动态规划从入门到精通
动态规划从入门到精通共45页文档
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
动态规划从入门到精通
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
动态规划超级详细的讲义
动态规划入门1(2008-09-20 21:40:51)第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。
他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。
显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。
每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。
下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。
每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。
经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。
下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。
这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。
对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。
这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。
二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。
动态规划-从新手到专家
动态规划：从新手到专家（转）前言我们遇到的问题中，有很大一部分可以用动态规划(简称DP)来解。
解决这类问题可以很大地提升你的能力与技巧，我会试着帮助你理解如何使用DP来解题。
这篇文章是基于实例展开来讲的，因为干巴巴的理论实在不好理解。
注意：如果你对于其中某一节已经了解并且不想阅读它，没关系，直接跳过它即可。
什么是动态规划，我们要如何描述它?动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。
当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。
使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度，因此它比回溯法、暴力法等要快许多。
现在让我们通过一个例子来了解一下DP的基本原理。
首先，我们要找到某个状态的最优解，然后在它的帮助下，找到下一个状态的最优解。
“状态”代表什么及如何找到它?“状态”用来描述该问题的子问题的解。
原文中有两段作者阐述得不太清楚，跳过直接上例子。
如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？(表面上这道题可以用贪心算法，但贪心算法无法保证可以求出解，比如1元换成2元的时候)首先我们思考一个问题，如何用最少的硬币凑够i元(i<11)？为什么要这么问呢？两个原因：1.当我们遇到一个大问题时，总是习惯把问题的规模变小，这样便于分析讨论。
2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的，除了规模变小，其它的都是一样的，本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。
好了，让我们从最小的i开始吧。
当i=0，即我们需要多少个硬币来凑够0元。
由于1，3，5都大于0，即没有比0小的币值，因此凑够0元我们最少需要0个硬币。
(这个分析很傻是不是？别着急，这个思路有利于我们理清动态规划究竟在做些什么。
) 这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。
”会比较方便，如果一直用纯文字来表述，不出一会儿你就会觉得很绕了。
那么，我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。
动态规划讲解+例子
(最短路线为 C1D1E)
10
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
考虑经过 C 2 的两条路线
f3 (C 2 ) m d d i( (C C n 2 2 ,,D D 1 2 ) ) f f4 4 ( (D D 1 2 ) ) m 5 6 i 5 2 n 7
航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不 断变化的，因此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情 况，不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态），使 之能最省燃料和完成飞行任务（如软着陆）。
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为
若干个互相联系又互相区别的阶段。
d(B2,C3)f4(C3) 41 2
(最短路线为 B 2 C 1 D 1 E)
14
2
