第二类型双圈图的距离矩阵论文

第二类型双圈图的距离矩阵论文本科生毕业设计（论文）（ 2013 届）理学院题目：第二类型双圈图的距离矩阵的行列式学生姓名：章叶锋学号：200911040223专业班级：信息与计算科学指导教师：龚世才职称：教授2013 年5 月15 日本科生毕业设计（论文）诚信承诺书我谨在此承诺：本人所写的毕业设计（论文）《第一类型双圈图的距离矩阵的行列式》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其它作者的观点和材料，均作了引用注释，如出现抄袭及侵犯他人知识产权的情况，后果由本人承担。

承诺人（签名）：年月日关于第二类型双圈图的距离矩阵的行列式摘要在图论中，图形都有自己的距离矩阵，距离矩阵即是是一个包含一组点两两之间距离的矩阵(即二维数组)。

因此给定N个欧几里得空间中的点, 其距离矩阵就是一个非负实数作为元素的N×N的对称矩阵。

最简单的图形就是树，是由n个顶点和1-n条边组成的一个不存在回路的图。

本文主要研究的是第二类型双圈图，即由n个顶点和1+n条边组成的存在两个回路且两个回路之间没有相交点的图形。

我们的主要工作就是通过Matlab计算各个第二类型双圈图的距离矩阵的行列式并通过生成函数寻找其中的规律。

关键词距离矩阵;树;第二类型双圈图;生成函数ON THE DETERMINANT OF THE SECOND TYP GRAPHS Abstract：In graph theory, the graphics have their own distance matrix, distance matrix that contains a set point or two between distance matrix (two-dimensional array). Therefore, given N points in the Euclidean space, the distance matrix is a non-negative real numbers as elements of N ×N symmetric matrix. The most simple graph is a tree, consisting of a non-existent by the vertices and edges in the circuit of FIG. This paper studies the second type of bicyclic graphs, graphics there is no point of intersection between the two loops and two loops composed by vertices and edges. Our main job is to calculate the determinant of the matrix of distance of the second type of bicyclic graphs by useing Matlab and by the generating function to find the law.Keywords：Distance matrices,tree,the second type of bicyclic graphs,generating function目录1 研究背景......................................... (6)2 基本概念......................................... (6)3 预备知识......................................... (7)4 第二类型双圈图的行列式 ........................................ . (10)4.1数据计算......................................... .. (10)4.2数据处理......................................... (13)参考文献......................................... .. (16)致谢......................................... (17)1研究背景图论从诞生至今已逾300年，在很多方面都有应用。

随着现在技术的发展，代数图论是现在图论中的一个主要研究领域，也已有很长的历史。

图论的代数表示形式主要有：1.图的Laplace矩阵2.图的邻接矩阵研究者不断尝试图的其它矩阵表示.1.正规Laplace矩阵2.混合图Laplace矩阵3.无符号Laplace矩阵近年来，图的距离矩阵越来越受到人们的关注，很多人已经对它进行了研究，其中最主要的是在1971年，Graham 和Pollack 证明了树的距离矩阵的行列式是一个定值，即()()21211----n n n 2005年，R.bapat,S.j.Kirkland 和M.Neumann 等进一步研究了赋权树和单圈图的距离矩阵。

本文安排如下：首先我们给出与本篇论文相关的一些概念和理论，如树、单圈图、双圈图、距离矩阵、生成函数。

接下来我们将计算基本的第二类型双圈图以及通过加边而生成的图形的距离矩阵的行列式并寻找它们之间的规律。

2基本概念2.1 距离矩阵对于一个图G (图1)，我们可以根据图G 各个点之间的距离关系列出它的距离矩阵()nn ij a A ⨯=，其中：()⎩⎨⎧≠==ji j i 若；，若,,0j i dis a ij 其中()j i dis ,表示i 和j 之间的距离。

()4det -=G图12.2 树在图论中，树(图2)是任意两个顶点间有且只有一条路径的图。

或者说，只要没有回路的连通图就是树。

定义：如果一个无向简单图G满足以下相互等价的条件之一，那么G就是一棵树。

(1) G是没有回路的连通图。

(2) G没有回路，但是在G内添加任意一条边，就会形成一个回路。

(3) G是连通的，但是如果去掉一条边，就不再连通。

(4) G是连通的，并且3顶点的完全图3K不是G的子图。

(5) G内的任意两个顶点能被唯一路径所连通。

(6) G是连通的，有1 n条边，并且G没有简单回路。

图22.3 单圈图定义：在图论中，单圈图即是由n个顶点和n条边组成的存在一个回路的图(图3，图4)。

图3 图4定理1.1 D 是有12+k 个顶点的圈的距离矩阵，然后Jk k k C C I D k k )1(12211+++---=+-定理 1.2 G 是一个有m k ++12个顶点且长度为12+k 的单圈图。

