2003年山东数学中考试题
山东省2003年中考数学试题评价报告
2003年中考数学试题评价报告本评价组收到济南、青岛、淄博、烟台、潍坊、济宁、泰安、威海、临沂、滨州、菏泽11份数学学科初中毕业、升学考试试卷以及部分地市报送的相关材料。
各单位报送的材料如下表：一、背景描述上述11份试卷均采用闭卷、笔试的形式，这是由数学学科的特点所决定的。
从各市的试卷可知，总题数在24～30道，客观题一般在16～22道；主观题一般在8道左右，最多的有10道题。
总题量及客观题的数量与2002年相当。
主观题数量与2002年基本保持一致，分值有所增加。
各市的试卷中，客观题主要有选择题、填空题两种题型，主观题除了传统的题型外，还有近几年出现的阅读理解题、推理判断题、画图设计题、开放题、实验探究题和动手操作题以及评价性问题等。
各题型分值、比例见下表：二、评价标准本项评价依据教育部《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》和《关于积极推进中小学评价与考试制度改革的通知》的精神，遵循《九年义务教育全日制中学数学教学大纲（试用修订版）》的内容范围与要求，体现《全日制义务教育数学课程标准（试验稿）》的理念。
中考数学试卷的评价标准是：试卷要有利于全面推进素质教育，有利于推进国家基础教育课程改革；有利于体现义务教育的性质，突出初中数学课程的基础性、普及性和发展性，升学试卷要有利于高中（中专）选拔优秀学生；并对初中数学教学给予正确的导向，有利于促进学生生动、活泼、主动的学习，有助于学生创新意识和实践能力的培养。
数学试题应关注学生的发展和数学素养的养成，注重考查数学核心内容与基本能力；应突出考查对数学思想方法的理解与简单应用；应重视考查获取数学信息、认识数学对象的基本过程与方法；应有利于渗透考查学生用数学、做数学的意识；应突出试题的教育价值，体现全面提高学生素质的导向，促进教师教学方式的改革，促进学生学习方式的变更；应合理设计各种试题，为学生探索、创新和发挥自己的水平提供机会与空间。
命题要科学、严谨，不出人为编造的偏题、怪题。
2003年山东数学中考试题
＊考试时间120分钟，试卷满分120分。
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内．每小题2分，共20分）1．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A．B．C D2．在平面直角坐标系中，点P（－1，1）关于x轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内含C．内切D．外切4．在下面四种正多边形中，用同一种图形不能平面镶嵌的是（）A．B．C．D．5．已知2是关于x的方程23202x a-=的一个根，则21a-的值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．关于x的方程210x+=＋有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞-1 B．k≥-1 C．k＞1 D．k≥7．如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB＝120°，）则阴影部分的面积为A．4πB．2πC．43πD．π8．已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数kbyx=的图象在A．第一、二象限B．第三、四象限（）C．第一、三象限D．第二、四象限第7题图9．已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm 2，母线长是5cm ，则圆锥的底面半径为 （ ）A ．32cm B ．3cm C ．4cm D ． 6cm10．如图，射线l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车 比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度 关系是（ ）A ．甲比乙快B ．乙比甲快C ．甲、乙同速D ．不一定二、填空题（每小题2分，共20分）11．在函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是 ．12．若方程210x x +-=的两根分别为12x x 、，则2212x x += ． 13．一组数据9，5，7，8，6，8的众数和中位数依次是 ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9， BE=1，则CD ＝ ．15．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正 边形． 16．已知圆的直径为13cm ，圆心到直线l 的距离为6cm ，那么直线l 和这个圆的公共点 的个数是 ． 17．用换元法解方程2220383x x x x+-=+，若设23x x y +=，则原方程可化成关于y 的整式方程为 ．18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为 直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为 ． 19．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管， 两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是 ．20．在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 分别是 则∠BAC 的度数为 ．第10题图19题图ABE DC O 第14题图． ABPCO第18题图．三、（第21题6分,第22题6分,第23题10分,共22分）21．当x =2，y =3-的值．22．如图，已知：AB． 求作：（1）确定AB的圆心O ． （2）过点A 且与⊙O 相切的直线．（注：作图要求利用直尺和圆规， 不写作法，但要求保留作图痕迹）23．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： （1）填充频率分布表中的空格； （2）补全频率分布直方图；（3）在该问题中的样本容量是多少？答： ．（4）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？（不要求说明理由） 答： ． （5）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约为多少人？答： ．频率分布表⌒ ⌒ 成绩（分）A B第22题图四、（10分）24．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测倾器．（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少．．．．；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）．（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）．第24题图五、（10分）25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？)第25题图六、（12分）26．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？第26题图人数 （人）七、（12分）27．（1）如图（a ），已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重合），直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC 、AD ．求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ．（2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙O 相切时，其他条件不变．①请你在图（b ）中画出变化后的图形，并对照图（a ），标记字母；②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图(a)BO AFDC G E l· BO A图(b)第27题图·八、（14分）28．已知：如图，⊙D 交y 轴于A 、B ，交x 轴于C ，过点C的直线：8y =--与y 轴交于P ． （1）求证：PC 是⊙D 的切线；（2）判断在直线PC 上是否存在点E ，使得S △EOP ＝4S △CDO ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当直线PC 绕点P 转动时，与劣弧AC交于点F （不与A 、C 重合），连结OF ，设PF ＝m ，OF ＝n ，求m 、n 之间满足的函数关系式，并写出自变量n 的取值范围．⌒ 第28题图。
(完整版)、年山东省中考数学考试试题
山东省中考数学试题第Ⅰ卷 (选择题 共36分)一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得３分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1．下列运算中，正确的是A ．235a a a +=B ．3412a a a ⋅=C ．236a a a =÷ D ．43a a a -=2．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线 剪去∠C ，则∠1＋∠2等于A ．315° B．270° C ．180° D．135°3．如图，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y x =-上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为A ．（0，0）B ．（12，－12） C ．（22，－22） D ．（－12，12）4．小华五次跳远的成绩如下（单位：m ）：3.9，4.1, 3.9, 3.8, 4.2．关于这组数据， 下列说法错误的是A ．极差是0.4B ．众数是3.9C ．中位数是3.98D ．平均数是3.98 5．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是 A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.56．已知代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为A ．18B ．12C ．9D ．77．一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个整数， 并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么A ．a =1，b =5B ．a =5，b =1C ．a =11，b =5D ．a =5，b =118．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，我市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了某区300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是： Ａ组：0.5h t <； Ｂ组：0.5h 1h t <≤；Ｃ组：1h 1.5h t <≤；Ｄ组： 1.5h t ≥．根据上述信息，你认为本次调查数据的中位数落在 A ．B 组 B ．C 组 C ．D 组 D ．A 组9．如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格第2题ABOM第6题图第3题第9题图OA B C D 组别人数第10题图的边长为1 cm ，则这个圆锥的底面半径为 A ．22cm B ．2cm C ．22cm D ．21cm 10．如图，两个高度相等且底面直径之比为1∶2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙 杯，则乙杯中的液面与图中点P 的距离是 A ．43cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm11．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）． A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相交12．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A ．0.4米 B ．0.5米 C ．0.8米 D ．1米 13．如图，把图①中的ABC △经过一定的变换得到图②中的A B C '''△，如果图①中ABC △上点P 的坐标为()a b ，，那么这个点在图②中的对应点P '的坐标为（ ） A ．(23)a b --，B ．(32)a b --，C ．(32)a b ++，D ．(23)a b ++，14．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （4，6）、B （5，2）、C （2，1），如果将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90°，得到△''A B C ，那么点A 的对应点'A 的坐标是（ ）． A ．（－3，3） B ．（3，－3） C ．（－2，4） D ．（1，4）15．函数y ax a =-与ay x=（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．