复变函数课后习题答案--西安交大第四版(海滨学院专用)
《复变函数》(西安交大)习题解答--第1章习题
2
2
22
z ( 3 )2 ( 5 )2 34 ，z 位于第四象限，故
2
2
2
arg z arctg 5 , ••Argz arctg 5 2k••••(k 0,1,2,)
3
3
3） z 26 7i 7 13i
2i
2
•Re(z) 7 , ••Im(z) 13, •• z 7 13i,
13
a r gz a r c t2g, ••A r g z a r c t2g 2k••••(k 0,1,2,)
3
3
2） z i 3i(1 i) 3 5 i
2
22
Re(z) 3 , ••Im(z) 5 , •• z 3 5 i,
4) i 8 4i 21 i .
解：1） 1 3 2i 3 2 i 3 2i 13 13 13
Re(z) 3 , ••Im(z) 2 , z 3 2 i ,
13
13
13 13
z
( 3 )2 ( 2)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
,
z 位于第四象限，故
13 13
4. 证明
1） z 2 z z ;
2) z1 z2 z1 z2 ;
3) z1 z2 z1 z2 ;
4)
z1 z2
z1 z2
•, •z 2
0;
5) z z ;
6) Re(z) 1 (z z) , Im(z) 1 (z z ) .
2
2i
复变函数西安交大习题解答第1章习题复变函数习题答案复变函数习题复变函数习题集下载复变函数复变函数与积分变换复变函数第四版答案复变函数第四版复变函数第四版pdf复变函数奇点
《复变函数》第四版习题解答第5章
1 z2 +1
2
是有理函数，故奇点只是极点，满足
z
z2
+1
2
=0，故
z
=
0
，与
z
=
±i
为
其奇点， z = 0 为一级极点，而 z = ± i 为其二级极点。
（2）因 lim z→0
sin z z3
=
∞
则
z
=
0
为其极点。再确定极点的级，有两种方法：
a.
z
=
0
为
sin
z
为的一级零点；而
z
=
0
为
z3
的三级零点。故
证 因 f (z) 和 g(z) 是以 z0 为零点的两个 不恒等于零 的解析函数 ，可设 f (z) = (z − z0 )ϕ(z) ， g(z) = (z − z0 )ψ (z) ，ϕ(z),ψ (z) 为解析函数，则
f (z) = (z − z0 )ϕ(z) = ϕ(z) ， f '(z) = ϕ(z) + (z − z0 )ϕ '(z) ， g(z) (z − z0 )ψ (z) ψ (z) g '(z) ψ (z) + (z − z0 )ψ '(z) 故 lim f (z) = lim ϕ(z) ， lim f '(z) = lim ϕ(z) + (z − z0 )ϕ '(z) = lim ϕ(z) ，即 z→z0 g (z) z→z0 ψ (z) z→z0 g '(z) z→z0 ψ (z) + (z − z0 )ψ '(z) z→z0 ψ (z)
2
dz
；
（5） v∫ tan (π z) dz ； |z|=3
参考答案 复变函数与积分变换 第四版 西安交通大学 课后答案
参考答案复变函数与积分变换第四版西安交通大学课后答案一、复数的定义与运算复数是由实数和虚数组成，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b分别为实数部分和虚数部分。
复数的加减乘法运算与实数类似，需要注意的是虚数单位 i 的平方等于 -1。
在复数的加减法中，实数部分和虚数部分分别相加减即可；在复数的乘法中，实数部分与实数部分相乘，虚数部分与虚数部分相乘，并注意虚数单位 i 的平方等于 -1；在复数的除法中，需要将除数与被除数进行共轭复数的乘法，然后除以共轭复数的模的平方。
二、复变函数的定义与性质复变函数是由复数变量和复数结果构成的函数。
复变函数具有实部和虚部两个部分，分别表示在复平面上的实轴和虚轴上的取值。
复变函数的性质包括解析性、连续性和可微性。
对于解析函数来说，它在定义域内部处处可微；对于连续函数来说，它在定义域内部处处连续；对于可微函数来说，它在定义域内的每一点上都存在导数。
三、复变函数的积分变换复变函数的积分变换是通过积分运算来对复变函数进行变换的过程。
常见的积分变换有拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等。
1. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是将时域函数 f(t) 变换到复频域函数 F(s) 的一种积分变换方法。
拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是一个复数参数，t 是时间变量，f(t) 是一个定义在非负实数域上的函数。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是将时域函数 f(t) 变换到频域函数F(ω) 的一种积分变换方法。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = FT[f(t)] = ∫[-∞,+∞] e^(-jωt) f(t) dt其中，ω 是一个实数参数，t 是时间变量，f(t) 是一个定义在全实数域上的函数。
3. Z变换Z变换是将离散时间函数 f[n] 变换到复频域函数 F(z) 的一种积分变换方法。
Z变换的定义如下：F(z) = Z[f[n]] = ∑[n=0,∞] z^(-n) f[n]其中，z 是一个复数参数，n 是离散时间变量，f[n] 是一个定义在非负整数域上的序列。
西安交大工程数学复变函数第四版1.3-1.5
Argz1z2 Argz1 Argz2 （两个数集相同）
指数形式：z1 r1e i1 z2 r2e i 2 则
1
几何意义：
从几何上看, 两复数对应的向量分别为
z1 ,
z2 ,
先把 z1 按逆时针方向旋转一个角 2 ，再把它的模扩大到 r2倍
• 当 z2 =1 时，乘法变成了旋转。
12
§5 复变函数
