点集拓扑学拓扑知识点
点集拓扑知识点总结
一、点集拓扑学的基本概念1. 拓扑空间的概念拓扑空间是点集拓扑学中的一个基本概念，它是一个具有一定性质的集合，其定义是一个集合X，以及X的子集族T，称为X上的一个拓扑结构，满足以下条件：（1）空集和全集都属于T（2）任意两个元素的交集属于T（3）任意有限个元素的并集属于T拓扑结构T的元素称为开集，满足这些条件的集合X称为拓扑空间。
2. 拓扑结构的生成拓扑结构可以由邻域系统、基本开集系统或者距离函数生成。
通常我们可以通过指定一组生成元素，然后利用生成元素的运算得到拓扑结构。
3. 连通性连通性是点集拓扑学中一个重要的概念，它描述了集合的整体性质。
一个集合如果可以被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是不连通的；反之，如果一个集合不能被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是连通的。
4. 紧性紧性是一种覆盖性质，描述了集合上开覆盖的性质，一个集合如果任何开覆盖都存在有限子覆盖，则称该集合是紧的。
二、拓扑空间上的映射1. 连续映射拓扑空间之间的映射称为连续映射，一个映射如果满足对于任意开集的原像都是开集，则称该映射是连续的。
2. 同胚映射一个双射且连续的映射称为同胚映射，它描述了两个拓扑空间之间的等同性质。
3. 全局性质全局性质是指拓扑空间中全体元素的性质，例如紧性、连通性等。
1. 度量空间度量空间是一种特殊的拓扑空间，它可以通过度量函数来定义拓扑结构。
度量空间的拓扑结构由度量函数生成。
2. 离散拓扑离散拓扑是一种特殊的拓扑结构，它的开集是所有单点集和空集的组合。
它是最精细的拓扑结构。
3. 有限开拓扑有限开拓扑是一种限制了开集数量的拓扑结构，它适用于有限集的拓扑结构定义。
四、点集拓扑的应用1. 分析学拓扑学在分析学中有广泛的应用，比如连续函数的性质、紧性和连通性对于函数的性质有很大的影响。
2. 几何学拓扑学在几何学中有着举足轻重的地位，比如拓扑不变性理论、同伦理论等都是几何学中重要的研究方向。
3. 应用数学拓扑学在应用数学中有广泛的应用，比如网络结构的分析、信号传输的优化等都涉及到拓扑学的知识。
《点集拓扑学》第二章 拓扑空间与连续映射 学习笔记
第2章度量空间与连续映射从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等．§2.1度量空间与连续映射本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．注意，在本节的证明中,应细细体会证明的方法．首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数f：R→R 称为在点∈R处是连续的，如果对于任意实数ε＞0，存在实数δ＞0，使得对于任何x∈R，当|x-|<δ时,有|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的1其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1 设X是一个集合，ρ：X×X→R．如果对于任何x，y，z∈X，有（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y；（2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X的一个度量．如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1 实数空间R．对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．）例2.1.2 n维欧氏空间．对于实数集合R的n重笛卡儿积＝R×R×…×R定义ρ：×→R如下：对于任意x=（）,y=，令ρ（x，y ）＝容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ是的一个度量，因此偶对(，ρ)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量ρ，称为的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3 Hilbert空间H．记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H＝{x=()|<∞}定义ρ如下：对于任意x ＝（），y ＝（）∈H令ρ(x,y)=说明这个定义是合理的（即验证<∞）以及验证ρ是H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录．偶对（H，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为Hilbert空间．这里定义的度量ρ称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert空间．3例2.1.4 离散的度量空间．设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ）是离散的，或者称ρ是X的一个离散度量，如果对于每一个x∈X，存在一个实数＞0使得ρ（x，y）＞对于任何y∈X，x≠y，成立．例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使得对于任何x，y∈X，有ρ(x,y)=容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，ρ）是离散的．通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数．离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．定义 2.1.2 设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合{y∈X|ρ（x，y）<ε}记作B（x，ε），或，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1 度量空间（X，ρ）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点x∈X,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；(3) 如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0，B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域．(2)如果B（x ，）和B（x ，）是x∈X的两个球形邻域，任意选取实数ε＞0，使得ε＜min{ }，则易见有B（x，ε）B（x ，）∩B（x ，）即B（x，ε）满足要求．（3）设y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y ）．显然．＞0．如果z∈B （y ，），则ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x ）＜+ρ（y，x）=ε所以z∈B（x，ε）．这证明B（y ，）B（x，ε）．定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．注意：此处的开集仅是度量空间的开集．