第8章时频分析示例
时频信号分析课件
2020/3/28
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2、傅里叶变换对于非平稳信号的局限性
平稳信号 工程上 频率不随时间变化的信号（时
不变信号）
非平稳信号 工程上 频率随时间变化的信号（时
变信号）
定义上有别与平稳随机信号——均值（一阶矩）和 相关（二阶矩）函数不随时间变化。
非平稳信号——频率随时间变换不合适 X ( j)
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傅里叶变换建立了一个域到另一个域的通道，但它
并没有将时域和频域组合成一个域。在上述傅里叶
变换中，x和t 这两个变量是互相排斥的。即若想知
道在某一频率处 的X (j) ，需要知道x(t)在 t
所有值，反之亦然：
X
(
jΩ0
)
x(t)e jΩ0tdt
x(t
0
)
1 2π
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时间和频率是描述信号的两个最基本的物理量 频率 ------ 具有明确的物理意义 （1）波形源 （2）波的传播 （3）简化对波形理解 （4）FT数学工具
时域 （傅里叶变换） 频域
X
(
j
பைடு நூலகம்
)
x(t)e jtdt
x(t)
1
X ( j )e jtd
2π
x(t) dt
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但是受实际上不确定原理的制约，时间分辨率和频率 分辨率不能同时达到最好（即分辨间隔最小）。因此 在实际信号分析中，应根据信号的特点及信号处理任 务的需求选取不同的时间分辨率和频率分辨率。
时域突变信号——高的时域分辨率，降低频率分辨率 要求
时频分析方法
• 信号具有时变均值，时变方差，相关函数与时间 起点有关
ˆ x (t )] mx (t ) E[m
ˆ x (t )] Var[m 1 2 x (t ) N
– 均方值估计为：
1 N 2 ˆ Dx (t ) xx (t ) N i 1
ˆ (t )] D (t ) – 可以证明此估计为无偏估计，即 E[ D x x
– 用 | S () |2 表示信号的能量谱密度。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
– 信号的频率中心： 0
1 | S ( ) |2 d 2π
– 信号的带宽： 2 2 | S () |2 d
1 ( )2 | S ( ) |2 d 2π
大连理工大学 10
• 分析非平稳信号的主要方法
时频 分析法 线性变换的 时频分析法 短时傅里 叶变换 非线性变换的 时频分析法 Wigner-Ville 分布 Cohen类 时频分布
Gabor变换
小波变换
2013/12/25
大连理工大学
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• 时频分析举例：分段正弦信号
2013/12/25
大连理工大学
STFTx (t, f )
x(u) w* (u t )e j2 fudu
• 其中信号x(t)是慢变的， w* (t )是短时窗函数，*表示共轭
– STFT与Fourier变换的关系
• STFT是加窗的Fourier变换； • STFT是时间和频率的二维函数。
2013/12/25 大连理工大学 26
– 如果随机过程（随机信号）满足下述条件：
E[ X (t )] X (t ) X E[ X 2 (t )] RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t t1 ) X (t t1 )]
《信号分析与处理》ch08时频分析与小波变换 教学课件
瞬时相关函数表示信号在瞬时相关域(t,τ)的瞬时相关程度。x(t)与y(t)的瞬时互相 关函数的定义式为
3.Wigner-Ville (维格纳-维尔)分布
对于随机信号，瞬时相关函数只要在上述定义式右边取均值即可。 信号x(t)的自Wigner分布的定义为其瞬时相关函数关于滞后τ的傅里叶变换：
