高中数学专题：定积分问题
高二数学定积分知识点总结
高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。
当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。
定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。
1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。
1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。
通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。
二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。
在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。
2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。
2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。
2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。
定积分定义计算例题
定积分定义计算例题定积分是高中数学中比较重要的一个概念，也是数学中的一个重要工具。
下面是一些定积分的定义和计算例题：1. 定积分的定义：定积分是指在一定区间内，曲线和坐标轴之间的面积。
表示为：$int_a^bf(x)dx$。
其中，$a$和$b$是积分区间的两个端点，$f(x)$是被积函数。
2. 定积分的计算方法：(1) 划分区间：将积分区间分成若干个小区间。
(2) 求出每个小区间的面积：用等式$S=frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)$求出每个小区间的面积。
(3) 将每个小区间的面积相加：$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^nfrac{1}{2}(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x _i)$。
3. 计算例题：例1：计算$int_0^{pi/2}sin x dx$。
解：因为$sin x$在区间$[0,pi/2]$上单调递增，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。
设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=ifrac{pi}{10}$，$x_{i+1}=(i+1)frac{pi}{10}$。
每个小区间的面积为：$frac{1}{2}(sin x_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}$将每个小区间的面积相加，得到：$int_0^{pi/2}sin x dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}(sinx_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}approx1$例2：计算$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx$。
解：因为$frac{1}{1+x^2}$在区间$[0,1]$上单调递减，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。
设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=icdot0.1$，$x_{i+1}=(i+1)cdot0.1$。
每个小区间的面积为：$frac{1}{2}left(frac{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right) cdot0.1$将每个小区间的面积相加，得到：$int_0^1frac{1}{1+x^2}dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}left(fra c{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right)cdot0.1approx0.78$。
高中数学定积分的概念及相关题目解析
高中数学定积分的概念及相关题目解析在高中数学中，定积分是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的概念，并通过具体的题目解析来说明其考点和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用定积分。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分结果的确定值。
定积分的符号表示为∫，下面是定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间中的一个点ξi，作为f(x)在该小区间上的取值点。
那么，定积分的近似值可以表示为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Σf(ξi)Δx当n趋向于无穷大时，定积分的近似值趋向于定积分的准确值，即：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx这个准确值就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
二、定积分的考点和解题技巧1. 计算定积分的基本方法对于一些简单的函数，可以直接使用定积分的定义进行计算。
例如，计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx = lim(n→∞)Σ(ξi)²Δx在这个例子中，可以将区间[0, 1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。
然后，选取每个小区间中的一个点ξi，可以选择ξi = i/n。