16如图所示，函数x y =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是第12题图7 O -2 -4 -3 -5 yC -1 6A 2 1 3 4 5 1 2B x 3 4 5 第14题图Oy y Oy xOy xOB C A 第6题图（－1，1y （2，2）2y xyOO3 2 1 －Ｏ －－－－2 － 1 2 3 x y 图 3 2 1 －Ｏ －－－－2 － 1 2 3 x y 图Ｐ A B CA 'B 'C ' P 'A ．x ＜－1B ．—1＜x ＜2C ．x ＞2D ． x ＜－1或x ＞217．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是25 ．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是14，则原来盒中有白色棋子 A ．8颗 B ．6颗 C ．4颗 D ．2颗18．在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜色外都相同．随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1619．如图，点A 的坐标是(22)，，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是 A ．（2，0） B ．（4，0） C ．（－22，0） D ．（3，0）20．一艘轮船从港口O 出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B ．若以港口O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B 所在位置的坐标是（ ）A ．(3035030)-，B ．(3030350)-，C ．(30330)，D ．(30303)，二、填空题：1．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是 ．2．在平面直角坐标系中，点P (－2，2x ＋1)所在的象限是 .3．函数y =21x +中,自变量x 的取值范围是 . 4．已知二次函数c bx ax y ++=21（0≠a ）与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2）（如图所示），则能使21y y >成立的x 的取值范围是 ．5．已知x 1、x 2是方程x 2－3x －2＝0的两个实根，则(x 1－2) (x 2－2)= ．6如图，AB 为O ⊙的直径，CD 为O ⊙的弦，42ACD ∠=°，则BAD ∠= °．7．某公司2006年的产值为500万元，2008年的产值为720万元，则该公司产值的年平均增长率为 ．ABC第1题图第4题图第8题1 23 4 -1 1 2 xyA第19题图ODAC 第6题图Oxy第20题图 A8．将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．9．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则 “ * ” 如下：当a ≥b 时，2*a b b =；当a < b 时，*a b a =．则当x = 2时，(1*)(3*)x x x -g =__________．（“ · ” 和 “ – ”仍为实数运算中的乘号和减号）10．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有 个黄球． 11．把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．12．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子． 13．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm ．母线()OE OF 长为10cm ．在母线OF上的点A 处有一块爆米花残渣，且2FA =cm ，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm ．13．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．14．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．15．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a ，0），半径为5．如果两圆内含，那么a 的取值范围是________.16．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）…第12题图A BCFE 'A 第11题图（'B ） D Ａ ＦＥＯ第13题图C ' B '第13题图B A 6cm 3cm1cm 第14题第15题图①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是12x =； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．三、解答题： 1．(本题满分7分)（1）化简求值：22212221x x x x x x --+--+÷x ，其中x =23．（2）解不等式组：3221317.22x x x x ->+⎧⎪⎨--⎪⎩，≤把解集在数轴上表示出来（3）先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1＋1x －2÷ x 2－2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5．2．如图，有一块三角形材料（△ABC ），请你画出一个圆，使其与△ABC 的各边都相切.解：3．一口袋中装有四根长度分别为1cm ，3cm ，4cm 和5cm 的细木棒，小明手中有一根长度为3cm 的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题： （1）求这三根细木棒能构成三角形的概率； （2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概率； （3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．ABC4小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？5.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． （参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）6．某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金． 7．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．37°C GEDB AF第5题图红 黄 蓝 红 白 蓝试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．8．如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝34． （1）求B ′ 点的坐标；9．已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ．连结DE ，DE (1) 求证：AM MB EM MC ⋅=⋅； (2) 求EM 的长；（3）求sin ∠EOB 的值.10.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，6AB AD ==，DE DC ⊥交AB 于E ，DF 平分∠EDC 交BC 于F ，连结EF ． （1）证明：EF CF =；（2）当tanADE ∠=31时，求EF 的长．BFD BA EC11在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2(1)4y x k x =-+-+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且6OAB S ∆=．（1）求点A 与点B 的坐标； （2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．12．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使225PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由． （4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDEF第24题图。
2003年山东省济南市中考数学试卷
2003年山东省济南市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）如果a+b＝0，那么实数a、b的取值一定是（）A．都是0B．互为相反数C．至少有一个是0D．互为倒数2．（3分）当x＝﹣1时，代数式|5x+2|和代数式1﹣3x的值分别为M、N，则M、N之间的关系为（）A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．以上三种情况都有可能3．（3分）某城市高科技园区超级计算机中心内，被称为“神州1”的计算机运算速度为每秒384 000 000 000次，保留四个有效数字，用科学记数法表示每秒钟的次数为（）A．3.84×1011B．3.840×1011C．3.84×1012D．3.840×1012 4．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A（0，）、B（﹣1，0）、C （1，0），若△DEF各顶点坐标分别为D（，0）、E（0，1）、F（0，﹣1），则下列判断正确的是（）A．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90°得到B．△DEF由△ABC绕O点逆时针旋转90°得到C．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转60°得到D．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转120°得到5．（3分）葡萄熟了，从葡萄架上落下来，在下图中，可以大致反映葡萄下落过程中速度v 随时间t的变化情况的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图（1），小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（）A．B．C．D．7．（3分）已知点（x1，﹣1）（x2，）（x3，﹣25）在函数y的图象上，则下列关系式正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＞x2＞x3C．x1＞x3＞x2D．x1＜x3＜x2 8．（3分）小勇投标训练的结果如图所示，他利用所学的统计知识对自己10次投标的成绩进行了评价，其中错误的是（）A．平均数是（10+8×4+7×2+6×2+5）÷10＝7.3（环）成绩还不错B．众数是8（环），打8环的次数占40%C．中位数是8（环），比平均数高0.7环D．方差是1.81，稳定性一般9．（3分）对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系，从温度计上可以看出摄氏（℃）温度x与华氏（℉）温度y有如下表所示的对应关系，则确定y与x之间的函数关系式是（）A．y x B．y＝1.8x+32C．y＝0.56x2+7.4x+32D．y＝2.1x+2610．（3分）下列各图形中标记的直角符号，是李明同学边画图、边推理标注上去的．请你仔细观察图形，认真思考，判断图形中标注错误的是（）A．⊙O1与⊙O2相交与A、B，⊙O1过点O2B．⊙O1与⊙O2外切，AB是两圆外公切线C．⊙O1与⊙O2外离，AB是两圆外公切线D．⊙O1与⊙O2相交，AB是两圆外公切线11．（3分）如图所示，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG＝3cm，DG＝4cm，▱ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为（）A．49cm B．43cm C．41cm D．46cm12．（3分）如图（2），在大房间一面墙壁上，边长15cm的正六边形A（如图（1））横排20片和以其一部分所形成的梯形B，三角形C、D上，菱形F等六种瓷砖毫无空隙地排列在一起．已知墙壁高3.3m，请你仔细观察各层瓷砖的排列特点，计算其中菱形F瓷砖需使用（）A．220片B．200片C．180片D．190片二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分，把答案填在题中横线上．13．（3分）分解因式：1﹣a2﹣b2+2ab＝．14．（3分）当x＝时，分式的值为0．15．（3分）如图，△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需要添加的一个条件是．16．（3分）下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨迹污染，读了进货单后，请你求出这台电脑的进价是元．17．（3分）为了方便看电视和有利于彩电在放映中产生热量的散发，将一台54寸的大背投彩电按图（1）放置在墙角，图（2）是它的俯视图．已知∠DAO＝22°，彩电后背AD ＝110cm，平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，则墙角O到前沿BC的距离是cm（sin22°＝0.3746，cos22°＝0.9272，精确到1cm）．18．（3分）请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11；同样：∵1112＝12321，∴111；…由此猜想．