其中，x为信号序列;window 为选用的窗函数(如果window 是一个整数，则序列 将x分成长度等于 window 长度的片段，并采用汉明窗;如果window 是一个向量 ，则将序列x分成长度等于window长度的片段，并采用向量window确定的窗函数 );noverlap 为信号片段之间的重叠长度:nm为FFT的数据长度;s 为采样频率，默 认值为1Hz。此外，还可以使用spectrogram(...reqloc)的句法来控制频率轴的 显示freqloc的值可以为“xaxis”或“yaxis”即x轴和y轴中的一个为频率轴，另 一个为时间轴。默认x轴是频率轴。
2.短时傅里叶变换(STFT)
式(8-11)实际上就是一个M点离散傅里叶变换(DFT)若窗函数g(n)的窗口宽度正好 也是M点，则式(8-11)可写成
在应用中，若g(n)的窗口宽度小于M，则可采用补零的方法使其长度变为M;若g(n) 的窗口宽度大于M，则应增大M，使之等于窗函数的宽度。
2.短时傅里叶变换(STFT)
Ville 分布。Wigner-Ville分布形式简单，并具有一系列良好性质，是应用十分广
泛的时频分布。
信号x(t)的Wigner-Ville分布也可以用信号的频谱定义为
信号x(t)和y(t)的联合Wigner-Ville分布的定义式为
第八章时频分析(2009)
时间均值 频率均值
频率中心： ( )
1 2E
2 | X ( ) | d 0
中国石油大学（北京）电子信息工程系
时间宽度：
2 t 1 E
( t t0 ) | x( t ) | dt
2 2
1 E
2 t 2 | x( t ) |2 dt t0
1 2
STFTx ( t , )e j d
1 2
j ( ) x ( ) g ( t ) e dd
x ( ) g ( t ) ( )d x ( ) g ( t )
t
x( t )
1 2g ( 0 )
中国石油大学（北京）电子信息工程系
8.1.1傅里叶变换的局限性
频率表示的数学方法是由傅里叶发明的。 他十九世纪初提出傅里叶变换，一直是信号 分析与处理中应用最广的变换。傅里叶变换 将信号分解成单个谐波频率分量，并建立了 每个分量的相对强度。
x(t )
X ( j) x(t )e
1 2
中国石油大学（北京）电子信息工程系
STFTx (t , ) e j0 g ( t )e j d G( 0 )e j ( 0 )t
7.2.2
短时傅立叶反变换
STFT( t , ) x( )g ( t )e j d
取反变换
STFTx (t , ) ( 0 ) g ( t )e j d g ( 0 t )e j 0
该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数g ( ) 的宽度 而决定。
例2
若 x( ) e
信号理论讲义6(时频分析)
频域位移不变性
若
s( ) s( 0 )
则 P(t , ) P(t , 0 )
若 则
s (t ) e
j0t
s (t t0 )
P(t , ) P(t t0 , 0 )
线性尺度变换：
若 则
s (t ) as (at ) P (t , ) P ( at , / a )
特点：
原理简单明确 有合理的物理意义 计算容易。
特性分析：
总能量
E＝ Psp (t , )dtd | st ( ) |2 dtd ˆ | s( t ) |2 | g ( ) |2 dtd ˆ ( | g ( ) |2 | s ( t ) |2 dt )d ˆ | g ( ) |2 d s
1.将信号和窗函数离散化。 s (t ) {s (n)} g (t ) {g (n)} 2.将s (n)与g (n－m)相乘，得到{s (n) g (n－m)}。 3.对{s (n) g (n－m)}作离散傅立叶变换。 DSTFT ( s )(m, l ) s (n) g (n－m)e
？
二次型时频分布：
信号项
若 则
z (t ) c1 x(t ) c2 y (t ) Pz (t , ) | c1 |2 Px (t , ) | c2 |2 Py (t , )
* * c1c2 Px , y (t , ) c2c1 Py , x (t , )
交叉项
3.对函数st ( )作傅立叶变换 1 ˆ st ( ) st ( )e j d 2 1 s ( ) g ( t )e j d 2 因此，在t时刻信号的能量密度频谱是 ˆ Psp (t , )＝|st ( ) |2
时频分析方法