例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．设a，b∈R，a＜b．我们说开区间（a，b）={x∈R|a＜x＜b}是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令ε＝min{x-a，b-x}，5则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明无限的开区间（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}（-∞,∞）＝R都是R中的开集．然而闭区间[a，b]={x∈R|a≤x≤b}却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}无限的闭区问[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}都不是R中的开集．定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质：（1）集合X本身和空集都是开集；（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 中，所以X满足开集的条件；空集中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．（2）设U和V是X中的两个开集．如果x∈U∩V，则存在x的一个球形邻域B（x，）包含于U，也存在x的一个球形邻域B（x，）包含于V．根据定理，x有一个球形邻域B（x，ε）同时包含于B（x，）和B（x，），因此B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．（3）设*Α是一个由X 中的开集构成的子集族．如果，则存在∈*A使得x∈由于是一个开集，所以x 有一个球形邻域包含于，显然这个球形邻域也包含于．这证明是X中的一个开集．此外，根据定理，每一个球形邻域都是开集．球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广．定义2.1.4 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈V U，则称U是点x的一个邻域．下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点．则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U．证明如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得x∈V U，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U．这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．7定义2.1.5 设X和Y是两个度量空间，f:X→Y，以及∈X如果对于f()的任何一个球形邻域B（f(),ε），存在的某一个球形邻域B（，δ），使得f(B（，δ）)B（f（），ε），则称映射在点处是连续的．如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广．因为如果设ρ和分别是度量空间X和Y中的度量，则f在点处连续，可以说成：对于任意给定的实数ε＞0，存在实数δ＞0使得对于任何x∈X只要ρ（x，）＜δ（即x∈B（,δ）便有(f(x),f())＜ε.（即f(x)∈B（f()，ε））．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点．定理2.1.4 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以及∈X．则下述条件（1）和（2）分别等价于条件（1）*和（2）*：（1）f在点处是连续的；（1）*f()的每一个邻域的原象是的一个邻域；（2）f是连续的；（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．证明条件（1）蕴涵（1）*：设（1）成立．令U为f（）的一个邻域．根据定理2.1.3，f（）有一个球形邻域B（f（），ε）包含于U．由于f 在点处是连续的，所以有一个球形邻域B（，δ）使得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f9（），ε）（U ），所以 B （，δ）（U ），这证明（U ）是的一个邻域．条件（1）*蕴涵（1）．设条件（1）*成立．任意给定f （）的一个邻域B （f(),ε），则（B （f()，ε）是的一个邻域．根据定理2.1.3，有一个球形邻域B （，δ）包含于（B （f （），ε）．因此f （B （，δ））B （f （），ε）．这证明f 在点处连续．条件（2）蕴涵（2）*．设条件（2）成立．令V 为Y 中的一个开集， U ＝（V ）．对于每一个x∈U，我们有f （x ）∈V．由于V 是一个开集，所以V 是f （x ）的一个邻域．由于f 在每一点处都连续，故根据（1）*，U 是x 的一个邻域．于是有包含x 的某一个开集Ux 使得UxU ．易见U ＝∪x∈UUx．由于每一个Ux 都是开集，根据定理2.1.2，U 是一个开集．条件（2）*蕴涵（2）．设（2）*成立，对于任意x∈X，设U 是f （x ）的一个邻域，即存在包含f （x ）的一个开集V U ．从而x∈（V ）（U ）．根据条件（2）*，（V ）是一个开集，所以（U ）是x 的一个邻域，对于x而言，条件（1）*成立，于是f 在点x 处连续．由于点x 是任意选取的，所以f 是一个连续映射．从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理作业： P47§2.2拓扑空间与连续映射本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理定义2.2.1 设X是一个集合，τ是X的一个子集族．如果τ满足如下条件：（l）X，∈τ；（2）若A，B∈T，则A∩B∈τ；（3）若则称τ是X的一个拓扑．如果τ是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，τ）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑τ而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，τ）或（X）中的一个开集．即：A∈τA是开集.（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X 中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X ，）因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例例2.2.1 平庸空间．设X是一个集合．令T={X，}．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．设X是一个集合．令T=P（X），即由X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个离散空间.在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集．例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}．