19．（3分）如图，△ABC中，∠C是直角，AB＝12cm，∠ABC＝60°．将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形的面积是cm2．（π＝3.14159…，最后结果保留三个有效数字）．20．（3分）一次函数y＝kx+b的自变量的取值范围是﹣3≤x≤6，相应函数值的取值范围是﹣5≤y≤﹣2，则这个函数的解析式为．三、解答题：本大题共9小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（5分）已知：，求的值．22．（6分）如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的立体图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，并且还要扣分！23．（6分）星期天，数学张老师提着篮子（篮子重0.5斤）去集市买10斤鸡蛋，当张老师往篮子里拾称好的鸡蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋时个数少很多，于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共称得10.55斤，即刻她要求摊主退1斤鸡蛋的钱，她是怎样知道摊主少称了大约一斤鸡蛋呢（精确到1斤）？请你将分析过程写出来．由此你受到什么启发？（请用一至两句话，简要叙述出来）．24．（6分）已知方程组的两个解为和，且x1，x2是两个不相等的实数，若x12+x22﹣3x1x2＝8a2﹣6a﹣11．（1）求a的值；（2）不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数？为什么？25．（6分）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜MM’的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，请计算出镜长至少为多少米？26．（6分）新华社4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局统计的信息：2003年1月至2月全国共发生事故17万多起，各类事故发生情况具体统计如下：（1）请你计算出各类事故死亡人数占总死亡人数的百分比，填入上表图1（精确到0.01）；（2）为了更清楚地表示出问题（1）中的百分比，请你完成下面的扇形统计图2；（3）请根据你所学的统计知识提出问题（不需作解答，也不要解释，但所提的问题应是利用表中所提供数据能求解的）．表图1：27．（7分）小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径（锅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长20cm的直尺，根本不够长，怎么办呢小红想了想，采取了以下办法：如图（1），首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长（如图（2）），即可求出锅的直径．（1）请你利用图（2）说明她这样做的理由；（2）在现有的条件下，你还能设计出另外一个可求出锅的直径的方法吗？如果能，请在图（3）中画出示意图，并说明理由．（不必求出锅的直径）28．（9分）⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．29．（9分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y＝ax2+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y＝ax2+2x+3的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y＝ax2+2x+3上．（1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y＝ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般﹣一特殊﹣一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．2003年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）如果a+b＝0，那么实数a、b的取值一定是（）A．都是0B．互为相反数C．至少有一个是0D．互为倒数【解答】解：A：a，b都为0时，则a＝b＝0，故A不对，B：若a＝1，则b＝﹣1，a+b＝0，故B对，C：若a＝0，则b＝0，∴a+b＝0，故C不对，D：若a与b互为倒数，则ab＝1，则a+b≠0，故D不对．故选：B．2．（3分）当x＝﹣1时，代数式|5x+2|和代数式1﹣3x的值分别为M、N，则M、N之间的关系为（）A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．以上三种情况都有可能【解答】解：当x＝﹣1时，则|5x+2|＝|﹣5+2|＝3，1﹣3x＝1+3＝4，3＜4，∴M＜N．故选：C．3．（3分）某城市高科技园区超级计算机中心内，被称为“神州1”的计算机运算速度为每秒384 000 000 000次，保留四个有效数字，用科学记数法表示每秒钟的次数为（）A．3.84×1011B．3.840×1011C．3.84×1012D．3.840×1012【解答】解：由于384 000 000 000有12位，所以可以确定n＝12﹣1＝11．所以384 000 000 000＝3.840×1011．（保留四个有效数字）故选：B．4．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A（0，）、B（﹣1，0）、C （1，0），若△DEF各顶点坐标分别为D（，0）、E（0，1）、F（0，﹣1），则下列判断正确的是（）A．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90°得到B．△DEF由△ABC绕O点逆时针旋转90°得到C．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转60°得到D．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转120°得到【解答】解：∵△ABC各个顶点坐标分别为A（0，）、B（﹣1，0）、C（1，0）；△DEF各顶点坐标分别为D（，0）、E（0，1）、F（0，﹣1），∴旋转对应点为A和D，B和E，C和F，∴△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90°得到．故选：A．5．（3分）葡萄熟了，从葡萄架上落下来，在下图中，可以大致反映葡萄下落过程中速度v 随时间t的变化情况的是（）A．B．C．D．【解答】解：速度v随时间t的增大而增大．故选：D．6．（3分）如图（1），小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（）A．B．C．D．【解答】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，展开得到结论．故选：C．7．（3分）已知点（x1，﹣1）（x2，）（x3，﹣25）在函数y的图象上，则下列关系式正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＞x2＞x3C．x1＞x3＞x2D．x1＜x3＜x2【解答】解：∵反比例函数y中，k＝﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣1、、﹣25均为负数，∴此三点在第二象限，∵﹣1＞＞25，∴x1＞x2＞x3．故选：B．8．（3分）小勇投标训练的结果如图所示，他利用所学的统计知识对自己10次投标的成绩进行了评价，其中错误的是（）A．平均数是（10+8×4+7×2+6×2+5）÷10＝7.3（环）成绩还不错B．众数是8（环），打8环的次数占40%C．中位数是8（环），比平均数高0.7环D．方差是1.81，稳定性一般【解答】解：A、平均数是（10+8×4+7×2+6×2+5）÷10＝7.3（环）成绩还不错，故A 正确；B、8环出现了4次，故众数为8环，故B正确；C、按从大到小的顺序排列为：5、6、6、7、7、8、8、8、8、10，7和8分别处在第5位和第6位，它们的平均数为7.5，∴中位数是7.5（环），比平均数高0.2环，故C错误；D、方差是[（5﹣7.3）2+（6﹣7.3）2+…+（10﹣7.3）2]＝1.81，故D正确；故选：C．9．（3分）对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系，从温度计上可以看出摄氏（℃）温度x与华氏（℉）温度y有如下表所示的对应关系，则确定y与x之间的函数关系式是（）A．y x B．y＝1.8x+32C．y＝0.56x2+7.4x+32D．y＝2.1x+26【解答】解：设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，∵直线过点（0，32），（10，50），∴，∴．∴y＝1.8x+32．故选：B．10．（3分）下列各图形中标记的直角符号，是李明同学边画图、边推理标注上去的．请你仔细观察图形，认真思考，判断图形中标注错误的是（）A．⊙O1与⊙O2相交与A、B，⊙O1过点O2B．⊙O1与⊙O2外切，AB是两圆外公切线C．⊙O1与⊙O2外离，AB是两圆外公切线D．⊙O1与⊙O2相交，AB是两圆外公切线【解答】解：A、P点在⊙O1上时，才成直角；B、正确；C、正确；D、正确．故选：A．11．（3分）如图所示，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG＝3cm，DG＝4cm，▱ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为（）A．49cm B．43cm C．41cm D．46cm【解答】解：∵四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，▱ABED的面积是36cm2，∴▱AFCD的面积是36cm2∵AG＝3，DG＝4，∴AG是平行四边形ABED的高，DG是平行四边形AFCD的高，∴DE＝AB＝12，CD＝AF＝9，又∵△AGD是直角三角形，∴AD＝BE＝CF＝5如图，延长CD与BA延长线交于H，可得CH＝CD+DH＝CD+AG＝12，BH＝ED+DG＝16，∵∠EDC＝∠EGF＝∠BAF＝90°，∴∠HAG＝∠AGD＝∠HDG＝90°，∴四边形AGDH是矩形，即△BHC是直角三角形，则BC＝20，∴ABCD周长为AB+BC+CD+DA＝12+20+9+5＝46．故选：D．12．（3分）如图（2），在大房间一面墙壁上，边长15cm的正六边形A（如图（1））横排20片和以其一部分所形成的梯形B，三角形C、D上，菱形F等六种瓷砖毫无空隙地排列在一起．已知墙壁高3.3m，请你仔细观察各层瓷砖的排列特点，计算其中菱形F瓷砖需使用（）A．220片B．200片C．180片D．190片【解答】解：一共是10排，最后一列梯形挨着的图形一定是菱形，否则就会出来ABCDEFG七种瓷砖．因此每一排有20个菱形．故一共有200个．故选：B．二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分，把答案填在题中横线上．13．（3分）分解因式：1﹣a2﹣b2+2ab＝（1+a﹣b）（1﹣a+b）．【解答】解：1﹣a2﹣b2+2ab＝1﹣（a2+b2﹣2ab）＝1﹣（a﹣b）2＝（1+a﹣b）（1﹣a+b）．故答案为：（1+a﹣b）（1﹣a+b）．14．（3分）当x＝1时，分式的值为0．【解答】解：分式的值为0，即x2﹣x＝0，解得x＝0或1，∵x≠0，∴x＝1．故当x＝1时，分式的值为0．15．（3分）如图，△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需要添加的一个条件是BD ＝CE．【解答】解：∵AB＝AC（已知），∴∠B＝∠C（等边对等角），又∵BD＝CE（添加的一个条件），∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．故添加一个条件是BD＝CE．16．（3分）下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨迹污染，读了进货单后，请你求出这台电脑的进价是4470元．【解答】解：设电脑的进价为x元，根据进货单可得：x+210＝5850×0.8，解得：x＝4470（元）．故答案为：4470．17．（3分）为了方便看电视和有利于彩电在放映中产生热量的散发，将一台54寸的大背投彩电按图（1）放置在墙角，图（2）是它的俯视图．已知∠DAO＝22°，彩电后背AD ＝110cm，平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，则墙角O到前沿BC的距离是98 cm（sin22°＝0.3746，cos22°＝0.9272，精确到1cm）．【解答】解：∵∠DAO＝22°，彩电后背AD＝110cm，∴AO＝AD×cos22°≈102cm，OD＝AD×sin22°≈41cm，∴O到AD的距离＝AO×OD÷AD≈38cm，∴墙角O到前沿BC的距离是38+60＝98cm，故答案为98．18．（3分）请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11；同样：∵1112＝12321，∴111；…由此猜想111111111．【解答】解：∵112＝121，∴；同样∵1112＝12321，∴；…由此猜想111111111．故本题的答案是111111111．19．（3分）如图，△ABC中，∠C是直角，AB＝12cm，∠ABC＝60°．将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形的面积是113cm2．