最全地圆锥曲线轨迹方程求法
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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圆锥曲线中动点的轨迹方程的求法
知识导航有关圆锥曲线的题型较多，有求圆锥曲线的离心率、轨迹方程、判定两图形的位置关系、求弦长等，其中，求动点的轨迹方程比较常见.本文总结了求圆锥曲线中动点的轨迹方程的三种方法，供大家参考.一、直接法直接法主要应用于解答题目中所给的有关动点的几何条件较为明显的问题.运用直接法求动点的轨迹方程的主要步骤是：（1）建立合适的直角坐标系，设出所求动点的坐标；（2）根据题意，列出相关关系式；（3）将相关的点代入，化简并整理关系式即可得到动点的轨迹方程.例1.已知点Q (2,0)在圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程并说明它是什么曲线.分析：通过分析可知，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ，所以可以考虑运用直接法求解.设出动点M 的坐标，根据题设建立关系式，化简便可得到动点的轨迹方程.解：设M (x ,y )，由直线MN 切圆于N ，MN|MQ |=λ，可得22=λ，整理得则(λ1)x 2+(λ2-1)y 2-4λ2x +(1+4λ2)=0，若λ=1，方程可化为x =54，它代表过点(54,0)，与x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程可化为æèçöø÷x -2λ2λ2-12+y 2=1+3λ2(λ2-1)2，它代表以æèçöø÷2λ2λ2-1,0为半径的圆.二、代入法若动点M 依赖已知曲线上的另一动点N 而运动，就可以运用代入法来求动点的轨迹方程.首先设出两动点的坐标，建立两动点的关系式，然后将转化后的动点N 的坐标代入已知曲线的方程或条件中，从而得到动点M 的轨迹方程.例2.已知点B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1上的动点，A (2a ,Q )为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析:动点M 是线段AB 的中点，M 随着动点B 而运动，本题需采用代入法来求解.解:设动点M 的坐标为(x ,y )，B 点坐标为(x 0,y 0)，由M 为线段AB 的中点，可得ìíîïïïïx 0+2a2=x ,y 0+02=y ,则点B 的坐标为(2x -2a ,2y )，则(2x -2a )2a 2+(2y )2b2=1，故动点M 的轨迹方程为4(x -a )2a 2+4y 2b2=1.三、参数法参数法是指通过引入一些新变量(参数)为媒介来解答问题的方法.运用参数法求圆锥曲线中动点的轨迹方程的基本思路是，设出合适的参数，根据题意列出参数方程，通过消参将方程化为普通方程即可解题.但在解题的过程中需注意参数的取值范围.例3.如图，过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1,l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB的中点M 的轨迹方程.解:设M (x ,y )，直线l 1的方程为y -4=k (x -2)，(k ≠0)，由l 1⊥l 2，得直线l 2的方程为y -4=-1k(x -2)，∴l 1与x 轴焦点A 的坐标为(2-4k,0)，l 2与y 轴焦点B 的坐标为(0,4+2k)，∵M 为AB 的中点，∴ìíîïïïïx =2-4k 2=1-2k ,y =4+2k 2=2+1k ,消去k ，得到x +2y -5=0，当k =0时，AB 的中点为M (1,2)，满足上述方程，当k 不存在时，AB 的中点为M (1,2)，也满足上述方程，综上所述，M 的轨迹方程为x +2y -5=0.这里通过引入参数k ，得到两条直线的方程，然后结合题意建立关于k 的关系式，通过消参得到动点的轨迹方程.相比较而言，直接法较为简单，是最常用也是适用范围最广的方法；代入法的适用范围较窄，只适用于两个动点相关的题型；运用参数法解题的运算量较大.无论采用什么方法求动点的轨迹方程，都要关注轨迹方程中变量的取值范围.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）蒋秋霞39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
圆锥曲线直译法和定义求轨迹方程
直译法和定义法求轨迹方程圆锥曲线大题的第一问，往往是求轨迹方程。
求轨迹方程的方法很多，今天介绍两种，直译法和定义法。
这两种方法都要求对点的几何性质非常熟悉，根据几何性质，找出关系，列出式子从而得解。
一、直译法所谓直译法，其实就是指直接从题目给出的几何性质，列出等式，从而化简得到轨迹方程。
题目给的几何性质，往往跟斜率，距离公式，切线等有关。
步骤一般是：（1）设出动点坐标（x,y ）（2）根据几何性质列出方程(),0f x y =（3）化简整理得到结果例1 （2019全国2卷）已知点()2,0A -，(2,0)B ，动点M 满足直线AM 与直线BM 的斜率之积为12-。
记M 的轨迹为曲线C ，求C 的轨迹方程 解：根据斜率之积可以非常容易写出关系式，所以利用直译法即可。
