最新九年级数学必考要点分类汇编完整版 (二次函数的应用——利润最值问题)
二次函数利润最值问题
二次函数利润最值问题引言在现代经济学中，利润是一个重要的指标，对于企业盈亏和发展有着至关重要的影响。
在许多经济相关的问题中，我们常常需要通过建立数学模型来分析和优化利润。
二次函数是一种重要的数学模型，在许多经济问题中都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数在利润最值问题中的应用。
二次函数概述二次函数是指具有以下形式的数学函数：f(x)=ax2+bx+c其中，a、b和c为常数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一条抛物线，其开口方向由系数a的正负决定。
利润最值问题利润最值问题是指在一定的经济条件下，通过数学模型中的二次函数来分析和优化利润。
这类问题在实际应用中非常常见，例如企业的生产成本和销售收入存在某种关系时，我们可以通过建立二次函数模型来研究企业的利润最大化问题。
利润函数的建立要解决利润最值问题，首先需要建立利润函数。
假设某企业的生产成本是关于产量x的二次函数，销售收入是关于产量x的线性函数。
那么该企业的利润函数可以表示为：P(x)=R(x)−C(x)其中，P(x)表示利润，R(x)表示销售收入，C(x)表示生产成本。
利润函数的优化优化利润函数，即求出使利润最大化（或最小化）的产量x。
可以通过以下步骤进行：1.将利润函数表示为二次函数的形式，即将R(x)和C(x)分别展开为二次函数的形式。
2.求出二次函数的顶点坐标，顶点坐标表示了二次函数的极值点。
3.根据二次函数的开口方向和顶点的坐标，确定利润函数的最值点。
利润最大化问题实例分析我们将通过一个实例来说明如何利用二次函数求解利润最大化问题。
假设某企业的生产成本函数为C(x)=0.5x2+10x+100，销售收入函数为R(x)= 30x。
我们需要求解该企业的利润最大化问题。
将成本函数表示为二次函数形式将生产成本函数C(x)=0.5x2+10x+100展开，得到C(x)=0.5x2+10x+100。
将销售收入函数表示为二次函数形式将销售收入函数R(x)=30x展开，得到R(x)=30x。
北师大版初三数学下册二次函数的应用——利润最大值
二次函数的应用——利润问题
一，教学目标
1.知识目标：
(1) 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系；
(2)会根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围
(3)会应用二次函数的性质解决解决最值问题
2.能力目标：
会应用二次函数的性质解决解决最值问题
3.情感目标：
鼓励学生积极思考，自主学习，解决实际问题，培养学习数学的兴趣和能力。
二．教学重点和难点：
会根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围
时，。
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版二次函数的最值问题
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。
1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。
（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。
解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版二次函数复习提纲及习题
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版二次函数复习提及习题二次函数的几个基本名词：抛物线的顶点、对称轴和开口方向 大纲要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容（1）二次函数及其图象如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2ab ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h.考查重点与常见题型：考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是1．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）2．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
二次函数的应用——利润最值问题
w … 60 x x … 40300 30 … x x 6000 x 30x 2 30 300 60-x
变式1：某商店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖出 300件，为了促销，该网店决定降价销售，市场反映：每降价 1 2 元，每星期可多卖30件，已知该童装每件成本40元，设该款童 款每件降价x元，每星期的销售量y件。 （1）求y与x之间的函数关系式。 （2）当每件降价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利 润为多少元？
降价 多售的件数 30×1 30×3 现在售价 60-1 60-3 现在销售量 300+30 300+30×3 … 300+30x 1 （2）设利润为 w 3
30×2 300+30×2 2 =（每件售价 60-2 利润 -每件进价）×销售量
30x x5 6750 y=300+30 所以，当降价5时x 20 2x 80 2 2x 30 200 因为 20 x 28 所以由二次函数的性质可知，当x≤30时，w随x的增大而增大 所以当x=28时，w取得最大值，最大值为
w 228 30 200 192
2
练习1：草莓是云南多地盛产的一种水果，今年水果销售店在草莓 销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销售时间单 价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图y与x的函数 关系图象 （1）求y与x函数解析式。 （2）设该水果销售店试销售草莓 获得利润为w元，求w的最大值。
例1：某商店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖出 300件，为了促销，该网店决定降价销售，市场反映：每降价 1元，每星期可多卖30件，已知该童装每件成本40元，设该 款童款每件降价x元，每星期的销售量y件。 （1）求y与x之间的函数关系式。 （2）当每件降价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大 利润为多少元？ 解（1）
二次函数的实际应用(利润问题)
建立模型
将问题抽象为二次函数模型，确定各项参数。
验证和调整
通过实际数据验证模型的准确性，并根据实际 情况进行调整和优化。
2 图像特点
二次函数的图像形状通常为抛物线，具有顶点、对称轴和开口方向等特点。
3 重要概念
二次函数的最值、最值点、零点等重要概念对利润问题的分析很有帮助。
二次函数的利润问题
利润问题是二次函数在实际应用中的一个典型问题。通过二次函数，我们可以计算出不同销量对应的利润，并 进一步分析销量与利润之间的关系。
利润的计算公式
1 收入
收入是销量乘以单价，可以表示为 R = px，其中 p 表示单价，x 表示销量。
2 成本