（π＝3.14159…，最后结果保留三个有效数字）．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝12cm，∠ABC＝60°∴BC＝6，∠EBD＝60°，∴∠ABE＝120°，又∵△ABC≌△EBD，∴S△ABC＝S△EBD，∴S曲边AFC＝S曲边EGD，所以AC边扫过的图形的面积＝S扇形BAE﹣S扇形BFG36π≈113（cm2）．20．（3分）一次函数y＝kx+b的自变量的取值范围是﹣3≤x≤6，相应函数值的取值范围是﹣5≤y≤﹣2，则这个函数的解析式为或者．【解答】解：分两种情况：①当k＞0时，把x＝﹣3，y＝﹣5；x＝6，y＝﹣2代入一次函数的解析式y＝kx+b，得，解得，则这个函数的解析式是；②当k＜0时，把x＝﹣3，y＝﹣2；x＝6，y＝﹣5代入一次函数的解析式y＝kx+b，得，解得，则这个函数的解析式是．故这个函数的解析式是或者．三、解答题：本大题共9小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（5分）已知：，求的值．【解答】解：∵a2，∴a＜1，∴原式，，＝﹣2．22．（6分）如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的立体图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，并且还要扣分！【解答】解：如图所示：23．（6分）星期天，数学张老师提着篮子（篮子重0.5斤）去集市买10斤鸡蛋，当张老师往篮子里拾称好的鸡蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋时个数少很多，于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共称得10.55斤，即刻她要求摊主退1斤鸡蛋的钱，她是怎样知道摊主少称了大约一斤鸡蛋呢（精确到1斤）？请你将分析过程写出来．由此你受到什么启发？（请用一至两句话，简要叙述出来）．【解答】解：设摊主称得鸡蛋的重量为x斤，鸡蛋的实际重量为y斤，∵篮子的实际重量为0.5斤，鸡蛋放入篮子后一起称，增量为10.55﹣10.5＝0.05斤，∴y x．当x＝10时，y≈9．10﹣9＝1．所以少给了1斤鸡蛋．启示：生活中要多动脑，所学的数学知识在实际生活中随处可用．24．（6分）已知方程组的两个解为和，且x1，x2是两个不相等的实数，若x12+x22﹣3x1x2＝8a2﹣6a﹣11．（1）求a的值；（2）不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数？为什么？【解答】解：（1）由方程组可得x2﹣x+a+1＝0，由题意知：△＝1﹣4（a+1）＝﹣3﹣4a＞0，所以a＜．又x1+x2＝1，x1x2＝a+1，所以x12+x22﹣3x1x2＝（x1+x2）2﹣5x1x2＝1﹣5（a+1）＝﹣4﹣5a＝8a2﹣6a﹣11，解得：a或1．又a＜，所以a的值为．（2）能．∵x1+x2＝1＞0，x1x2＝a+1＞0，∴x1＞0，x2＞0，且y1＝x1+1＞0，y2＝x2+1＞0，故存在方程组的两个解都为正数．即可以不解方程组判断方程组的两个解都是正数．25．（6分）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜MM’的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，请计算出镜长至少为多少米？【解答】解：作CD⊥MM′，垂足为D，并延长交A′B′于E，∵AB∥MM′∥A′B′，∴CE⊥A′B′，∴△CMM′∽△CA′B′，∴，又∵CD＝CE﹣DE＝5﹣3＝2，CE＝5，A′B′＝AB＝0.8，∴，∴MM′＝0.32（米），∴镜长至少为0.32米．26．（6分）新华社4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局统计的信息：2003年1月至2月全国共发生事故17万多起，各类事故发生情况具体统计如下：（1）请你计算出各类事故死亡人数占总死亡人数的百分比，填入上表图1（精确到0.01）；（2）为了更清楚地表示出问题（1）中的百分比，请你完成下面的扇形统计图2；（3）请根据你所学的统计知识提出问题（不需作解答，也不要解释，但所提的问题应是利用表中所提供数据能求解的）．表图1：【解答】解：（1）自上至下依次：610÷20948≈3%，1409÷20948≈7%，1639÷20948≈8%，17290÷20948≈83%；（2）对应的圆心角分别为：火灾事故：3%×360°＝10.8°，铁路事故：7%×360°＝25.2°，工矿事故：8%×360°＝28.8°，道路事故：83%×360°＝298.8度．（3）如：请你计算出道路交通事故占事故总量的百分比等．27．（7分）小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径（锅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长20cm的直尺，根本不够长，怎么办呢小红想了想，采取了以下办法：如图（1），首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长（如图（2）），即可求出锅的直径．（1）请你利用图（2）说明她这样做的理由；（2）在现有的条件下，你还能设计出另外一个可求出锅的直径的方法吗？如果能，请在图（3）中画出示意图，并说明理由．（不必求出锅的直径）【解答】解：（1）假设圆（锅沿所形成的圆）的圆心为O，连接OA，OB．∵MA，MB与⊙O相切，∴∠OAM＝∠OBM＝90°；又∵∠M＝90°，∴四边形OAMB是矩形，∵OA＝OB，∴四边形OAMB是正方形．∴OA＝MA，∴量得MA的长，再乘以2就是锅的直径；（2）如图，①直接量出AB的长利用勾股定理可求；②根据切割线定理，如上图，量得MC，MD，利用MB2＝MC•MD即可求出MB，即可得出半径长度，求出直径即可．28．（9分）⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．29．（9分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y＝ax2+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y＝ax2+2x+3的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y＝ax2+2x+3上．（1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y＝ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般﹣一特殊﹣一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．【解答】解：（1）y＝ax2+2x+3抛物线y＝ax2+2x+3的顶点坐标为，∴抛物线y＝ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式为y＝x+3（2）当a≠0时，顶点的横坐标∴（0，3）点不是抛物线的顶点．（3）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（，）由题意得A（，）把x代入y＝ax2+bx+c＝a（）2+b（）+c∴点A在抛物线y＝ax2+bx+c上，同理点B也在抛物线y＝ax2+bx+c上．。
2003年中考数学试卷
2003年中考数学试卷
2003年中考数学试卷指的是在2003年中考中使用的数学科目的试卷。
这份试卷将由当地教育部门或考试机构组织专家进行命题，并按照中考数学科目的要求进行设计。
以下是 2003年中考数学试卷具体的题目示例：
选择题1：若关于 x 的一元二次方程 x^2 + 4x + k - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ()
A. k < 5
B. k > 5
C. k < -5
D. k > -5
选择题2：下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ()
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形
填空题1：计算：√4 + | -2| - (1/2)^(-1) = ___．
填空题2：若反比例函数 y = (m - 1)/x 的图象在每一个象限中，y随着x 的增大而减小，则m的取值范围是 ___．
计算题1：计算：(π - 3)^0 - 4sin 45° + | -2| + (1/3)^(-1)．
计算题2：解方程组：{ 3x + y = 2, 4x - 3y = 15 }．
总结：2003年中考数学试卷指的是在2003年中考中使用的数学科目的试卷。
这份试卷旨在测试学生对数学基础知识的掌握程度和问题解决能力，通过选择题、填空题和计算题等多种题型进行考查。
考生需要通过系统的数学学习和复习，掌握基础知识和应试技巧，以提高自己的数学水平，应对这份试卷的挑战。
数学阅读理解型问题(专题4)
阅读理解型问题（专题4）——合情推理【考点透视】阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理， 【典型例题】例1．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）a ＋b ＝2，ab ≤1； （2）a ＋b ＝3，ab ≤23； （3）a ＋b ＝6，ab ≤3．根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，ab ≤ ．（2000年北京市东城区中考试题）分析：观察（1）、（2）、（3）中的数字规律：不等号右边的数都是等号右边的数的21，由此可以作出猜想．解：ab ≤29． 说明：本题要求直接通过不完全归纳，总结规律，猜想结论． 例2．例2．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．①322322=+（ ）；②833833=+（ ）； ③15441544=+（ ）； ④24552455=+（ ）． （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．图4—1AD nB CD 1 D 2D 3E 1 E 2 E 3 E n 图4—2（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．（2000年江苏省常州市中考试题）分析：判断式子①、②、③、④内在的规律时可以发现：①中3＝2 2－1；②中8＝3 2－1；③中15＝4 2－1；④中24＝5 2－1．这样就可以统一用含n 的式子表示出来．解：（1）①√；②√；③√；④√．（2）12-+n n n ＝n 12-n n．其中n 为大于1的自然数． （3）12-+n n n ＝123-n n ＝122-⋅n n n ＝n 12-n n ． 说明：本题虽然需要说明所写式子的正确性，但本题主要考查学生的合情推理能力，即用含有n 的式子将规律表示出来．例3．下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n (n ＞1)盆花，每个图案花盆的总数是S ．按此规律推断，S 和n 的关系式是 ．（2000年山西省中考试题）分析：由正三角形每条边的花盆数n 与花盆的总数S 之间的关系，可以看出S 总是比n 的3倍少3． 解：S ＝3n －3．说明：本题的答案不唯一，其它形式也可以． 例4． 如图4—2所示，在△ABC 中，BC ＝a ，若D 1、E 1分别是AB 、AC 的中点，则D 1E 1＝a 21； 若D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则D 2E 2＝a a a 43)2(21=+； 若D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点，则D 3E 3＝a a a 87)43(21=+；…………若D n 、E n 分别是D 1-n B 、E 1-n C 的中点，则D n E n ＝ （n ≥1，且n 为整数）．（2001年山东省济南市中考试题）分析：因为12121=；2221243-=；3321287-=；……，所以D n E n 也可以用含数字2的式子来表示．解：D n E n ＝11212---n n （n ≥1，且n 为整数）．说明：寻找数字规律，应把已给的数写成有规律的一组数．n ＝2，S ＝3 n ＝3，S ＝6 n ＝4，S ＝9例5．问题：你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方．任意一个个位数为5的自然数可写成10•n＋5，即求（10•n＋5）2的值（n为自然数）．你试分析n＝1，n＝2，n＝3，…，这些简单情况，从中探索规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）．（1）通过计算，探索规律：152＝225可写成100×1（1＋1）＋25，252＝625可写成100×2（2＋1）＋25，352＝1225可写成100×3（3＋1）＋25，452＝2025可写成100×4（4＋1）＋25，……752＝5625可写成，852＝7225可写成，……（2）从第（1）的结果，归纳、猜想得：（10n＋5）2＝．（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝．（1999年福建省三明市中考试题）分析：在对这些式子进行规律探索的时候，要找出哪些数是不变的，哪些数是随式子的序号变化而逐步变化的．然后就可以用n来表示这些逐步变化的数．解：（1）100×7（7＋1）＋25；100×8（8＋1）＋25．(2)100n2＋100n＋25100n（n＋1）＋25．(3) 100×199（199＋1）＋25＝3980025．说明：本题不仅要求归纳猜想和探索规律，而且要运用归纳猜想得出的结论解决问题．