1.定义
设G是一个复数 z x iy 的集合. 如果有一个确定的法则
存在，对于集合G 中的每一个复数z ，就有一个或几个复数
w u iv与之对应，那么称 w是z的函数，记为 w f z
单值的 多值的 定义集合 函数值集合
• 复变函数 w = f (z)可以看做一元函数来研究，也可以
10
简单曲线或若尔当（Jardan）曲线: 没有重点的连续曲线
简单闭曲线： za zb的简单曲线
重点
不简单、不闭
z a
zb
例
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
11
单连通域：复平面上的一个区域B，如果在其中任作一条 简单闭曲线，而曲线的内部总属于B 。
多连通域：非单连通域。
多连通域
单连通域
多连通域
简单说，单连通域为无洞区域，多连通域为有洞区域
x x(t)
y
, y(t)
t
[a,
b]
则由
u v
u(x, y) v(x, y)
得 C的参数方程
u u[x(t), y(t)] u(t)
v
v[x(t),
y(t)]
v(t)
15
例 函数 w 1 把z平面上的曲线 x 1, ( x 1)2 y2 1 z
《复变函数》(西安交大)习题解答--第4章习题
第四章习题3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：1）∑∞=1n n n i ； 2）∑∞=2n n n i ln ； 3）∑∞=+0856n nni )(； 4）∑∞=02n n in cos ． 解 1）∑∞=1n n n i ∑∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=1121121n n n n i n )()(∑∞=---11121n n n )( 和∑∞=-121n n n )(都收敛，∴级数∑∞=1n nn i 收敛 但∑∞=1n nni ∑∞==11n n 发散，故级数∑∞=1n n n i 非绝对收敛． 2）∑∞=2n nni ln =∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-112121n n n i n n )ln()()ln()( ∵∑∞=-121n n n )ln()(和∑∞=+-1121n n n )ln()(都收敛，∴级数∑∞=2n nn i ln 收敛但n n i n ln ln 1=>n 1，而级数∑∞=21n n 发散，故级数∑∞=2n n ni ln 非绝对收敛． 3）∑∞=+0856n n n i )(=∑∞=+08543n n i )(=nn )(∑∞=0861， ∵nn )(∑∞=0861是公比小于1的等比级数，收敛；∴级数∑∞=+0856n nn i )(收敛且为绝对收敛． 4）∑∞=02n nin cos =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞=∑2210n n n n e e =21∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+0221n n ne e )()( 级数∑∞=021n n e )(是公比小于1的等比级数，收敛；而级数∑∞=02n ne )(是公比大于1的等比级数，发散．故原级数发散．4．下列说法是否正确?为什么?1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；3）每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数．解 1）不正确．每一个幂级数在它的收敛圆内不仅收敛而且绝对收敛；在它的收敛圆外发散；在收敛圆周上，则可能收敛，也可能发散．例 幂级数∑∞=-11n nn z )(的收敛圆为11=-||z ，在收敛圆周11=-||z 上，当0=z 时，原级数为∑∞=-11n nn )(，收敛；当2=z 时，原级数为∑∞=11n n ，发散．2）不正确．根据幂级数的性质知：幂级数的和函数在收敛圆内是一个解析函数，因此，在收敛圆内不可能有奇点．3）不正确．例 z z f =)(在连续0z ，但不可导，故不能在0z 点展成泰勒级数．只有在0z 点解析的函数才能在0z 点的邻域内展开成泰勒级数．5．幂级数∑∞=-02n n nz C)(能否在0=z 收敛，而在3=z 发散．解 不能．由阿贝尔定理知，如果幂级数∑∞=-02n n nz C)(在0=z 收敛，则在22<-||z 内绝对收敛，而3=z 属于收敛圆22=-||z 内的点，故不可能在3=z 发散．6．求下列幂级数的收敛半径：1）∑∞=1n p n n z （p 为正整数）；2）∑∞=12n n pz n n )!(；3）∑∞=+11n n n z i )(；4）∑∞=1n nn i z e π． 解 1）pn n C 1=n n p p n n n n p n n C C R )(lim )(lim lim 111111+=+⋅==∞→∞→+∞→=12）nn nn C 2)!(= 0111112121=+⋅+=++⋅==∞→+∞→+∞→)()(lim ])![()()!(lim lim n n n n n n n C C R n n n n n n n n3）n n i C )(+=122111=+==∞→∞→||lim ||limi C R n n n 4）nin eC π=1111====+∞→+∞→+∞→n n i n n i nin n n n e ee C C R )(lim lim lim πππ11．把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： 1）311z+； 3）2z cos ； 5）chz 解 1）∵111<=-∑∞=||,z z z n n∴311z +=111103033<-=-=--∑∑∞=∞=||,)()()(z z z z n nn n n 3）∵∑∞=-=0221n nnn z z )!()(cos ，+∞<||z∴∑∞=-=04221n nnn z z )!()(cos ，+∞<||z5）∵chz =2zz e e -+，而∑∞==0n n zn z e !