容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．例2.2.4 有限补空间．11设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令T ={U X|是X的一个有限子集}∪{}先验证T是X的一个拓扑：（1）X∈T (因为=)；另外，根据定义便有∈T．（2）设A，B∈T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这时是X的一个有限子集，所以A∩B∈T ．（3）设．令,显然有如果，则设任意选取．这时是X 的一个有限子集，所以根据上述（1），（2）和（3），P是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间（X，P）称为一个有限补空间．例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T ={U X|是X的一个可数子集}∪{}通过与例是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间（X，T ）称为一个可数补空间．一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3 设（X，P）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称（X，P）是一个可度量化空间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？从§2．1中的习题2和3可以看出，每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的；例，但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，拓扑空间是比可度量空间的范围要广泛．进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．定义2.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．如果Y 中每一个开集U 的原象（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理，如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）13下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．定理2.2.1 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：:X→X是一个连续映射；（2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z也是连续映射．证明（l），所以连续．（2）设f:X→Y,g:Y→Z都是连续映射这证明gof连续．在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．定义2.2.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个—一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．定理2.2.2 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X是一个同胚；（2）如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；（3）如果f：X→Y和g：Y→Z都是同胚，则gof：X→Z也是一个同胚．证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理2.2.1，定理l．5．3和定理1．5．4．（l ）是一个—一映射，并且，都是连续的，从而是同胚．（2）设f：X→Y是一个同胚．因此f是一个—一映射，并且f和都是连续的．于是也是一个—一映射并且和也都是连续的，所以也是一个同胚．（3）设f：X→Y和g：Y→Z都是同胚．因此f和g都是—一映射，并且f，，g和都是连续的．因此gof也是—一映射，并且gof和都是连续的．所以gof是一个同胚．定义2.2.6 设X和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y．粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．定理2.2.3 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）X与X同胚；（2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚；（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚．证明从定理根据定理2.2.3，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．15拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程．也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容．拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10§2.3邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了．在定理，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然．定义2.3.1 设（X，P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈P使得x∈V U，则称U是点x的一个邻域．点x 的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x 的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．证明定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性．如果U 是空集，当然U是一个开集．下设U≠．根据定理中的条件，使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集．定理17定理2.3.2 设X是一个拓扑空间．记为点x∈X的邻域系．则：（1）对于任何x∈X，≠；并且如果U∈，则x∈U；（2）如果U，V∈，则U∩V∈；（3）如果U∈并且U V，则V∈；（4）如果U∈，则存在V∈满足条件：(a)V U和(b)对于任何y∈V，有V∈．证明（1）X,X∈P,∴X∈,∴≠且由定义,如果U∈，则x∈U（2）设U，V∈．则存在U．∈P和∈P使得和成立．从而我们有,T,∴U∩V∈（3）设U∈，并且（4）设U∈．令V∈P满足条件．V已经满足条件（a），根据定理2.3.1，它也满足条件（b）．以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．定理2.3.3 设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理，子集族恰是点x在拓扑空间（X，P)中的邻域系．