充要条件教案
充要条件 教案
1.4.2 充要条件教学目标1.理解充要条件的意义.2.理解数学定义与充要条件的关系.教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性．教学过程：一、核心概念充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为(sufficient and necessary condition)．(2)当p是q的充要条件时，q也是p的条件．(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立q成立”，或“p与q”．新知拓展1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(4)若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且B A，即A B，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且A B，即B A，则p是q的必要不充分条件．(6)若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．3．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．二、评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )(2)符号“⇔”具有传递性．( )(3)若p⇒/q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( )答案：（1）√、（2）√、（3）√、（4）×、（5）√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是______________________．(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)答案：(1)x＝1或x＝2 (2)充要(3)充要三、典例分析题型一全称量词命题与存在量词命题的判定例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；C B C A.(4)p：A∩B＝A，q：U U【答案】(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q 的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．题型探究已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？【答案】作出“⇒”图，如右图所示，可知：p ⇒q ，r ⇒q ，q ⇒s ，s ⇒r .(1)p ⇒q ⇒s ⇒r ，且r ⇒q ，q 能否推出p 未知，∴p 是r 的充分条件． (2)∵s ⇒r ⇒q ，q ⇒s ， ∴s 是q 的充要条件．(3)共有三对充要条件，q ⇔s ；s ⇔r ；r ⇔q. 金版点睛：判断p 是q 的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p 是q 的充分必要条件，主要是判断p ⇒q 及q ⇒p 这两个命题是否成立．若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若q ⇒p 成立，则p 是q 的必要条件，同时q 是p 的充分条件；若二者都成立，则p 与q 互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度． 跟踪训练1指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：A ∪B ＝A ，q ：A∩B ＝B ；(2)p ：⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4；(3)已知实数a ，b ，p ：a>0且b>0，q ：a ＋b>0且ab>0.【答案】(1)因为A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，而A∩B＝B ⇔B ⊆A ，所以A ∪B ＝A ⇔A∩B＝B ，所以p 是q 的充要条件．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，根据不等式的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.即p ⇒q ，而由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4不能推出⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2.如：α＝1，β＝5满足⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，但不满足α>2.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由a>0且b>0⇒a ＋b>0且ab>0，并且由a ＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p 是q 的充要条件．题型二 充要条件的证明 例2已知0ab，求证：1a b 是33220ab ab a b 的充要条件．【证明】 ①充分性：∵1a b ，∴1b a ， ∴33223322(1)(1)(1)ab ab a b a a a a a a323222133120a a a a a a a a a ，即33220a b ab a b .②必要性：∵33220a b ab a b ，∴2222()()()0a b a ab b a ab b ，∴22()(1)0aab b a b . ∵0ab ，∴0a且0b，∴220aab b .∴10a b ，∴1a b .综上可知，当0ab 时，1a b 是33220ab ab a b 的充要条件．题型探究已知a ，b 是实数，求证：a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．