2017年高考数学一轮总复习 专题三 数列与不等式课件 文.
－ － 所以 3Tn＝1＋1×30＋2×3 1＋…＋n－132 n.
两式相减，得
2 0 －1 －2 2－n 2Tn＝3＋3 ＋3 ＋3 ＋…＋3 －n－1· 31－n
1－n 2 1－3 1－n n－1· ＝3＋ － 3 1－3－1
(1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3＝6，a1＝3， 当n>1时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减，得2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即an＝3n－1.
项公式，常用
S1，n＝1， 将所给条件化为关于前 an＝ Sn－Sn－1，n≥2
n项
和的递推关系或是关于第 n 项的递推关系，若满足等比数列或 等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通 项公式，否则适当变形构造等比或等差数列求通项公式.
【互动探究】
1.(2015年山东)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.
【互动探究】
3.已知等比数列{an}满足 2a1＋a3＝3a2，且 a3＋2 是 a2，a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若 bn＝an＋log2a ，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使 Sn－2n＋1 n ＋47<0 成立的 n 的最小值.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有
(2)证明：因为 P1(0,1)，Pn(n－1,3n－2)， 所以 Pn＋1(n,3n＋1). 所以|P1Pn＋1|2＝n2＋(3n)2＝10n2. 1 1 1 1 1 1 1 2＋ 2＋…＋ 2. 所以|P P |2＋|P P |2＋…＋ 2＝ n |P1Pn＋1| 101 2 1 2 1 3 1 1 4 4 因为n2＜ ＝ 2 ＝ ＝ 1 4 n － 1 2 n － 1 2 n ＋ 1 n2－4
1 ∴2n＜c1＋c2＋…＋cn＜2n＋2成立.
题型 3 数列与不等式的综合问题 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判 断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等
式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在
解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，
如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不
等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.
例 3：(2014 年新课标卷Ⅱ)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1 ＝3an＋1. 1 (1)证明an＋2是等比数列，并求{an}的通项公式； 1 1 1 3 (2)证明：a ＋a ＋…＋a ＜2. 1 2 n
1 2 (2)由(1)知，a ＝ n . 3 －1 n 因为当 n≥1 时，3n－1≥2×3n 1，
－
1 1 所以 n ≤ . 3 －1 2×3n－1 1 1 1 1 1 于是a ＋a ＋…＋a ≤1＋3＋…＋ n－1 3 1 2 n 1 3 3 ＝21－3n<2. 1 1 1 3 所以 a ＋a ＋…＋a <2. 1 2 n
2 解：(1)当 n＝1 时，a1 ＋2a1＝4S1＋3＝4a1＋3，因为 an＞0，
所以 a1＝3.
2 当 n≥2 时， a2 ＋ 2 a － a n n n－1－2an－1＝4Sn＋3－4Sn－1－3＝4an，
即(an＋an－1)(an－an－1)＝2(an＋an－1). 因为 an＞0，所以 an－an－1＝2， 所以数列{an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列. 所以 an＝2n＋1. 1 1 1 1 (2)由(1)知，bn＝ ＝22n＋1－2n＋3 . 2n＋12n＋3
1 1 1 又当 n＝1 时，|P P |2＝10＜6. 1 2 1 1 1 1 所以|P P |2＋|P P |2＋…＋ 2＜ . 6 | P P | 1 2 1 3 1 n＋1
【互动探究】
1 2 3 2.已知函数 f(x)＝2x ＋2x， 数列{an}的前 n 项和为 Sn， 点(n， Sn)(n∈N*)均在函数 y＝f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式 an； an an＋1 1 (2)令 cn＝ ＝ a ，证明：2n＜c1＋c2＋…＋cn＜2n＋2. an＋1 n
2a1＋a3＝3a2， a2＋a4＝2a3＋2，
2 a12＋q ＝3a1q，① 即 3 2 a1q＋q ＝2a1q ＋4.②
由①，得q2－3q＋2＝0.解得q＝1或q＝2.
当q＝1时，不合题意，舍去； 当q＝2时，代入②，得a1＝2. 所以an＝2· 2n－1＝2n. 故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*).
点.数列和不等式的综合程度也在进一步加强，面也在进一步扩
大，有数列本身内容的综合，也有相关知识的综合，还有思想
方法的综合.