设(),M x y 则,,22AM BM y y k k x x ==+- 由12AM BM k k =-得到1222y y x x =-+- 化简为2224x y +=即为所求例2 已知点()0,1A -，点B 在y=-3上，动点M 满足MB OA ‖且•·MA AB MB BA =，求M 轨迹方程 解析：有非常明确的向量关系，式子也是比较容易列出来。
因此用直译法，然后化简即可。
设(),M x y ，由MBOA ‖，OA 是个竖直的线段以及B 在y=-3上，非常容易知道B 点作为(,3)x -。
那么容易求出：()()(),1,0,3,,2MA x y MB y AB x =---=--=-由•·MA AB MB BA =得到()()22123x y y ----=--化简为248x y -=即为所求例3 已知圆O ：2220x y +-=，圆O '：228100x y x +-+=。
由点P 向两圆引切线长相等，求P 轨迹方程解析：这个就需要画一画图找到关系式。
如下图设圆O 的半径为1r ，圆O '的半径为2r 。
圆锥曲线轨迹方程题型
圆锥曲线轨迹方程题型一、引言圆锥曲线是高中数学中的一个重要部分，涉及到的内容包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
其中，求解圆锥曲线轨迹方程是一个常见的题型。
本文将从以下几个方面详细介绍圆锥曲线轨迹方程题型。
二、基本概念1. 圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面截过一个双曲面或抛物面得到的图形。
根据截面与轴的位置不同，可以分为四种类型：圆、椭圆、双曲线和抛物线。
2. 坐标系在解决圆锥曲线问题时，通常会使用笛卡尔坐标系或极坐标系。
笛卡尔坐标系是平面直角坐标系，在二维平面上用两个垂直于彼此的轴来确定点的位置。
极坐标系则是以原点为中心，以极径和极角来表示点在平面上的位置。
3. 曲线方程在笛卡尔坐标系下，通常使用一般式或标准式来表示圆锥曲线的方程。
一般式为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，标准式则是将一般式进行化简后得到的形式。
在极坐标系下，通常使用参数方程或极坐标方程来表示圆锥曲线的方程。
三、圆锥曲线轨迹方程题型1. 求解椭圆轨迹方程椭圆是指平面上到两个定点F1和F2距离之和为常数2a的所有点P的集合。
求解椭圆轨迹方程的方法是先确定坐标系，然后根据定义列出方程，并进行化简。
例如，已知椭圆的焦点为F1(-3,0)和F2(3,0)，离心率为1/2，求解该椭圆的轨迹方程。
解法如下：（1）确定坐标系：以焦点连线所在直线为x轴正半轴，以中心点O(0,0)为原点建立坐标系。
（2）列出方程：由于离心率为e=1/2，则有a=3/2。
根据椭圆定义可得：PF1+PF2=2a即√[(x+3)²+y²]+√[(x-3)²+y²]=3将上式平方并移项可得：(x+3)²+y²+(x-3)²+y²+2√[(x+3)²+y²]√[(x-3)²+y²]=9化简得到：x²/9+y²/4=1这就是所求的椭圆轨迹方程。
圆锥曲线中轨迹方程问题的求法
第3讲 圆锥曲线中轨迹方程问题的求法一、考情分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。
求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 。
二、经验分享求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法 直接法是将圆锥曲线中动点满足的几何关系或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求；(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程；(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念三、题型分析(一) 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常 数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【变式训练】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
圆锥曲线定义
答案： D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把 无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个 元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻， 那么不同的排法种数是（ ） A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种
（2）若双曲线方程为
若渐近线方程为 y
x2 y2 x2 y2 若双曲线与 2 2 1 有公共渐近线，可设为 2 2 a b a b
（ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上） （3）特别地当 a b时 离心率 e
2 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ，此
m
(K) k k k
Tr+1= Cn a
r n－r
b
r
An =n(n－1)(n－2)(n－3)„(n－m+1)=
n! (n m)!
