轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。

例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1L 2, 点NL 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若AMN 为锐角三角形, |AM|=17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。

依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。

设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ，其中x A,x B 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。

)2(92)2()1(172)2(3||,17||)0,2(),0,2(22=+-=++==-A A A A px px px px AN AM pN p M 得由所以 由①，②两式联立解得p x A 4=。

再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A Ax p x p 或因为△AMN 是锐角三角形，所以Ax p >2，故舍去⎩⎨⎧==22A x p∴p=4,x A =1由点B 在曲线段C 上，得42||=-=pBN x B 。

综上得曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为 轴，M 为坐标原点。

作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2，BF ⊥l 2垂足分别为E 、D 、F 设A(x A , y A )、B(x B , y B )、N(x N , 0) 依题意有)0,63)(2(8}0,,)(|),{(),(6||||4||||||||||22||||||3|||||22222222>≤≤-=>≤≤=+-====++=+=∆=+======y x x y C y x x x x y x x y x P C y x P NB BE x AE AM ME EN ME x AMN DA AM DM y AN DA ME x B A N B N A A 的方程故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有由于例4、已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ，设长为2的线段AB 在直线λ上移动，求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化，故可设)1,1(),,(++t t B t t A ， 则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ，得.082222=+-+-y x y x当t =－2，或t =－1时，PA 与QB 的交点坐标也满足上式，所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x例5、设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解法一：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0 所以x 1x 2=22kb , y 1y 2=kpb 4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2所以k pk4=－22kb , b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ), 得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x yx y px y px y①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥ ①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦⑥代入④，得yxy y p -=+214 ⑧ ⑥代入⑤，得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2 ⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，① ②③ ④ ⑤|去掉坐标原点.轨 迹 方 程(练习1)1．(08、山东文22)已知曲线1C ：||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为 45，曲线1C 的内切圆半径为253，记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆2C 的标准方程； (2)设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，L 是线段AB 的 垂直平分线，M 是L 上异于椭圆中心的点．①若||MO ＝λ||OA (O 为坐标原点)，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程；②若M 是L 与椭圆2C 的交点，求AMB ∆的面积的最小值．解：(1)由题意得23ab ⎧=⎪⎨=⇒4522==b a ， ⇒椭圆方程：2254x y +＝1．(2)若AB 所在的斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为y ＝kx(k≠0)，A(A A y x ，)．①由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++， ⇒2222220(1)||45AAk OA x y k +=+=+． 设M(x ，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y kλ++=+．因为L 是AB 的垂直平分线，所以直线L 的方程为y ＝1x k-⇒k ＝x y-，代入上式有：22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯，由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=， 当k ＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M 的轨迹方程为22245x y λ+=，（λ≠0）．②当k 存在且k ≠0时，2222220204545AA k x y k k==++，⇒|OA|2＝222220(1)45A A k x y k ++=+． 由221541x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒2222220205454M M k x y k k ==++，⇒22220(1)||54k OM k +=+． ⇒222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++＝209． 222119||||20OA OB OA OM≤+=⨯⇒||||OB OA ⨯≥940．||||221OB OA S AMB ⨯⨯⨯=∆＝||||OB OA ⨯≥940， 当且仅当4＋5k 2＝5＋4k 2时，即k ＝±1时等号成立． 当14002522529AMB k S ∆==⨯⨯=>，； 当k 不存在时，140542529AMB S ∆=⨯⨯=>． 综上所述，AMB ∆的面积的最小值为409．2．（07、江西理21）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．(1)证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；(2)过点B 作直线与双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使OM ·ON ＝0，其中点O 为坐标原点．