Euler法和改进的Euler法实验报告
常微分方程数值解实验报告
常微分方程数值解实验报告学院：数学与信息科学专业：信息与计算科学姓名：郑思义学号：201216524课程：常微分方程数值解实验一：常微分方程的数值解法1、分别用Euler 法、改进的Euler 法（预报校正格式）和S —K 法求解初值问题。
（h=0.1）并与真解作比较。
⎩⎨⎧=++-=10(1y'）y x y 1.1实验代码：%欧拉法function [x,y]=naeuler(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值范围，y0是初值，h 是步长 x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0;for n=1:length(x)-1y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end%改进的欧拉法function [x,m,y]=naeuler2(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值范围，y0是初值，h 是步长。
%返回值x 为x 取值，m 为预报解，y 为校正解 x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0;m=zeros(length(x)-1,1); for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n)); y(n+1)=y(n)+h*k1; m(n)=y(n+1);k2=feval(dyfun,x(n+1),y(n+1)); y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2; end%四阶S —K 法function [x,y]=rk(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值范围，y0是初值，h 是步长。
x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0;for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n));k2=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+(h*k1)/2); k3=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+(h*k2)/2); k4=feval(dyfun,x(n)+h,y(n)+h*k3);y(n+1)=y(n)+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);end%主程序x=[0:0.1:1];y=exp(-x)+x;dyfun=inline('-y+x+1');[x1,y1]=naeuler(dyfun,[0,1],1,0.1);[x2,m,y2]=naeuler2(dyfun,[0,1],1,0.1);[x3,y3]=rk(dyfun,[0,1],1,0.1);plot(x,y,'r',x1,y1,'+',x2,y2,'*',x3,y3,'o');xlabel('x');ylabel('y');legend('y为真解','y1为欧拉解','y2为改进欧拉解','y3为S—K解','Location','NorthWest');1.2实验结果：x 真解y 欧拉解y1 预报值m 校正值y2 S—K解y30.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000.1 1.0048 1.0000 1.0000 1.0050 1.00480.2 1.0187 1.0100 1.0145 1.0190 1.01870.3 1.0408 1.0290 1.0371 1.0412 1.04080.4 1.0703 1.0561 1.0671 1.0708 1.07030.5 1.1065 1.0905 1.1037 1.1071 1.10650.6 1.1488 1.1314 1.1464 1.1494 1.14880.7 1.1966 1.1783 1.1945 1.1972 1.19660.8 1.2493 1.2305 1.2475 1.2500 1.24930.9 1.3066 1.2874 1.3050 1.3072 1.30661.0 1.3679 1.3487 1.3665 1.3685 1.36792、选取一种理论上收敛但是不稳定的算法对问题1进行计算，并与真解作比较。
实验报告——常微分方程的数值解法
实验报告实验项目名称常微分方程的数值解法实验室数学实验室所属课程名称微分方程数值解实验类型上机实验实验日期2013年3月11日班级10信息与计算科学学号2010119421姓名叶达伟成绩实验概述：【实验目的及要求】运用不同的数值解法来求解具体问题，并通过具体实例来分析比较各种常微分方程的数值解法的精度，为以后求解一般的常微分方程起到借鉴意义。
【实验原理】各种常微分方程的数值解法的原理，包括Euler法，改进Euler法，梯形法，Runge-Kutta方法，线性多步方法等。
【实验环境】（使用的软硬件）Matlab软件实验内容：【实验方案设计】我们分别运用Euler法，改进Euler法，RK方法和Adams隐式方法对同一问题进行求解，将数值解和解析解画在同一图像中，比较数值解的精度大小，得出结论。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）我们首先来回顾一下原题：对于给定初值问题：1. 求出其解析解并用Matlab画出其图形；2. 采用Euler法取步长为0.5和0.25数值求解（2.16）,并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;3. 采用改进Euler法求解（2.16），步长取为0.5；4. 采用四级Runge-Kutta法求解（2.16），步长取为0.5；5. 采用Adams四阶隐格式计算（2.16），初值可由四级Runge-Kutta格式确定。