An =n!
n
Cn =
m
m
n(n 1)(n 2)(n m 1) n! m! (n m)!m!
n－m
Cn = Cn
Cn ＋Cn
2 2 2 2
m
A 的右边（ A, B 可以不相邻）那么不同的排法有（
）
A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种 解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以 题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半， 即
1 5 A5 60 2
种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把 某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继 续下去，依次即可完成. 例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四 个方格里， 每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字 均不相同的填法有（ ） A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二 步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格， 又有三种 方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3 ×3×1=9 种填法，选 B . 5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若 干组，可用逐步下量分组法. 例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各 需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同 的选法种数是（ A、1260 种 ） B、2025 种 C、2520 种 D、5040
圆锥曲线(轨迹)方程的求法
圆锥曲线（轨迹）方程的求法作者：刘坚吴自强来源：《高中生学习·高二版》2017年第02期直接法例1 已知三点[O（0，0），A（-2，1），B（2，1），]曲线[C]上任意一点[M（x，y）]满足[|MA+MB|=OM∙（OA+OB）+2]. 求曲线[C]的方程.解析由题意得，[MA=（-2-x，1-y），][MB=（2-x，1-y）].所以[|MA+MB|=（-2x）2+（2-2y）2，][OM∙（OA+OB）=（x，y）∙（0，2）=2y].由题意得，[（-2x）2+（2-2y）2=2y+2].化简得，曲线[C]的方程为[x2=4y].解读本题以平面向量为载体，通过向量的代数运算，求出动点所满足的方程（或等式），化简之后即可得到轨迹方程，此法称为直接法. 注意：化简时，一定要具有等价性.定义法例2 已知圆[M]：[（x+1）2+y2=1]，圆[N]：[（x-1）2+y2=9]，动圆[P]与[M]外切并且与圆[N]内切，圆心[P]的轨迹为曲线[C]. 求曲线[C]的方程.解析由题意得，圆[M]的圆心为[M]（-1，0），半径[r1=1]；圆[N]的圆心为[N]（1，0），半径[r2]=3. 设动圆[P]的圆心为[P（x，y）]，半径为[R].∵圆[P]与圆[M]外切，且与圆[N]内切，∴[PM+PN=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4].由椭圆的定义可知，曲线[C]是以[M，N]为左右焦点，实半轴长为2，短半轴长为[3]的椭圆（左顶点除外），其方程为[x24+y23=1（x≠-2）].解读通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫作定义法. 运用定义法，求其轨迹，做到以下两点：一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等；二要熟练掌握平面几何中的一些性质定理. 此种方法在高考中经常出现，如2016年全国卷I的第20题，就是这种类型.相关点法例 3 设点[A]是单位圆：[x2+y2=1]上的任意一点，[l]是过点[A]与[x]轴垂直的直线，点[D]是直线[l]与[x]轴的交点，点[M]在直线[l]上，且满足[DM=mDA][（m>0，][且m≠1）.] 当点[A]在圆上运动时，记点[M]的轨迹为曲线[C].求曲线[C]的方程，判断曲线[C]为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.解析如图，设[M（x，y）]，[A（x0，y0）]，由[DM=mDA（m>0，且m≠1）]得，[x=x0，y=my0].所以[x=x0，y0=1my].①因為点[A]在单位圆上运动，所以[x02+y02=1].②将①式代入②式得，所求曲线[C]的方程为[x2+y2m2=1（m>0，且m≠1）.]因为[m∈（0，1）⋃（1，+∞）]，所以当[01]时，曲线[C]是焦点在[y]轴上的椭圆，两焦点坐标分别为[（0，-m2-1），（0，m2-1）.]解读用相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动点，另一个是被动点. 例如本题中的点[A]是主动点，点[M]是被动点. 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可用相关点法求其轨迹方程：（1）某个动点[A]在已知方程的曲线上移动；（2）另一个动点[M]随点[A]的变化而变化；（3）在变化过程中点[A]和点[M]满足一定的规律.参数法例4 过抛物线[y2=2px（p>0）]的顶点[O]作两条互相垂直的弦[OA]，[OB]，再以[OA]，[OB]为邻边作矩形[AOBM]，如图，求点[M]的轨迹方程.解析设[M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）]，[OA]的斜率为[k]（显然[k≠0]），则[OB]的斜率为[-1k].[OA]所在直线方程为[y=kx].代入[y2=2px]得，[x1=2pk2，y1=2pk]，即[A（2pk2，2pk）].[OB]所在直线方程为[y=-1kx]，代入[y2=2px]得，[x2=2pk2，y2=-2pk，]即[B（2pk2，-2pk）].[∴OB=（2pk2，-2pk），OA=（2pk2，2pk）].[OM=OA+OB=（2pk2+2pk2，2pk-2pk）].所以[x=2p（1k-k）2+4p，y=2p（1k-k）.]