傅里叶变换分析信号的缺点基于傅里叶(Fourier)变换的信号频域表示，揭示了时间函数和频港函数之间的内在联系，在传统的平稀信号分析和处理中发挥了极其重要的作用，很多理论研究和应用研究都把傅里叶变换当作最基本的经典「具来使用.但是傅里叶变换存在着严重的缺点:1.傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能傅里叶变换及其逆变换表示如下：S ㈣=f[s(t)]=匚S(t)e*dt (1)r-Kos(t) = — [ S(c)e*d/ (2)In A由以上两式可知,傅里叶变换是一种整体变换，对信号的表征要么完全在时域内，要么完全在频域内，u)和t是互相排斥的两个变量.用傅里叶变换的方法得到某-个频率/的频谱分吊S (国J),必须从-8〜+8的整个时间轴上进行积分.如果要从频谱得到信号在某一时刻t0的ffis(t0),则需要对S(co)在整个频率轴上进行积分.因此，傅里叶变换得到的是信号s(t) 在整个时间范围内的频率特性，它不能告诉人们在某段时间里信号发生了什么变化，也无法获得某一频率出现的时刻信息，因此，它不具有时间和频率的定位功能2.傅里叶变换对于非平稳信号的局限性信号的瞬时频率，表示了信号的谱峰在时间-频率平而上的位置及其随时间的变化情况，一般平稳信号的瞬时频率为常数，而非平稳信号的瞬时频率是时间t的函数.从傅里叶变换变换的表达式可以看出,S(U) )是单变量3的函数，信号的傅里叶变换不随时间的变化而变化, 因此，傅里叶变换仅仅适用于平稳信号.但是，在实际工作中，我们分析和处理的往往是时变的或非平稳的信号，它们的频率随时间变化而变化,其相关函数、功率谱等也是时变信号，用傅里叶变换进行分析，得到的信号频谱反映的是整体信号中包含的某一频率分最的平均值. 所以傅里叶变换不能反映信号瞬时频率随时间的变化情况，仅仅诂用于分析平稳信号.对频率随时间变化的非平稳信号，傅里叶变换只能给出其总体效果，不能完整地把握信号在某一时刻的本质特征3.傅里叶变换在时间和频率分辨率上的局限性分辨率是信号处理的基本概念之一，包括频率分辨率和时间分辨率.在时域分析中，信号处理的目标是尽"能地同时获得高的时间分辨率和频率分辨率.然而，订以证明时域窗和频域窗乘积恒定且大于等于12,也即不可能同时获得高的时频分辨率，这就是著名的不确定性原理.傅里叶变换在这方面的表现尤其不尽如人意.傅里叶变换可以改写成内积的形式，即= (3)由于傅里叶变换等效于s(t)和基函数做内积，而彳顼对不同的3构成一族正交基，因此S(co)精确地反映了s(t)在该频率点的分量大小.基函数彳侦在频域是位于co处的。
时频分析方法范文
时频分析方法范文时频分析是一种用于分析非平稳信号的方法，它基于时间和频率域的分析技术，能够给出信号在不同时间和频率上的变化规律。
时频分析通常用于处理具有瞬态特征的信号，例如声音、图像、生物信号等。
本文将介绍时频分析的基本原理、常见方法及其在不同领域的应用。
一、基本原理时频分析基于声学和数学等领域的原理，旨在研究信号在时间和频率两个维度上的变化。
传统的傅里叶变换只能提供信号的频域信息，无法描述非定常或非线性信号在时间上的变化。
时频分析通过引入窗函数来实现信号在时间和频率上的分解。
1.窗函数窗函数是时频分析的关键概念，它将信号在时间上切割成多个片段，并将每个片段与一个特定的函数进行乘积。
窗函数通常是时域上的一种窄带滤波器，能够减小信号在时频域的交叉干扰。
常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、高斯窗等。
2.短时傅里叶变换（STFT）短时傅里叶变换是时频分析的最基本方法，它将信号分成多个时间窗口，并对每个窗口进行傅里叶变换。
STFT的窗口长度和重叠率可以根据信号的特性进行调整，从而控制时间和频率分辨率。
STFT分析得到的结果是一个时频矩阵，可以直观地表示信号在不同时间和频率上的能量分布。
3. 维纳-辛钦（Wigner-Ville）分布维纳-辛钦分布是一种时频分析方法，它基于短时傅里叶变换，通过在矩阵的对角线上进行平均来消除交叉干扰。
Wigner-Ville分布能够提供更精确的时频信息，但对噪声和窗口选择比较敏感。
4.小波变换小波变换是一种基于频率域的时频分析方法，它利用小波函数的局部性质，将信号分解成不同频率段的子信号。
小波变换具有良好的时间和频率局部化特性，能够捕捉到信号中的瞬态特征。
常见的小波变换方法有连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
二、常见方法除了上述方法，时频分析还有一些其他常见的方法，如下所示。