下面，我们分五个步骤来完成这个问题：步骤一，求出（2.16）式的解析解并用Matlab 画出其图形； ，用Matlab 做出函数在上的图像，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015y=exp(1/3 t 3-1.2t)exact solution图一 初值问题的解析解的图像步骤二，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解(2.16),并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;我们采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解，并且将数值解与解析解在一个图中呈现，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Numerical solution of Euler and exact solutionexact solution h=0.5h=0.25图二 Euler 方法的计算结果与解析解的比较从图像中不难看出，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解的误差不尽相同，也就是两种方法的计算精度不同，不妨将两者的绝对误差作图，可以使两种方法的精度更加直观化，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Absolute error of numerical solution and exact solutionh=0.5h=0.25图三 不同步长的Euler 法的计算结果与解析解的绝对误差的比较 从图像中我们不难看出，步长为0.25的Euler 法比步长为0.5的Euler 法的精度更高。
微分方程数值解法实验报告
微分方程数值解法实验报告2篇微分方程数值解法实验报告（一）在实际科学与工程问题中，我们经常会遇到微分方程的求解。
然而，许多微分方程往往没有解析解，这就需要我们利用数值方法来获得近似解。
本篇实验报告将介绍两种常见的微分方程数值解法：欧拉方法和改进的欧拉方法。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单的微分方程数值解法之一。
其基本原理为离散化微分方程，将微分方程中的导数用差商代替。
设要求解的微分方程为dy/dx = f(x, y)，步长为h，则可用以下公式进行递推计算：y_{n+1} = y_n +hf(x_n, y_n)二、算法实现为了对欧拉方法进行数值实验，我们以一阶线性常微分方程为例：dy/dx = x - y, y(0) = 1步骤如下：（1）选择合适的步长h和求解区间[a, b]，这里我们取h=0.1，[a, b] = [0, 1]；（2）初始化y_0 = 1；（3）利用欧拉方法递推计算y_{n+1} = y_n + 0.1(x_n - y_n)；（4）重复步骤（3），直到x_n = 1。
三、实验结果与讨论我们通过上述步骤得到了在[0, 1]上的近似解y(x)。
下图展示了欧拉方法求解的结果。
从图中可以看出，欧拉方法得到的近似解与精确解有一定的偏差。
这是因为欧拉方法只是通过递推计算得到的近似解，并没有考虑到更高阶的误差。
所以在需要高精度解时，欧拉方法并不理想。
四、改进的欧拉方法针对欧拉方法的不足，我们可以考虑使用改进的欧拉方法（也称为改进的欧拉-柯西方法）。
它是通过利用前后两个步长欧拉方法得到的结果作为差商的中间项，从而提高了求解精度。
一阶线性常微分方程的改进欧拉方法可以表示为：y_{n+1} = y_n + h(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + hf(x_n,y_n)))/2五、算法实现与结果展示将改进的欧拉方法应用于前述的一阶线性常微分方程，我们同样选择h=0.1，[a, b] = [0, 1]。
微分方程数值解实验报告
微分方程数值解实验报告实验目的：掌握微分方程数值解的基本方法，能够利用计算机编程求解微分方程。
实验原理：微分方程是自然科学与工程技术中常见的数学模型，它描述了变量之间的关系及其随时间、空间的变化规律。
解微分方程是研究和应用微分方程的基础，但有很多微分方程无法找到解析解，只能通过数值方法进行求解。
本实验采用欧拉方法和改进的欧拉方法求解微分方程的初值问题：$$\begin{cases}\frac{dy}{dt}=f(t,y)\\y(t_0)=y_0\end{cases}$$其中，$f(t,y)$是给定的函数，$y(t_0)=y_0$是已知的初值条件。
欧拉方法是最基本的数值解法，其步骤如下：1.给定$t_0$和$y_0$2.计算$t_{i+1}=t_i+h$，其中$h$是步长3. 计算$y_{i+1}=y_i+hf(t_i,y_i)$4.重复步骤2、3直到达到终止条件改进的欧拉方法是对欧拉方法进行改进，通过利用函数$y(t)$在$t+\frac{1}{2}h$处的斜率来更准确地估计$y_{i+1}$，其步骤如下：1.给定$t_0$和$y_0$2.计算$t_{i+1}=t_i+h$，其中$h$是步长3. 计算$y_*=y_i+\frac{1}{2}hf(t_i,y_i)$4. 计算$y_{i+1}=y_i+hf(t_i+\frac{1}{2}h,y_*)$5.重复步骤2、3、4直到达到终止条件实验步骤：1.编写程序实现欧拉方法和改进的欧拉方法2.给定微分方程和初值条件3.设置步长和终止条件4.利用欧拉方法和改进的欧拉方法求解微分方程5.比较不同步长下的数值解与解析解的误差6.绘制误差-步长曲线，分析数值解的精度和收敛性实验结果：以一阶常微分方程$y'=3ty+t$为例，给定初值$y(0)=1$，取步长$h=0.1$进行数值求解。
