轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

轨迹方程的求法

一、知识复习

轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法

注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.

一、知识复习

例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。

例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.

解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.

又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=

2

2)4(y x +-

所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0

因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2

,2

41+=

+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得

2

4

4)2()24(

22+⋅

-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.

例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1L 2, 点N

L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任

一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若

AMN 为锐角三角形, |AM|=

17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.

解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。

依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。

设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ，

其中x A,x B 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。

)

2(92)2()

1(172)2(3||,17||)0,2

(),0,2(22=+-=++==-

A A A A px p

x px p

x AN AM p

N p M 得

由所以 由①，②两式联立解得

p x A 4=

。再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A A

x p x p 或

因为△AMN 是锐角三角形，所以A

x p >2，故舍去⎩⎨⎧==2

2A x p

∴p=4,x A =1

由点B 在曲线段C 上，得

42||=-

=p

BN x B 。

综上得曲线段C 的方程为)0,41(82

>≤≤=y x x y

解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为 轴，M 为坐标原点。

作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2，BF ⊥l 2垂足分别为E 、D 、F 设A(x A , y A )、B(x B , y B )、N(x N , 0) 依题意有

)

0,63)(2(8}0,,)(|),{(),(6

||||4|||||||

|||22||||||3

|||||22222222>≤≤-=>≤≤=+-====++=+=∆=+======y x x y C y x x x x y x x y x P C y x P NB BE x AE AM ME EN ME x AMN DA AM DM y AN DA ME x B A N B N A A 的方程

故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有

由于

例4、已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ，设长为2的线段AB 在直线λ上移动，求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．

解：PA 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化，故可设)1,1(),,(++t t B t t A ， 则PA ：),2)(2(222-≠++-=

-t x t t y QB ：).1(1

1

2-≠+-=-t x t t y 消去t ，得.082222=+-+-y x y x

当t =－2，或t =－1时，PA 与QB 的交点坐标也满足上式，所以点M 的轨迹方程是

.0822222=+--+-y x x y x

例5、设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

解法一：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ，得k =－y

x

由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0 所以

x 1x 2=2

2

k

b , y 1y 2=k

pb 4，

由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2

所以k pk

4=－2

2k

b , b =－4kp

故y =kx +b =k (x －4p ), 得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)

故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，

它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.

解法二：设

A (x 1,y 1),

B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧

--=---=--⋅

-=⋅==11

21

21212

12

21122

212

111

44x x y y x x y y x x y y x y x y

x y px y px y

①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2

12

12

14y y p

x x y y +=-- ⑥ ①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2 ③代入上式

有y 1y 2=－16p 2 ⑦

⑥代入④，得

y

x

y y p -

=+214 ⑧ ⑥代入⑤，得

p

y x y y x x y y y y p

442

1

11121-

-=--=+所以

2

1

1214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2 ⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.

故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，

① ②

③ ④ ⑤|