(证明略)现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．如果f（x）∈Y的每一个邻域U 的原象（U）是x∈X的一个邻域，则称映射f 是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续．与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理，如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个映射，它在某一点x∈X处连续，那么它也是从拓扑空间X 到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射；反之亦然．这里我们也有与定理定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X在每一点x∈X处连续；（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f（x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．证明请读者自己补上．以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．证明必要性：设映射f连续，这证明f在点X处连续．充分性：设对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．19这就证明了f连续．作业:掌握证明一个子集是邻域的方法,掌握证明一个映射是否连续的方法．§2.4导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U 中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．即:(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A ）＝．例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=．（可以参见定理第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以d（A）=X-A．21。
点集拓扑讲义知识点总结
点集拓扑讲义知识点总结一、拓扑空间基本概念1.1 集合和拓扑空间在点集拓扑学中，最基本的两个概念就是集合和拓扑空间。
集合是元素的无序集合，而拓扑空间是一个集合，其中定义了一种称为拓扑结构的特定结构。
这个结构用来描述集合中元素的“接近”或“相邻”的概念。
1.2 拓扑结构拓扑结构定义了哪些子集被认为是开集，从而为集合赋予了拓扑性质。
具体来说，给定一个集合X，如果满足以下条件：（1）空集和X本身是开集；（2）任意开集的任意并集仍然是开集；（3）有限个开集的任意交集仍然是开集。
那么这个集合X连同其定义的拓扑结构称为一个拓扑空间。
1.3 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个非常重要的概念。
开集是指每个点都包含在集合内部的集合，闭集则是指包含了其边界的集合。
开集和闭集的性质和运算是拓扑学中的基础。
1.4 拓扑空间的连通性拓扑空间的连通性描述了空间内部的连通性质，一个拓扑空间如果不是两个不相交开集的并，则称为连通的。
连通性质是描述空间整体结构的一种重要方式。
二、拓扑空间的结构和性质2.1 度量空间和拓扑空间度量空间是一种拥有度量的拓扑空间，度量是一种满足一系列性质的函数，用来度量空间中两点之间的距离。
度量空间可以定义一种称为度量拓扑的拓扑结构，这种拓扑结构给出了空间中点的“接近”概念。
2.2 Hausdorff空间Hausdorff空间是指任意两个不同的点都存在不相交的邻域的拓扑空间。
这种空间具有较强的分离性质，能够更好地描述空间中点的位置关系。
2.3 紧空间在拓扑学中，紧空间是指任何开覆盖都存在有限子覆盖的空间。
紧空间具有重要的性质，例如有限覆盖性质和闭性性质，这些性质在分析和拓扑学的研究中有着重要的应用。
2.4 连通空间连通空间是指空间中不存在非空且既开又闭的子集的空间。
换句话说，连通空间是指空间中的点在拓扑上是连续的，没有间断。
这是拓扑空间中另一个极为重要的性质。
2.5 分离性和局部性在拓扑学中，还存在一些描述拓扑空间性质的分离性和局部性定理，包括T0空间、T1空间、T2空间等概念。
拓扑学中的点集拓扑理论
拓扑学中的点集拓扑理论拓扑学是数学中研究空间的性质和结构的学科，而点集拓扑理论则是拓扑学的一个重要分支。
在点集拓扑理论中，我们研究的是点集及其子集之间的联系和性质，并通过定义拓扑空间，引入拓扑结构来研究这些问题。
本文将介绍拓扑学中的基本概念、基本性质以及一些相关应用。
一、基本概念1. 点集在拓扑学中，点集是指由一些点组成的集合。
这些点可以是实数、复数、向量等数学对象，也可以是一般的集合。
我们研究的对象主要是点集及其子集之间的关系。
2. 拓扑空间拓扑空间是指一个集合X以及X上的一个拓扑结构T的有序对(X, T)。
其中，X是点集，T是X上的一些子集构成的集合，满足以下性质：（a）X和空集∅都属于T；（b）任意多个集合的并集属于T；（c）有限个集合的交集属于T。
3. 开集与闭集在拓扑空间中，如果一个集合属于拓扑结构T，则称其为开集；如果一个集合的补集属于拓扑结构T，则称其为闭集。
4. 连通性连通性是指拓扑空间中无法拆分为两个非空、不相交开集的性质。
若一个空间既非空也不是整个空间，则称其为连通的；否则称其为不连通的。
二、基本性质1. 连通性的等价性对于拓扑空间X，以下三个命题是等价的：（a）X是连通的；（b）X中任意两点之间存在连通子集；（c）X中任意两点之间的道路连续子集。
2. 拓扑空间的同胚两个拓扑空间(X, T)和(Y, U)如果存在一个双射f：X→Y，使得f和f的逆映射都是连续映射，则称(X, T)与(Y, U)同胚。
同胚的概念可以理解为两个空间在拓扑结构上完全相同。
三、相关应用1. 图论中的拓扑排序拓扑排序是指对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)的所有顶点进行线性排序，使得若存在一条从顶点u到顶点v的路径，则在排序中u一定在v之前。
拓扑排序在任务调度、编译顺序以及依赖关系分析等领域有广泛应用。
2. 数据分析中的聚类与分类在数据分析中，将样本点抽象成点集，并通过拓扑结构来描述样本之间的关系。
点集拓扑讲义
连通性和道路连通性
连通性的定义：如果点集中的任意两点都可以通过点集中的一条路径相连则称该点集是连通的。
道路连通性的定义：如果存在一条路径使得点集中任意两点都可以通过这条路径相连则称该点集是道路连通的。
连通性与道路连通性的关系：如果一个点集是连通的那么它一定是道路连通的；反之则不一定成立。
连通性和道路连通性的应用：在几何学、图论等领域中连通性和道路连通性是重要的概念对于研究点集的拓扑性 质和结构具有重要意义。
定理和性质的应用
定理和性质在数学领域中 的应用
在物理问题中的具体应用
在计算机科学中的实际应 用
在其他领域中的应用和推 广
在几何学中的应用
拓扑不变性：点集拓扑学中的概念指在拓扑变换下保持不变的性质。 几何结构：研究几何对象的拓扑性质如连通性、紧致性等。 流形：在点集拓扑学中流形是一类特殊的拓扑空间可以用来研究几何对象的形状和结构。 组合几何：利用点集拓扑学中的方法研究几何形状的组合和构造。