这样，定积分的近似值可以表示为：∫[0, 1]x²dx ≈ Σ(ξi)²Δx = Σ(i/n)²(1/n)当n趋向于无穷大时，可以求出定积分的准确值。
在这个例子中，计算过程如下：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σ(i/n)²(1/n)= lim(n→∞)(1/n³)Σi²= lim(n→∞)(1/n³)(1² + 2² + ... + n²)= lim(n→∞)(1/n³)(n(n+1)(2n+1)/6)= 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分的值为1/3。
高中数学 专题1.7.2 定积分在物理中的应用练习(含解析
定积分在物理中的应用（时间：25分，满分50分）班级 姓名 得分1. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 3x ＋x(单位：N)的作用下沿与F (x )相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( ) A ．44 J B ．46 J C ．48 J D ．50 J【答案】 B2．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( ) A ．1＋e B ．e C.1e D ．e －1【答案】 B【解析】 W ＝ʃ10F (x )d x ＝ʃ10(1＋e x )d x ＝(x ＋e x )|10＝(1＋e)－1＝e.3.以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度 为( )． A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 【答案】 A【解析】 由v ＝40－10t 2＝0⇒t 2＝4，t ＝2. ∴h ＝⎰2(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m)．4．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 【答案】 C 【解析】 W ＝⎰105F (x )d x ＝⎰105(3x 2－2x ＋5)d x ＝(x 3－x 2＋5x )⎪⎪⎪105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251t+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 ( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 【答案】C6．变速直线运动的物体的速度v (t )＝5－t 2，前2 s 所走过的路程为________． A.1603 B.223 C.403 D.203【答案】 B【解析】 设前2 s 所走过的路程为x (2)，∴x (2)＝⎰2v (t )d t ＝⎰2(5－t 2)d t ，∴x (2)＝⎝⎛⎭⎪⎫5t －13t 3⎪⎪⎪20＝223. 7．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________． 【答案】 0.36 J【解析】 弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，∴F (x )＝50x . ∴W ＝ʃ0.12050x d x ＝25x 2|0.12＝0.36 (J)． 8．质点直线运动瞬时速度的变化律为v (t )＝－3sin t ，则t 1＝3至t 2＝5时间内的位移是________．(精确到 0.01)【答案】 3.82 m 【解析】 s ＝⎰53v (t )d t ＝⎰53(－3sin t )d t ＝3cos t ⎪⎪⎪53＝3(cos 5－cos 3)≈3.82 m.9．一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为()2cos a t A t ω=-，在t =0时，v (0)=0，s (0)=A ，其中A 、ω为常数，求质点的位移方程.【解析】()()2()0(cos )t ta t dt A t dt v t v ω==--⎰⎰，∴()220|sin sin t v t A t A t ωω=-=-.∴()()2()0(sin )ttv t dt A t dt s t s ω==--⎰⎰，∴()22cos s t A A t A ωω-=-.∴()22cos s t A A t A ωω=+-.∴质点的位移方程为()22cos s t A A t A ωω=+-，t ∈［0，+∞).10．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求 (1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．s 1＝ʃ40(8t －2t 2)d t －ʃ64(8t －2t 2)d t＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|64＝1283.当t ＝6时，点P 的位移为ʃ60(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|60＝0.(2)依题意知ʃt0(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．所以，t ＝6.。
高中数学定积分计算习题
定积分的计算班级 姓名一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ⎰11-2-1 (2)dx x ⎰22-4（3）dx x ⎰22-2x （4）()dx x x ⎰-24二、定积分计算 （1）()dx ⎰107-2x （2）()d x ⎰+21x2x 32（3）dx ⎰31x 3（4）dx x ⎰ππ-sin （5）dx x ⎰e 1ln （6）dx ⎰+1x 112（7）()d x x x⎰+-10232 （8）()dx 2311-x ⎰ （9）dx ⎰+11-2x x 2）（（10）()d x x ⎰+212x1x （11）()d x x x ⎰-+11-352x （12）()d xe e x x ⎰+ln2x -e（13）dx x ⎰+ππ--cosx sin ）（ （14）dx ⎰e1x 2（15）dx x ⎰21-x sin -2e ）（（16）dx ⎰++21-3x1x x 2 （17）dx ⎰21x13 （18）()dx 22-1x ⎰+三、定积分求面积、体积1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。