例6．如图4—3，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P＇，使得OP·OP＇＝r 2 ，这种把点P变为点P＇的变换叫做反演变换，点P与点P＇叫做互为反演点．图4—3 图4—4（1） 如图4—4，⊙O 内外各一点A 和B ，它们的反演点分别为A ＇和B ＇．求证：∠A ＇＝∠B ； （2） 如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线l 与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是（ ）． (A)一个圆 (B)一条直线 (C)一条线段 (D)两条射线 ②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．（2001年江苏省南京市中考试题）分析：求解本题首先要理解“反演变换”的意义，并理解圆内的点的反演点在圆外，圆上的点的反演点在圆上，圆外的点的反演点在圆内；其次，第（2）题的第①小题，由于直线与圆的交点的反演点是它本身，因此只要在该直线的圆内、圆外部分各取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．另外，第（2）题的第②小题，由于直线与圆的切点的反演点是它本身，因此只要在该直线上取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．（1）证明：∵A 、B 的反演点分别是A’、B’，∴OA ·OA’＝r 2，OB ·OB’＝r 2． ∴OA ·OA’＝OB ·OB’，即''OA OBOB OA ． ∵∠O ＝∠O ，∴△ABO ∽△B’A’O ． ∴∠A’＝∠B ．． （2）解：①A ．②圆；内切．说明：本题主要考查学生通过观察、分析，从特殊的点的研究归纳、推测图形形状的合情推理能力．另外，还可以研究下列问题：如果直线⊙O’与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是什么？该图形与圆O 的位置关系是是什么？例7．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图4—5中的三角形被一个圆所覆盖，图4—6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （2）边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （3）长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ， 这两个圆的圆心距是 cm.（2003年江苏省南京市中考试题）图4—5图4—6分析：本题首先要理解图形被圆所覆盖的定义，其次，可以推测正方形、等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 取最小值时，显然这个圆就是正方形、等边三角形的外接圆．而第（3）题可把长为2cm ，宽为1cm 的矩形分割成两个边长为1 cm 的正方形，根据第（1）题，不难得到结论．解：（1）22； （2）33； （3）22，1． 说明：本题的合情推理是建立在空间想象的基础上，并把问题转化为多边形的外接圆问题．另外，还可以研究下列问题：1．如果边长为1cm ，有一个锐角是60°的菱形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？2．如果上低和腰长都是1cm ，下低长是2cm 的梯形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？【习题4】1．观察下列各式，你会发现什么规律？3×5＝15，而15＝42－1； 5×7＝35，而35＝62－1；11×13＝143，而143＝122－1； ……请你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来： ．（2000年山东省济南市中考试题）2．观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41， ……猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为 ．（2003年北京市中考试题）3．观察下列各式： 1×3＝12＋2×1， 2×4＝22＋2×2， 3×5＝32＋2×3，……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： ．（2003年福建省福州市中考试题）4．观察以下等式：1×2＝31×1×2×3；1×2＋2×3＝31×2×3×4；1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5；1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝31×4×5×6；……根据以上规律，请你猜测：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝ ．（2001年山东省威海市中考试题）5．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26根据上面的排列规律，则2000应在（ ）．A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列（2001年湖北省荆州市中考试题）6．细心观察图形4—7，认真分析各式，然后解答问题． 21,21)1(12==+S ； 22,31)2(22==+S ； 23,41)3(32==+S ； ……（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2的值．（2003年山东省烟台市中考试题）7．(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点， 如图4—8，|AB |＝|OB |＝|b |＝|a －b |； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图4—9，当点A 、B 都在原点右边时，则 |AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |； ②如图4—10，当点A 、B 都在原点左边时，则O (A ) B图4—8O B A图4—9O A B 图4—10O A 2 A 4A 1 …1 A 5S 3 S 5 S 2S 1 S 41 1 1A 6 A 3…图4—7|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －(－a )＝|a －b |；③如图4—11，当点A 、B 在原点的两边时，则 |AB |＝|OA |+|OB |＝|a |+|b |＝a +(－b )＝|a －b |. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |.(2)回答相应问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果|AB |=2，那么x 为 ． ③当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，x 相应的取值范围是 .（2002年江苏省南京市中考试题）8．如图4—12，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 BA 延长线上一点， AF =21AB ． （1）求证：△ABE ≌△ADF ． （2）阅读下面材料：如图4—13，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置； 如图4—14，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置； 如图4—15，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置．象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． （3）回答下列问题：①在图4—12中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 变到 △ADF 的位置？答： ． ②指出图4—12中线段BE 与DF 之间的关系．答： ．（2000年江苏省南京市中考试题）9．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生研究这一问题时，发现了如下事实．EDCBADCBAEDCA图4—13 图4—14 图4—15FABC D E图4—12OA B a 图4—11图4—16E A B C O D图4—17 B C A D EOB C A 图4—18 D E O C A 图4—19 D F EO①当11121+==AC AE 时，有21232+==AD AO （如图4－16）； ②当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图4－17）； ③当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图4－18）． 在图4－19中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．（2001年河北省中考试题）10．某厂要制造能装250毫升(1毫升＝1厘米3 )饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部的厚度都是0.02厘米，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“呯”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来．设一个底面半径是x 厘米的易拉罐的用铝量是y 厘米3． （1）利用用铝量＝底圆面积×底部厚度＋顶圆面积×顶部厚度＋侧面积×侧壁厚度)求y 与x 之间的函数关系式；（2②根据上表推测：要使用铝量y （厘米）的值尽可能小，底面半径x （厘米）的值所在范围是( )．A ．1.6≤x ≤2.4B ．2.4＜x ＜3.2C ．3.2≤x ≤4（2002年江苏省南京市中考试题）11．如图20，正方形ABCD 和正方形EFGH 对角线BD 、FH 都在直线l 上．O 1、O 2 分别是正方形的中心，O 1D ＝2，O 2F ＝1，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距．．．．当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变．（1）当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2 ＝ ． （2）随着中心O 2在直线l 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程 ）．（2003年江苏省徐州市中考试题）图4—20【习题4】1．解：（2n －1）（2n ＋1）＝（2n ）2－1． 2．解：9（n －1）＋n ＝10（n －1）＋1． 3．解： n （n ＋2）＝n 2 ＋2n ．4．解：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝31×n ×（n ＋1）×（n ＋2）．5．解：选C ．6．解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+． （2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…， ∴OA 10＝10．（3）S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2＝2)21(＋2)22(＋2)23(＋…＋2)210(＝41（1＋2＋3＋…＋10） ＝455． 7．解：（1）3，3，4；（2）∣x ＋1∣，－3或1； （3）－1≤x ≤2． 8．解：（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵ AB=AD ，AD ⊥AB ， ∴∠BAE =∠DAF =90°．∵AE =21AD ，AF =21AB ， ∴AE =AF ．∴△ABE ≌△ADF ．（3）①答：△ABE 绕点A 逆时针旋转90度到△ADF 的位置． ②答：BE =DF ，且BE ⊥DF ．9．解：根据题意，可以猜想：当n AC AE +=11时，有n AD AO +=22成立． 证明：过D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．∵D 是BC 的中点， ∴F 是EC 的中点． ∵n AC AE +=11， ∴n EC AE 1=． ∴nEF AE 2=．∴nAF AE +=22． ∵DF ∥BE ， ∴nAF AE AD AO +==22． 10．解：（1）解：222250202.0302.0xx x x y ππππ⋅+⋅⋅+⋅=·0.02 =xx 102522+π． （2）B ．11．解：．（1）2，1． （2）3．（3）①当1＜O 1O 2＜3时，两个正方形有2个公共点；②当O 1O 2＝1时，两个正方形有无数个公共点；③当O 1O 2 ＜1，或O 1O 2＞3时，两个正方形没有公共点．。
第十三讲 从勾股定理谈起(含答案)-