【证明】因为a 2－b 2＝1，所以a 4－b 4－2b 2＝(a 2－b 2)·(a 2＋b 2)－2b 2＝(a 2＋b 2)－2b 2＝a 2－b 2＝1.即a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件． 另一方面，若a 4－b 4－2b 2＝1，即a 4－(b 4＋2b 2＋1)＝0，a 4－(b 2＋1)2＝0， (a 2－b 2－1)(a 2＋b 2＋1)＝0.又a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1. 因此a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件．金版点睛：充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”.跟踪训练2求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【证明】①必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca <0，∴ac <0.②充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.题型三 探求充要条件例3求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 【答案】①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．②当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.(ⅰ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0⇒a <0；(ⅱ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0⇒0<a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 金版点睛：探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 跟踪训练3已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 【答案】方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，则方程有两个大于1的实数根x 1，x 2：⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)(x 2－1)>0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，(x 1＋x 2)－2>0四、随堂练习1．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件答案：D解析：由A ∪B ＝B ，得A ⊆B 或A ＝B ；反之，由A ⊆B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析： x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．故“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的充分不必要条件．3．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． 答案：a <0解析：由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0.5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.证明：证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y 的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy <0⇔xy >0.所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.。
充要条件教案
充要条件教案一、教学目标1.理解充要条件的概念；2.掌握充要条件的判定方法；3.能够应用充要条件解决实际问题。
二、教学内容1.充要条件的概念；2.充要条件的判定方法；3.充要条件的应用。
三、教学重点1.充要条件的概念；2.充要条件的判定方法。
四、教学难点1.充要条件的应用。
五、教学方法1.讲授法；2.举例法；3.练习法。
六、教学过程1. 导入教师可以通过提问的方式，引导学生回忆起之前学习的命题、条件、充分条件等概念，为本节课的学习做好铺垫。
2. 讲解2.1 充要条件的概念充要条件是指一个命题成立的必要条件和充分条件同时成立的情况。
也就是说，如果一个命题成立，那么它的必要条件和充分条件都成立；反之，如果一个命题的必要条件和充分条件都成立，那么这个命题也一定成立。
2.2 充要条件的判定方法充要条件的判定方法有两种：充分性证明和必要性证明。
充分性证明是指证明一个条件是充分条件，即如果条件成立，则结论一定成立。
充分性证明通常采用归谬法、逆否命题法、反证法等方法。
必要性证明是指证明一个条件是必要条件，即如果条件不成立，则结论一定不成立。
必要性证明通常采用直接证明法、反证法等方法。
2.3 充要条件的应用在实际问题中，我们常常需要判断某个条件是否是充要条件，或者根据已知条件推出结论。
这时，我们可以运用充要条件的知识来解决问题。
3. 举例为了更好地理解充要条件的概念和判定方法，教师可以给出一些具体的例子，让学生通过实际操作来掌握充要条件的应用。
例如，教师可以给出以下命题：•如果一个整数是偶数，那么它能被2整除。
•如果一个整数能被2整除，那么它是偶数。
然后，教师可以引导学生分别进行充分性证明和必要性证明，从而让学生更好地理解充要条件的判定方法。
4. 练习为了巩固学生对充要条件的掌握程度，教师可以设计一些练习题，让学生进行练习。
例如，教师可以给出以下练习题：1.如果一个人是男性，那么他一定有阳具。
这个命题的必要条件和充分条件分别是什么？2.如果一个人有阳具，那么他一定是男性。
