第五章-传热学数值计算资料

制方程为：
x j
u j
( ) S
xj xj
d u d ( d )
dx
dx dx
连续方程： d u 0 u const
dx
任务：导出相应方程的离散化形式
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Thermal
§5.2-1 预备性的推导 （中心差分格式）
1、离散化方程的导出 选三点网格群见右图。控制
x
F u 对流或流动强度，可正、可负，由流动方向定
整理后的离散化方程
apP aEE aWW
其中：
aE
De
Fe 2
aW
Dw
Fw 2
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aP
Dw
Fw 2
De
Fe 2
aW
aE
Fe
Fw
2、对方程的几点说明
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➢ 由于连续性，Fe=Fw， aP aW aE（只是在流
( u j
x j
)
u j
x j
u j
x j
原通用方程可改写为
u j
x j
x j
( ) S
x j
对于已知的ρ、uj、Γ及S（常量）的分布，任何解及 +c 将同时满足方程，故系数和的法则仍然适用。
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§5.2 一维稳态对流与扩散
讨论只有对流项和扩散项存在时的一维稳态问题，控
➢ 以后介绍的格式，除特殊说明，扩散项均采用中心 差分格式离散。因此离散格式的不同是指对流项离 散方法的不同。
➢ 上风方案充分考虑了流动方向对导数差分计算式及 界面上函数取值方法的影响。
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1、上（迎）风格式两种离散方式的定义
①. 泰勒级数展开法定义（第
ui 0
(x)w
(x)e
容积界面e、w的实际位置 不会影响最终的公式。在此
W w PP
x
eE x
设定其位于节点中间，这样还是比较方便的。
在控制容积内对微分方程积分
u
e
u w
d
dx
e
d
dx
w
d dx
u
d dx
d
dx
对流项及扩散项中的均采用分段线性的函数表示
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① 获得流场的方法：可以得知于实验；也可以由一个解
析解给定；或通过流动的数值计算获得；或干脆由猜
测估计得知。
② “扩散”的广义解释：不仅限于表示由浓度梯度引起
的一种化学组分的扩散，由的梯度引起的扩散流是
，即方程中的 二阶导数项为扩散项。
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② 控制容积积分法定义（第
二类迎风格式）
i-1 w
控制容积界面上值的规定： W
界面上的值等于界面上风侧
了，也不适用于采用其它的迭代解法了。
aE
De
Fe 2
aW
Dw
Fw 2
TP anbTnb aP
aP
Dw
Fw 2
De
Fe 2
aW
aE
Fe
Fw
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§5.2-2 上风方案
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➢ 为解决中心差分在 F 2D 之后产生解失去物理上 真实性的问题，提出了上风方案。
即，F 2D时，有可能使aE或aW为负 产生不切实际的结果
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这就是中心差分格式求解对流换热问题时仅限于低
Re(低的F/D)的原因aP .
Dw
Fw 2
De
Fe 2
aW
aE
Fe
Fw
➢ 扩散项为零（Γ=0），中心差分格式导致 aP 0
于是方程 aPTP anbTnb 不适用于逐点迭代法求解
x
x x
3、通用方程的改写形式
x j
u j
( ) S
xj xj
x j
u j
(u j )
x j
u j
x j
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两式相加得
x j
u j
(u j )
x j
u j
x j
x j
u j
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第五章 对流与扩散
主要内容： • §5.1 任务 • §5.2 一维稳态对流与扩散 • §5.3 二维问题的离散化方程 • §5.4 三维问题的离散化方程 • §5.5 单向空间坐标 • §5.6 假扩散
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§5.1 任 务
1、上章内容总结
Thermal
Thermal
e
1 2
E
P
w
1 2
W
P
(e、w位于节点中间)
对于不同的界面位置，则需要采用其它的内插因子。
式
u e
u w
d
dx
e
d
dx
w
可写成
1 2
u e E
P
1 2
u w W
P
e E P xe
w P W xw
Γe、Γw可以用算术平均法或调和平均法求得。
定义： D 扩散传导性.
Thermal
一类迎风格式）
i-1
i
i+1
以流动方向而言，P 点的
W
P
E
一阶导数是该方向的向后差
分，即永远是从上游获得构
(a)
ui 0
造一阶导数的信息，公式表
示：
d
dx
i
i i1
x w
ui 0
i-1 w W
(b)
ui 0
i
e i+1
P
E
ui 0
d i1 i
dx i
x e
ui 0
一阶上（迎）风的构造方式
场满足连续性条件时才具有这一性质）；
➢ 方程 aPP aEE aWW 隐含着分段线性分布的含 义，也是熟知的中心差分格式（用左右节点值表示 界面上的值以及界面上的导数值）；
➢ 方程必须遵守四项基本法则，否则会产生灾难性的 结果。
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Thermal
例如：设 De Dw 1， Fe Fw 4 若E、W给定，即可由离散方程求得P 。
在通用微分方程中忽略了对流项，给出了非稳态项、 扩散项及源项的离散化方法，阐述了求解代数方程 组的方法。只要对流项的加入不改变离散化方程的 形式，方程组的求解方法仍然适用。
2、本章任务
在已知流场（V分量及ρ）的情况下，求解分布。对 流项与扩散项之间有不可分割的关系，因此需要把
这两项处理成一个单位，其它项可以作为陪衬.
若E 200, W 100 P 50
两个值均不
若E 100, W 200 P 250 符合实际
aE De Fe 2 1 2 1 违 背 了 正 系 数 规 则
aW Dw Fw 2 1 2 3
aP aE aW 1 3 2, 而 anb 1 3 4
这样，aP anb , 违反了斯卡巴勒准则（主对角占优）