1. 希尔伯特-黄（Hilbert-Huang）变换希尔伯特-黄变换是一种非平稳信号的时频分析方法，它由希尔伯特变换和经验模态分解（EMD）两部分组成。
时频分析PPT课件
可编辑
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时频分析(5/24)
短时傅里叶变换（STFT）
Gf (w,b) f (t)g(t b)e jwtdt
式中，g(t) 是一个窗函数，其作用是取出在 f (t) 在某时刻 b 附近 的一小段信号进行傅里叶变换，当b 变化时，窗函数随 b 移动，
从而得到信号频谱随时间 变化的规律。
ww
1 2
窗口大小不受中心点位置的影响
Heisenberg测不准原则限制了窗函数不可能同时具有很高 的时间分辨率和频率分辨率。
常用的窗函数有矩形窗，Hamming窗，Gaussian窗和 Blackman窗。由窗函数的选取可引入Gabor变换。
可编辑
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时频分析(16/24)
Gabor变换
信号模型
f1 400Hz f2 200Hz f3 100Hz
可编辑
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时频分析(10/24)
不同窗口宽度对于STFT分析的影响
可编辑
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时频分析(11/24)
窗形状对短时傅立叶变换的影响
－ 矩形窗——主瓣窄，衰减慢；（窗口每一点在计算中 的贡献是等同的） － 汉明窗——主瓣宽，衰减快；（突出窗口中的中间点 在计算中的贡献）
可编辑
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时频分析(3/24)
两个线性调频信号之和的时域与频域图
y sin[2 (175t2)] sin[2 (350 175t2)]
t (0,1)
可编辑
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时频分析(4/24)
分析非平稳信号的理论
(1) 短时傅里叶变换（STFT） (2) Gabor变换 (3) 积分小波变换（IWT）
时频分析（1/24）
时频分析
《信号的时频分析》课件
高效算法
研究更高效的时频分析算法，提高计算效率和准确性。
多维信号处理
拓展时频分析在多维信号处理领域的应用，如图像和视频信号。
深度学习与机器学习
结合深度学习和机器学习技术，改进时频分析的性能和效果。
THANKS
感谢您的观看。
03
CHAPTER
信号的时频分析方法
短时傅里叶变换是一种常用的信号时频分析方法，通过在时间上滑动窗口并对每个窗口内的信号进行傅里叶变换，可以得到信号在时间和频率上的分布信息。
总结词
STFT通过在时间轴上滑动一个固定大小的窗口，并对每个窗口内的信号进行傅里叶变换，将信号从时域转换到频域。窗口的大小和形状可以根据需要进行选择，常用的有矩形窗、汉明窗等。STFT的优点在于其简单易行，可以直观地展示信号的频率成分随时间的变化情况。《信号的Fra bibliotek频分析》ppt课件
目录
引言时频分析的基本概念信号的时频分析方法时频分析的应用实例时频分析的挑战与展望
01
CHAPTER
引言
03
时频分析在信号处理、通信、雷达、声呐、振动分析等领域有广泛应用。
01
信号的时频分析是一种研究信号时间-频率特性的方法，用于揭示信号中隐藏的频率成分和时间变化规律。
02
它通过将信号从时间域转换到频率域，并分析信号在不同时间和频率下的表现，来描述信号的时频特性。
通过时频分析，可以更好地理解信号的特性和变化规律，为信号处理、特征提取、模式识别等应用提供有力支持。
时频分析在处理非平稳信号时具有独特的优势，能够有效地提取信号中的瞬态特征和突变信息。
时频分析能够揭示信号中隐藏的频率成分和时间变化规律，对于理解和处理复杂信号非常重要。
信号的时频分析
高通滤波器 小波方程
gk kZ
小波函数 t
Mallat算法
MRA
令 Vj ， j , 2, 1,0,1,2, 中的一个函数子空间序列。若下列条件成立： 1) 单调性： Vj 1 Vj Vj 1 ， j Z 2) 逼近性 ： V j {0}，
Hilbert空间的例子与两向量正交