四川省宣汉县第二中学高中数学 第1章《充要条件》教案
充要条件宣汉二中 蒲元勇一、第一段 自主学习阶段1、复习：（1）， 的意义；（2）表示p 是q 的充分条件；表示p 是q 的必要条件。
2、出示学习目标和基础想问题，学生带着目标和问题进行自主看书（课本11-12页） 问题1：什么是充要条件？问题2：怎样判断或证明条件的充分性和必要性？二、第二段 合作探究阶段1、探究：判断p 是q 的什么条件，需要考虑几个方面？引例： p:x=1 q:(x 2-1)(x-2)=0 .试判断p 是q 的什么条件？解析：(1)Θ若x=1则(x 2-1)(x-2)=0为真∴<原命题为真>∴p 是q 的充分条件。
(2)Θ若(x 2-1)(x-2)=0则x=1为假 ∴<逆命题为假>∴p 是q 的不必要分条件。
综上所述：p 是q 的充分不必要分条件方法点拨：用定义判断条件的充分性与必要性的步骤(1)弄清原命题的条件和结论(不妨设原命题的条件为p ，结论为q)(2) ①判断？即判断原命题“若p 则q ”的真假。
②判断？即判断逆命题“若p 则q ”的真假。
(3)下结论2、练习1、下列各题中p 是q 的什么条件？ (1)p ：43x 2+=x q ：43x +=x(2)p ：03-x = q ：04)-3)(x -(x =(3)p ：0)0(a 4ac -b 2≠≥ q ：)0(02≠=++a c bx ax 有实根(4)p ：1=x 是方程02=++c bx ax 的一个根 q ：0=++c b a(5)p ：1x > q ：2<x抽学生回答上述各题(1)必要不充分 (2)充分不必要 (3)充要 (4) 充要 (5)既不充分也不必要 练习2、课本第12页A 组24、作业：课本第12页A 组3、4。
公开课充要条件教案
公开课充要条件教案一、教学目标1. 让学生理解充要条件的概念，掌握其定义和判定方法。
2. 培养学生运用充要条件分析问题、解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维能力和表达能力。
二、教学内容1. 充要条件的定义2. 充要条件的判定方法3. 充要条件的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：充要条件的定义和判定方法。
2. 教学难点：充要条件的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解充要条件的定义和判定方法。
2. 利用案例分析法，引导学生运用充要条件分析问题。
3. 开展小组讨论法，培养学生的合作能力和逻辑思维能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个生活案例，引出充要条件的概念。
2. 讲解充要条件的定义：引导学生理解充分条件和必要条件的概念，并介绍它们的区别和联系。
3. 讲解充要条件的判定方法：介绍“如果且仅如果”的概念，引导学生掌握充要条件的判定方法。
4. 案例分析：选取一些实例，让学生运用充要条件进行分析，巩固所学知识。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用充要条件分析问题，培养学生的合作能力和逻辑思维能力。
7. 布置作业：让学生运用充要条件分析问题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对充要条件的理解和掌握程度。
2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括分析问题、合作能力和逻辑思维能力。
3. 作业批改：检查学生对充要条件的应用能力，以及作业中的逻辑性和表述清晰度。
七、教学反思2. 反思教学内容：检查充要条件的定义和判定方法是否适合学生的认知水平，是否需要调整或补充相关知识点。
3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们对充要条件的理解和掌握情况，以及他们在学习过程中的困惑和问题。
八、教学拓展1. 充要条件的应用：介绍充要条件在生活中的应用，如逻辑推理、辩论技巧等，激发学生学习兴趣。
2. 相关知识点：推荐学生阅读相关书籍或文章，了解充要条件的更深入内容和应用领域。
3. 实践活动：组织学生参加相关的实践活动，如辩论赛、思维导图制作等，提高学生的实际应用能力。
高中数学—充要条件教学设计教案
充分条件和必要条件(教案)（第一课时）教学目标：知识目标：（1）理解充分、必要条件的概念；（2）初步掌握充分、必要条件的判断方法。
能力目标：培养学生的阅读理解能力、逻辑推理能力和归纳总结的能力。
情感目标：让学生感受“在生活中数学地思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。
教学重难点：教学重点：充要条件的概念和判断方法。
教学难点：理解充要条件的概念。
课型：新授课教学方法：讲练结合教学法（配合多媒体辅助教学手段）教具：多媒体、投影仪教学程序：1、复习旧知，引入新课首先，在导入阶段的教学中，回顾上节研究的命题的一般形式“若p则q”和其真假判断的方法，先向学生介绍真假命题的简记符号。
同时以命题“若x>0，则x2>0。
”和其逆命题“若x2>0，则x>0。
”为例让学生学习符号的使用。
在此基础上，让学生先分析下面的问题：（幻灯显示）[幻灯显示]例1、判断下列命题的真假，并研究其逆命题的真假（用p与q的相互推出符号表示你的判断）。
p q（1）若x>2，则x>1。
（2）若两三角形面积相等，则这两个三角形全等。
（3）若三角形有两角相等，则它是等腰三角形（4）若a2>b2，则a>b。
教师在学生回答的基础上，结合（1）、（2）两个命题，分析引出对“充分的”和“必要的”这两个词汇的感性认识：首先，在原命题中研究前者对后者的制约程度：比如（1）中，p能推出q，表明要得到结论q，有了条件p就足够了，也就是说条件p 对于结论q是“充分的”。
在（2）中，p不能推出q，表明条件p对于结论q是“不充分的”。
其次，在逆命题中研究后者对前者的依赖程度：比如（2）中，p不能推出q，但p能被q推出，这说明p对于q又是一种什么样的联系呢？作出分析：命题（2）中，两三角形面积相等不能说明两三角形必然全等，但是，如果两三角形的面积不相等，则两三角形会全等吗？不会。
为什么？因为如果两三角形全等，则两三角形的面积是必然相等的。