第十三讲 从勾股定理谈起勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，大约在公元前1100多年前，商高已经证明了普通意义下的勾股定理，在国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”．勾股定理是平面几何中一个重要定理，其广泛的应用体现在：勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法，运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段．直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系)，30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系)，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用．30例题求解【例1】如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B 、E 在CD 的同侧，若AB=2，则BE= ．(2001年重庆市中考题)思路点拨 因BE 不是直角三角形的边，故不能用勾股定理直接计算，需找出与BE 相等的线段转化问题．注 千百年来，勾股定理的证明吸引着数学爱好者，目前有400多种证法，许多证法的共同特点是通过弦图的割补、借助面积加以证明，美国第20任总统加菲尔德(1831—1881)曾给出一个简单证法．勾股定理的发现是各族人民早期文明的特征，有人建议，将来与“外星人”交往，可以把勾股定理转化为光电讯号，传向异域，他们一定懂得勾股定理．现已确定的2002年8月在北京举行的国际数学家大会的会标来源于弦图的图案．BCDA【例2】 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a+b)2的值为( )A ．13B ．19C ．25D ．169 (2003年山东省中考题)思路点拨 利用勾股定理、面积关系建立a 、b 的方程组．【例3】 如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ， 已知∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 不可能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，解本例的关键是由条件构造出含30°角的直角三角形．B CAPBCDA【例4】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB=c ，CD=h ．求证：（1）222111hb a =+；(2) h c b a +<+ ；(3) 以b a +、h 、h c +为边的三角形，是直角三角形．思路点拨 (1)只需证明1)11(222=+b a h ，从左边推导到右边；（2）证明(22)()(h c b a +<+；(3)证明222)()(h c h h a +=++．在证明过程中，注意面积关系式ch ab =的应用．【例5】 一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由． (2003年北京市竞赛题)思路点拨 假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a 、b 、c ，其中c 为斜边，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2222ab c b a c b a ，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解． 注 当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．从代数角度，考察方程222z y x =+的正整数解，古代中国人发现了“勾三股，四弦五”，古希腊人找到了这个方程的全部整数解（用代数式表示的勾股数组）．17世纪，法国数学家费尔马提出猜想：当n ≥3时，方程n n n z y x =+无正整数解． 1994年，曼国普林斯顿大学堆尔斯教授历尽艰辛证明了这个猜想，被誉为20世纪最伟大的成果．一般地，在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60°或90°，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散的条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路．学历训练1．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ACD 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位置，则BC ′与BC 之间的数量关系是 ．(2001年山西省中考题)BCDAC 'BCDAPB CDA（第1题） （第2题） （第3题）2．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP'重合，若AP ＝3，则PP ′的长等于 ．3．如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD ⊥BC 于D ，则AD= ． (2001年武汉市选拔赛试题)4．如图，四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC=4cm ，CD=12㎝，DA=13cm ，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是 cm 2．BCDABCDA（第4题） （第5题） （第7题）5．如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离( )A ．等于1米B ．大于l 米C ．小于l 米D ．不确定. (2002年宁波市中考题) 6．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定7．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D ＝90°，BC=2，CD=3，则AB=( ) A ．4 B ．5 C ．23 D ．338 8．在由单位正方形组成的网格图中标出了AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，CD ，EFC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，EF ，GH(2003年北京市竞赛题)BCD A GHF E（第8题） （第9题）9．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)使三角形的三边长分别为3，22，5；(2)使三角形为钝角三角形且面积为4． (2002年吉林省中考题)10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，MN 垂直平分AB ，求证：CM=2BM ． (2002年南道市中考题)BCANM11．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF +=．BCDAFE12．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC 的长为 ．(2002年湖北省预赛试题)BCDAB CAP1997（第12题） （第13题） （第14题）13．如图，设P 是等边△ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB 的度数是 ． 14．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为 ．15．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件：c b a c b a 262410338222++=+++，则这个三角形最长边上的高为 ．BCDAGFE（第17题） （第19题）16．在锐角△ABC 中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是( )A ．2<c<4B ．2< c ≤3C ． 2< c ＜108< c ＜10。
山东省历年年中考数学试卷与答案汇编
山东省2003年中考试卷一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1．下列运算正确的是（ ）． A ．6332x x x ＝＋ B ．326x x x ＝÷C ．6233)3(x x ＝- D ．132－－＝x x x ⋅2．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25±0.1）kg 、（25±0.2）kg 、（25±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）．A ．0.8 kgB ．0.6kgC ．0.5 kgD ．0.4 kg 3．小亮从一列火车的第m 节车厢数起，一直数到第n 节车厢（n ＞m ），他数过的车厢节数是（ ）．A ．m ＋nB ．n －mC ．n －m －1D ．n －m ＋14．如图，四边形ABCD 中，CB ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝35°，则∠BCD 的度数为（ ）．A ．145°B ．130°C ．110°D ．70°5．用一个半径长为6 cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ）． A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．6 cm 6．设a 是大于1的实数，若a ，32＋a ，312＋a 在数轴上对应的点分别记作A 、B 、C ，则A 、B 、C 三点在数轴上自左至右的顺序是（ ）．A ．C ，B ，A B ．B ，C ，A C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B 7．下列每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）．8．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a ＋的值为（ ）．A．13 B．19 C．25 D．1699．如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区．如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系?（）．10．若A（a，6），B（2，a），C（0，2）三点在同一条直线上，则a的值为（）．A．4或－2 B．4或－1 C．－4或1 D．－4或211．工人师傅在一个长为25 cm，宽为18 cm的矩形铁皮上，剪去一个和三边都相切的圆A后，在剩余部分的废料上再剪出一个最大的圆B，则圆B的直径是（）．7cm B．8 cm C．7 cm D．4 cm A．212．在一列数1，2，3，4，…，1000中，数字“0”出现的次数一共是（）．A．182 B．189 C．192 D．194二、填空题（本题共4小题，每小题填对得4分，共16分．只要求填写最后结果）13．某市召集20名特级教师参加教改研讨会，与会的特级教师每两人之间都握手一次，那么他们之间一共握手________次．14．赵刚利用科学计算器计算0.15＋0.27时，虽然按键正确，但结果总是0，其原因是________．15．某工厂2002年的年产值为26948万元，比2001年增长8.2％．若年增长率保持不变，预计2005年该厂的年产值为________万元（结果精确到万元）．16．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：分别以正三角形的一个顶点为圆心，边长为半径，画弧使其经过另外两个顶点，然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为π，那么它的面积为________．三、解答题（本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算（本题满分8分，可用计算器计算）：＝＋＋1212222⨯________，＝＋＋12321333333++⨯________，＝＋＋123432144444444++++⨯_____ ___．由此你可以猜想出哪些类似的等式________________________________________． 18．（本题满分9分）给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个上下底面为正三角形的直三棱柱模型，使它们的表面面积都与原三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2）中，并作简要说明：19．（本题满分9分）已知抛物线1C 的解析式是5422＋－＝x x y ，抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，求抛物线2C 的解析式．20．（本题满分10分） 我省某城镇邮政局对甲、乙两个支局的报刊发行部2002年度报纸的发行量进行了统计，并绘成统计图如下：请根据上面统计图反映的信息，回答问题：（1）哪个支局发行《齐鲁晚报》的份数多?多多少?（2）分别写出上面两个统计图中提供的6个统计数据的中位数；（3）已知甲、乙两个支局所服务的居民区住户分别是11280户、8600户，哪个居民区平均每户订阅报纸的份数多?试说明理由．21．（本题满分10分）如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为弧BC 的中点，OE交BC 于F ，DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如果AB ＝2，AD ＝4，EG ＝2．求⊙O 的半径．22．（本题满分10分）已知方程组⎩⎨⎧=ax y x y ＋＝2,42有两个实数解为⎩⎨⎧=11,y y x x ＝和⎩⎨⎧=,,22y y x x ＝且021≠⋅x x ，21x x ≠，设2111x x b ＋＝． （1）求a 的取值范围；（2）试用关于a 的代数式表示出b ；（3）是否存在使b ＝3的a 的值?