消去[（1k-k）]得，[y2=2p（x-4p）（p>0），]即为点[M]的轨迹方程.解读在利用参数法求解时，要选择合适的参数，并注意参数的取值范围. 同时，求轨迹方程的关键是消参.例5 如图，椭圆方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[O]为坐标原点，[A]，[B]两点均在椭圆上，且[OA⊥OB，OH⊥AB]于点[H]，求点[H]的轨迹方程.解析设[OA=r1，OB=r2]，[∠AOx=θ，]设[H（x，y），][则A（r1cosθ，r1sinθ），][B（r2cos（π2+θ），r2sin（π2+θ））].[∵A，B]均在椭圆上，[∴r21cos2θa2+r21sin2θb2=1，r22sin2θa2+r22cos2θb2=1.][∴1r21=cos2θa2+sin2θb2，1r22=sin2θa2+cos2θb2.]相加得，[1r21+1r22=1a2+1b2.]又在[Rt△AOB]中，利用面积相等得，[12r1r2=12OH⋅AB].[∴OH2=r21r22r21+r22=a2b2a2+b2].[∴][x2+y2=a2b2a2+b2].[∴]点[H]的轨迹方程为[x2+y2=a2b2a2+b2].解讀此题利用三角函数的定义，巧妙设置参数，大大简化了运算量，这种技巧要多积累.交轨法例6 如图，椭圆[C0：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[a，b]为常数，动圆[C1：x2+y2=t12]，[b解析设[A（x1，y1），]由对称性可知，[B（x1，-y1）.]又[A1（-a，0），A2（a，0），]则直线[A1A]的方程为[y=y1x1+a（x+a）]，①直线[A2B]的方程为[y=-y1x1-a（x-a）].②由①②得，[y2=-y21x21-a2（x2-a2）].③又点[A（x1，y1）]在椭圆[C0]上，故[x21a2+y21b2=1].从而[y21=b2a2（a2-x12）].代入③得，[x2a2-y2b2=1][（x解读交轨法求轨迹方程，一般用于求两动曲线交点的轨迹方程，其过程是选出一个适当的参数，求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程.待定系数法例7 设椭圆[E]的方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，点[O]为坐标原点，点[A]的坐标为[（a，0）]，点[B]的坐标为[（0，b）]，点[M]在线段[AB]上，满足[BM=2MA]，直线[OM]的斜率为[510].（1）求椭圆[E]的离心率[e]；（2）设点[C]的坐标为[（0，-b）]，点[N]为线段[AC]的中点，点[N]关于直线[AB]的对称点的纵坐标为[72]，求椭圆[E]的方程.解析本题主要考查椭圆、平面几何的性质，第（1）小题用待定系数法求椭圆的方程，第（2）小题可将已知条件转化为方程组求解.（1）如图，由题意得，点[M]的坐标为[（2a3，b3）]，又[kOM=510]，即[b2a=510]，即[a=5b]，所以[c=a2-b2=2b]，故[e=ca=255.]（2）由题意和（1）的计算结果可得，直线[AB]的方程为[x5b+yb=1]，点[N]的坐标为[（52b，-b2）].设点[N]关于直线[AB]的对称点[S]的坐标为[（x1，72）]，则线段[NS]的中点[T]的坐标为[（54b+x12，-b4+74）].又点[T]在直线[AB]上，且[kNS∙kAB=-1]，从而有[54b+x125b+-b4+74b=1，72+b2x1-5b2=5.]解得，[b=3]，所以[a=35].故椭圆[E]的方程为[x245+y29=1].解读本题以椭圆的性质和平面几何的知识为依托，将方程中的系数与直线的斜率和对称问题联系在一起，充分考查了平面几何的知识和数形转化的思想.。
圆锥曲线大题全攻略含答案详解
圆锥曲线大题全攻略含答案详解本文介绍了圆锥曲线中常见的问题和解题技巧，包括求轨迹方程问题、定点问题、定值问题、最值问题、点差法解决中点弦问题、常见几何关系的代数化方法、非对称“韦达定理”问题处理技巧、三点共线问题、巧用曲线系方程解决四点共圆问题、抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用、双切线题型等。
求轨迹方程问题是圆锥曲线中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。
直译法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，由已知条件建立关于x,y的方程，化简整理；相关点法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，相关点为Q(xO,yO)，根据点的产生过程，找到(x,y)与(xO,yO)的关系，并将xO,yO用x和y表示，将(xO,yO)代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程；定义法的步骤是分析几何关系，由曲线的定义直接得出轨迹方程；参数法的步骤是引入参数，将求轨迹的点(x,y)用参数表示，消去参数，研究范围。
本文还给出了四个例题，分别是求点P的轨迹方程、求动点M的轨迹方程、求动点Q的轨迹方程、求AB中点M的轨迹方程。
最后，给出两道专题练题，帮助读者巩固所学知识。
3.抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，点P满足AP=-2FA，求动点P的轨迹方程。
改写：已知抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，设点P的坐标为(x,y)，则有AP=-2FA，求P的轨迹方程。
4.已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，动圆P过定点F且与定圆M内切，求动圆圆心P的轨迹方程。
改写：已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，设动圆P的圆心坐标为(x,y)，则P过定点F且与定圆M内切，求P的轨迹方程。
5.已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，动圆H与直线l相切，与定圆A外切，求动圆圆心H的轨迹方程。
改写：已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，设动圆H的圆心坐标为(x,y)，则H与直线l相切，与定圆A外切，求H的轨迹方程。