_D 是G 的距离矩阵。

则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=m k k k D m 212)1()2()det(_，同时_D 的惯性由)2,0,1(_,,__0_m k D n D n D n +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+给出。

定理1.3 G 是一个有m k +2个顶点切长度为k 2的单圈图。

D 是G 的距离矩阵。

则D 的惯量是()()()()()m k k D n D n D n +-=+,1,1_,,0。

2.4 双圈图一个含有1+n 条边的连通图称为双圈图。

第一类型双圈图：即由n 个顶点和1+n 条边组成的存在两个回路且两个回路之间没有相交边的图(图5)。

图5第二类型双圈图：即由n 个顶点和1+n 条边组成的存在两个回路且两个回路之间没有相交点的图(图6).图63预备知识定理1. 距离矩阵A 的行列式，记作A ，数域P 上的矩阵的初等行变换是指下列三种变换：1)以P 中一个非零的数乘矩阵的某一行； 2)把矩阵的某一行的c 倍加到另一行，这里c 是P中任意一个数；3)互换矩阵中两行的位置。

定理2. 把一矩阵A 的行列互换，所得到的矩阵称为A 的转置，记为'A 。

定理3. 有时候我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组组成的一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块。

定理4.生成函数:设数列}{012,,,a a a 的生成函数0()kk k A x a x ∞==∑，数列}{012,,,b b b 的生成函数()kk k B x b x ∞==∑，我们可以得到以下生成函数的性质：性质1 若1()()k k k l b a k l -<⎧=⎨≥⎩，则()()l B x x A x =⋅。

性质2若kk lba +=，则11()[()]l k k l k B x A x a x x -==-∑。

性质3 若0kk ii b a ==∑，则()()1A x B x x=-。

4第二类型双圈图的距离矩阵的行列式4.1数据计算首先我们研究最基本的第二类型双圈图G (图7)，以后我们可以再研究类似图8这类的图形。

图7图8我们把G称为基本图形，首先我们在G上加一条边，计算其距离矩阵的行列式的值，然后依次计算加两条边和加三条边的距离矩阵的行列式的值。

然后猜想这些行列式的之间的关系。

接下来我们可以计算以下各个加边的第二类型双圈图的距离矩阵的行列式并寻找它们的规律。

G11G12以下是加两条边的情况：G21G22G23G2425G26G27G接下来是加三条边条边的各种情况：13-G23-G33-G43-G53-G63-G73-G83-G93-G103-G113-G123-G133-G143-G153-G163-G通过计算()()12det det 1211==G G图形编号21G 22G 23G24G25G26G 27G行列式值 -32 -32 -32 -32 -32 -32 -32 图像编号 13-G 23-G 33-G 43-G53-G 63-G73-G 83-G 93-G行列式的80 80 80 80 80 80 80 80 80值103-G113-G123-G133-G143-G153-G163-G80 80 80 80 80 80 80从上面的计算结果可以知道对于一个基本的第二类型双圈图，只要加上的边的个数是相同的，则他的距离矩阵的行列式的值是不变的。

4.2数据处理接下来我们可以先研究下面这个图形f G。

fG对于f G的距离矩阵的行列式，我们用∂表示行向量，1表示值都是1的行向量，D是一个行列式，'∂是∂的转置。

fGA==∂+∂+∂∂+∂+∂D''''1111'111212=∂+∂+∂∂--D'''''111111111111=∂∂--D'''1111111212=∂∂--D'''111111222=∂∂--D''11112224DD'41124∂∂-∂∂--''11=DD''0401104∂∂-∂∂+∂∂+-''11图1-f G 和2-f G 的距离矩阵的行列式正好可以表示为D''0110∂∂+∂∂+'11和D'0∂∂，如果把fG 的距离矩阵的行列式表达式记为()n f ，则1-f G 和2-f G 的距离矩阵的行列式分别为()1-n f 和()2-n f ，即()()()14243f f f --=。