例 2 ： (2015 年广东广州一模 ) 已知点 Pn(an ， bn)(n∈N*) 在 直线l：y＝3x＋1上， P1是直线l与y轴的交点，数列{an}是公 差为1的等差数列. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
所以数列{bn}前n项和为b1＋b2＋…＋bn＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1 －5 ＋ 5－7 ＋…＋2n＋1－2n＋3＝ － . 3 2 6 4n＋6
【规律方法】已知数列前 n 项和与第 n 项关系，求数列通
1 1 解：(1)由 an＋1＝3an＋1，得 an＋1＋2＝3an＋2. 1 1 3 3 又 a1＋2＝2， 所以 an＋2 是首项为2， 公比为 3 的等比数列. 3n－1 1 3n 即 an＋2＝ 2 ，因此 an 的通项公式为 an＝ 2 .
1 1 n (2)bn＝an＋log2a ＝2 ＋log22n＝2n－n. n 所以 Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) 21－2n n1＋n n＋1 1 1 2 ＝ － 2 ＝2 －2－2n－2n . 1－2 因为 Sn－2n＋1＋47<0， 1 1 2 n＋1 所以 2 －2－2n－2n －2n＋1＋47<0， 即 n2＋n－90>0.解得 n>9 或 n<－10. 因为 n∈N*，故使 Sn－2n＋1＋47<0 成立的正整数 n 的最小 值为 10.
13 6n＋3 ＝6－ n. 2×3 13 6n＋3 所以 Tn＝12－ .经检验，n＝1 时也适合. 4×3n 13 6n＋3 综上所述，Tn＝12－ . 4×3n
题型 2 数列与函数的综合问题 数列是一种离散的函数，与方程密不可分，因此，利用函
数的 2 3 解：(1)∵点(n，Sn)在 f(x)的图象上，∴Sn＝2n ＋2n， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋1； 当 n＝1 时，a1＝S1＝2，适合上式， ∴an＝n＋1(n∈N*). an an＋1 n＋1 n＋2 (2)证明：由 cn＝ ＋ ＝ ＋ ＞ an＋1 an n＋2 n＋1 2 n＋1 n＋2 · ＝2， n＋2 n＋1
1 1 1 1 (2)求证：|P P |2＋|P P |2＋…＋ ＜ . |P1Pn＋1|2 6 1 2 1 3
(1)解：因为P1(a1，b1)是直线l：y＝3x＋1与y轴的交点(0,1)， 所以a1＝0，b1＝1. 因为数列{an}是公差为1的等差数列，所以an＝n－1. 因为点Pn(an，bn)在直线l：y＝3x＋1上， 所以bn＝3an＋1＝3n－2. 所以数列{an}，{bn}的通项公式分别为 an＝n－1，bn＝3n－2(n∈N*).
专题三 数列与不等式
题型 1 等差、等比数列的综合问题 等差数列与等比数列的综合应用时常出现在全国各地高考 试卷中，主要考查等差数列、等比数列的基本概念、基本公式、 基本性质及基本运算，对于Sn与an的关系式，备考复习时应该 予以重视.
例 1：(2015 年新课标Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an ＞0，a2 n＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； 1 (2)设 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和. anan＋1
所以
3，n＝1， an＝ n－1 ，n≥2. 3
1 (2)因为 anbn＝log3an，所以 b1＝3.
n－1 log 3 log3an 1 3 n － 1 当 n>1 时，bn＝ a ＝ n－1 ＝ × n－1. 3 3 n
1 所以 T1＝b1＝3. 当 n>1 时， Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn 1 － － － ＝3＋[1×3 1＋2×3 2＋…＋(n－1)31 n]，
1 1 22n－1－2n＋1 ，
1 1 1 所以，当 n≥2 时，|P P |2＋|P P |2＋…＋ 2＜ |P1Pn＋1| 1 2 1 3
1 1 1 1 2 1 1 5 1 － ＋ … ＋ － － 1＋23 5 ＝103 2n＋1＜6. 2 n － 1 2 n ＋ 1 10
∴c1＋c2＋…＋cn＞2n.
n＋1 n＋2 1 1 又 cn＝ ＋ ＝2＋ － ， n＋2 n＋1 n＋1 n＋2
1 1 1 1 ∴c1＋c2＋…＋cn＝2n＋2－3＋3－4＋…＋ 1 1 1 1 1 － n＋1 n＋2＝2n＋2－n＋2＜2n＋2.