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同胚：在点集拓扑中如果存在一个从拓扑空间到拓扑空间B的连续映射并且这个映射可以逆向地由一个 从拓扑空间B到拓扑空间的连续映射构成则称拓扑空间与拓扑空间B同胚。
分离公理和紧致性
分离公理：点集拓扑中的基本性质指对于任意两个 不同的点存在一个开邻域不包含另一个点。
紧致性：点集拓扑中的基本性质指一个点集是紧致 的当且仅当它的闭包等于自身。
基的概念：拓扑空间中一个重要的概念是用来定义空间的拓扑结构的。基由若干个开集组成 满足一定的性质。
基的分类：根据基的性质可以将基分为第一类基和第二类基。第一类基是可数的第二类基是 不可数的。
基的性质：基具有连通性、可数性、分离性等性质这些性质对于研究拓扑空间的性质和结构 非常重要。
点集拓扑知识归纳总结
第二章 拓扑空间2.1拓扑空间的概念2.1.1拓扑定义2.1.1设X 是一集合，T 是X 的一子集族。
如果T 满足：（1）,X T ∅∈；（2）有限交封闭；（3）任意并封闭。
则称T 为X 上的一拓扑，而T 的成员叫X 的开集。
例：{},T X =∅叫X 上的平庸拓扑；{}A |A T X =⊆叫X 上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 Y 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上Y 即可。
定义2.1.3 设(X,T )是拓扑空间，∼是X 上的等价关系，等价类的集合为[]{}/|X x x X =∈∼，自然投影:/p X X →∼定义为()[]p x x =。
令(){}1//|T U X p U T −=⊆∈∼∼叫/X ∼上的商拓扑，()/,/T X ∼∼叫商空间。
下面证明/T ∼是/X ∼上拓扑。
(1)由于()1p T −∅=∅∈，()1/p X X T −=∈∼，即,//X T ∅∈∼∼；(2)设/A T ⊆∼为有限集，由于()11U U U A Ap p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∩∩，且满足()1p U T −∈，由拓扑T 对有限交封闭有，()1U A p U T −∈∈∩，从而U U /AT ∈∈∼∩；(3) /A T ∀⊆∼，由于()11U U A Ap U p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪∪，类似地，由拓扑T 对任意并封闭有，()1U A p U T −∈∈∪，从而U /AU T ∈∈∼∪。
综上所述，/T ∼是/X ∼上拓扑。
定理2.1.1设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，则（1）,X F ∅∈；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。
定理2.1.2设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，Y ⊆ X，则Y |F 是Y 作为子 空间的闭集族。
2.1.2 领域系定义2.1.5设X 是拓扑空间，包含x 的开集叫x 的开领域。
定义2.1.6设X 是拓扑空间，如果A 内存在x 的开领域，则称A 是x 的领域。
点集拓扑关系知识点总结
点集拓扑关系知识点总结1. 拓扑空间拓扑空间是点集拓扑的基础概念，它是一个集合和该集合上的一组子集的组合。
这组子集需要满足一定的性质，使得在这个集合上能定义一种拓扑结构。
具体来说，拓扑空间需要满足以下几个条件：（1）空集和整个集合本身是拓扑空间的子集；（2）有限个开集的交集仍然是开集；（3）任意多个开集的并集仍然是开集。
根据这些性质，我们可以定义一个拓扑空间。
拓扑空间上的这种拓扑结构能够帮助我们研究集合内部的性质，比如连通性、紧性、收敛性等。
2. 连通性在拓扑空间中，我们可以定义连通性，用来描述集合内部的结构。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不是两个不相交的开集的并集。
换句话说，如果一个拓扑空间的任意开集要么是整个空间本身，要么是空集，那么它就是连通的。
连通性是拓扑空间中的一个基本性质，它描述了集合内部的连接程度。
比如在欧几里得空间中的直线、圆周等都是连通的，而两个不相交的点是不连通的。
3. 紧性紧性是拓扑空间的另一个重要性质，它描述了集合上的一种紧凑性。
一个拓扑空间被称为紧的，如果它的任意开覆盖都有有限子覆盖。
也就是说，如果一个拓扑空间上的任意开集族都存在有限个开集，这个有限个开集的并集覆盖了整个空间，那么这个空间就是紧的。
紧性是拓扑空间中的一个重要性质，它和连通性一样，可以帮助我们研究集合内部的结构。
在欧几里得空间中，有界闭区间是紧的，而非有界闭区间则不是紧的。
4. 度量空间度量空间是点集拓扑中的一个重要概念，它是一个集合和该集合上的一种度量的组合。
度量空间上的度量可以帮助我们定义集合上的距离，从而研究集合内部的性质。
度量空间需要满足以下几个条件：（1）非负性：对于任意两个点x和y，它们之间的距离需要大于等于零；（2）同一性：对于任意两个点x和y，它们之间的距离等于零当且仅当x和y是同一个点；（3）对称性：对于任意两个点x和y，它们之间的距离和y和x之间的距离是相等的；（4）三角不等式：对于任意三个点x、y和z，它们之间的距离满足不等式d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)。
拓扑学中的点集拓扑理论
拓扑学中的点集拓扑理论拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间和其性质的结构。
在拓扑学中，点集拓扑理论是其基础和核心部分。
本文将介绍点集拓扑理论的基本概念、性质以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念：1. 点集：在拓扑学中，点集是指一组点的集合。
可以是有限的或者无限的，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
2. 拓扑空间：拓扑空间是指一个点集，以及其上定义的一个拓扑结构。
拓扑结构由开集构成，满足一定的公理，用T表示。
3. 开集与闭集：在拓扑空间中，开集是指任意给定的点x，都存在一个包含x的开集。
闭集是指开集的补集。
4. 连通性：一个拓扑空间是连通的，如果它不能被分解为两个非空且不相交的开集。
否则，它是非连通的。
二、性质：1. Hausdorff性：一个拓扑空间满足Hausdorff性，如果任意两点都存在不相交的开集分别包含这两点。
2. 紧性：一个拓扑空间是紧的，如果它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
3. 完备性：一个拓扑空间是完备的，如果其中的任意Cauchy序列都收敛于其中的一个点。
三、应用：1. 基础数学研究：点集拓扑理论作为纯数学的一个分支，对于基础数学的研究有着重要的意义。
它与集合论、代数学等学科有着密切的联系，为数学的发展提供了坚实的基础。
2. 物理学应用：点集拓扑理论在物理学领域中有广泛的应用。
比如在凝聚态物理学中，拓扑序在材料的性质研究中起到了关键作用。
拓扑能带理论在凝聚态物理学中的应用也越来越受到关注。
3. 计算机科学应用：点集拓扑理论在计算机科学中也有着重要的应用。
在计算机图形学中，拓扑性质的研究与计算机模型的建立密切相关。
此外，在网络拓扑结构的分析和设计中，拓扑学也发挥着重要的作用。
四、结论：点集拓扑理论作为拓扑学的基础和核心部分，对于基础数学研究以及其在物理学、计算机科学等领域的应用具有重要意义。