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圆锥曲线轨迹方程的解法目录一题多解 (3)一．直接法 (5)二. 相关点法 (10)三. 几何法 (16)四. 参数法 (19)五. 交轨法 (22)六. 定义法 (25)一题多解 设圆C ：（x －1）2+y 2=1，过原点O 作圆的任意弦OQ ，求所对弦的中点P 的轨迹方程。
一．直接法设P （x,y ），OQ 是圆C 的一条弦，P 是OQ 的中点，则CP ⊥OQ ，x ≠0,设OC 中点为M （0,21），则|MP |=21|OC |=21，得（x －21）2+y 2=41(x ≠0)，即点P 的轨迹方程是（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1)。
二．定义法∵∠OPC =90°，∴动点P 在以M （0,21）为圆心，OC 为直径的圆（除去原点O ）上，|OC |=1，故P 点的轨迹方程为（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1) 三．相关点法设P （x,y ）,Q (x 1,y 1)，其中x 1≠0,∴x 1=2x,y 1=2y ,而（x 1－1）2+y 2=1∴(2x －1)2+2y 2=1,又x 1≠0,∴x ≠0,即（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1）四．参数法①设动弦PQ 的方程为y=kx ,代入圆的方程（x －1）2+kx 2=1，即（1+k 2）x 2－2x =0,∴.12221k x x +=+ 设点P （x,y ），则22211],1,0(112k k kx y k x x x +==∈+=+=消去k 得（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1） ②另解 设Q 点（1+cos θ,sin θ），其中cos θ≠－1,P (x,y )， 则,2sin ],1,0(2cos 1θθ=∈+=y x 消去θ得（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1）一．直接法课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(y x 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x 、y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。
例题1等腰三角形的定点为)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程。
练习一1.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅→→。
求点P 的轨迹方程。
2.线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB 中点P的轨迹方程？PA）。
3.动点P（x,y）到两定点)0,3(-A和)0,3(B的距离的比等于2（即：2=PB求动点P的轨迹方程？4.动点P到一高为h的等边△ABC两顶点A、B的距离的平方和等于它到顶点C的距离平方，求点P的轨迹？﹡5.点P与一定点)0,2(F的距离和它到一定直线8 x的距离的比是2:1。
求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
★7.已知)0,4(P是圆362=2x内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠+yAPB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。
8.过原点作直线l和抛物线642+y交于A、B两点，求线段AB的中x-=x点M的轨迹方程。
二. 相关点法利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例题2已知一条长为6的线段两端点A、B分别在X、Y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM : MB=1 : 2，求动点M的轨迹方程。
练习二1.已知点)(00，y x P 在圆122=+y x 上运动，求点M ),2(0y x 的轨迹方程。
2.设P 为双曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中 点。
求点M 的轨迹方程。
3.设)0,1(F ，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且→→=MP MN 2，→PM ⊥→PF ， 当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程。
y Q O xN P4.已知△ABC 的顶点)8,3(-B ，)6,1(--C ，顶点A 在曲线x y 42=上运动， 求△ABC 重心G 的轨迹方程。
5.已知A 、B 、D 三点不在同一条直线上，且)0,2(-A 、)0,2(B ，2=→AD ，)(21→→→+=AD AB AE ，求E 点的轨迹方程。
6.△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长成等比数列，且AC AB >，点B 、C 坐标分别为)0,1(-、)0,1(，求定点A 的轨迹方程。
7.已知点)0,2(-A ，P 是圆O ：422=+y x 上任意一点，P 在x 轴上的射影 为Q ，→→=QG QP 2，动点G 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程。
8.已知椭圆19422=+y x 上任意一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在PQ 上，且→→=MQ PM 2，点M 的轨迹为C ，求曲线C 的方程。
9.如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
10.已知双曲线222=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点。
（I ）若动点M 满足→→→→++=O F B F A F M F 1111（其中O 为坐标原点），求点M 的 轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使→→⋅CB CA 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由。