充要条件教案
充要条件教案教案标题：充要条件教案教案目标：1. 学生能够理解和应用“充要条件”的概念。
2. 学生能够用“充要条件”的形式来表达逻辑关系。
3. 学生能够运用充要条件思维解决问题。
教学重点：1. 理解“充要条件”的概念。
2. 运用充要条件的形式来表达逻辑关系。
3. 发展充要条件思维。
教学准备：1. PPT幻灯片。
2. 小组活动材料。
教学过程：步骤1：导入（5分钟）- 利用一个具体的例子引入“充要条件”的概念，例如：“如果天气晴朗（充分条件），那么我就去公园（必要条件）”。
请学生思考并回答，这个例子中的“天气晴朗”是什么？“我去公园”是什么？（重点引导学生理解“充分”和“必要”条件的概念）步骤2：概念解释和讨论（10分钟）- 使用PPT解释“充要条件”的概念，并提供更多的例子来帮助学生理解。
确保学生掌握充要条件的基本概念和特点。
步骤3：例题练习（15分钟）- 准备一些练习题，让学生根据给定的条件判断是否为“充要条件”。
其中一些题目可以要求学生解释他们的答案，以促进思考和理解。
步骤4：小组讨论活动（10分钟）- 将学生分成小组，发放小组活动材料。
要求学生在小组内选择一个问题，利用“充要条件”的概念进行研究和讨论。
每个小组选择一个代表来汇报他们的分析和结论。
步骤5：拓展应用（10分钟）- 引导学生思考充要条件思维在现实生活中的应用，并通过提供更多的实际例子来加深他们对该概念的理解。
步骤6：总结回顾（5分钟）- 对学生进行一次简短的回顾，提醒他们关于充要条件的重要概念和形式，以及该概念的应用。
课后作业：- 布置一些练习题，让学生继续巩固和应用他们对充要条件的理解。
教学辅助策略和教学资源：- 利用多媒体技术，使用PPT幻灯片进行概念解释和例题示范。
- 活动材料，用于小组讨论活动。
评估方法：- 在小组讨论活动中观察学生的参与度和表现。
- 根据课堂练习和作业的完成情况，评估学生对充要条件的理解程度。
注意事项：- 激发学生的兴趣，尽量提供有趣的例子和问题。
《充要条件》示范课教案【高中数学】
《充要条件》教学设计◆教学目标1．通过研究大量的实例抽象出充要条件的概念，能利用充要条件对具体的例子进行分析表述，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过探索充要条件与数学定义的关系，进一步理解充要条件，能进行充要条件的判断与证明，在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：充要条件的意义；教学难点：充要条件和数学定义之间关系．◆课前准备PPT课件◆教学过程（一）确定方案问题1：类比“充分条件与必要条件”的研究过程，你能试着写出“充要条件”的研究过程吗？师生活动：学生独立思考，写出研究过程，展示交流．预设的答案：具体实例（命题真假判断）——抽象概念——概念辨析——应用概念．抽象概念：什么是充要条件？概念辨析：充要条件和数学中定义、公理、定理哪个有关？应用概念：如何判断充要条件？设计意图：通过类比所学知识，猜想新知识的研究过程．首先让学生对本节的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：阅读教科书的边框内容，完成下列问题：（1）对于“若p，则q”形式的命题，什么是它的逆命题？（2）请分别写出下列命题的逆命题．①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；③若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；④若A ∪B 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：学生独立思考，写出结果，展示交流，教师帮助学生规范表达．预设的答案：（1）“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，而且它们是互逆的；（2）①若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等； ②若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；③若0<ac ，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；④若A 与B 均是空集，则B A 是空集．设计意图：逆命题对学生来说是一个新概念，首先通过举例让学生认识它，为后续学习做好铺垫．（三）新知探究1．形成概念问题3：对于下列“若p ，则q ”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假．（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；（4）若B A 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：在问题1的基础上，学生独立思考，给出判断，展示交流，互相更正． 追问1：根据以上命题及其逆命题的真假，那么p 是否为q 的充分条件或必要条件？为什么？师生活动：学生独立思考，回答问题，互相更正．预设的答案：（1）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（2）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为假，所以p 不是q 的必要条件；（3）原命题为假，所以p 不是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（4）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件． 追问2：阅读教科书，你能说说什么是充要条件吗？师生活动：学生独立思考，回答问题．老师板书．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引出充要条件的概念．2．辨析概念问题4：根据定义，上述四个命题中，哪些p 是q 的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p 应该称为q 的什么条件？你认为如何判断p 是q 的什么条件？