两式相减，得
2 0 －1 －2 2－n 2Tn＝3＋3 ＋3 ＋3 ＋…＋3 －n－1· 31－n
1－n 2 1－3 1－n n－1· ＝3＋ － 3 1－3－1
(1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3＝6，a1＝3， 当n>1时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减，得2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即an＝3n－1.
项公式，常用
S1，n＝1， 将所给条件化为关于前 an＝ Sn－Sn－1，n≥2
n项
和的递推关系或是关于第 n 项的递推关系，若满足等比数列或 等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通 项公式，否则适当变形构造等比或等差数列求通项公式.
【互动探究】
1.(2015年山东)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.
【互动探究】
3.已知等比数列{an}满足 2a1＋a3＝3a2，且 a3＋2 是 a2，a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若 bn＝an＋log2a ，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使 Sn－2n＋1 n ＋47<0 成立的 n 的最小值.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有
(2)证明：因为 P1(0,1)，Pn(n－1,3n－2)， 所以 Pn＋1(n,3n＋1). 所以|P1Pn＋1|2＝n2＋(3n)2＝10n2. 1 1 1 1 1 1 1 2＋ 2＋…＋ 2. 所以|P P |2＋|P P |2＋…＋ 2＝ n |P1Pn＋1| 101 2 1 2 1 3 1 1 4 4 因为n2＜ ＝ 2 ＝ ＝ 1 4 n － 1 2 n － 1 2 n ＋ 1 n2－4
1 ∴2n＜c1＋c2＋…＋cn＜2n＋2成立.
题型 3 数列与不等式的综合问题 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判 断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等
式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在
解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，
如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不
等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.
例 3：(2014 年新课标卷Ⅱ)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1 ＝3an＋1. 1 (1)证明an＋2是等比数列，并求{an}的通项公式； 1 1 1 3 (2)证明：a ＋a ＋…＋a ＜2. 1 2 n
1 2 (2)由(1)知，a ＝ n . 3 －1 n 因为当 n≥1 时，3n－1≥2×3n 1，
－
1 1 所以 n ≤ . 3 －1 2×3n－1 1 1 1 1 1 于是a ＋a ＋…＋a ≤1＋3＋…＋ n－1 3 1 2 n 1 3 3 ＝21－3n<2. 1 1 1 3 所以 a ＋a ＋…＋a <2. 1 2 n
2 解：(1)当 n＝1 时，a1 ＋2a1＝4S1＋3＝4a1＋3，因为 an＞0，
所以 a1＝3.
2 当 n≥2 时， a2 ＋ 2 a － a n n n－1－2an－1＝4Sn＋3－4Sn－1－3＝4an，
即(an＋an－1)(an－an－1)＝2(an＋an－1). 因为 an＞0，所以 an－an－1＝2， 所以数列{an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列. 所以 an＝2n＋1. 1 1 1 1 (2)由(1)知，bn＝ ＝22n＋1－2n＋3 . 2n＋12n＋3
1 1 1 又当 n＝1 时，|P P |2＝10＜6. 1 2 1 1 1 1 所以|P P |2＋|P P |2＋…＋ 2＜ . 6 | P P | 1 2 1 3 1 n＋1
【互动探究】
1 2 3 2.已知函数 f(x)＝2x ＋2x， 数列{an}的前 n 项和为 Sn， 点(n， Sn)(n∈N*)均在函数 y＝f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式 an； an an＋1 1 (2)令 cn＝ ＝ a ，证明：2n＜c1＋c2＋…＋cn＜2n＋2. an＋1 n
2a1＋a3＝3a2， a2＋a4＝2a3＋2，
2 a12＋q ＝3a1q，① 即 3 2 a1q＋q ＝2a1q ＋4.②
由①，得q2－3q＋2＝0.解得q＝1或q＝2.
当q＝1时，不合题意，舍去； 当q＝2时，代入②，得a1＝2. 所以an＝2· 2n－1＝2n. 故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*).
