第二章_模糊控制1

Y的图像用隶属函数 uY 表示，如图所示。
uY
1
X 0 25 50 75 100
年龄对“年轻”呈现连续 的变化，Y的外延不分明、模 糊的，这样更符合人的意识。
（2）模糊集合的表示方式 离散论域：U=｛u1，u2,…,un｝,则U上的模糊集合A 可以表示为： 1）向量表示法： A [ A (u1 ), A (u2 ),..., A (un )]
1. 模糊关系的基本概念
模糊关系是指笛卡尔积上的模糊集合，表示多个 集合的元素间所具有的某种关系的程度。 给定集合X和Y，由全体(x，y) ，(x∈X, y∈Y)组成 的集合，叫做X与Y的笛卡尔积(或直积)记做X×Y， X×Y={(x,y) ∣ x∈X, y∈Y} 定义：所谓X，Y两集合的笛卡尔积 X×Y={(x,y) ∣ x∈X, y∈Y} 中的一个模糊关系R 是指以X×Y为论域的一个模糊子集，序偶(x,y)的隶属度 为 R( x, y)，其在[0,1]取值，大小反映了(x,y)具有关系R 的程度。
1 (ui , v j ) R rij R (ui , v j ) 0 (ui , v j ) R
例：X=Y=｛1，2，3，4，5，6｝， X Y 中的 X Y 的关系可用以下矩阵表示
0 1 1 R 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
注意：互补律 A A E, A A 对模糊集合不成立。
分解定理： 设A为论域U上的一个模糊集合， A 是A的 截 集， [0,1] ，则有A A ，其中 A 表示
[0,1]
与 A 的“乘积”，是一个模糊集合，其隶属 度定义为： u A A (u )
bell( x; a, b, c)
1 1
x c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
（4）模糊集合的隶属函数相关概念来自1）支集 支集( A) {x | A ( x) 0}