师生活动：学生独立思考，回答问题，老师更正并板书．预设的答案：上述命题（1）（4）中的p 是q 充要条件．对于命题（2），p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件，称p 是q 的充分不必要条件； 对于命题（3），p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件，称p 是q 的必要不充分条件． 如果p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件，称p 是q 的既不充分又不必要条件． 如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 充要条件；如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 充分不必要条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 必要不充分条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 即不充分又不必要条件．设计意图：借助学生熟悉的命题，说明p 是q 的充要、充分不必要等条件与p 是q 的充分条件、p 是q 的必要条件之间的关系．同时利用定义解决问题，形成方法．3．应用概念例3 下列各题中，p 是q 的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．（1）p ：两个三角形全等，q ：两个三角形三边成比例；（2）p ：四边形是平行四边形，q ：四边形的对角线互相平分；（3）p ：0>xy ，q ：0,0>>y x ；（4）p ：1=x 是一元二次方程02=++c bx ax 的一个根，q ：)0(0≠=++a c b a ． 追问1：判断p 是q 的什么条件的依据与方法是什么？（答案略）师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．如果学生只写出命题的真假，而没有给出理由，老师要进行追问．例如：学生在（1）中写出“若q，则p为假命题”，老师追问“为什么”，直到学生给出反例为止．设计意图：进一步熟悉利用判断命题真假来判定充要条件、充分不必要等条件的方法．追问2：例3（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对角线互相平分”，你还能写出不同的充要条件吗？（答案略）师生活动：学生回答，教师将学生的回答板书在黑板上．追问3：这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的不同定义．例如：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等等．再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学定义之间有什么关系？师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流．预设的答案：例如：相似三角形；菱形；子集等定义．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：借助具体的数学命题，理解数学定义和充要条件的关系，进一步深化对充要条件的理解．例4已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与⊙O 相切的充要条件．追问：依据充要条件定义，证明“d=r是直线l与⊙O相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路．师生活动：学生独立思考，分析题意，尝试写出要证的命题以及证明思路，展示交流，老师帮忙完善．在此基础上，学生完成证明，老师帮助订正并规范学生的表达，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”．或者也可以让学生阅读教科书，并说明哪一步是充分性，哪一步是必要性．预设的答案：需要证明的命题以及证明思路：（1）若d=r，则直线l与⊙O相切；思路：要证“直线l与⊙O相切”⇐“直线l与⊙O有且只有一个公共点”⇐先根据条件“d=r”证明“有公共点”，然后再证明“只有一个公共点”．这一步称为“充分性”.（2）若直线l与⊙O相切，则d=r．思路：由“直线l与⊙O相切”⇒“直线l与⊙O有且只有一个公共点P ”⇒“r OP l OP =⊥,”⇒“d =r ”．这一步称为“必要性”．证明：（1）充分性(⇒): 如图，作OP ⊥l 于点P ，则OP =d ．若d =r ，则点P 在⊙O 上，在直线l 上任取一点Q （异于点P ），连接OQ ．在Rt △OPQ 中，OQ ＞OP=r ．所以，除点P 外直线l 上的点都在⊙O 的外部，即直线l 与⊙O 仅有一个公共点P ． 所以直线l 与⊙O 相切．（2）必要性（⇐）：若直线l 与⊙O 相切，不防设切点为P ，则OP ⊥l ．因此d=OP =r ．由（1）（2）得，d =r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．设计意图：通过充要条件的证明，进一步加深学生对充要条件的理解．另外，这个题目推理过程有一定难度，所以在推理之前，分清条件和结论，理清证明思路很重要．（四）梳理总结问题5：本节课我们学习了充要条件，充要条件的含义是什么？对于“若p ，则q ”命题，判断p 是q 的什么条件的方法是什么？充要条件与数学定义有什么关系？师生活动：师生一起总结．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．判断方法：通过判断“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”的真假，从而得出p 是q 的充要或充分不必要或必要不充分或既不充分也不必要条件．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生进一步明确充要条件的含义以及它在数学中的地位和价值．作业布置：教科书练习第1，2，3题；习题1.4第1到6题．（五）目标检测设计1．