12
B1
中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。 问应该选择什么路线，使总距离最短？
2
12
B1
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C1 3
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D1 5
A
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B2 610
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6
C2 5
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D2
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C3 10
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B1
10
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C1 3
9
D1 5
A
5
B2 610
1
《动态规划》课件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
动态规划基础、进阶与优化
山东师大附中陈键飞前言自古以来就是NOIP的重要考察内容，在联赛中占的分量大。
对选手能力有一定要求，需要能够熟练地建立动态规划模型。
需要大量做题，初学者不易掌握其思想。
目录基础：基本概念背包问题——一类典型应用 进阶：更多的问题树形DP状态压缩优化：减少状态数目减少状态转移（决策）时间基本概念最长上升子序列状态：f[i]能完全地表示出问题某个或某些本质相同的形态决策：f[i]=min(f[j]+1)状态由哪个状态转移得到阶段：每个i前面的阶段决定后面的阶段，后面的阶段由前面的状态转移得到基本概念石子合并状态f[i,j]决策f[i,j]=min(f[i,k]+f[k+1,j])+w[i,j] 阶段j-i （区间大小）基本概念无后效性后面阶段的状态只受前面阶段的状态的影响 对于任意两个状态，只能单向的进行转移基本概念拓扑图（有向无环图）无后效性f[i]=min(f[j])+1基本概念 非拓扑图（可能有环） 有后效性a →b →c ？b →c →a ？a bc 51111基本概念最优子问题问题最优，只需子问题最优，与到达子问题的路径无关3 5 24 6f(5)最优，只需f(4)最优，与f(4)是怎么到达的无关与路线具体是3 4 6还是2 4 6无关基本概念最优子问题输出1~n中∑(A(i,p[i]))最大的排列f(i)表示用1~n组成的长度为i的序列？ 与到达子问题的路径有关！1 4 3 →6 ？4 2 3 →6 ？基本概念无后效性、最优子问题是否能满足与状态的表示，状态的转移，阶段的划分有关背包问题——一类典型应用 给定n个货币，面值各不相同，问能否凑出m元钱f[i,j]表示前i个货币能否凑出j元f[i,j] = f[i-1,j] （不选j）or f[i-1,j-w[i]]（选j）背包问题——一类典型应用 给定n种货币，每种无限多个，面值各不相同，问能否凑出m元钱f[i,j]表示前i种货币能否凑出j元f[i,j]=f[i-1,j] or f[i,j-w[i]]背包问题——一类典型应用 给定n种货币，第i种有A i个，面值W i，问能否凑出m 元钱将每种货币i拆成A i个价值为W i的货币O(m∑A i)将每种货币i拆成价值为W i,2W i,4W i,8W i……的货币O(m∑log A i)单调队列O(mn) ，暂时跳过背包问题——一类典型应用 给定n种货币分为k组，每组只能选一个，问能否凑出m元f[i,j,k]表示用前1~i-1组和第i组的前j个能否凑出k元。
[转载]教你彻底学会动态规划——入门篇
![[转载]教你彻底学会动态规划——入门篇](https://img.taocdn.com/s3/m/cbb4df1ff02d2af90242a8956bec0975f465a40d.png)
[转载]教你彻底学会动态规划——⼊门篇动态规划相信⼤家都知道，动态规划算法也是新⼿在刚接触算法设计时很苦恼的问题，有时候觉得难以理解，但是真正理解之后，就会觉得动态规划其实并没有想象中那么难。
⽹上也有很多关于讲解动态规划的⽂章，⼤多都是叙述概念，讲解原理，让⼈觉得晦涩难懂，即使⼀时间看懂了，发现当⾃⼰做题的时候⼜会觉得⽆所适从。
我觉得，理解算法最重要的还是在于练习，只有通过⾃⼰练习，才可以更快地提升。
话不多说，接下来，下⾯我就通过⼀个例⼦来⼀步⼀步讲解动态规划是怎样使⽤的，只有知道怎样使⽤，才能更好地理解，⽽不是⼀味地对概念和原理进⾏反复琢磨。
⾸先，我们看⼀下这道题（此题⽬来源于北⼤POJ）：数字三⾓形(POJ1163)在上⾯的数字三⾓形中寻找⼀条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最⼤。
路径上的每⼀步都只能往左下或右下⾛。
只需要求出这个最⼤和即可，不必给出具体路径。
三⾓形的⾏数⼤于1⼩于等于100，数字为 0 - 99输⼊格式：5 //表⽰三⾓形的⾏数接下来输⼊三⾓形73 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5要求输出最⼤和接下来，我们来分析⼀下解题思路：⾸先，肯定得⽤⼆维数组来存放数字三⾓形然后我们⽤D( r, j) 来表⽰第r⾏第 j 个数字(r,j从1开始算)我们⽤MaxSum(r, j)表⽰从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。