通过对点集、拓扑空间、连通性等基本概念的理解，并且熟悉其性质与应用，我们可以更好地掌握和应用拓扑学中的点集拓扑理论。
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(点集拓扑学拓扑)知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第4章 连通性重要知识点本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间本节重点: 掌握连通与不连通的定义.掌握如何证明一个集合的连通与否?掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果∅=⋂⋃⋂)()(A B B A则称子集A 和B 是隔离的．明显地，定义中的条件等价于∅=⋂B A 和 ∅=⋂A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的．又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l ）X 是一个不连通空间；（2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ X 成立；（3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ X 成立；（4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪B ＝X ，显然 A ∩B=∅，并且这时我们有B B B A B B A B X B B =⋂⋃⋂=⋃⋂=⋂=)()()(因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求．（2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集，则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要求．（3）蕴涵（4）．如果X 的子集A 和B 满足条件（3）中的要求，所以A 、B 是开集，则由A ＝B '和B=A ' 易见A 和B 都是X 中的闭集，因此A 、B 是X 中既开又闭的真（∵A 、B ≠∅，A ∪B=X ，∴A 、B ≠X ）子集，所以条件（4）成立．（4）蕴涵（l ）．设X 中有一个既开又闭的非空真子集A ．令B=A '．则A 和B 都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A ∪B=X ．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l ）成立．例4. 1．1 有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r ∈R-Q ，集合（-∞，r ）∩Q ＝（－∞，r]∩Q 是子空间Q 中的一个既开又闭的非空真子集．定理4．1．2 实数空间R 是一个连通空间．证明 我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R 是不连通空间．则根据定理4．1．1，在R 中有两个非空闭集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ R 成立．任意选取a ∈A 和b ∈B ，不失一般性可设a ＜b ．令A ~=A ∩[a,b]，和B ~=B ∩[a,b]．于是A ~和B ~是R 中的两个非空闭集分别包含a 和b ，并且使得A ~∩B ~=∅和A ~∪B ~=[a ，b]成立．集合A ~有上界b ，故有上确界，设为b ~．由于A ~是一个闭集，所以b ~∈A ~，并且因此可见b ~＜b ，因为b ~＝b 将导致b ∈A ~∩B ~，而这与A ~∩B ~=∅矛盾．因此（b ~，b]⊂B ~．由于B ~是一个闭集，所以b ~∈B ~．这又导致b ~∈A ~∩B ~，也与A ~∩B ~=∅矛盾．定义4．1．3设Y 是拓扑空间X 的一个子集．如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称Y 是X 的一个不连通子集．拓扑空间X 的子集Y 是否是连通的，按照定义只与子空间Y 的拓扑有关(即Y 的连通与否与X 的连通与否没有关系.)．因此，如果X Z Y ⊂⊂，则Y 是X 的连通子集当且仅当Y 是Z 的连通子集．这一点后面要经常用到．定理4．1．3 设Y 是拓扑空间X 的一个子集，A ，B ⊂Y ．则A 和B 是子空间Y 中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔离子集．因此，Y 是X 的一个不连通子集当且仅当存在Y 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y(定义)当且仅当存在X 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y ．证明 因为 ))(())(())()(())()(()))((()))((())(())((A B C B A C A Y B C B Y A C A Y B C B Y A C A B C B A C X X X X X X Y Y ⋂⋃⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋃⋂因此根据隔离子集的定义可见定理成立．定理4．1．4 设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集．如果X 中有隔离子集A 和B 使得 Y ⊂A U B ，则或者 Y ⊂A ，或者 Y ⊂B ．证明 如果A 和B 是X 中的隔离子集使得Y ⊂AUB ，则∅=⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂⊂⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂)()(()()())(())((A B B A Y A Y B B Y A Y A Y B Y B Y A 这说明A ∩Y 和B ∩Y 也是隔离子集．然而（A ∩Y ）∪（B ∩Y ）＝（A ∪B ）∩Y ＝Y因此根据定理4．1．3，集合A ∩Y 和B ∩Y 中必有一个是空集．如果 A ∩Y=∅，据上式立即可见 Y ⊂B ，如果 B ∩Y ＝ ∅，同理可见Y ⊂A ．定理4．1．5设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z ⊂X 满足条件Y Z Y ⊂⊂．则 Z 也是X 的一个连通子集．证明 假设Z 是X 中的一个不连通子集．根据定理4．1．3，在 X 中有非空隔离子集A 和B 使得Z=A ∪B ．因此 Y ⊂AUB ．由于Y 是连通的，根据定理4．1．4，或者Y ⊂A ，∅=⋂=⇒∅=⋂⊂⋂⇒⊂⊂B Z B B A B Z A Y Z或者Y ⊂B,同理,∅=A 。
