求曲线轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。
4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
求曲线的轨迹方程的方法
成都市新都香城中学数学组
李发林
2014年2月25日星期二
几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性 质而得出)的动点所满足的几何条件列 出等式，再用坐标代替这等式，化简 得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1：已知一曲线是与两个定 点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1/2 的点的轨迹，求此曲线 的方程。教材P.86例5
3、过点P（2,4）作两条互 相垂直的直线l1,l2, l1交x轴 于A点，l2交y轴于点B，求 线段AB的中点M的轨迹方 程。
4、已知方程
x y 2(m 3) x 2(1 4m ) y 16m 9 0
2 2 2 4
表示一个圆。求圆心的轨迹方程。
结论：到两个定点A、B的距离之比等于常 数的点的轨迹：当＝1时，轨迹是线段AB的 垂直平分线；当 1时，轨迹是圆。
练习：设两点A、B的距离 为8，求到A、B两点距离 的平方和是50的动点的轨 迹方程。
2．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点 Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可 用x、y表示，则将Q点坐标表达式代 入已知曲线方程，即得点P的轨迹方 程．这种方法称为相关点法(或代换 法)．
Y
p
o
A
X
变式2：如图，已知点P是圆x2＋ y2=16上的一个动点，点A是x轴上的 定点，坐标为（12,0）.若D点是AOP 的平分线与PA的交点，当点P在圆上 运动时，求点D的轨迹方程。Y Nhomakorabeap
o
A
X
练习：三角形ABC的两个顶点A， B的坐标分别是A（0,0），B （6,0）顶点C在曲线y=x2+3上 运动，求三角形ABC的重心G的 轨迹方程。
求曲线轨迹方程的五种方法
求曲线轨迹方程的五种方法The final edition was revised on December 14th, 2020.求曲线轨迹方程的五种方法一、直接法如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。
例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。
解：设点P的坐标为（x，y），则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得2)2x-2(y+-=2a20()0化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。
二、定义法如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。
例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（）A、直线B、椭圆C、双曲线D、抛物线解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。
解法二：设P点坐标为（x，y），则|x+4|-22-=2x+(y)2当x ≥-4时，x+4-22)2(y x +-=2化简得当时，y 2=8x当x ＜-4时，-x-4-22)2(y x +-=2无解所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。
三、 代入法如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为代入法。
例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线191622=-y x 上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 。
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程六种常用技法轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一，也是近几年来高考中常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系，动辄就是罗列一大堆坐标关系，进展无目大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结与归纳探求轨迹方程常用技法，对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。
1．直接法根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线距离公式，直线斜率公式等，直接列出动点满足等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．线段，直线相交于，且它们斜率之积是，求点轨迹方程。
解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，那么，设点坐标为，那么直线斜率，直线斜率由有化简，整理得点轨迹方程为练习：1．平面内动点到点距离与到直线距离之比为2，那么点轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足点，求点轨迹方程。
3. 到两互相垂直异面直线距离相等点,在过其中一条直线且平行于另一条直线平面内轨迹是〔〕A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹定义，如线段垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何一些性质定理。
例2．假设为两顶点，与两边上中线长之与是，那么重心轨迹方程是_______________。
解：设重心为，那么由与两边上中线长之与是可得，而点为定点，所以点轨迹为以为焦点椭圆。
所以由可得故重心轨迹方程是练习：4．方程表示曲线是〔〕A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦中点有关问题可用点差法，其根本方法是把弦两端点坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦中点坐标满足，且直线斜率为，由此可求得弦中点轨迹方程。
例3．椭圆中,过弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_________________。
曲线轨迹方程的求法
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Ｚ Ｂ的垂 直平分线 ． 是 Ｚ 上 内切 ；３动 圆 与 圆 Ｃ内切 ， （） 与圆 外切 ；４ 动 圆 中心 的任 意弦 ，是线段 Ａ （）
与圆 Ｃ外切 ， 圆 内切 ． 。 与
异于椭圆中心的点． Ｉ Ｏ ｌＡ 若 Ｍ ＝ ｌ（ ｌ ０为坐标原
， 求点 的轨迹方程． 在情况 （）（ ） ， １ 、２下 动圆圆心 的轨迹方程为 ｘＯ － ． 点 ）当点 Ａ在椭 圆 Ｃ 上运动时 ，
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例 ２ （０８年全 国 Ｉ卷理科第 ｌ 题 ）已知 Ｆ Ｉ ｚ＋ｃ ２０ Ｉ ５ ＡＣＩ －
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抛 线ｃｙ ｘ 焦点过Ｆ 率为１ 直 Ｉ 为 物 ： ４的 ． 且斜 ￣ ＝ 的 线交
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３ ． 用动点和相关点的坐标表示以上关系； 代点．
因为 为 Ａ Ｂ中点 ， Ａ（ ，） （， ） 则 ０， Ｏ２ ． Ｂ ｙ 又因
ｌ
４ ． 把以上关系式化简； 化简．
５ 明． 明所得方程为所求 曲线的轨迹方程 ． ． 证 证