2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积4.如图求由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．5、求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。
6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。
7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。
8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。
2023高中数学定积分易错题集锦
(每日一练)2023高中数学定积分易错题集锦单选题1、∫(√4−x 2+sinx)1−1dx =（ ） A ．π3+2√3B ．π3+√3C ．2π3+√3D ．π+√3 答案：C解析：结合几何意义求得定积分.∫(√4−x 2+sinx)1−1dx = ∫(√4−x 2)1−1dx +∫(sinx )1−1dx ， ∫(sinx )1−1dx =(−cosx )|−11=(−cos1)−[−cos (−1)]=−cos1+cos1=0.y =√4−x 2,x 2+y 2=22(y ≥0)，表示圆心在原点，半径为2的圆的上半部分.A(1,√3),B(−1,√3)在圆上，所以∠AOB =π3， 所以∫(√4−x 2)1−1dx =16×π×22+2×(12×1×√3)=2π3+√3. 所以∫(√4−x 2+sinx)1−1dx = 2π3+√3. 故选：C2、∫2x+3x+22−1dx =（ ）A ．2+ln2B ．3−ln2C ．6−ln2D ．6−ln4答案：D解析：先求出不定积分，再代入上下限来求定积分.由题，∫2x+3x+2d x 2−1=∫(2−1x+2)d x 2−1 =[2x −ln(x +2)]|−12 =(4−ln4)−(−2−ln1)=6−ln4. 故选：D小提示：本题考查定积分的运算，属于基础题.3、∫√16−x 240dx 等于（ ） A ．π4B ．πC ．2πD ．4π答案：D解析：利用定积分的几何意义将∫√16−x 2dx 40转化为求圆的面积问题即可. ∫√16−x 240dx 表示的是圆x 2+y 2=16的上半部分与直线x =0与x =4及x 轴围成的图形的面积,即圆x 2+y 2=16的面积的14,所以∫√16−x 2d x 40=4π, 故选：D.小提示：本题考查定积分的几何意义计算定积分，解题的关键在于讲定积分转化为几何意义，进而求解，是基础题..4、如图，阴影部分是由x 轴、y 轴、直线x =1、曲线y =e x 围成的，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为（ ）A ．e 3B ．4−e 3C ．3−e 3D ．e−13答案：B解析：利用定积分计算出阴影部分区域的面积，并计算出矩形OABC 的面积，利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.由题意可知，阴影部分区域的面积为S =∫e x 10dx =e x |01 =e −1，矩形OABC 的面积为S □OABC =1×3=3，因此，所求概率为P =1−S S □OABC =1−e−13=4−e 3.故选：B.小提示： 本题考查几何概型概率的计算，考查利用定积分计算曲边梯形的面积，考查计算能力，属于基础题.5、∫[√1−(x −1)2−x]d x 2=（ ）A ．π4−1B ．π4−2C ．π2−1D ．π2−2 答案：D解析：根据定积分的几何意义求∫√1−(x −1)2d x 20，由微积分基本定理求∫x d x 20，即可求解.∫[√1−(x −1)2−x]d x 20=∫√1−(x −1)2d x 20−∫x d x 20，由y =√1−(x −1)2可得：(x −1)2+y 2=1 (y ≥0)表示以(1,0)为圆心，半径等于1 的上半圆，所以∫√1−(x −1)2d x 20的值为该圆面积的一半，所以∫√1−(x −1)2d x 20=π×12×12=π2，∫x d x 20=12x 2|02=12×22−0=2， 所以∫[√1−(x −1)2−x]d x 20=π2−2， 故选：D.。
高中定积分的计算
高中定积分的计算在高中数学学习中，定积分是一个重要的概念和计算方法。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、经济等其他学科中也具有重要意义。
本文将介绍高中定积分的基本概念、计算方法和一些常见的应用场景。
一、定积分的基本概念定积分是微积分中的重要内容，是对曲线下面积的一种度量。
定积分的计算可以理解为将曲线下的面积划分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积加起来，得到整个曲线下的面积值。
在高中数学中，定积分可以用下面的形式表示：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分区间，dx表示积分的自变量。
定积分的结果是一个数值，表示被积函数在积分区间内的曲线下面积。
二、定积分的计算方法高中定积分的计算方法主要有三种：几何法、代数法和牛顿-莱布尼茨公式。
1. 几何法：这种方法利用几何图形的面积性质来计算定积分。
常见的几何图形包括矩形、三角形、梯形等。
通过将曲线下的面积分割成这些几何图形，然后计算它们的面积并相加，就可以得到定积分的值。
2. 代数法：代数法是通过对被积函数进行积分运算来计算定积分。
这种方法可以利用积分的基本性质和常见函数的积分公式来进行计算。
通过将被积函数进行积分并确定积分上下限，就可以得到定积分的结果。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：这是一种基于导数和原函数的关系来计算定积分的方法。