若存在就求出所有这样的a 的值；若不存在，请说明理由．23．（本题满分12分）如图，正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内．要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的31，扇形的圆心角应为多少度?说明你的理由．参考答案一、选择题（每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．C 9．C 10．A 11．B 12．C 二、填空题（只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．190 14．将小数点的位数设为0（或设定计算结果取整数） 15．34136 16．23π- 三、解答题17．（本题满分8分）121，12321，1234321（每空1分）1234543211234543215555555555=++++++++⨯， 11234565432123456543216666666666=++++++++++⨯， 3211234567654123456765432177777777777777=++++++++++++⨯ 5432112345678761234567876543218888888888888=++++++++++++++⨯，7654321123456789812345678987654321999999999999999999=++++++++++++++++⨯． 每写对一个式子得1分，满分8分． 18．（本题满分9分）解：（1）如图，沿正三角形三边中点连结折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．………………………………………………………………………………………………4分 如图，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底而下底为正三角形的直三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个三棱柱的上底．…………………9分 19．（本题满分9分） 解：经检验，点A （0，5）、B （1，3）、C （－1，11）都在抛物线1C 上，点A 、B 、C 关于x 轴的对称点分别为1A （0，－5）、1B （1，－3）、1C （－1，－11），它们都在抛物线2C 上．抛物线2C 的解析式为c bx ax y ++=2，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=++-=.1135c b a c b a c ，，，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.542c b a ，，所以抛物线解析式是5422-+-=x x y ．评分要点：（1）选定抛物线1C 上的三点，得1分．（2）确定所求的抛物线2C 上的三点的坐标，得3分． （3）正确列出方程组并求出解，得4分．（4）写出解析式得1分．满分得9分． 20．（本题满分10分）解：（1）甲支局发行《齐鲁晚报》840份，乙支局发行《齐鲁晚报》880份，乙支局比甲支局多发行40份．…………………………………………………………………………4分 （2）甲图中6个统计数据的中位数是4.5，乙图中6个统计数据的中位数是3.6． …………………………………………………………………………………………………7分 （3）由统计图知，甲支局订阅报纸共2820份，平均每户订阅报纸的份数是2820÷11280＝0.25．乙支局订阅报纸2580份，平均每户订阅报纸的份数是2580÷8600＝0.3．所以乙支局所服务的居民区住户比甲支局服务的居民区住户平均每户多订阅报纸0.05份．……………………………………………………………………………………………10分 21．（本题满分10分） （1） 证明：∵ E 为弧BC 的中点， ∴ BC OE ⊥于F ．∴ ∠AGD ＋∠ODE ＝∠EGF ＋∠OED ＝90° 连结OD ，则OD ＝OE ． ∴ ∠ODE ＝∠OED ． ∵ ∠AGD ＝∠ADG ，∴ ∠ADG ＋∠ODG ＝90°，即OD ⊥AD ． ∴ AD 是⊙O 的切线．……………………………………………………………………5分 （2）由AD ＝4，AB ＝2，AC AB AD ⋅=2，得AC ＝8．∵ AD ＝AG ，∴ BG ＝2，CG ＝4．由EG ＝2，CG BG GD EG ⋅⋅=，得DG ＝4． ∴ AD ＝DG ＝GD ，∴∠ADG ＝60°，作OH ⊥ED 于H ，则∠EOH ＝60°，…………………………………………………8分在Rt △OEH 中，EH ＝21（EG ＋GD ）＝3， ∴ 23360sin =︒=EH OE ． 即⊙O 的半径为233．…………………………………………………………………10分 22．（本题满分10分）（1） 由原方程组可得关于x 的二次方程：0)1(4422=+-+a x a x ．………………………………………………………………1分∵ 原方程组有两个不同的实数解，即上述二次方程有两个不等实根，∴ △016)]1(4[22>--=a a ，解得：21＜a ．………………………………………3分（2） 由根与系数的关系得：a x x -=+121，4221a x x =⋅……………………………………………………………5分∴ 22121)1(4aa x x x xb -=+=⋅………………………………………………………………6分 （3） 当3=b 时，3)1(42=-aa ，解得： 21-=a ，21322>=a （舍去）．………………………………………………………9分 ∴ 所求a 的值为－2．…………………………………………………………………10分 23．（本题满分12分）解：当扇形圆心角为120°时，△ABC 与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC 的面积的31．……………………………………………………………………………………………2分 证明如下：（1） 当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时，显然，△ABC 与扇形重叠部分的面积等△ABC 的面积的31．…………………………………………………………………4分 （2） 当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时，如图，连结OA 、OB ，设OD 交AB 于F ，OE 交BC 于G ． ∵ O 是正三角形的中心，∴ OA ＝OB ，∠OAF ＝∠OBG ，∠AOB ＝120° ∴ ∠AOF ＝120°－∠BOF ， ∠BOG ＝120°－∠BOF ， ∠AOF ＝∠BOG ． ∠AOF ≌△BOG ．…………………………………………………………………………8分 即ABC AOB OFBG S S S ∆∆==31四边形，即△ABC 与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC 的面积的31．…………………………………………………………………………………10分 同理可证，当扇形ODE 旋转至其他位置时，结论仍成立．…………………………11分 由（1）、（2）可知，当扇形的圆心角为120°时，△ABC 与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC 的面积的31．……………………………………………………………………12分 山东省济宁市汶上县2016届中考数学一模试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意要求．1．多项式1+2xy ﹣3xy 2的次数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．52．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（ ）A ．2.5×106B ．0.25×10﹣5C ．25×10﹣7D ．2.5×10﹣63．如图，已知l 1∥l 2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100° 4．在汶上县纪念抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年歌咏比赛中，我校选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．94，94 B ．95，95 C ．94，95 D ．95，945．如图，PA 与⊙O 相切于点A ，PO 交⊙O 于点C ，点B 是优弧CBA 上一点，若∠P=26°，则∠ABC 的度数为（ ）A ．26°B ．64°C ．32°D ．90°6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（ ）A ．36πB ．60πC ．96πD ．120π7．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠19．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°10．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分11．若x，y为实数，且|x﹣2|+（y+1）2=0，则的值是．12．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m+2015的值等于．13．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为米．14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为．15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= ．三、解答题：本大题共7个小题，共55分16．先化简（1﹣）÷，然后在﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的x的值，代入求值．17．小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．18．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）．（结果保留根号）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB 上，⊙O与AB交于点E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．20．如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M 作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18=启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是．22．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．2016年山东省济宁市汶上县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意要求．1．多项式1+2xy﹣3xy2的次数为（）A．1 B．2 C．3 D．5【考点】多项式．【专题】计算题；整式．【分析】利用多项式次数的定义判断即可．【解答】解：多项式1+2xy﹣3xy2的次数为3，故选C【点评】此题考查了多项式，熟练掌握多项式次数的定义是解本题的关键．2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（）A．2.5×106B．0.25×10﹣5C．25×10﹣7D．2.5×10﹣6【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6，故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．40° B．60° C．80° D．100°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．4．在汶上县纪念抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年歌咏比赛中，我校选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（）A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94【考点】众数；中位数．【分析】根据众数、中位数的定义求解即可．【解答】解：这组数据按顺序排列为：88，92，93，94，95，95，96，故众数为：95，中位数为：94．故选D．【点评】本题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．5．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠P=26°，则∠ABC的度数为（）A．26° B．64° C．32° D．90°【考点】切线的性质．【分析】连接OA，则△PAO是直角三角形，根据根据直角三角形的性质∠POA的度数，进而根据圆周角定理即可求解．【解答】解：连接OA．∴∠PAO=90°，∵∠O=90°﹣∠P=64°，∴∠B=∠O=32°．故选C．【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得∠POA的度数是解题的关键．6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（）A．