这两种情形都与假设矛盾．定理4．1．6 设Γ∈γγ}{Y 是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族．如果∅≠⋂Γ∈γγY ，则γγY Γ∈⋃是X 的一个连通子集．证明 设A 和B 是X 中的两个隔离子集，使得γγY Γ∈⋃，＝A ∪B ．任意选取x ∈γγY Γ∈⋂，不失一般性，设x ∈A ．对于每一个γ∈Γ，由于γY 连通，根据定理 4. 1． 4，或者A Y ⊂γ或者 B Y ⊂γ ；由于 x ∈γY ∩A ，所以∅=∧⊂⋃⇒⊂Γ∈B A Y A Y γγγ．根据定理4． 1． 3，这就证明了γγY Γ∈⋃是连通的．定理4．1．7 设Y 是拓扑空间X 中的一个子集．如果对于任意x ，y ∈ Y 存在X 中的一个连通子集xy Y 使得x ，y ∈xy Y ⊂Y ，则Y 是X 中的一个连通子集．证明 如果 Y=∅，显然 Y 是连通的．下设 Y ≠∅,任意选取a ∈Y ，容易验证Y ＝xy Y y Y ∈⋃并且a ∈ay Y y Y ∈⋂．应用定理4．1．6，可见Y 是连通的． 我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2．2）．所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其它概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质．拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．由于同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质‘拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质．由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．以下定理4．1．8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．定理4．1．8 设f: X →Y 是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射．则f （X ）是Y 的一个连通子集．证明 如果f （X ）是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集A 和B 使得 f （X ）＝A ∪ B ．于是1-f （A ）和1-f （B ）是X 的非空子集，并且∅=⋂⋃⋂=⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂---------))()(())()(())()(())()(())()((111111111A B B A f A f B f B f A f A f B f B fA f所以 1-f （A ）和1-f（B ）是 X 的非空隔离子集．此外， 1-f （A ）∪1-f （B ）＝1-f （A ∪B ）=1-f (f(X))=X这说明X 不连通．与定理假设矛盾．拓扑空间的某种性质P 称为有限可积性质，如果任意n ＞0个拓扑空间n X X X ,...,21都具有性质p ，蕴涵着积空间n X X X ⨯⨯⨯...21也具有性质p ．例如，容易直接证明，如果拓扑空间n X X X ,...,21都是离散空间（平庸空间），则积空间n X X X ⨯⨯⨯...21也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质．根据定理3．2．9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p 是一个拓扑不变性质．为了证明性质p 是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质p 的拓扑空间的积空间也是具有性质p 的拓扑空间．定理4．1．9设n X X X ,...,21是n 个连通空间．则积空间n X X X ⨯⨯⨯...21也是连通空间．证明 根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明．首先我们指出：如果212121),(),,(X X y y y x x x ⨯∈==两个点有一个坐标相同，则21X X ⨯有一个连通子集同时包含x 和y不失一般性，设 11y x =定义映射k ：212X X X ⨯→使得对于任何22X z ∈有),()(212z x z k =．由于121:X X k p → 是取常值1x 的映射，222:X X k p → 为恒同映射，它们都是连续映射，其中21,p p 分别是21X X ⨯到第 1和第 2个坐标空间的投射．因此，k 是一个连续映射．根据定理4．1．8，k(2X )是连通的．此外易见，212}{)(X x X k ⨯=，因此它同时包含 x 和y ．现在来证明：21X X ⨯中任何两个点212121),(),,(X X y y y x x x ⨯∈==同时属于21X X ⨯的某一个连通子集．这是因为这时若令2121),(X X y x z ⨯∈=，则根据前段结论，可见有21X X ⨯的一个连通子集1Y 同时包含 x 和 z ，也有21X X ⨯的一个连通子集2Y 同时包含y 和z ．由于z ∈21Y Y ⋂，所以根据定理4．1. 6，21Y Y ⋃是连通的，它同时包含x 和y ．于是应用定理4．1．7可见21X X ⨯是一个连通空间．由于n 维欧氏空间n R 是n 个实数空间R 的笛卡儿积，而实数空间R 又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n 维欧氏空间n R 是一个连通空间．作业: P.116 3. 5. 6. 8. 14.§4．2 连通性的某些简单应用本节重点: 掌握实数空间R 中的连通子集的”形状”掌握实数空间R 的子集中常见的连通子集与不连通子集.掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合R 中区间的精确定义：R 的子集E 称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a ，b ∈E ，a ＜b ，则有[a ，b]={x ∈R | a ≤x ≤b}⊂E读者熟知，实数集合R 中的区间共有以下九类：（-∞，∞），（a ，∞），［a ，∞），（-∞，a ），(-∞，a ］（a ，b ），（a ，b ］，［a ，b ），［a ，b ］因为，一方面以上九类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果E ⊂R 是一个区间，可视E 有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E ，而将E 归入以上九类之一在定理4．1．2中我们证明了实数空间R 是一个连通空间．由于区间（a ，∞）， （－∞，a ）和（a ，b ）都同胚于R （请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于),(],[],(),(],,[),[),(],(),(),,[),(b a b a b a b a b a b a b a a a a a ⊂⊂⊂⊂⊂-∞=-∞∞=∞根据定理4．1．5可见区间[a ，∞），（－∞，a]，[a ，b ），（a ，b]和[a ，b ］都是连通的． 另一方面，假设E 是R 的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E 不是一个区间，则E b a b a R b a ⊄∍<∈∃],[,,, 也就是说,存在a<c<b,使得E c ∉；从而，若令 A=（－∞，c ）∩E ，B=(c ，∞)∩E则可见A 和B 都是E 的非空开集，并且有A ∪B=E 和A ∩B=∅，因此E 不连通. 综合以上两个方面，我们已经证明了：定理4．2．1 设E 是实数空间R 的一个子集．E 是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E 是一个区间．