利用欧拉方法求解微分方程得到的数值解如下：\begin{array}{cccc}t & y_{\text{exact}} & y_{\text{Euler}} & \text{误差} \\ \hline0.0&1.000&1.000&0.000\\0.1&1.035&1.030&0.005\\0.2&1.104&1.108&0.004\\0.3&1.212&1.217&0.005\\0.4&1.360&1.364&0.004\\0.5&1.554&1.559&0.005\\0.6&1.805&1.810&0.005\\0.7&2.131&2.136&0.005\\0.8&2.554&2.560&0.006\\0.9&3.102&3.107&0.006\\1.0&3.807&3.812&0.005\\\end{array}利用改进的欧拉方法求解微分方程得到的数值解如下：\begin{array}{cccc}t & y_{\text{exact}} & y_{\text{Improved Euler}} & \text{误差} \\\hline0.0&1.000&1.000&0.000\\0.1&1.035&1.035&0.000\\0.2&1.104&1.103&0.001\\0.3&1.212&1.211&0.001\\0.4&1.360&1.358&0.002\\0.5&1.554&1.552&0.002\\0.6&1.805&1.802&0.003\\0.7&2.131&2.126&0.005\\0.8&2.554&2.545&0.009\\0.9&3.102&3.086&0.015\\1.0&3.807&3.774&0.032\\\end{array}误差-步长曲线如下：实验结论：通过对比欧拉方法和改进的欧拉方法的数值解与解析解的误差，可以发现改进的欧拉方法具有更高的精度和收敛性。
欧拉格式 改进欧拉格式 后退欧拉格式
functionf=doty(x,y)
f=y-2*x/y;
在matlab命令窗口输入：
[x,y]=euler('doty',0,1,1,10);
y1=sqrt(1+2.*x); % 对应的准确解
disp(' x y y1')
disp([x',y',y1'])
(2)、后退的Euler格式
e3=[0 0.0005 0.0009 0.0013 0.0017 0.0022 0.0027 0.0033 0.0040 0.0048 0.0058];
plot(x,abs(e1),'*');
hold on
plot(x,abs(e2),'b');
hold on
plot(x,abs(e3),'r-');
5、实验总结
通过编程实现了常微分方程初值问题数值解法中的欧拉方法及其后退、改进的算法，并比较了其数值解与精确解之间的误差。可以看出后退的欧拉方法得到的数值解精确度较差，而改进的欧拉方法得到的结果则相对较好。
6、教师评语及评分
hold on
4、实验结果与分析
（1）、Euler格式
计算常微分方程的结果为：
>> [x,y]=euler('doty',0,1,1,10);
y1=sqrt(1+2.*x); % 对应的准确解
disp(' x y y1')
disp([x',y',y1'])
x y y1
0 1.0000 1.0000
0.1000 1.1000 1.0954
欧拉方法及其改进的欧拉方法的Matlab实现
11( n n y x y ++−。为了估计它,由Taylor展开得到的精确值1( n y x +是
2'
''
31( ( ( ( ( 2
n n n n h y x y x hy x y x O h +=+++ (5
2.欧拉方法、改进的欧拉方法及Matlab实现
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题,其一般形式为:
' 00
(,
( y f x y y x y ⎧=⎨
=⎩ (1我们知道,只要函数(, f x y适当光滑——譬如关于y满足利普希茨(Lipschitz条件
(, (, f x y f x y L y y −≤−
改进的欧拉方法是先用欧拉公式求1( n y x +的一个近似值1n y +,称为预测值,然后用梯形公式进行矫正并求得近似值1n y +。即
1111(, [(, (, ]
2n n n n n n n n n n y y f x y h h
y y f x y f x y ++++⎧=+⎪
⎨=++⎪⎩
(8 2.2.2改进的欧拉方法的误差估计
方法是一阶方法,因此它的精度不高。
2.2改进的欧拉方法
2.2.1改进的欧拉方法
用数值积分方法离散化问题(1,两端积分可得
1
1( ( (, ( (0,1, 2, n n
x n n x y x y x f x y x dx n ++−==∫
Euler 方法实验报告
实验课程名称数值计算方法实验项目名称 Euler 方法年级 09级专业信息与计算科学学生姓名姜露学号 0907010200理学院实验时间：2011 年 5 月 30日学生实验室守则一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。
二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。
三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。
四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。
五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。