因此，此题的最终问题就变成了求 MaxSum(1,1)当我们看到这个题⽬的时候，⾸先想到的就是可以⽤简单的递归来解题：D(r, j)出发，下⼀步只能⾛D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。
故对于N⾏的三⾓形，我们可以写出如下的递归式：if ( r == N)MaxSum(r,j) = D(r,j)elseMaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)根据上⾯这个简单的递归式，我们就可以很轻松地写出完整的递归代码：#include <iostream>#include <algorithm>#define MAX 101using namespace std;int D[MAX][MAX];int n;int MaxSum(int i, int j){if(i==n)return D[i][j];int x = MaxSum(i+1,j);int y = MaxSum(i+1,j+1);return max(x,y)+D[i][j];}int main(){int i,j;cin >> n;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)cin >> D[i][j];cout << MaxSum(1,1) << endl;}对于如上这段递归的代码，当我提交到POJ时，会显⽰如下结果：对的，代码运⾏超时了，为什么会超时呢？答案很简单，因为我们重复计算了，当我们在进⾏递归时，计算机帮我们计算的过程如下图：就拿第三⾏数字1来说，当我们计算从第2⾏的数字3开始的MaxSum时会计算出从1开始的MaxSum，当我们计算从第⼆⾏的数字8开始的MaxSum的时候⼜会计算⼀次从1开始的MaxSum，也就是说有重复计算。
动态规划基础-----01背包（总结）
动态规划基础-----01背包（总结）1、动态规划（DP） 动态规划（Dynamic Programming，DP）与分治区别在于划分的⼦问题是有重叠的，解过程中对于重叠的部分只要求解⼀次，记录下结果，其他⼦问题直接使⽤即可，减少了重复计算过程。
另外，DP在求解⼀个问题最优解的时候，不是固定的计算合并某些⼦问题的解，⽽是根据各⼦问题的解的情况选择其中最优的。
动态规划求解具有以下的性质： 最优⼦结构性质、⼦问题重叠性质 最优⼦结构性质：最优解包含了其⼦问题的最优解，不是合并所有⼦问题的解，⽽是找最优的⼀条解线路，选择部分⼦最优解来达到最终的最优解。
⼦问题重叠性质：先计算⼦问题的解，再由⼦问题的解去构造问题的解（由于⼦问题存在重叠，把⼦问题解记录下来为下⼀步使⽤，这样就直接可以从备忘录中读取）。
其中备忘录中先记录初始状态。
2、求解思路 ①、将原问题分解为⼦问题（⼦问题和原问题形式相同，且⼦问题解求出就会被保存）； ②、确定状态：01背包中⼀个状态就是个物体中第个是否放⼊体积为背包中； ③、确定⼀些初始状态（边界状态）的值； ④、确定状态转移⽅程，如何从⼀个或多个已知状态求出另⼀个未知状态的值。
（递推型）3、01背包问题求解思路 ①、确认⼦问题和状态 01背包问题需要求解的就是，为了体积V的背包中物体总价值最⼤化，件物品中第件应该放⼊背包中吗？（其中每个物品最多只能放⼀件） 为此，我们定义⼀个⼆维数组，其中每个元素代表⼀个状态，即前个物体中若⼲个放⼊体积为背包中最⼤价值。
数组为：，其中表⽰前件中若⼲个物品放⼊体积为的背包中的最⼤价值。
②、初始状态 初始状态为和都为0，前者表⽰前0个物品（也就是空物品）⽆论装⼊多⼤的包中总价值都为0，后者表⽰体积为0的背包啥价值的物品都装不进去。
我⾃⼰写的的没保存，只能把这个整来凑数了伪代码for(int t=1;t<=n;t++){for(int j=V;j>=v[t];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[t]]+w[t]);}}。
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代码展示
memset(f,-1,sizeof f) int dfs(int i,int j)
if(f[i][j])return f[i][j]=max(dfs(i-1,j-1),dfs(i-1,j));
return f[i][j];
if(A[i]==B[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
• 怎么快速入门，能又快又准的写出基础的DP（套 路DP题）
• 掌握基本的写法，理解经典模型的转移
搞个数字三角形
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• 从上往下走，每次可以向左下或右下走一 个，直到最下行，问经过数字的和最大是 多少？
朴素贪心
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值和的最大值 • 转移方程：O(n*V)
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wi]+pi)
代码展示
01背包
• 定义状态dp[i][ j]： • 考虑前i件物品，选的物品总体积<=j的情况下
价值和的最大值 • 转移方程：O(n*V)