定理4．2．2设X 是一个连通空间，f: X →R 是一个连续映射．则f(X)是R 中的一个区间．因此，如果x ，y ∈X ，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t （即当f(x)≤f(y)时， f(x)≤t ≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t ≤f(x))，存在z ∈X 使得f(z)=t ．证明 这个定理的第一段是定理4．1．8和定理4．2．1的明显推论．以下证明第二段．设x ，y ∈X ．如果f （x ）＝f （y ），则没有什么要证明的．现在设f （x ）≠f （y ），并且不失一般性，设f （x ）＜f （y ）．由于f （X ）是一个区间，所以［f （x ），f （y ）］⊂f （X ）．因此对于任何t ，f(x)≤t ≤f(y)，有t ∈f(X)，所以存在z ∈X,使得f （z ）=t.根据定理4．2．2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理．定理4．2．3 ［介值定理］设f: [a ，b]→R 是从闭区间[a ，b]到实数空间R 的一个连续映射．则对于f （a ）与f （b ）之间的任何一个实数r ，存在z ∈［a ，b ］使得f(z)=r ．定理4．2．4[不动点定理]设f:[0，1]→［0，1］是一个连续映射．则存在z ∈[0，1]使得f(z)=z证明 如同数学分析中的证法那样,只须构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得.容易证明欧氏平面2R 中的单位圆周}1|),{(2221=+∈=y x R y x S 是连通的.这是因为如果定义映射f: R →2R 使得对于任意t ∈R 有f(t)=(cos2πt,sin2πt)∈1S ，则易于验证f 是一个连续映射，并且f(R)＝1S ．因此 1S 是连通空间R 在一个连续映射下的象，所以它是连通的．设点12121),(),,(S x x x x x x ∈--=-=称为点x 的对径点．映射r ：11S S →使得任何x ∈1S , 有r(x)=-x ，称为对径映射．对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面2R 到自身的反射l ：22R R →在单位圆周上的限制．其中，映射l 定义为对于任何221),(R x x x ∈=,有l （x ）＝-x ，容易验证（请读者自行验证)是一个连续映射．定理 4.2.5 [Borsuk-Ulam 定理] 设f: 1S →R 是一个连续映射．则在1S 中存在一对对径点x 和-x ，使得f(x)=f(-x)．证明 (略)我们已经知道n 维欧氏空间2R 是连通空间，下面进一步指出：定理 4．2．6 n ＞1维欧氏空间n R 的子集n R -{0}是一个连通子集，其中0=（0，0，…，0）∈n R ．证明 我们只证明 n ＝2的情形．根据定理 4．1．9，2R 中的子集(-∞，0)×R 和（0，∞）×R 都是连通的．由于R R R R ⨯∞=⨯∞⊂-⨯∞⊂⨯∞),0(),0[}0{),0[),0(所以根据定理4．1．5，2R 中的子集A=［0，∞）×R-{0}是连通的；同理，子集 B=(-∞，0］×R-{0}是连通的．由于A ∩B ≠∅以及A ∪B=2R -{0}，所以根据定理4. 1．6可见，2R -{0}是连通的．一般情形的证明类似，请读者自行补证.定理4．2．6可以得到进一步的改善（参见习题第4题．）定理4．2. 7欧氏平面2R 和实数空间R 不同胚．证明 假设2R 与R 同胚，并且设f: 2R →R 是一个同胚．因此对于连续映射R R f g R →-=-}0{:|2}0{2我们有)}0({})0{(2f R R g -=-．但根据定理4．2．6，2R -{0}是连通的，而根据定理4．2．1，R-{f(0)}是不连通的．这与定理4．1．8矛盾．定理4．2．7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例．定理4．2．4，定理4．2．5和定理4．2．7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下：定理 4． 2． 8 [Brouwer 不动点定理] 设f ：n n D D →是一个连续映射，其中n D 是n 维球体．则存在z ∈n D 使得f （z ）= z ．定理 4．2．9[Borsuk －Ulam 定理]设f ： m n R S →是一个连续映射，其中n ≥m ，则存在x ∈n S 使得f （x ）=f （-x ）．定理4．2．10如果n ≠m ，则欧氏空间n R 和m R 不同胚．这些定理的证明（除去我们已经证明过的情形）一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书籍．作业：P.121 4.§4．3 连通分支本节重点:掌握连通分支的定义.(即连通”类”的分法)掌握连通分支的性质(定理4.3.1)从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便．这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）．定义4．3．1设X 是一个拓扑空间，x ，y ∈X ．如果X 中有一个连通子集同时包含x 和y ，我们则称点x 和y 是连通的．(注意:是点连通)根据定义可见，如果x ，y ，z 都是拓扑空间X 中的点，则（1）x 和x 连通（因为每一个单点集都是连通子集）；（2）如果x 和y 连通，则y 和x 也连通；（显然）(3) 如果x 和y 连通，并且y 和z 连通，则x 和z 连通．（这是因为，这时存在X 中的连通子集A 和B 使得x ，y ∈A 和y ，z ∈B ．从而由于y ∈A ∩B 可见A ∪B 连通，并且x ，z ∈A ∪B ．因此x 和z 连通．）以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系．定义4．3．2 设X 是一个拓扑空间．对于X 中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X 的一个连通分支．如果Y 是拓扑空间X 的一个子集．Y 作为X 的子空间的每一个连通分支称为X 的子集Y 的一个连通分支．拓扑空间X ≠∅的每一个连通分支都不是空集；X 的不同的连通分支无交；以及X 的所有连通分支之并便是X 本身．此外，x ，y ∈X 属于X 的同一个连通分支当且仅当x 和y 连通．拓扑空间X 的子集A 中的两个点x 和y 属于A 的同一个连通分支当且仅当A 有一个连通子集同时包含点x 和y ．定理4．3．1设X 是一个拓扑空间，C 是拓扑空间X 的一个连通分支．则（1）如果 Y 是X 的一个连通子集，并且 Y ∩C ≠C Y ⊂⇒∅,；（2）C 是一个连通子集；（3）C 是一个闭集．本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X 的一个最大的连通子集．证明 （1）任意选取x ∈ Y ∩C ．对于任何y ∈Y 由于x 和y 连通，故y ∈C ．这证明Y ⊂C ．（2）对于任何x ，y ∈C ，根据定义可见，存在X 的一个连通子集xy Y 使得x ，y ∈xy Y ．显然xy Y ∩C ≠∅，故根据（1），⊂xy Y C ．应用定理4．1．7可知，C 是连通的．（3）由于C 连通，根据定理4．1．5，C 连通．显然，∅≠=⋂C C C 。