• 例1 空间是Hilbert空间，内积 定义 f , g f ( x) g ( x)dx 为 • 例2 l 2 ( Z ) 空间是Hilbert空间，内积 定义 a, b anbn 为 n • 两向量正交 内积空间中的两向量x 与y 称 为是正交的，如果 x, y 0 这时常 写x y 。
|| f || p ( | f ( x) |
p
dx)
1p
空间 L (R) 的重要不等式
• Minkovski 不等式 是 || f g || p || f || p || g || p • Holder 不等式 对于p≥1,q≥1, 1 p 1 q 1 是 || fg ||1 || f || p || g ||q • Cauchy－Schwarz 不等式(p=q=2特殊情形) || fg ||1 || f ||2 || g ||2 是
a
Hilbert空间
• 内积空间 引入了内积的线性空间称为内积 空间。 • 内积空间是线性赋范空间 在内积空间中,对 每个 f X ，由内积导入范数，定义 为 || f || f , f 1 2 则X 就变成了一个线性赋范空间。 • Hilbert空间 一个完备的内积空间称为 Hilbert空间。
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时间平移 时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行 移动，如图所示。
小波运算的基本步骤： (1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信 号起始点对齐； (2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近 程度，即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此 刻信号与所选择的小波函数波形越相近，如图所示。
小波变换的思想来源于伸缩和平移方法。 尺度伸缩 对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压 缩和伸展，如图所示。
f (t ) sin(t ); a 1
f (t ) sin(2t ); a 1 2 4
f (t ) sin(4t ); a 1
f (t ) (t ); a 1
干扰压制后的第 2 道信号及其频谱
广义S变换压制的面波成分
处理后的单炮记录
频率为 10Hz 和 50Hz 余弦合成信号及其频谱
信号的短时傅立叶变换时频图
小波变换的尺度-时间图
平稳信号的 Wigner-Ville 分布图
S 变换时频图
广义 S 变换时频图
非平稳信号的时频分析
10Hz、30Hz、50Hz、70Hz、100Hz 余弦信号合成的 非平稳信号及其频谱
非平稳信号的短时傅立叶变换时频图
(3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后 重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆 盖完整个信号长度，如图所示；
(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复 步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；
(5) 对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
平稳信号的时频分析
非平稳信号小波变换的尺度-时间图
非平稳信号 Wigner-Ville 分布图
非平稳信号广义 S 变换时频图
广义S变换的时频图（红色区域为压制区域）
广义S变换滤波后的信号时频图
广义S变换滤波后的非平稳信号及其频谱
Байду номын сангаас面波的实际单炮记录
干扰压制前的第 2 道信号及其频谱
第 2 道信号的的广义 S 变换时频图
歌声信号 歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化成 某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在 哪一时刻有低音，因此结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。