三. 几何法求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方程的方法称为几何法。
例题3已知定点)0,2(A，点P在曲线)11(22≠yx上运动，∠AOP的平分线+x=交于Q点，其中O为原点，求点Q的轨迹方程。
练习三1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BC1内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，求动点P的轨迹所在的曲线。
2.已知点C的坐标是)2,2(，过点C的直线CA与X轴交于点A，过点C 且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B。
设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。
3.已知经过点)0,4(P 的直线1l ，经过)2,1(-Q 的直线为2l ，若1l ⊥2l ，求1l 与2l 交点S 的轨迹方程。
4.求圆心在抛物线x y 22=（0>y ）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切 的圆的方程。
5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1+=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，求此双曲线方程。
6.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。
四. 参数法有时候很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。
如果借助中间量（参数），使)(yx之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点,的轨迹方程。
例题4过不在坐标轴上的定点),M的动直线交两坐标轴于点A、B，过A、B坐a(b标轴的垂线交于点P，求交点P的轨迹方程。
练习四1.过点P （2，4）作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A 点，2l 交 y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
2.一个动圆的解析式为0422642=2bybxyx，求圆心的轨迹方程。
+-+-+b3.过圆O：422=x外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的+y弦BC的中点M的轨迹。
4.点)1,1(A，B、C是圆42=2x上的动点，且AB⊥AC，求BC中点P的+y轨迹方程。
五. 交轨法求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标X、Y分别表示两条曲线方程，然后联立消去参数便得到交点的轨迹方程，这种方法称为交轨法。
例5已知直线l过定点)3,0(，且是曲线xy42=的动弦P1P2的中垂线，求直线l与动弦P1P2交点M的轨迹方程。
练习五1.求两条直线01=-+ymx的交点的轨迹方程。
x与0-my1=-2.当参数m随意变化时，求抛物线()=+++-y x m x m22211的顶点的轨迹方程。
3.设A 1、A 2是椭圆14922=+y x 的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的 弦的端点。
求直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程。
4.已知双曲线2222ny m x -=1 (m ＞0，n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双 曲线于点P 、Q 。
求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程。
5.已知椭圆1162422=+y x ，直线l ：1812=+y x ，P 是L 上一点，射线OP 交椭圆于R ， 有点Q 在OP 上，且满足2OR OP OQ =，当P 在L 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
六. 定义法求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足某种已知曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法。
常见已知曲线：（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）抛物线：到定点与定直线距离相等。
例题61.设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E 。
证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程。
2.已知△ABC 的顶点A ，B 的坐标分别为)0,4(-，)0,4(，C 为动点，且满足C A B sin 45sin sin =+。
求点C 的轨迹。
练习六1.已知圆M ：1)1(22=++y x ，圆N ：9)1(22=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。
求C 的方程。
2.动点P 到直线6=x 的距离与它到点（2，1）的距离之比为5，则点P 的轨迹是什么？3.点M 到点F （4，0）的距离比它到直线05=+x 的距离小1。
求点M 的轨迹方程。
4.已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次 构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程。
5.一动圆过点)0,3(-F 且与已知圆4)3(22=+-y x 相切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
6.设向量i ，j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量j y i x a →→→++=)3(，→→→+-=j y i x b )3(，且2=-→→b a ，求满足上述条件的点),(y x P 的轨迹方程。