点.数列和不等式的综合程度也在进一步加强，面也在进一步扩
大，有数列本身内容的综合，也有相关知识的综合，还有思想
方法的综合.
例 2 ： (2015 年广东广州一模 ) 已知点 Pn(an ， bn)(n∈N*) 在 直线l：y＝3x＋1上， P1是直线l与y轴的交点，数列{an}是公 差为1的等差数列. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
所以数列{bn}前n项和为b1＋b2＋…＋bn＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1 －5 ＋ 5－7 ＋…＋2n＋1－2n＋3＝ － . 3 2 6 4n＋6
【规律方法】已知数列前 n 项和与第 n 项关系，求数列通
1 1 解：(1)由 an＋1＝3an＋1，得 an＋1＋2＝3an＋2. 1 1 3 3 又 a1＋2＝2， 所以 an＋2 是首项为2， 公比为 3 的等比数列. 3n－1 1 3n 即 an＋2＝ 2 ，因此 an 的通项公式为 an＝ 2 .
1 1 n (2)bn＝an＋log2a ＝2 ＋log22n＝2n－n. n 所以 Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) 21－2n n1＋n n＋1 1 1 2 ＝ － 2 ＝2 －2－2n－2n . 1－2 因为 Sn－2n＋1＋47<0， 1 1 2 n＋1 所以 2 －2－2n－2n －2n＋1＋47<0， 即 n2＋n－90>0.解得 n>9 或 n<－10. 因为 n∈N*，故使 Sn－2n＋1＋47<0 成立的正整数 n 的最小 值为 10.
13 6n＋3 ＝6－ n. 2×3 13 6n＋3 所以 Tn＝12－ .经检验，n＝1 时也适合. 4×3n 13 6n＋3 综上所述，Tn＝12－ . 4×3n
题型 2 数列与函数的综合问题 数列是一种离散的函数，与方程密不可分，因此，利用函
数的 2 3 解：(1)∵点(n，Sn)在 f(x)的图象上，∴Sn＝2n ＋2n， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋1； 当 n＝1 时，a1＝S1＝2，适合上式， ∴an＝n＋1(n∈N*). an an＋1 n＋1 n＋2 (2)证明：由 cn＝ ＋ ＝ ＋ ＞ an＋1 an n＋2 n＋1 2 n＋1 n＋2 · ＝2， n＋2 n＋1
1 1 1 1 (2)求证：|P P |2＋|P P |2＋…＋ ＜ . |P1Pn＋1|2 6 1 2 1 3
(1)解：因为P1(a1，b1)是直线l：y＝3x＋1与y轴的交点(0,1)， 所以a1＝0，b1＝1. 因为数列{an}是公差为1的等差数列，所以an＝n－1. 因为点Pn(an，bn)在直线l：y＝3x＋1上， 所以bn＝3an＋1＝3n－2. 所以数列{an}，{bn}的通项公式分别为 an＝n－1，bn＝3n－2(n∈N*).
专题三 数列与不等式
题型 1 等差、等比数列的综合问题 等差数列与等比数列的综合应用时常出现在全国各地高考 试卷中，主要考查等差数列、等比数列的基本概念、基本公式、 基本性质及基本运算，对于Sn与an的关系式，备考复习时应该 予以重视.
例 1：(2015 年新课标Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an ＞0，a2 n＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； 1 (2)设 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和. anan＋1
所以
3，n＝1， an＝ n－1 ，n≥2. 3
1 (2)因为 anbn＝log3an，所以 b1＝3.
n－1 log 3 log3an 1 3 n － 1 当 n>1 时，bn＝ a ＝ n－1 ＝ × n－1. 3 3 n
1 所以 T1＝b1＝3. 当 n>1 时， Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn 1 － － － ＝3＋[1×3 1＋2×3 2＋…＋(n－1)31 n]，
1 1 22n－1－2n＋1 ，
1 1 1 所以，当 n≥2 时，|P P |2＋|P P |2＋…＋ 2＜ |P1Pn＋1| 1 2 1 3
1 1 1 1 2 1 1 5 1 － ＋ … ＋ － － 1＋23 5 ＝103 2n＋1＜6. 2 n － 1 2 n ＋ 1 10
∴c1＋c2＋…＋cn＞2n.
n＋1 n＋2 1 1 又 cn＝ ＋ ＝2＋ － ， n＋2 n＋1 n＋1 n＋2
1 1 1 1 ∴c1＋c2＋…＋cn＝2n＋2－3＋3－4＋…＋ 1 1 1 1 1 － n＋1 n＋2＝2n＋2－n＋2＜2n＋2.
