北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(二)定积分在物理中的应用

t0
0
(3t 1)dx 10tdx 5 ∴ t03 t0 5t02 5
2 0
t0
∴ t0 (t02 1) 5(t02 1) , t0 =5(s)所以 S A = 5t02 5 =130(m) 答:两物体 5s 时相遇,相遇时物体 A 的走过的路程是 130m
s 3tdt 30dt (1.5t 90)dt =1350m
0 10 40
10
40
60
答:汽车汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m.
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36

a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1 在一直线上运动，
在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在 物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速 度单位为：m/s）
解: 设 A 追上 B 时,所用的时间为 t 0 依题意有 S A SB 5 即
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)

4
0
4 (t 4t 3)dt ,t=4s时刻该点距出发点4/3m 3
2
1 3 4
(2) S (t 2 4t 3)dt | (t 2 4t 3)dt | (t 2 4t 3)dt 4 0 1 3
t=4s时刻运动的路程为4
作业：
1、如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉 长6cm,需做功（ ） A A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设
k 100
F kx 则由题可得
。
所以做功就是求定积分

0.06
0
100xdx 0.18
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动， 并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到 b x= b点，则变力F(x) 所做的功为: W＝ F ( x)dx
C
变式题 1: 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线 运动,它在第 2 秒内的路程为( )m (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
D
在第 2 秒内的路程为
2 S 3t 2t 3 dt (3t 2 2t 3)dt (t 3 t 2 3t ) |1 7m 2 1 1 2 2
C
2.以初速度 40 m 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 s 为 v 40 10t (单位: m s ),试将物体的高度表示为时 间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m).
3 S v(t )dt (3t 2 2t 3)dt (t 3 t 2 3t ) |0 27 0 0
北师大版高中数学选修2-2 第四章《定积分》
定积分的简单应用(二)
定积分在物理中应用
我们知道， 作变速直线运动的物体所经过 的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时 间区间[a,b]上的定积分,即 s v ( t )dt
a b
这节课， 我们运用定积分知识来解决物理 学中的一些路程问题.
教学反思：
例 1:一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求汽 车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知: (0 ≤ t ≤ 10) 3t v t 30 (10 ≤ t ≤ 40) -1.5t 90(40 ≤ t ≤ 60)
∴汽车在这 1 min 行 驶的路程是:
3.A、 B 两站相距 7.2 km ， 一辆电车从 A 站开往 B 站， 电车 开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1.2( m 2 ) ，到达 C 点速度达 24 m ，从 C s s 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做匀 速直线运动)，经过 t 2 s 后，速度为 (24 1.2t 2 ) m ，在 B s 点恰好停车，试求：⑴A、C 间的距离；⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
3
3
解:记物体时刻 t 的) (40 10 x )dx = 40 x 5 x 2 |0 = 40t 5t 2
0 t
∴物体的高度表示为时间 t 的函数式为 h(t ) 40t 5t 2
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
(1)A、C间的距离; (2) B、D间的距离;
(2)240 (m)
(3)20+20+280=320(s)
(3)电车从A站到B站所需的时间.
能力练习: 4. A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电 车开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速 直线运动加速度为 1.2( m 2 ) ，到达 C 点速度达 24 m ， 从 s s C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做 匀速直线运动)，经过 t 2 s 后，速度为 (24 1.2t 2 ) m ，在 s B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
变式题 2: 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线 运动,求其在前 10 秒内的平均速率.
m 93
s
练习 2. 以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体 , t s 时 刻的速度为 v 40 10t ( 单位: m s ), 试将物体的高 度表示为时间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m)
0
设列车由开始制动到停止时所走得路程为S,则
S vdt 500(m)
0
50
练习:
A 、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开 往B站,电车开出t s后到达途中C点,这一 段速度为1.2t (m/s),到C点速度达24 m/s, 从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点 开始刹车,经过t s后,速度为(24-1.2t)m/s, 在B点恰好停车,试求: (1)240 (m)
例3 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时 列车获得加速度a=-0.4 m/s2,问列车应在 进站前多长时间,以及离车站多远处开始 制动?
解:列车速度v0=72km/h=20m/s,设列车由开始制 动到经过t秒后的速度为v, t 则 v v0 adt 20 0.4t ,令v=0,得t=50(s)
h(t ) (40 10 x )dx 40t 5t
0 t 2
变式题 以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 为 v 40 10t (单位 : m s ),问多少秒后物体达到最 高?最大高度是多少?
4 秒时到达最高为 80m
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3 (m/s)运动,求: (1)在t=4 s的位置;