成本是与销量相关的固定成本和单位成本的乘积，可以表示为 C = a + bx。
3 利润
利润是收入减去成本，可以表示为 P = R - C。
二次函数在利润问题中的应用举例
例一：最大利润
根据给定的销量-利润函数，我们 可以通过分析函数的图像找到最 大利润所对应的销量。
例二：利润变化率
我们可以通过利润函数的一阶导 数（利润对销量的变化率）来分 析利润的增减情况。
例三：最佳生产量
通过分析利润函数的零点，我们 可以确定最佳生产量以最大化利 润。
最大化利润和最小化亏损
最大化利润
通过优化销量，控制成本和定价策略，我们可以最 大化企业的利润。
最小化亏损
在经营中，我们也需要考虑如何降低亏损，避免经 营困难。
求解利润最大化的方法
1
利润函数建模
将利润问题建立二次函数模型，确定各项参数。
2
图像分析
分析二次函数图像的顶点、开口方向等特点，确定最值点。
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版《二次函数》复习学案
1最新九年级数学必考要点分类汇编完整版《二次函数》复习学案一、补全网络最大面积问题：求几何面积的最值，通常是建立面积与线段的函数关系式，然后利用二次函数的图象和性质求 。
最大利润问题：总利润=喷泉问题：水池的半径是指桥洞问题：车的宽度（高度）代入解析式然后与车的高度（宽度）比较。
二、巩固网络：1、抛物线y=x 2－6x+8的顶点坐标为 ，对称轴为， 与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 。
2、 如图2，△ABC 中，EF ∥BC ，AH ⊥BC ，若BC=10， EF=4，AH=6，则DH 的长是 .3、某公司的大门呈抛物线型，大门地面宽AB 为4米，顶部C 距地面的高度为4.4米， 试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； 范例尝试例1、如图所示，在一块底边为30厘米，高为20厘米的三角形铁片上剪下一块最大面积的内接矩形，并使它的一边在底边上．如何设计才能使矩形面积最大，并且求出最大面积。
回思：只要看见三角形内接矩形，就想到运用 这个知识点二次函数应用C图2ACB跟踪练习：△ABC 是一块等腰三角形铁板的余料，AB=AC=20cm ，BC=24cm.若在△ABC 上截出一个矩形零件DEFG ，使边EF 在边BC 上，D 、G 分别在AB ，AC 上，矩形的边长是多少时，矩形的面积最大？例2人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）。
若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米。
若不计其它因素，水池的半径至少多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。
回思：喷泉问题一般采用 式求函数解析式，然后再求出 ，就是要求的水池半径跟踪练习：改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示，设水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷头。
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九年级 日期：辅导科目：数 学 时间： 课 题 二次函数的应用——利润最值问题 授课日期教学目标1、熟练掌握二次函数的概念、图像及性质；2、学会灵活运用二次函数的概念、图像及性质来解决实际问题。
教学内容二次函数的应用——利润最值问题〖教学重点与难点〗◆教学重点：熟悉二次函数的概念、图像及其性质。
灵活运用二次函数的概念、图像及性质来解决实际问题。
◆教学难点：灵活运用二次函数的概念、图像及性质来解决实际问题。
〖教学过程〗 一、知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a bx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当a bx 2-=，ab ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a bx 2-=，ab ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．二、典型例题：[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x 解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．变式训练：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元，则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元，则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．x （元） 15 20 3…y （件） 221…[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ． ⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x 400502-+-=x x 225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．变式训练：3．市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元)(30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式．5 0 0⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ．⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x ∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值） 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x•≤34或36≤x ≤39．[例4]：研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．变式训练：4. 为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?解：)-=x=wyx-x20)(28020((+)-)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．三、本课小结：本课主要学习了利用二次函数解决利润问题中的一些最值情况，解决这类问题，一般先理清题中的各个数量关系，通过建模思想建立函数模型，最后利用二次函数中求最值的方法来达到我们解决问题的目的！四、课后作业：1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-．2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)． 3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”) 解：29)23(22-+-=m x y∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．21。