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第03天 数列与不等式(回顾基础篇)-2017年高考数学(文)自由复习系列 含解析
【热点知识再梳理-—胸有成竹】考点一等差数列、等比数列等差数列及其性质（1）等差数列的判定：a n＋1－a n＝d(d为常数）或a n＋1－a n＝a n－a n－1(n≥2)．（2)等差数列的性质①当公差d≠0时，等差数列的通项公式a n＝a1＋（n－1）·d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d;前n项和S n＝na1＋错误!d＝错误!n2＋(a1－错误!)n是关于n的二次函数且常数项为0.②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d〈0，则为递减等差数列;若公差d＝0,则为常数列．③当m＋n＝p＋q时，则有a m＋a n＝a p＋a q，特别地,当m＋n＝2p 时,则有a m＋a n＝2a p.④S n，S2n－S n，S3n－S2n成等差数列．等比数列及其性质（1)等比数列的判定：错误!＝q(q为常数，q≠0)或错误!＝错误!（n≥2)．（2)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p 。
1．【安徽阜阳市2017高三二测】等差数列{}n a 前n 项和为nS ，75324,5S S a -==，则7S = （ ）A. 25 B 。
49 C. 15 D.40【答案】B【解析】由题意得7373-52424549S aS a =⇒=+=，选B.2．已知等差数列{}n a 的公差为2,若134,,a a a 成等比数列,则3a =（ ） A 。
10-B 。
6- C. 8- D.4-【答案】D3．【安徽阜阳市2017高三二测】数列{}n a 满足113a=，且对任意211N*,,1n n n n n n a a a c a +∈=+=+，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则2017S 的整数部分是（ )A. 1B. 2 C 。
数列与不等式54页PPT
小结与说明
本题这类问题的求解，原则上可通过布列关于 a1 和 d 的方程组并求出 a1 和 d ，然后利用通项公式将 欲求之式化为关于 a1 和 d 的表达式再代入求解，这
是函数与方程思想的具体体现．而这里，我们通过整 体换元巧列方程组，收到了出奇制胜的效果，既体现 了方程思想的重要价值，又展示了整体换元下布列方 程的技能．所有这些，都需要我们在相关问题的求解 训练中逐步领悟和熟练．
二、典型问题精讲
考点1： 等差数列、等比数列的通项
公式与前 n 项和
例1 在等差数列 a n 中,公差 d
1 2
，且
S100 145 ，则 a1a3a5La99
______.
解：设 P a 1 a 3 a 5 L a 9 9,
Q a 2 a 4 a 6 L a 1 0 0 ,
则 QQPPS51000d12455,, 解得 P 60. 所以 a 1 a 3 a 5 L a 9 9 6 0 .
当 p 1时，通常先引进参数 ，并设 an1 p(an ) ， 再利用待定系数法求出参数 ，即可得一个等比数列 {an }，然后再求解．
考点3： 数列与其他知识的交汇问题
例4 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这
n 2 个数构成递增的等比数列，将这 n 2 个 数的乘积记作 Tn ，再令 an lg Tn ， n 1.
考点2： 数列递推问题
例 3 已知数列{an} 满足 3an1 an 4(n 1) ，
且 a1 9 ，其前 n 项和为 Sn ，则满足不等式
|
Sn
n
6
|
1 125
的最小整数
n
是（
）．A.6B.7源自C. 8D.9解：由 3an1
2017届高考数学(文)一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6-4
第十页，编辑于星期六：二点 二十九分。
典例1
(1)已知 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为3_＋__2___2__；
(2)当 x>0 时，f(x)＝x22＋x 1的最大值为___1_____．
解析 (1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1， ∴1x＋1y＝2x＋x y＋2x＋y y＝3＋yx＋2yx≥3＋2 2，当且仅当yx＝2yx时，取等号． (2)∵x>0， ∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号．
且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生
产产品( )
A．60 件
B．80 件
C．100 件 D．120 件 解析 每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是8x00元，仓储费用是x8元，每件产品的总的费
用 y＝8x00＋x8≥2 8x00·8x＝20，当且仅当8x00＝x8时取等号，得 x＝80.故选 B.