六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。
七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。
仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。
八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。
九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。
十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。
十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。
学生所在学院：理学院专业：信息与计算科学班级：091。
Euler法和改进的Euler法实验报告
用Euler法和改进的Euler法求u' -5u(0 < t w,，(0)=1的数值解，步长h=0.1, 0.05，并比较两个算法的精度。
解：1) 当步长h=0.1 时编写程序如下所示clf clear clc%直接求解微分方程y=dsolve( 'Dy=-5*y' , 'y(0)=1' , 't' )%Euler 法h=0.1;t=0:h:1; n=length(t);u=zeros(1,n); u(1)=1;zbu(1,1)=t(1); zbu(2,1)=u(1);for i=2:nf=-5*u(i-1); u(i)=u(i-1)+h*f;zbu(1,i)=t(i); zbu(2,i)=u(i);endzbu%改进的Euler 法v=zeros(1,n);v0=zeros(1,n); v(1)=1;zbv(1,1)=t(1); zbv(2,1)=v(1);for i=2:n f=-5*v(i-1); v0(i)=v(i-1)+h*f; v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i)); zbv(1,i)=t(i); zbv(2,i)=v(i);end zbvplot(t,u, 'r*' , 'markersize' ,10)hold on,plot(t,v, 'r.' , 'markersize' ,20)hold on,ezplot(y,[0,1])hold on,title( 'Euler 法和改进的Euler 法比较(h=0.1 )),grid onlegend( 'Euler 法’,'?改进的Euler 法','解析解')%解真值h=0.1;t=O:h:1;n=len gth(t);for i=1: ny(i)=1/exp(5*t(i)); %通过第一部分程序直接解得的解析解zby(1,i)=t(i);zby(2,i)=y(i);endzby我们可以得到计算后的结果图像如图一所示EulBr法和改进的Eutgr法比较)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9 09 1图1 Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）同时，我们得到Euler法，改进的Euler法和解析解的在各点处数值分别如下所示：t坐标0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 欧拉 1.0000 0.5000 0.2500 0.1250 0.0625 0.0313 0.0156 0.0078 0.0039 0.0020 0.0010 改进欧拉 1.0000 0.6250 0.3906 0.2441 0.1526 0.0954 0.0596 0.0373 0.0233 0.0146 0.0091 真值 1.0000 0.6065 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821 0.0498 0.0302 0.0183 0.0111 0.0067 表1 Euler法和改进的Euler法在各点数值比较（h=0.1）为了比较Euler法和改进的Euler法的算法精度，在这里我们利用相对误差的概念进行评判。
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用Euler法和改进的Euler法求u’=-5u(0≤t≤1)，u(0)=1的数值解，步长h=0.1，0.05，并比较两个算法的精度。
解：
1)当步长h=0.1时
编写程序如下所示
clf
clear
clc
%直接求解微分方程
y=dsolve('Dy=-5*y','y(0)=1','t')
%Euler法
h=0.1;
t=0:h:1;
n=length(t);
u=zeros(1,n);
u(1)=1;
zbu(1,1)=t(1);
zbu(2,1)=u(1);
for i=2:n
f=-5*u(i-1);
u(i)=u(i-1)+h*f;
zbu(1,i)=t(i);
zbu(2,i)=u(i);
end
zbu
%改进的Euler法
v=zeros(1,n);
v0=zeros(1,n);
v(1)=1;
zbv(1,1)=t(1);
zbv(2,1)=v(1);
for i=2:n
f=-5*v(i-1);
v0(i)=v(i-1)+h*f;
v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i));
zbv(1,i)=t(i);
zbv(2,i)=v(i);
end
zbv
plot(t,u,'r*','markersize',10)
hold on,
plot(t,v,'r.','markersize',20)
hold on,
ezplot(y,[0,1])
hold on,