根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是f(x)的原函数，那么在积分区间[a,b]上，有：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)这种方法适用于已知被积函数的原函数的情况，可以直接通过求原函数的差值来计算定积分。
三、定积分的应用场景高中数学的定积分不仅仅是一种计算方法，还具有一些实际应用场景。
以下是一些常见的应用示例：1. 面积计算：定积分可以用来计算曲线下的面积，例如计算二次曲线的面积、圆的面积等。
2. 长度计算：通过对曲线方程求导得到曲线的斜率，再利用定积分计算曲线的弧长。
高中数学定积分
下 方 为 y 2 ， 自 变 量 的 取 值 范 围 为 E,F ， 其 中 x
y E:
y
2 x x1
x 2 ， F 4,0 ， 所 以 所 求 面 积 为
）
D. 4 2ln 2
4
2
S
x 1 dx
2
x
1 x2
x
2ln x
4 2
4 2ln2
2
答案： D
例 8：如图所示，正弦曲线 y sin x ，余弦曲线 y cosx 与两直线 x 0, x
2 x2 x 1 dx
1
b
（3） f x dx a
2 x2dx
2
xdx
2
1dx
1
1
1
c
b
f x dx f x dx ，其中 a c b
a
c
作用： 当被积函数含绝对值， 或者是分段函数时， 可利用此公式将所求定积分按区间进行拆
分，分别求解。
5、若 f x 具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算
f t xt x2
b
2、定积分 f x dx 的几何意义：表示函数 f x 与 x 轴， x a, x b 围成的面积（ x 轴 a
上方部分为正， x 轴下方部分为负）和，所以只有当 f x 图像在 a,b 完全位于 x 轴上方
b
b
时， f x dx 才表示面积。 f x dx 可表示数 f x 与 x 轴， x a, x b 围成的面积
再调整系数，
例如： f x
x3 ，则判断属于幂函数类型， 原函数应含 x 4 ，但 x 4 '
4x3 ，而 f x
x
3
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而
ʃ
m －2
－x2－2xdx＝4π，
即在区间[－2，m]上该函数图象应为14个圆，
于是得m＝－1，故选A.
答案 A
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
例2 (1)(山东)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封 闭图形的面积为( ) D
A.2 2
B.4 2
C.2
D.4
解析 令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2， ∴S＝ʃ 20(4x－x3)＝ 2x2－x4420＝8－4＝4，故选 D.
据定积分知阴影部分面积－ʃ 0a(－x3＋ax2)dx＝112， 解得a＝－1. 答案 －1
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11.(福建)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为
(2,4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机 5
取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___1_2__.
解析 由题意知，阴影部分的面积 ʃ 21(4－x2)dx＝ 4x－13x321＝535， ∴所求概率 P＝S矩形SABCD＝1×3 4＝152.
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12.求曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－31x 所围成图形的面积. y＝ x，
解 由y＝2－x 得交点A(1,1)；
(2)直线l过抛物线C:x2＝4y的焦点且
4
8
16 2
A.3
B.2
C.3
D. 3
解析 ∵抛物线方程为x2＝4y，
∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.
如图所示，可知l与C围成的图形的面积等
于
矩形OABF
的
面
积与
函
数
y
＝
1 4
x2
的
图象
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3.由直线 x＝－3π，x＝3π，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的封闭 图形的面积为( D )
1 A.2 解析
B.1
π
3 cos
-π
xdx=sin
π3
x
π
—
3
3
3 C. 2
D. 3
＝sin π3－sin－π3＝ 3.
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常考题型精析
题型一 定积分的计算 题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
题型一 定积分的计算
例1 (1)(陕西)定积分ʃ (2x＋10ex)dx的值为(
A.e＋2
B.e＋1
C.e
D.e－1
解析 ʃ 10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝e.故选 C.
)C
(2)(2014·江西)若 f(x)＝x2＋2ʃ 10f(x)dx，则 ʃ 10f(x)dx 等于( B )
)
0
A.12 B.6 C.4 D.1
π
解析 由定积分得 n＝－4cos x2 ＝4，
0
二项式的通项公式为 Tk＋1＝Ck4x4－k(－1x)
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＝Ck4(－1)kx4－2k， 由4－2k＝0，得k＝2， 所以常数项为 T3＝C24(－1)2＝6，故选 B. 答案 B
故有12＋S30－17＝10⇒S30＝15.
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5.图中阴影部分的面积是( B )
A.16
B.18
C.20
D.22
解析 S＝ʃ 4－2y＋4－y22dy＝ y22＋4y－y634－2＝18.