第十四页，编辑于星期六：二点 二十九分。
考点多维探究
第十五页，编辑于星期六：二点 二十九分。
考点 2 基本不等式在实际中的应用 回扣教材 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅 读，从中提炼出有用信息，建立__数__学__模__型__，转化为数学问题求解； (2)经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 y＝ax＋bx(a>0，b>0) 等．解函数应用题中的_最__值____问题一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．
值问题.
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 3等式性质与不等式性质课件
ABC.
2
0时，
= 0,D错误.故选
【点拨】已知 < < ， < < ，求 , （如 + ，3
2
− 4，， ，
等） 的取值范围时，通常利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求解.
变式3（1） 若1 < < 3，−4 < < 2，则 − 的取值范围是(
通分、分母（分子）有理化等.③判断符号（判断商和“1”的大小关系）. ④给出结论.
变式2（1） 已知 = + 1 + + 4, = + 2 + + 3，则与的大小关系是
(
)
A. >
解：2 = 2 + 5 + 2
B. >
√
C. =
+ 1 + 4 ， 2 = 2 + 5 + 2
性质1：如果 = ，那么 = ；
性质2：如果 = , = ，那么 = ；
性质3：如果 = ,那么 ± = ± ；
性质4：如果 = ,那么 = ;
性质5：如果 = , ≠
0,那么
=
.
3.不等式的基本性质
序号
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
性质
，
2
所以3 < 2 − 3 < 8，即2 − 3 ∈ 3,8 .
+
=
,
= + ,
2
（方法二）令ቊ
则൞
−
= − ,
=
,
2
2
0时，
= 0,D错误.故选
【点拨】已知 < < ， < < ，求 , （如 + ，3
2
− 4，， ，
等） 的取值范围时，通常利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求解.
变式3（1） 若1 < < 3，−4 < < 2，则 − 的取值范围是(
通分、分母（分子）有理化等.③判断符号（判断商和“1”的大小关系）. ④给出结论.
变式2（1） 已知 = + 1 + + 4, = + 2 + + 3，则与的大小关系是
(
)
A. >
解：2 = 2 + 5 + 2
B. >
√
C. =
+ 1 + 4 ， 2 = 2 + 5 + 2
性质1：如果 = ，那么 = ；
性质2：如果 = , = ，那么 = ；
性质3：如果 = ,那么 ± = ± ；
性质4：如果 = ,那么 = ;
性质5：如果 = , ≠
0,那么
=
.
3.不等式的基本性质
序号
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
性质
，
2
所以3 < 2 − 3 < 8，即2 − 3 ∈ 3,8 .
+
=
,
= + ,
2
（方法二）令ቊ
则൞
−
= − ,
=
,
2
2017版高考数学一轮复习课件：第六章 数列 第3讲
，…仍是等比数列，公比为 .
(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，
{an·bn}，仍是等比数列.
(5)当q≠－1，或q＝－1且n为q奇n 数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成
等比数列，其公比为 .
基础诊断
考点突破第五页，编辑于星期课六：堂十九总点结四十六分。
基础诊断
考点突破第九页，编辑于星期课六：堂十九总点结四十六分。
5.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4， 则a6的值是________. 解析 因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋ 2a4得a2q 6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2 －q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4. 答案 4
基础诊断
考点突破第二十一页，编辑于课星期堂六：总十结九点 四十六分。
(2)由 a6a10＋a3a5＝41 及 a6a10＝a28，a3a5＝a24， 得 a24＋a28＝41.因为 a4a8＝5， 所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a28＝41＋2×5＝51. 又 an＞0，所以 a4＋a8＝ 51. 答案 (1)A (2) 51
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第
知识梳理
项起2 ，每一项与它的前一项的比等于
同一个 非零常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的 ，公公比比通常用字母q(q≠0)表示
.
数学语言表达式：an ＝ an－1
q
(n≥2，q 为非零常数)，或aan＋n 1
＝q(n∈N*，q 为非零常数).
4.(2015·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3 ＝8，则数列{an}的前n项和等于________.