分界点
核 截集
支集
②核
0 u A
分解定理说明了一个模糊集合可以用无穷多个普 通集合数乘的并来构成，这样可将模糊集合的问题 化为普通集合的问题来分析解决。
扩张原理： 设f是普通集合X到Y的映射，A是X上的模糊集合， 则A在f作用下的像f(A)是Y上的模糊集合，其隶属 度函数规定为： 1 A ( x) , f 1 ( y) x f ( y ) f ( A) ( y ) 0 , f 1 ( y) 若B是Y上的模糊集合，则B在f作用下的原像 f 1 ( B) 是X上的模糊集合，其隶属度函数规定为： f 1 ( B ) ( x) B ( f ( x))
A , A或非 A
补（负）
A ( x) 1 A ( x)
基本运算定律： 设A,B,C是论域U上的三个模糊集合，它们的交、 并、补运算有以下定律： 1）恒等律： A A A, A A A 2）交换律: A B B A, A B B A 3）结合律： ( A B) C A ( B C), ( A B) C A ( B C) 4）分配律： A ( B C) ( A B) ( A C), 5）吸收律： ( A B) A A, ( A B) A A 6）同一律： A E E, A E A 7）复原律： A A 8）对偶律：( A B) A B, ( A B) A B
或
R S ( x, z ) {R( x, y) S ( y, z )}
例1：以年龄为论域，取X＝[0,200]，Zadeh给出 “年轻”的模糊集Y，其隶属函数是
1.......... .......... ........ 1 x 25 Y ( x ) x 25 2 1 ] ,.. 25 x 100 [1 5
相等：
R1 R2
R1 ( x, y) R2 ( x, y)
R1 ( x, y ) R2 ( x, y) R1 ( x, y ) R2 ( x, y)
1 R1 ( x, y )
并：
交： 补：
R1 R2 R1 R2
R1
2) 模糊关系合成 模糊关系合成是指，由第一个集合和第二个集合之 间的模糊关系得到第一个集合和第三个集合之间的模 糊关系的一种运算。常用的max-min 合成法。 定义：设R是X×Y中的模糊关系，S是Y×Z中的 模糊关系，所谓R和S的合成是指下列定义在X×Z上 的模糊关系Q，记做 Q＝R⊙S
3.1.3 模糊关系
模糊关系是与经典关系相对而言的，
“A比B大”----------模糊关系 “A比B大C”--------经典关系
经典关系： 定义：设X与Y是两个非空集合，集合X,Y的直积 X Y 的一个子集R称为X到Y的一个二元 关系，简称关系； 表示方法：关系可用矩阵R来表示，其中的元素 rij 基于特征函数的定义，即：
3.特征函数表示法：利用经典集合非此即彼 的明晰性表示； Eg：在小于10的自然数中由偶数组成的集合
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2. 模糊集合
（1）模糊集合的概念 模糊集合：设U是论域，U上的一个模糊集合A是 指，对于论域U中的任一元素u∈U，都指定了[0,1]闭 区间中的一个数 A (u ) 与之对应， A (u ) 称为u对A的 隶属度（Degree of Membership）
注意：隶属度为零的项不能省略！ 2）Zadeh表示法：
A (un ) A (u1 ) A (u2 ) A u1 u2 un
3）序偶表示法：
A {(u1, A(u1 ))， 2, A(u2 ))(un, A(un ))} (u
连续论域：若论域U是实数域，论域中有无穷多个 连续的点，则称为连续论域； A (u )
3.1 模糊控制的数学基础
★ 模糊概述
★ 模糊集合 ★ 模糊关系 ★ 模糊推理 ★ 小结
3.1.1 模糊概述
一些概念在特定的场合有明确的外延，例如国 家、货币、法定年龄、地球等；但是还有相当一部 分概念不具有明确的外延或边界的，称之为不分明 的概念或模糊概念，如下图所示。
天气冷热
雨的大小
风的强弱
xa a xb b xc cxd dx
梯形隶属函数
高斯形隶属函数
g ( x; c, )
1 x c 2 ( ) e 2
c代表 MF的中心； 决定 MF的宽度。
一般钟形隶属函数 bell( x; a, b, c)
1 1
x c 2b a
隶属函数的参数化： 以钟形函数为例，
1 A(X ) 0 如果 X A 如果 X A
为集合A的特征函数。
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
13
经典集合的表示方法：
1.列举法：适用于具有有限元素的集合； 2.定义法：适用于具有很多元素而不能一一 列举的集合； Eg：所有奇数的集合A=｛x|x为奇数｝
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
1.模糊数学：用来描述、研究、处理事物所具有 的模糊特征的数学； 模糊指的是它的研究对象； 数学指的是它的研究方法； 2.模糊性与随机性：均为一种不确定性； 3.模糊性与复杂性： 复杂性与精确性的“不相容原理”：随着系统 复杂性的增加，对其特性做出精确而有意义的 描述的能力会随之降低，直到达到一个阈值， 一旦超过它，精确与有意义将会相互排斥。
两种函数的关系
I.隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。
目前隶属函数好多没有成熟而有效的方法，一般 根据经营或模糊统计的方法来确定。因而，隶属函数 的确定还不是唯一的，通过对神经网络的训练，直接 自动生成的隶属函数是解决此问题有效方法。 实际控制问题中，经常选用的隶属函数有三角形、 半三角形、梯形、钟形（正态形）、Z形、S形和单点 形（ 函数）等多种
核( A) {x | A ( x) 1} ③ 截集 截集（ A） {x | A ( x) }
④ 分界点 ⑤ 模糊单点
隶 1.0 属 函 数 0.5 年龄 45 90
交叉点（ A） {x | A ( x) 0.5}
A ( x) 1 的单点支集
（5）模糊集合的运算
5.若用图来表示模糊关系时，称为模糊图； 6.模糊矩阵的截阵 R 定义为： R {( x, y ) | R ( x, y ) }
2. 模糊关系的运算
1）基本运算： 设R1和R2是直积空间 X Y 上的两个模糊关系， 包含：
R1 R2
R1 ( x, y) R2 ( x, y)
说明： 1.模糊关系本质上是一种模糊集合之间的一种映射； 2.由于模糊关系是用模糊集合来定义的，所以其特性 也完全由隶属函数来刻划； 3. R( x, y ) 是以x，y为自变量的一个空间曲面； 4.当X，Y皆为有限的离散集合时，X,Y的模糊关系R 可用矩阵表示，称为模糊矩阵；
RX Y (rij ) mn ( R ( xi , y j )) m n
A
u U

u
/ 注意：此处的 ， 不是数学运算符号，仅表示了 对论域中每个元素u都定义了相应的隶属度 函数。
（3）模糊集合的隶属函数 普通集合用特征函数来刻画，模糊集合用隶属函 数作定量描述。特征函数的值域为集合{0，1}，隶属 函数是特征函数的扩展和一般化。