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x2，x∈[0，1]，
6.设 f(x)＝1x，x∈[1，e]
(其中 e 为自然对数的底数)，
则 ʃ e0f(x)dx 的值为( )
4
5
6
7
A.3
B.4
C.5
D.6
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解析 根据定积分的运算法则， 由题意，可知 ʃ e0f(x)dx＝ʃ 10x2dx＋ʃ e11xdx＝13x3|10＋ln x|e1＝13 ＋1＝43. 答案 A
22 C. 3
D.2 2－2
方法一 由 sin x＝cos x(x∈(0，π2))，得 x＝π4.
故所求阴影部分的面积
S＝π4
0
π
(cos x－sin x)dx＋2
π
(sin x－cos x)dx
4
π
π2
＝(sin ＝sin
x＋cos π4＋cos
x)
4
＋(－cos x－sin x)
0
π4－sin 0－cos 0＋[(－cos
专题3 函数与导数
第16练 定积分问题
题型分析·高考展望
定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积 分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度 不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考 查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形 的面积是本节重点.
常考题型精析 高考题型精练
0
0
＝0，
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∴－cos(23π－φ)＋cos φ＝0.
∴cos(23π－φ)－cos φ＝0.
∴
3 2 sin
φ－32cos
φ＝0.
∴ 3sin(φ－3π)＝0.
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∴φ－3π＝k1π(k1∈Z). ∴φ＝k1π＋π3(k1∈Z). ∴f(x)＝sin(x－k1π－π3)(k1∈Z). 由 x－k1π－π3＝k2π＋π2(k1，k2∈Z) 得 x＝(k1＋k2)π＋56π(k1，k2∈Z)，
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9.曲线y＝1x与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为_32__－__ln__2_. 解析 S＝ʃ 21(x－1x)dx
＝ 12x2－ln x21 ＝32－ln 2.
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SS21＝1460＝1.2. 3
答案 1.2
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1.已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0
所走的路程为( C )
A.g3t20
B.gt20
C.g2t20
D.g6t20
解析 由题意，可知所走路程为t0vdt＝t0gtdt
2π－π4 sin
2π)－
(－cos π4－sin 4π)]＝2 2－2. 故选D.
方法二 由 sin x＝cos x(x∈(0，π2))，得 x＝4π.
根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积
S＝2π4 (cos x－sin x)dx
0
π
＝2(sin x＋cos x)
4
0
＝2(sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0) ＝2 2－2.
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7.(2014·湖南)已知函数 f(x)＝sin(x－φ)，且23πf(x)dx＝0，则
0
函数 f(x)的图象的一条对称轴是( )
A.x＝56π
B.x＝71π2
C.x＝3π
D.x＝6π
解析
2π
∵23πsin(x－φ)dx＝－cos(x－φ) 3
(2)若定积分
ʃ
m －2
－x2－2xdx＝4π，则 m 等于(
)
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 根据定积分的几何意义知，
定积分
ʃ
m －2
－x2－2xdx 的值就是函数 y＝
－x2－2x的图象与
x 轴及直线 x＝－2，x＝m 所围成图形的面积， y＝ －x2－2x是一个半径为 1 的半圆，其面积等于π2，
A.－1
B.－13
1 C.3
D.1
解析 ∵f(x)＝x2＋2ʃ 10f(x)dx，
∴ʃ 10f(x)dx＝(13x3＋2xʃ 10f(x)dx)|10 ＝13＋2ʃ 10f(x)dx， ∴ʃ 10f(x)dx＝－13.
点评 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性 质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理 求解； (2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的 几何意义求解.
故选D. 答案 D
点评 求曲边多边形面积的步骤: (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上 限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.
变式训练2 (陕西)如图，一横截面为 等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠 截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与 当前最大流量的比值为________. 解析 由题意可知最大流量的比即为横截 面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的 直角坐标系，如图所示，
x2， x∈[0，1]， 变式训练 1 (1)设 f(x)＝2－x， x∈1，2]， 则 ʃ 20f(x)dx 等
于( C )
3
4
5
A.4
B.5
C.6
解析 ʃ 20f(x)dx＝ʃ 10x2dx＋ʃ 21(2－x)dx
＝13x3|10＋2x－12x2|21 ＝13＋4－2－2＋12＝56.
D.不存在