ｚ ｚ ｚ ｚ过点 Ｐ ２ ４ ， Ｐ Ｐ． ｋ ・ ２ 上且 ， （ ， ）则 Ａ上 Ｂ即
轨迹方程的求法
轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为221x y +=，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0λλ>，求动点M 的轨迹。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM . 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2、动圆过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程.◎◎ 已知圆C 的方程为 (x-2)2+y 2=100,点A 的坐标为（-2，0），M 为圆C 上任一点，AM 的垂直平分线交CM 于点P ，求点P 的方程。
◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.三、代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
例3、P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 求PD 中点的轨迹方程.◎◎已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT 求点T 的轨迹C 的方程.练习:1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ）A 、双曲线B 、半圆C 、两条射线D 、抛物线2. 抛物线的准线l 的方程是y =1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q 的轨迹方程是( ).A. (x -1)2=-8(y -1)B. (x -1)2=-8(y -1) (x ≠1)C. (y -1)2=8(x -1)D. (y -1)2=8(x -1) (x ≠1)3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+y 2=4B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1)C 、(x －1)2+y 2=4D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7 . P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为( ). A. 116922=+y x B. 196422=+y x C. 14922=+y x D. 19422=+y x 8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ）A 、抛物线B 、圆C 、双曲线的一支D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ）A 、y 2=12xB 、y 2=12x(x>0)C 、y 2=6xD 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=21B 、x 2+y 2=41C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 222222222222A. 1 B. 1 C. 1 D.12575752525757525x y x y x y x y +=+=+=+= 13、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ）A 、x 2+y 2=2a 2B 、x 2+y 2=4a 2C 、x 2－y 2=4a 2D 、x 2－y 2=a 214、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
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求曲线轨迹方程的常用
方法
Hessen was revised in January 2021
高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法
张昕
陕西省潼关县潼关高级中学 714399
求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下：
（1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质.
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定
义法求方程要善于抓住曲线的定义特征.
（3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法.
（4） 参数法：若动点的坐标（x ，y ）中的x ，y 分别随另一变量的
变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程.
（5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式
求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法.
（6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨
迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程.
典型例题示范讲解：
设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程.
【解】：法一：（直接法）
如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1
即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24
x y -+=（x ≠0）.
法二：（定义法）
设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点
所以∠OBC= 90︒,
则B 在以OC 为直径的圆上，
故B 点的轨迹方程是2211
()24x y -+=（x ≠0）.
法三：（代入法）
设A （1x ，1y ），B （x ，y ）， 由中点坐标公式得1
1
,
2.2
x x y y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即112,
2.x x y y =⎧⎨=⎩
又因为22
11(1)1x y -+=，所以22(21)(2)1x y -+=， 即2211
()24x y -+=（x ≠0）.
法四：（参数法）
设B （x ，y ），A 点坐标为（1+cos θ，sin θ）（θ∈Ｒ），
则由中点坐标公式得1cos ,
2
sin .
2x y θθ+⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 消去参数得2211
()24x y -+=（x ≠0）.
法五：（几何法）
设B （x ，y ），由条件知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M （1
2，
0），如图，则MB =1
2OC =1
2,故B 点的轨迹方程为
221
1
()24x y -+=（x ≠0）.
法六：（交轨法）
设直线OA 的方程y kx =，当k =0时，B 为（1，0）；
当k ≠0时，直线BC 的方程为1
(1)y x k =--.
由直线OA 、BC 的方程联立消去k ，
得其交点轨迹为220y x x +-=， 即2211()24x y -+= （x ≠0，1）.
显然B （1,0）满足2211()24x y -+=， 故2211
()24
x y -+=（x ≠0，）为所求.
点评：求轨迹方程常用的几种方法，在本题中都可以应用.在解题中最容易出错的环节是轨迹方程中的变量取值范围，要谨慎分析和高度重视.
题目：求曲线轨迹方程的常用方法
姓名：张昕
所在单位：潼关县潼关中学
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