，+∞<||z ，∑∞=--=01n n n z n z e !)(，+∞<||z ， ∴chz =1+++!!4242z z ，+∞<||z 12．求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： 1）11+-z z ，0z =1； 2）))((21++z z z，0z =2； 3）21z ，10-=z ； 4）z341-，i z +=10； 5）z tan ，40π=z解 1）11+-z z =)()(1211-+-z z =211121-+-z z ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛---=02121n nz z ∑∞=+--=11211n nnn z )()(，21<-||z 2）))((21++z z z=1122+-+z z而 )(24222-+=+z z =421121-+z =n nn n z 421210)()(--∑∞=， ∑∞=--=-+=-+=+03213132113123111n n nn z z z z )()()(， 所以 ))((21++z z z =n n n n z 421210)()(--∑∞=-∑∞=--032131n nnn z )()( =nn n n n z )()(2312110112-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∞=++，32<-||z 3）)('-=z z112而 ∑∞=+-=+--=011111n n z z z )()(所以 )('-=z z 112=∑∞=-+111n n z n )(=∑∞=++011n nz n ))((，11<+||z4）z 341-)]()([i i z +++--=11341)]([i z i +---=13311)]([i z ii+----=131311311n n n i z ii )]([)(+---=∑∞=13133110,)]([)(nn n n i z i +--=∑∞=+1313013101<+-)(i z5）因为),,,( 2102±±=+=k k z ππ是z tan 的奇点，而2π=z 是距40π=z 最近的奇点，故函数z tan 展成幂级数的收敛半径442πππ=-=R14=πtan，24='=πz z )(tan ，44=''=πz z )(tan ，164='''=πz z )(tan ，…所以 z tan = +-+-+-+3243842421)()()(πππz z z ，16．把下列函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数： 1）))((2112-+z z ，21<<||z ； 2）211)(z z -，10<<||z ；110<-<||z ； 3）))((211--z z ，110<-<||z ；+∞<-<||21z ； 4）z e -11，+∞<<||z 1；5）)(i z z -21，在以i 为中心的圆环域内；6）z -11sin ，在1=z 的去心邻域内； 解 1）在21<<||z 内展开，此时有11<z 及12<z， ))((2112-+z z ⎪⎭⎫⎝⎛++--=1221512z z z ，2112121z z -⋅-=-)( +++-=2222121z z ， 2<||z222112112z zz z z ++=++2211121zz z +⋅+=)()()( -+-⋅+=42211121z z z z ---+=4322121z z z z ，1>||z 所以 ))((2112-+z z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----= 43222121842151z z zz z z 44ππ<-z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+++= 84211212512234z z z z z z ，21<<||z 2）在10<<||z 内展开211)(z z -2111)(z z -⋅=)('-⋅=z z 111=)('∑∞=01n nz z z 1=∑∞=-11n n nzz 1=∑∞=+⋅01n nz n )(∑∞-=+=12n n z n )(， 在110<-<||z 内展开211)(z z -=z z 1112⋅-)(∑∞=--⋅-=-+⋅-=02211111111n nz z z z )]([)()()( ∑∞-=--=21n n nz )()(3）在110<-<||z 内展开))((211--z z =)(11111---⋅-z z ∑∞=--⋅-=0111n n z z )(∑∞-=--=11n nz )(，在+∞<-<||21z 内展开，此时121<-z ))((211--z z =12121+-⋅-)(z z =12121+-⋅-)(z z =2111212-+⋅-z z )(=∑∞=--⋅-022121n n z z )()(=∑∞=+--0121n n nz )()( 4）由+∞<<||z 1⇒11<z，令=)(z f ze-11，11-==z ze zf z F )()(，据11题7）知：当1<z 时+---=!!)(32132z z z z F所以当1>||z 时，有 +---==323121111zz z z F z f !!)()( 5）函数)(i z z -21在i z =及0=z 点不解析，所以，以i 为中心的圆环域是 10<-<||i z 及+∞<-<||i z 1)(i z z -21=⋅-i z 121z在10<-<||i z 内展开所以在+∞<-<||i z 1内展开，有11<-iz iz i iz i i z z -+⋅-=+-=11111)(=⋅-iz 1nn i z i ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--0， ∑∞=+-+-='-=021111n n n n i z i n z z )()()()( z 1i z i -+=1i i z i -+=111i i z i -+=111nn i i z i )(∑∞=--=01nn n n i z i )()(--=∑∞=+011)('-=z z 112])()(['---=∑∞=+n n n n i z i 01111111-∞=+---=∑n n n n i z i n )()()(i z z -21.)()(21111-∞=+---=∑n n n n i z in所以 )(i z z -21=∑∞=++-+-03111n n n n i z i n )()()( 6）因为1=z 是z-11sin的奇点，所以1=z 的去心邻域为 +∞<-<||10zz -11sin =11--z sin ∑∞=+-⋅+--=012111211n n n z n )()!()(。