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wi]+pi)
for(intj=1;j<=m;j++) f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])+a[i][j]
更多选择？
• 有了转移方程 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j1])+a[i][j]
• 容易得dfs(i,j)=max(dfs(i1,j),dfs(i-1,j))
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典型模型
• 温馨提示 代码展示中代码仅做演示用，请勿不经思考照搬，WA者自负
01背包
• 在n件物品取出若干件放在空间为V的背包 里，每件物品的体积为w1，w2……wn，与 之相对应的价值为p1,p2……pn。
01背包
• 定义状态dp[i][ j]： • 考虑前i件物品，选的物品总体积=j的情况下价
• 为何还要记忆化搜索？
滑雪
为了获得速度，滑雪的路径必须向下倾斜， 每次可以向上下左右4个方向滑行。区域由一 个二维数组给出，每个数字代表该点的高度 。求滑行的最长距离。
1 2 3 45 16 17 18 19 6 15 24 25 20 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9
困难？
• 能用递推的方法做么？
– 哪里不能？ – 没有明确的依赖顺序，无法直接用递推进行转
移
• 解决办法
– 记忆化搜索
滑雪的记忆化搜索实现
概念
• 动态规划是一种用于求解包含重叠子问题 的最优化问题的思想。
• 其基本思想是，将原问题分解为相似的子 问题，在求解的过程中通过子问题的解求 出原问题的解。
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动态规划入门到精通(Ⅰ)
一些前话——xiper
• 做了专题，感觉自己很强，然后比赛还是什么DP 都做不来（有很多时候压根就没看出来是DP）， 正常吗？
• 正常，一般来讲新人（没有基础的）刚开始时没有 建立起DP思维，即便做了专题，短时间内肯定还 是云里雾里的，导致比赛的时候写不出DP，同时 DP本身就难，大爷们都不一定次次能出DP，更不 要说新人了
必须从上向下转移
如何求解
• 边界条件，特殊处理即可。 • j=1:f[i][ j]=a[i][ j]+f[i-1][ j] • j=i:f[i][ j]=a[i][ j]+f[i-1][ j-1]
代码展示
for(int i=2;i<=n;i++)//初始化边界 f[i][1]=a[i][1]+f[i][1]; for(int i=2;i<=n;i++)//初始化边界 f[i][i]=a[i][i]+f[i][i-1]; for(int i=3;i<=n;i++)
• 转移方程一样，边界条件不同
代码展示
01背包
• 定义状态dp[ j]： • 选的物品总体积<=j的情况下价值和的最大
值 • 转移方程：O(n*V)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-wi]+pi)
代码展示
状态压缩
• 状态压缩是状态维度较多，同时每个维度状 态较少的一类问题，例旅行商问题(tsp)。
中i& (1<<j-1)=1 • N很小
代码展示
LCS
• 一个数列S如果分别是两个已知数列A，B的 子序列，且是所有符合此条件序列中最长 的，则S称为已知序列的最长公共子序列。 求S。
LCS
• 定义状态dp[i][ j]： • 表示考虑A的前i位和B的前j位且最后一位为
B[ j]的最长公共子序列的长度 • 转移方程：O(|A|*|B|)
要点
• 状态定义：如何描述一个子问题？ • 定义要明确。
• 状态转移方程：如何由子问题构造出原问 题的解？
• 边界条件、初始条件 • 递推顺序
总结
• 算法设计
– 状态定义 – 状态转移（递推顺序很重要） – 边界条件、初始条件
• 条件
– 无后效性 – 最优子结构
再搞个数字三角形
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• 从上往下走，每次可以向左下或右下走一 个，直到最下行，问经过数字的和与20 的差绝对值最少是多少？
总结
• 如公式
• 如何看待记忆化
– 避免大量重复计算 – 简洁明了，方便理解 – 递推比较繁琐，或没有明确的依赖顺序（图）
• 假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必 须选择所要走的路径，路径的限制是每个城 市只能拜访一次，要求最短长度。
状态压缩
• 状态dp[i][ j]为访问了城市集合i最后在城市j 的最短长度。i为sum(ak<<k-1)，ak为1表 示城市k已访问，0为未访问。
• 转移方程： • dp[i][ j]=min{dp[i-(1<<j-1)][k]+v[k][ j]},其
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13+？左？右？
• 不说更多，显然在第二行已经迷失方向
如何求解
• 如果利用转移方程求解原问题？
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]) +a[i][j]
• 1、从上向下转移，即i从小到大？ • 2、从下向上转移，即i从大到小？ • 观察转移方程的性质 • 因为第i行的解要由第i-1行的解得到，所以