2017版高考数学一轮总复习第6章数列第三节等比数列及其前n项和课件文
等比数列基本量的计算方法
利用公式 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q， an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用 . (2)在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进 行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化
运算.
利用运算性质
(1)等比数列项的运算性质 若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q，q∈N*)，则 am·an＝ap·aq. ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a2 k. ②对有穷等比数列， 与首末两项“等距离”的两项之积等于 首末两项的积，即 a1·an＝a2·an－1＝„＝ak·an－k＋1＝„. (2)等比数列前 n 项和的性质 若 Sn 是等比数列的前 n 项和， 则当 q≠－1 时， Sn， S2n－Sn， S3n－S2n，„成等比数列.
(4)前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k· qn－k(k 为 常数且 k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列. 提醒：(1)前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于 选择、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三 项不成等比数列即可.
【例1】 (1)(2016· 北京东城模拟)已知{an}为各项都是正数的等 比数列，若a4· a8＝4，则a5· a6· a7＝( )
A.4 B.8 C.16 D.64 2 (2)(2016· 陕西质检二模)已知正项数列{an}满足 a2 n＋1－6an＝ an＋1an，若 a1＝2，则数列{an}的前 n 项和为_____ ＝－1，∴S9＝ ＝ [1－(q3)3] 1－q 1－q 1－q ＝(－1)×(1－83)＝511.
答案 511
2017届高考数学(文)一轮复习课件：第5章 数列5-1
8．数列{an}的 an 与 Sn 的关系
若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.
第七页，编辑于星期六：二点 二十八分。
小题快做 1.思考辨析 (1)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (2)在数列{an}中，对于任意正整数 m，n，am＋n＝amn＋1，若 a1＝1，则 a2＝2.( √ ) (3)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对∀n∈N*，都有 an＝Sn－Sn－1.( × )
)
3
5
A.2
B.3
8
2
C.5
D.3
解析 由条件给出的递推关系可求得 a5＝23.
第十页，编辑于星期六：二点 二十八分。
4．数列－1×2 2，2×4 3，－3×8 4，41×65，…的一个通项公式为___a_n＝__n__－n_＋_2_1n_______． 解析 观察各项知，其通项公式可以为 an＝n－n＋21n.
n≥1，n∈N*.
第二十七页，编辑于星期六：二点 二十八分。
已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法 (1)形如 an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式 an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1求通项公式． (2)形如 an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通项公式． (3)形如 an＋1＝ban＋d(其中 b，d 为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造 an＋1＋x＝b(an＋ x)(其中 x＝b－d 1)，则{an＋x}是公比为 b 的等比数列，利用它即可求出 an. (4)形如 an＋1＝qapna＋n r(p，q，r 是常数)的数列，将其变形为an1＋1＝pr·a1n＋qp. 若 p＝r，则a1n是等差数列，且公差为qp，可用公式求通项； 若 p≠r，则采用(3)的办法来求． (5)形如 an＋2＝pan＋1＋qan(p，q 是常数，且 p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为 an＋2－an＋1＝(－q)·(an ＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得 an－an－1＝f(n)，然后用累加法求得 通项．
2017年数学一轮复习课件：专题三 数列与不等式
第五页，编辑于星期六：二点 三十四分。
(2)因为 anbn＝log3an，所以 b1＝13. 当 n>1 时，bn＝loga3nan＝log33n3－n1－1＝n－1×3n1－1. 所以 T1＝b1＝13. 当 n>1 时， Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)31－n]， 所以 3Tn＝1＋1×30＋2×3－1＋…＋n－132－n.
第十二页，编辑于星期六：二点 三十四分。
【互动探究】
2.已知函数 f(x)＝12x2＋32x，数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n， Sn)(n∈N*)均在函数 y＝f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 cn＝aan＋n 1＝aan＋n 1，证明：2n＜c1＋c2＋…＋cn＜2n＋12.
第二十一页，编辑于星期六：二点 三十四分。
【互动探究】
3.已知等比数列{an}满足 2a1＋a3＝3a2，且 a3＋2 是 a2，a4 的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝an＋log2a1n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使 Sn－2n＋1 ＋47<0 成立的 n 的最小值.
第十九页，编辑于星期六：二点 三十四分。
第十五页，编辑于星期六：二点 三十四分。
题型 3 数列与不等式的综合问题
数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判
断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等
式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在
解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法， 如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不 等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.