36π B．60π C．96π D．120π【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．【分析】易得此几何体为圆锥，圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长．【解答】解：此几何体为圆锥，底面直径为12，高为8，那么半径为6，母线长为10，∴圆锥的全面积=π×62+π×6×10=96π，故选C．【点评】用到的知识点为：圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形；圆锥的全面积的计算公式．7．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定．【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【解答】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．8．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°【考点】正多边形和圆；解直角三角形．【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC=×360°=72°，∴∠1=∠BOC=×72°=36°，R2﹣r2=（a）2=a2，a=Rsin36°，a=2Rsin36°；a=rtan36°，a=2rtan36°，cos36°=，r=Rcos36°，所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．故选A．【点评】本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．10．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分11．若x，y为实数，且|x﹣2|+（y+1）2=0，则的值是．【考点】算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再根据算术平方根即可解答．【解答】解：∵|x﹣2|+（y+1）2=0，∴x﹣2=0，y+1=0，∴x=2，y=﹣1，∴，故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是先根据非负数的性质求出x，y的值．12．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m+2015的值等于2016 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m+1的值．【解答】解：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0可得：m2﹣m﹣1=0，即m2﹣m=1，∴m2﹣m+2015=2015+1=2016；故答案为：2016．【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m2﹣m当成一个整体．利用了整体的思想．13．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为 5.6 米．【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．【解答】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，则△ABE∽△CDE，则，即，解得：AB=5.6米．故答案为：5.6．【点评】应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为3+．【考点】二次函数综合题．【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．【解答】解：连接AC，BC，∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴点D的坐标为（0，﹣3），∴OD的长为3，设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0）∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵CO⊥AB，∴CO2=AO•BO=3，∴CO=，∴CD=CO+OD=3+，故答案为：3+．【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= 1.6×105或160000 ．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型．【分析】首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．【解答】解：∵；；；…∴；∴．故答案为：1.6×105或160000．【点评】本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键．三、解答题：本大题共7个小题，共55分16．先化简（1﹣）÷，然后在﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的x的值，代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=•=﹣，当x=2时，原式=﹣=﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；列表法与树状图法．【分析】（1）根据第一组的频数是2，百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；（2）利用总户数540乘以对应的百分比求解；（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树状图法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总数是：2÷4%=50（户），则6≤x＜7部分调查的户数是：50×12%=6（户），×100%=30%．频数（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．则抽取出的2个家庭来自不同范围的概率是： =．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．18．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）．（结果保留根号）。
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一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将
正确答案的序号填入题后的括号内．每小题2分，共20分）
1．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）
A B C D
2．在平面直角坐标系中，点P（－1，1）关于x轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内含C．内切D．外切
4．在下面四种正多边形中，用同一种图形不能平面镶嵌的是（）A．B．C．D．
5．已知2是关于x的方程2
3
20
2
x a
-=的一个根，则21
a-的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6
6．关于x的方程210
x+=
＋有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞-1 B．k≥-1 C．k＞1 D．k≥
7．如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB＝120°，）则阴影部分的面积为
A．4πB．2πC．
4
3
πD．π
8．已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数
kb
y
x
=的图象在A．第一、二象限B．第三、四象限（）C．第一、三象限D．第二、四象限
第7题图
9．已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm 2，母线长是5cm ，则圆锥的底面半径为 （ ）
A ．3
2cm B ．3cm C ．4cm D ． 6cm
10．如图，射线l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车 比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度 关系是 （ ）
A ．甲比乙快
B ．乙比甲快
C ．甲、乙同速
D ．不一定
二、填空题（每小题2分，共20分） 11
．在函数y =
中，自变量x 的取值范围是 ． 12．若方程210x x +-=的两根分别为12x x 、，则22
12x x += ．
13．一组数据9，5，7，8，6，8的众数和中位数依次是 ．
14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9， BE=1，则CD ＝ ．
15．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正 边形． 16．已知圆的直径为13cm ，圆心到直线l 的距离为6cm ，那么直线l 和这个圆的公共点 的个数是 ．
17．用换元法解方程2220
383x x x x
+-=+，若设23x x y +=，则原方程可化成关于y 的
整式方程为 ． 18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为 直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为 ． 19．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管， 两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是 ．
20．在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 则∠BAC 的度数为 ．
第10题图
第19题图
A
B
E D
C O 第14题图
． A B
P
C
O
第18题图
．
三、（第21题6分,第22题6分,第23题10分,共22分）
21．当x =2，y =3
的值．
22．如图，已知：AB
． 求作：（1）确定AB 的圆心O ． （2）过点A 且与⊙O 相切的直线． （注：作图要求利用直尺和圆规， 不写作法，但要求保留作图痕迹）
23．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： （1）填充频率分布表中的空格； （2）补全频率分布直方图；
（3）在该问题中的样本容量是多少？ 答： ．
（4）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？（不要求说明理由） 答： ．
（5）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约为多少人？ 答： ．
⌒ ⌒
A B
第22题图
四、（10分）
24．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测倾器．
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：
①测量数据尽可能少；
②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测
A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、
γ表示）．
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略
不计）．
第24题图
五、（10分）
25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
)
第25题图
六、（12分）
26．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？
第26题图
人数 （人）
七、（12分）
27．（1）如图（a ），已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重合），直线l 交⊙O 于C 、
D ，交AB 于
E ，且与A
F 垂直，垂足为
G ，连结AC 、AD ．
求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ．
（2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙O 相切时，其他条件不变．
①请你在图（b ）中画出变化后的图形，并对照图（a ），标
记字母； ②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图(a) B
O A
F D
C G E l
· B
O A
图(b)
第27题图
·
八、（14分）
28．已知：如图，⊙D 交y 轴于A 、B ，交x 轴于C ，过点C
的直线：8y =--与y 轴交于P ． （1）求证：PC 是⊙D 的切线；
（2）判断在直线PC 上是否存在点E ，使得S △EOP ＝4S △CDO ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当直线PC 绕点P 转动时，与劣弧AC
交于点F （不与A 、C 重合），连结OF ，设PF ＝m ，OF ＝n ，求m 、n 之间满足的函数关系式，并写出自变量n 的取值范围．
⌒ 第28题图。