《复变函数》第四版习题解答第3章
-1-
∫ ∫
C
Re[ f (z )]dz = Im[ f (z )]dz =
∫ ∫
2π
0 2π
Re e iθ de iθ = cos θ (− sin θ + i cos θ )dθ = π i ≠ 0
[ ]
∫
2π
0
C
0
Im e iθ deiθ = sin θ (− sin θ + i cos θ )dθ = −π ≠ 0
3．设 f ( z ) 在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问
∫
解
C
Re[ f (z )]dz =
∫
C
Im[ f (z )]dz = 0
是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 未必成立。令 f ( z ) = z ， C : z = 1 ，则 f ( z ) 在全平面上解析，但是
e z dz v ∫C z 5 ， C :| z |= 1
= 2πe 2 i
解
（1）由 Cauchy 积分公式， ∫ 解 1： ∫ 解 2： ∫
C
ez dz = 2π i e z z−2
z =2
（2）
C
1 dz 1 = ∫ z + a dz = 2π i 2 2 C z−a z+a z −a
2
=
z =a
=0
（8）由 Cauchy 积分公式， （9）由高阶求导公式， ∫
v ∫
C
sin zdz = 2π i sin z |z =0 = 0 z
2
sin z
C
π⎞ ⎛ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
dz = 2π i(sin z )'
西安交通大学复变函数习题
西安交通大学复变函数习题第一章复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+zz ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21z z+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.??=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.??=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<="" bdsfid="213" f="" p="" 内≡)(z="" 内处处为零，且1)0(-="f" ，那么在1（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xvix u z f ??+??=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=??z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dzwd dz dw .六、设??=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s vn u n v s u ??-==??,（s ??与n分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+?cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=?+=dz zzc c c 212sin ( ) （A ）i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-?dz z z)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--?dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ?=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )（A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π的直线段，则积分=?cz dz ze （）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-?dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22（B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-?cdz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+?cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<<="r" 的积分等于零，则<="">)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ??-??二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=?cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-?c dz z z z 22)4(233．