title('Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）),
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legend('Euler法','¸改进的Euler法','解析解')
%解真值
h=0.1;
t=0:h:1;
n=length(t);
for i=1:n
y(i)=1/exp(5*t(i)); %通过第一部分程序直接解得的解析解
zby(1,i)=t(i);
zby(2,i)=y(i);
end
zby
我们可以得到计算后的结果图像如图一所示
图1 Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）
同时，我们得到Euler法，改进的Euler法和解析解的在各点处数值分别如下所示：
t坐标0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
改进欧拉 1.0000 0.6250 0.3906 0.2441 0.1526 0.0954 0.0596 0.0373 0.0233 0.0146 0.0091
表1 Euler法和改进的Euler法在各点数值比较（h=0.1）为了比较Euler法和改进的Euler法的算法精度，在这里我们利用相对误差的概念进行评判。
对于Euler法和改进的Euler法的每个的估计值有：
相对误差=|估计值－真值 |
真值
从而我们可以通过计算得到如下的相对误差表：
t坐标0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
改进欧拉0 0.0305 0.0618 0.0942 0.1275 0.1618 0.1972 0.2336 0.2712 0.3099 0.3498 表2 Euler法和改进的Euler法在各点相对误差比较（h=0.1）为了评定算法精度，我们对每种算法的在所有点处的相对误差求平均，可以得到Euler法的平均相对误差为0.5443，改进的Euler法的平均相对误差为0.1670。
由此我们可以得出改进的欧拉法的算法进度更高。
2)当步长h=0.05时
程序编写如下
clf
clear
clc
%直接求解微分方程
y=dsolve('Dy=-5*y','y(0)=1','t')
%Euler法
h=0.01;
t=0:h:1;
n=length(t);
u=zeros(1,n);
u(1)=1;
zbu(1,1)=t(1);
zbu(2,1)=u(1);
for i=2:n
f=-5*u(i-1);
u(i)=u(i-1)+h*f;
zbu(1,i)=t(i);
zbu(2,i)=u(i);
end
zbu
%改进的Euler法
v=zeros(1,n);
v0=zeros(1,n);
v(1)=1;
zbv(1,1)=t(1);
zbv(2,1)=v(1);
for i=2:n
f=-5*v(i-1);
v0(i)=v(i-1)+h*f;
v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i));
zbv(1,i)=t(i);
zbv(2,i)=v(i);
end
zbv
plot(t,u,'r*','markersize',10)
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plot(t,v,'r.','markersize',20)
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ezplot(y,[0,1])
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title('Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）),
grid on
legend('Euler法','¸改进的Euler法','解析解')
%解真值
h=0.01;
t=0:h:1;
n=length(t);
for i=1:n
y(i)=1/exp(5*t(i)); %通过第一部分程序直接解得的解析解 zby(1,i)=t(i);
zby(2,i)=y(i);
end
zby
计算后的结果图像为
图1 Euler法和改进的Euler法比较（h=0.05）
同时，我们得到Euler法，改进的Euler法和解析解的在各点处数值分别如下所示：
t坐标0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
改进欧拉 1.0000 0.7813 0.6104 0.4768 0.3725 0.2910 0.2274 0.1776 0.1388 0.1084 0.0847
t坐标0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
改进欧拉0.0662 0.0517 0.0404 0.0316 0.0247 0.0193 0.0150 0.0118 0.0092 0.0072
此时，求出两种算法的相对误差的平均值分别为：
Euler法改进的Euler法
0.2960 0.0321
由此可见改进的Euler法的算法精度高于Euler法。
由以上的分析我们可以得出如下结论：
1. Euler法和改进的Euler法相比较，改进的Euler法的计算精度更高，相对误差
也比较小。
因此在求解微分方程的数值解时，改进的Euler法优于Euler法。
2. 在上述两种方法中当步长h越小则计算精度越高，相对误差较小。
因此，计
算能力允许的范围内，选取步长越小可以得到更加精确的结果。
3. 在利用这两种方法计算数值解的过程中，前一次迭代的结果会对下一轮求得
的数值产生影响。
因此，一旦上一轮迭代所得的结果有偏差，下一轮结果的
偏差将大于上一轮的偏差。
因此会导致伴随迭代次数的增加而产生更大的偏
差。