（2015浙江）设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件设计意图：考查充要条件的判断方法．2．已知集合A ，B ，则“A ∩B =B ”的一个充分不必要条件是（ ）A ．A =∅B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A =B设计意图：考查充分不必要条件的判断方法．3．求证：方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根的充要条件是310<<m ． 设计意图：考查充要条件的证明．参考答案：1．D 2．D3．证明：设p ：方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根；q ：310<<m ． （1）必要性（q p ⇒）：若方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根，设其两根为21,x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=,03,012421m x x m ∆解得310<<m ．（2）充分性（p q ⇒）：若310<<m ，则0124>-=m ∆，所以一元二次方程0322=+-x mx 有两个不相等的实根． 又因为310<<m ，所以,0321>=m x x 则方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根．。
充要条件教案
1.2.2充要条件一、教学目标1.知识与技能目标：（1）、正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（2）、正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（3）、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．二、教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．三、教学过程（一）、复习提问1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“”的含义2.指出下列各组命题中，“p q”及“q p”是否成立（1）p：内错角相等 q：两直线平行（2）p：三角形三边相等 q：三角形三个角相等（二）、探析新课1、（通过复习提问直接引入课题）充要条件定义：一般地，如果既有p q，又有q p，就记作：p q。
这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件点明思路：判断p是q的什么条件，不仅要考查p q是否成立，即若p则q形式命题是否正确，还得考察q p是否成立，即若q则p形式命题是否正确。
2、辨析题：（学生讨论并解答，教师引导并归纳）思考：下列各组命题中，p是q的什么条件：1)p： x是6的倍数。
q：x是2的倍数2)p： x是2的倍数。
q：x是6的倍数3)p： x是2的倍数，也是3的倍数。
q：x是6的倍数4)p： x是4的倍数 q：x是6的倍数总结：1) p且q≠> p 则 p是q的充分而不必要条件2) q p 且p≠>q 则p 是q 的必要而不充分条件3) p q 且q p 则q 是p的充要条件4) p≠>q 且q≠>p则 p是 q的既不充分也不必要条件强调：判断p是q的什么条件，不仅要考虑p q是否成立，同时还要考虑q p是否成立。
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充要条件教案
一、教学目标
(一)知识目标
通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用(
(二)能力目标
充要条件是重要的数学概念(它主要讨论命题的条件和结论的关系(通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力(
(三)情感目标
运用充分、必要、充要条件以及轨迹的纯粹性、完备性等知识，阐明曲线与方程在坐标系建立的条件下是怎样既对应又统一的，怎样互相转化的，在进一步理解曲线的方程、方程的曲线的概念及其相互关系的过程中进行辩证唯物主义思想教育(
二、教学重难点
1(重点:充分条件、必要条件和充要条件的概念(
(解决办法:对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证()
2(难点:充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用(
(解决办法:先要求学生分清什么条件是什么条件的充分条件或必要条件，同时要注意一些常见命题的正确性()
三、活动设计
1(活动:提问、讲授、引导练习(
2(教具:小黑板、ppt
四、教学过程
(一)复习引入
1、概述一下命题的四种形式，已及相互之间的关系，并指出原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。
2、说出命题:“1、如果天下雨，那么地面湿。
2、如果小明是湖北人，那么小明是宜昌人。
”的逆命题，并判断其真假。
设计思路:对所学知识进行复习巩固，通过所学知识导入新知识，使前后连贯。
(二)充分条件和必要条件
1、指出命题p与q间的推导关系:A、“如果p那么q”为真，是指经过由p推理可以得出q，也就是说p成立，记作:p?q。
B、如果由p推不出q,命题为假，记作:p q。
2、根据推导关系指出:对命题:若p(条件)，则q(结论)
如果已知p?q，则说p是q的充分条件;
如果已知q?p，则说p是q的必要条件;
3、分析原命题如果天下雨，那么地面湿中的推导关系，以及充分条件和必要条件。
设计思路:逐步深入，便于学生理解与掌握。
(三)充要条件
1、引导学生观察归纳，如果既有p?q，又有q?p，是什么情况。
2、逐步推出充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的情况和定义。
3、例题判断。
设计思路:充分发挥学生的主导地位，提高他们的探索意识和归纳能力。
(四)充要条件解题步骤
1、先明确p和q，然后看两者之间的推导关系。
2、例题判断与归纳。
设计思路:使学生掌握基本判断充要条件的步骤，及时复习巩固所学新知识。