球面两点间距离的公式，设A点纬度β1，经度α1；B点纬度β2，经度α2，则距离S为：
S=R•arc cos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2]
其中R为地球半径，本题中取6378km。