人教版最新高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解Word版

人教版最新高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解
Word版
一、选择题
1．已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设BP＝x，EF＝y，那么下列结论中正确的是( )
A．y是x的增函数
B．y是x的减函数
C．y随x的增大先增大再减小
D．无论x怎样变化，y为常数
[答案] D
[解析] ∵E、F分别为AP、PR中点，∴EF是△PAR的中位线，∴EF＝AR，∵R固定，∴AR是常数，即y为常数．
2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连结BD，EC.若BD∥EC，则四边形ABCD的面积为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
[答案] C
[解析] 由条件知AF＝2，BF＝BE＝1，
∴S△ADE＝AE×DF＝×4×3＝6，
∵CE∥DB，∴S△DBC＝S△DBE，∴S四边形ABCD＝S△ADE＝6.
3．(2010·广东中山)如图，⊙O与⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O 于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N，MN＝3，NQ＝15，则PN ＝( )
A．3
B.
C．3
D．35
[答案] D
[解析] 由切割线定理知：
PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，
∴PN＝3.
4．如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，CD＝6，且ADBD＝32，则斜边AB上的中线CE的长为( )
A．5
B.56
2
C.
D.310
2
[答案] B
[解析] 设AD＝3x，则DB＝2x，由射影定理得CD2＝A D·BD，∴36＝6x2，∴x＝，∴AB＝5，
∴CE＝AB＝.
5．已知f(x)＝(x－2010)(x＋2009)的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(0，)
D．(0，)
[答案] A
[解析] 由题意知圆与x轴交点为A(2010,0)，
B(－2009,0)，与y轴交点为C(0，－2010×2009)，D(0，y2)．设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F＝－2010×2009
令x＝0得y2＋Ey－2010×2009＝0
∴－2010×2009×y2＝－2010×2009
∴y2＝1，故选A.
[点评] 圆与x轴交点A(2010,0)，B(－2009,0)与y轴交点C(0，－2010×2009)，D(0，y2)，
∵A、C、B、D四点共圆，∴AO·OB＝OC·OD，
∴OD＝1，∴y2＝1.
6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入
Dandelin双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.3
2
[答案] B
[解析] ∵Dandelin双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，
∴2b＝2c，∴e＝＝＝＝.
二、填空题
7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT 交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝________.
[答案] 15
[解析] 由相交弦定理得DC·DT＝DA·DB，则DT＝9.
由切割线定理得PT2＝PB·PA，即(PB＋BD)2－DT2＝PB(PB＋AB)．又BD＝6，AB＝AD＋BD＝9，∴(PB＋6)2－92＝PB(PB＋9)，得PB ＝15.
8．(09·天津)如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为______________．
[答案] 2
[解析] ∵AB∥A1B1且AB＝A1B1，∴△AOB∽△A1OB1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比，
∴△A1OB1的外接圆直径为2.
9．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________．[答案] 99°
[解析] 连接OB、OC、AC，根据弦切角定理得，
∠EBC＝∠BAC，∠CAD＝∠DCF，
可得∠A＝∠BAC＋∠CAD＝(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.
[点评] 可由EB＝EC及∠E求得∠ECB，由∠ECB和∠DCF求得∠BCD，由圆内接四边形对角互补求得∠A.
10．PC是⊙O的切线，C为切点，PAB为割线，PC＝4，PB＝8，∠B＝30°，则BC＝________.
[答案] 43
[解析] (1)由切割线定理PC2＝PA·PB，
∴PA＝2，∠ACP＝∠B＝30°，
在△PAC中，由正弦定理＝，
∴sin∠PAC＝1，
∴∠PAC＝90°，从而∠P＝60°，∠PCB＝90°，
∴BC＝＝＝4.
11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则coscos－sinsin＝
____________.
[答案] －1
2
[解析] 如图，O1、O2、O3为三个圆的圆心，A1、A2、A3分别是每两个圆的交点，则∠A1PA2＋∠A2PA3＋∠A3PA1＝(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，
∴coscos－sinsin
α2＋α3
3
＝cos ＝cos ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π＋π
3
＝－cos ＝－.
12．(2010·广东××市四校联考)如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．
[答案]
7
[解析] 由图可知，PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝3，∴PA＝，∴∠AOP＝60°，
又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD ＝1， ∴cos∠POD＝＝－，∴PD＝. 三、解答题
13．(2010·××市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．
[解析] 连接OC.
设∠PAC＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CPA＝θ，∠COP＝2θ.
又因为PC与⊙O相切于点C，所以OC⊥PC.
所以3θ＝90°.所以θ＝30°.
设⊙O的半径为r，在Rt△POC中，
r＝CP·tan30°＝1×＝.
14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
[解析] 连结OC、BE、AC，则BE⊥AE.
∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4，即△OBC为正三角形，
∴∠CB O＝∠COB＝60°，
又直线l切⊙O于C，
∴∠DCA＝∠CBO＝60°，
∵AD⊥l，∴∠DAC＝90°－60°＝30°，
而∠OAC＝∠ACO＝∠COB＝30°，∴∠EAB＝60°，
在Rt△BAE中，∠EBA＝30°，∴AE＝AB＝4.
15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD 的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4，
(1)求PF的长度．
(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．
[解析] (1)连结OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，
结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得
∠CDE＝∠AOC，
又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋
∠OCP，
从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，
∴＝，
由割线定理知PC·PD＝PA·PB＝12，
故PF＝＝＝3.
(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，
因为OF＝2－r＝1，即r＝1，
所以OB是圆F的直径，且过P点的圆F的切线为PT，
则PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即PT＝2.。