第五章概率论答案

习题5-1

1. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||2}P X E X -（）≥. 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有

2(){()}D X P X E X εε

-≥≤, 所以 1{||2}2

P X E X -（）≥≤. 2. 设随机变量X , Y 的数学期望分别是2和-4, 方差分别是1和4, 而相关系数为0.5. 则根据切比雪夫不等式估计{|2|P X Y +≥12}.

解 {2}2()()22(4)E X Y E X E Y +=+=⨯+-=,

{2}4()()22Cov(,)D X Y D X D Y X Y +=+-⨯

840.5124=-⨯⨯⨯=.

所以, {|2|P X Y +≥12}≤2411236

=. 3. 设随机变量X 的数学期望E (X ) = μ, 方差D (X ) = σ2, 由切比雪夫不等式估计P {|X -μ|≥3σ}.

解 令ε = 3σ, 则由切比雪夫不等式P {|X -μ|}≥ε}≤2()D X ε

, 有 P {|X -μ|≥3σ}≤221(3)9

σσ=. 4. 独立重复地做一项试验, 假设每次试验成功的概率为0.75. 用切比雪夫不等式求: 至少需要做多少次试验, 才能以不低于0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间?

解 假设做n 次试验, 才能以0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间. 用X 表示试验成功的次数, 从而~(,0.75)X B n , 由题设, 要使

{0.740.76}{0.750.01}0.90X X P P n

n <<=-<≥. 又由切比雪夫不等式得

22()0.750.25{0.740.76}{0.750.01}110.010.01X D X X

n P P n n n ⨯<<=-<-=-⨯≥. 要满足题意, 只需2

0.750.25

10.900.01n ⨯-⨯≥即可. 解之得 20.750.25187500.010.10n ⨯=⨯≥.

习题 5-2

1. 一本书有十万个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 用中心极限定理求排版后错误不多于15个的概率.

解 设

1,i i i X ⎧=⎨⎩第个字符排错第个字符没有排错,0, ,

则排错的总字符数5

101,i i X X ==

∑ 并且 5(10,0.0001)X B , 所以

5{15}P X P =≤

(1.581)0.9431.ΦΦ≈== 2. 某彩色电视机制造公司每月生产20万台背投彩电, 次品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01. 试用中心极限定理求检验后出厂的这批20万台背投彩电中次品数超过3台的概率.

解 设 1,i X i =⎧⎨

⎩第台彩电为次品但未被查出其它,0,,

51,2,,210.i =⨯ 所以 6()510i E X -=⨯, 66()510(1510)i D X --=⨯-⨯.

经检验后的次品数记为Y , 故

5

2101i i Y X

⨯==∑,()1E Y =,6

()1510D Y -=-⨯, 由中心极限定理, 近似地有

6~(1,1510)Y N --⨯.

所以有

{3}1{3}11(2)0.0228.P Y P Y ΦΦ>=-≈-≈-=≤

3. 某公司电话总机有200台分机, 每台分机有6%的时间用于外线通话, 假定每台分机用不用外线是相互独立的, 试问该总机至少应装多少条外线, 才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候.

解 设该总机至少应装x 条外线, 才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候. 设X i =1(i =1,2,...,200)表示第i 台分机使用外线, X i =0(i =1,2, (200)

表示第i 台分机不使用外线.

由条件可以把X 1,X ,2200,X 视为独立同分布随机变量, 而正使用外线的

分机总数

T =X 1+X 2+…+X 200

是独立同分布随机变量之和.

由条件知E (X i

)=0.06,

==0.2375, 从而

E (T

根据独立同分布中心极限定理, T 近似服从正态分布N (12,11.28).

由题设条件

P {T ≤x }=P

} ≈Φ

}＞0.95=Φ(1.65). 根据分布函数的单调性, 有

＞1.65. 从而x >17.54, 即最少装18条外线, 才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候.

4. 某保险公司多年的统计资料表明, 在索赔户中因财产被盗而要求赔偿的占20%, 以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数 .

(1) 写出X 的概率分布；

(2) 求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.

解 (1) 设X i =1(i=1,2,…,100)表示第i 个索赔户是因被盗而索赔,

X i =0(i=1,2,…,100)表示第i 个索赔户不是因被盗而索赔. 所以

X =X 1+X 2+…+X 100,

故X 服从参数为100,0.2的二项分布.

(2) 由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,

P {14≤X ≤30}= P {-1.5≤204

X -≤2.5}≈Φ(2.5)+ Φ(1.5)-1=0.927. 5. 设各零件的重量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg, 均方差为0.1kg. 问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？

解设X i 表示第i 只零件的重量, 则E (X i )=0.5, D (X i )=0.01. 于是5000只零件

的总重量X =∑=50001i i X

, 所以由独立同分布中心极限定理知,