设?=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+?cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-?c zdz i z e 5)(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=?c dz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(?的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''?cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()n rr M n a fnn . 六、求积分?=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=?0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><="" bdsfid="471" p="" r="" z="" 内解析，且2)0(,1)0(="=f f ，试计算积分</p><p>?</p><p>=+1</p><p>22</p><p>)</p><p>()1(z dz z</p><p>z f z 并由此得出</p><p>?</p><p>π</p><p>θθθ</p><p>20</p><p>2</p> <p>)(2</p><p>cos d e f i 之值.</p><p>九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明</p><p>2</p><p>222</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p> <p>2)</p><p>)(1()</p><p>(4)</p><p>)(1ln()</p><p>)(1ln(z f z f y z f x z f +">+?++?.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=a n n ，则n n a ∞→li m ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ）∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<="" bdsfid="544" p="" 内的和函数为="" （a="" （b="" ）)1ln(z="">（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<<<="">11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(1 1<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-?c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若?--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<<="">+∞<<="" 41="" bdsfid="628" p="" （d="" ）+∞<115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=)()(n nn z z cz f 成立，其中=n c ． 5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为． 8．函数zze e 1+在+∞<<<0内的洛朗展开式为∑∞<="" bdsfid="683" cot="" p="" z="" 在原点的去心邻域r="" ．="">-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++?ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-?=++ξξξξπξ）。
复变函数第四版答案详解
复变函数第四版答案详解调和变换的第四版：1. 概念：调和变换的第四版是研究统计学家Stephen M. Stigler提出的一种更加复杂的变换法。
它最大的特点是可以有效地处理大数据集中固定和变动变量之间的关系，而且有助于更好地可视化信息。
2. 原理：这种变换主要是利用了调和技巧，通过舍弃最小和最大值来使变量在定义域上更具对称性。
使用调和变换的第四版，可以根据数据集中的最大值、最小值和其他值的累计概率直方图进行变换，这样就可以更准确地绘制变量间的关系。
3. 公式：基本的形式为T(x) = Log2（x/xmin）。
其中x为变量的原始值，xmin为该变量的最小值，T表示变换后的值。
4. 优势：• 可以对大范围的数据集进行标准化，减轻可视化时数据的拉伸或压缩；• 加强小数据组之间的可视化差别；• 能够有效处理变量之间的关系，更加详细；• 有助于体现更完整的数据，同时保留数据的细节。
5. 应用：• 生物学：调和变换的第四版可以帮助研究人员分析有关基因表达或特定生物标记（如药物效应）的数据；• 地理信息系统：地理信息系统的地图可以更准确地反映由于植被或气候变化而引起的空间变化；• 金融：调和变换的第四版可以用来分析大型财务数据集，并发现有关投资可能波动的信息。
6. 缺点：由于技术复杂，计算成本可能较高，特别是在大数据集合上，同时，由于它的强依赖变量的范围，所以由于变量的范围而出现的误差。
总结：调和变换的第四版是研究统计学家Stephen M. Stigler提出的一种复杂的变换法，它的核心是利用调和技巧，通过舍弃最小和最大值来使变量在定义域上更具对称性，它有助于更准确可视化变量之间的关系，并能够有效处理大数据集中固定和变动变量之间的关系。
但它也有计算成本高、与变量范围相关的误差等缺点。