解：(1)在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线，方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即2111511012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-， 因为01λ<<，所以512λ-=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得： 2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦，由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦ ⇒21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=-- ⇒22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--． 由OM ·ON ＝0，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>-⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩． 由①②知32215<≤-λ．3．（09、海南）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆C的方程；（2）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，2OP e OM（e 为椭圆C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a ，c ．由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a ＝4，c ＝3⇒椭圆C 的方程为221167x y +=． （2）设M （x ，y ），P （0x ，0y ）．其中0x ∈[－4，4]，0x ＝x ．有22001167x y +=……① 由OP e OM=得：2240022x y e x y +=+＝169． 故22220016()9()x y x y +=+【下面是寻找关系式0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）的过程】又⎪⎩⎪⎨⎧-==167112220220x y x x ……………………………………②②式代入①：22001167x y +=并整理得：47(44)3y x =±-≤≤，所以点M 的轨迹是两条平行于x 轴的线段．轨 迹 方 程(练习2)4．（09、重庆理）已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为433y =，离心率32e =，M 是椭圆上的动点． (1)若C 、D 的坐标分别是(0，√3)、(0，－√3)，求||MC ·||MD 的最大值；(2)如图，点A 的坐标为(1，0)，点B 是圆221x y +=上的点，点N 是点M(椭圆上的点)在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ ＝OM ＋ON ，QA ·BA ＝0．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．解：(1)设椭圆方程为：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）．准线方程y =＝c a 2，e =ac ⇒2=a ，32=c 1=⇒b ⇒椭圆方程为：2214y x +=．所以：C 、D 是椭圆2214y x +=的两个焦点⇒||MC ＋||MD ＝4．||MC ·||MD ≤4)2||||(2=+MD MC ，当且仅当||MC ＝||MD ，即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号⇒||MC ·||MD 的最大值为4．(2)设M(,),(,)m m B B x y B x y ，(,)Q Q Q x y ，N(0，m x ) ⇒4422=+m my x ，122=+B B y x ． 由OQ ＝OM ＋ON ⇒m Q x x 2=，m Q y y =⇒4)2(2222=+=+m m Q Qy x y x ………① 由QA ·BA ＝0⇒(Q Q y x --，1)·(B B y x --，1)＝(Q x -1)(B x -1)＋B Q y y ＝0 ⇒=+B Q B Q y y x x 1-+B Q x x …………②记P 点的坐标为(P x ，P y )，因为P 是BQ 的中点⇒B Q P x x x +=2，B Q P y y y +=2⇒2222)2()2(BQ B Q P P y y x x y x +++=+＝)22(412222B Q B Q B Q B Q y y x x y y x x +++++ ＝)]1(25[41-++B Q x x ＝)245(41-+P x ⇒P P P x y x +=+4322 ⇒动点P 的方程为：1)21(22=+-y x ．5．（09、安徽）已知椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．（1）求a 与b 的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为1F 和2F ，直线1L 过2F 且与x 轴垂直，动直线2L 与y 轴垂直，2L 交1L 于点p.求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型解：（1）e ＝33⇒22a b ＝32．又圆心（0，0）到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝22112+， ∴2b ＝2，2a ＝3．12322=+y x（2）1F （－1，0）、2F （1，0），由题意可设P （1，t ）（t ≠0）.那么线段1PF 的中点为N （0，2t ）． 2L 的方程为：y ＝t ，设M(M M y x ,)是所求轨迹上的任意点.【下面求直线MN 的方程，然后与直线2L 的方程联立，求交点M 的轨迹方程】直线1PF 的斜率k ＝2t ，∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率＝－t2． 所以：直线MN 的方程为：y －2t ＝－t 2x ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42， 消去参数t 得：M M x y 42-=，即： x y 42-=，其轨迹为抛物线（除原点）．又解：由于MN ＝（－x ，2t －y ），1PF ＝（－x ，2t －y ）．∵MN ·1PF ＝0， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(，，消参数t 得：x y 42-=（x ≠0），其轨迹为抛物线（除原点）．6．(07湖南理20）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．【直接法求轨迹】（1）若动点M 满足1111F M F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； (2)在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．设()M x y ，，则1(2)F M x y =+，，111(2)F A x y =+，，1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111F M F A F B FO =++⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩ ⇒12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，1212024822y y y y x x x x --==----， 即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． （2）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA ·CB 为常数． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-， 于是CA ·CB 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA ·CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA ·CB ＝－1． 当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(22)，，(22)-，，此时CA ·CB ＝(1，√2)·(1，－√2)＝－1．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA ·CB 为常数．。