(2)因为 anbn＝log3an，所以 b1＝13. 当 n>1 时，bn＝loga3nan＝log33n3－n1－1＝n－1×3n1－1. 所以 T1＝b1＝13. 当 n>1 时， Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)31－n]， 所以 3Tn＝1＋1×30＋2×3－1＋…＋n－132－n.
第十二页，编辑于星期六：二点 三十四分。
【互动探究】
2.已知函数 f(x)＝12x2＋32x，数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n， Sn)(n∈N*)均在函数 y＝f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 cn＝aan＋n 1＝aan＋n 1，证明：2n＜c1＋c2＋…＋cn＜2n＋12.
第二十一页，编辑于星期六：二点 三十四分。
【互动探究】
3.已知等比数列{an}满足 2a1＋a3＝3a2，且 a3＋2 是 a2，a4 的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝an＋log2a1n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使 Sn－2n＋1 ＋47<0 成立的 n 的最小值.
第十九页，编辑于星期六：二点 三十四分。
第十五页，编辑于星期六：二点 三十四分。
题型 3 数列与不等式的综合问题
数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判
断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等
式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在
解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法， 如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不 等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.
高考数学一轮复习 名师专题讲座3 数列、不等式的高考解答题型及求解策略课件 文
12/11/2021
第十九页，共二十六页。
(2)证明：由(1)可知 an＝qn－1. 所以双曲线 x2－ay22n＝1 的离心率 en＝ 1＋a2n＝ 1＋q2n－1. 由 e2＝ 1＋q2＝53，解得 q＝43. 因为 1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以 1＋q2k－1>qk－1(k∈N*)． 于是 e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝qqn－－11， 故 e1＋e2＋…＋en>4n3－n－31 n.
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第三页，共二十六页。
题型一 数列的通项与求和 题型概览：(1)根据所给条件的特点，确定合适的方法求通项， 如借助基本量求 an，根据 an 与 Sn 的关系求 an，根据递推关系求 an. (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有分组求 和，裂项求和，错位相减法求和．
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12/11/2021
第八页，共二十六页。
①－②得 －Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1 ＝32＋211－－22n－1－(2n＋1)×2n－1＝1－2n2×2n－1. 所以 Tn＝2n－12×2n＋1.
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第九页，共二十六页。
[解题反思] 本题将数列与解析几何交汇，增大了试题难度， 较好地考查了考生的数形结合思想、逻辑思维能力，其实质是考 查等比数列的通项公式与求和及错位相减法．此类问题对考生的 计算能力要求较高．
12/11/2021
第二十五页，共二十六页。
内容 总结 (nèiróng)
第七章
No Image
12/11/2021
第二十六页，共二十六页。
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第二十三页，共二十六页。
2017届高三数学文理通用一轮复习课件：7.3 基本不等式
7.3
基本不等式
知识梳理 核心考点 学科素养
考情概览
-17-
对点练习已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 + ������
证明:(方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,
1
1+
1 ������
≥9.
������+b b =2+ . ������ ������ 1 ������ 同理,1+ =2+ . b b 1 1 b ������ ∴ 1+ 1+ = 2+ 2+ ������ b ������ b b ������ b ������ =5+2 + ≥5+4=9,当且仅当 = , ������ b ������ b 1 即 a=b= 时,等号成立. 2 1 1 1 ∴ 1+ 1 + ≥9,当且仅当 a=b= 时,等号成立. ������ b 2
∴1+������=1+
1
第七章
考点一 考点二 考点三
7.3
基本不等式
知识梳理 核心考点 学科素养
考情概览
-18-
(方法二)∵a,b 为正数,a+b=1, 则 1+
1 1 1+ ������ b 1 1 1 =1+ + + ������ b ������b ������+b 1 2 =1+ + =1+ , ������b ������b ������b 2 ������+b 1 1 ∴ab≤ 2 = ,当且仅当 a=b= 时,等号成立. 4 2 1 2 1 于是 ≥4, ≥8,当且仅当 a=b= 时,等号成立. ������b ������b 2 1 1 ∴ 1+ 1 + ≥1+8=9, ������ b 1 当且仅当 a=b= 时,等号成立. 2