2010-2011高一竞赛班数学期末试卷(新)

江苏省南菁高级中学2010－2011学年度第一学期
高一竞赛班数学期末测试试卷
一、选择题：请将正确的选项写在答卷纸上
1、满足条件}3,2,1,0{}2,1,0{=A 的集合A 的个数是
A 、8
B 、9
C 、16
D 、27 2、已知向量)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=，则必有
A 、a ⊥b
B 、a //b
C 、（a +b ）⊥（a －b ）
D 、＜a +b ＞＝βα+
3、在直角坐标系中，O 为原点，),(),(222111y x P y x P 和是第一象限中的两个点，
若4,,,121x x 成等差数列，8,,,121y y 成等比数列，则21P OP ∆的面积是
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 4、满足arccos(1－x)≥arccosx 的x 的取值范围是
A 、⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--211， B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021， C 、⎥⎦⎤
⎢⎣⎡210， D 、⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡121，
5、在等差数列}{n a 中，2019181784,4,1a a a a S S +++==则等于 A 、7 B 、8 C 、9 D 、10
6、在区间[]π，0中，三角方程cos7x ＝cos5x 的解得个数是 A 、5 B 、7 C 、11 D 、13
二、填空题：请将正确的答案写在答卷纸上
7、已知)3lg (lg ,5)10log (lg ,4sin )(33f f x b x a x f 则且=++=的值是____________.
8、已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ== ，且满足||ka b a k +=- |b
，(0)k >，则向量、b 夹角的最大值为____________
9、设()⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=a x x f 12lg 是奇函数，则使()0>x f 的x 的取值范围是___________ 10、求值：
40cos 210sin 70tan 310cos 20cot -+＝___________. 11、的最小值是，则且
，设y x y
x R y x +=+∈+
198
19,
12、设函数()sin cos ,()13
f x a x b x f π
=+=且，则对任意实数,a b ，()f x 的最大值的取值范围是
____________.
13、已知=+=---θθθθθθ33
cos sin
01cos 5sin 5cos sin 4，则
14、设{}n a 为14a =的单调递增数列，且满足22
111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，
则n a = ______。

15、的最大值是，则＜＜已知)cos 1(2
sin
0θθ
πθ+
16、甲罐中装有甲种液体4公斤,乙罐中装有乙种液体2公斤,丙罐中装有丙种液体2公斤,这些液体都是可以混合的.将甲罐中的液体分别倒入乙罐和丙罐各1公斤,然后又分别将乙罐与丙罐中混合后的液体各1公斤倒回甲罐.这样的操作称为一次混合.经过n 次混合后,乙罐中含有甲种液体的公斤数记为f(n),若要f(n)>0.9999,则n 的最小值是____________ 三、解答题：共80分。

17、（12分）已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量)sin ,(cos ),3,1(A A n m =-=
且1=∙n m ，（1）求角A ； （2）若221sin 23,cos sin B B B
+=--求tanC 。

18、（12分）已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋……＋a n x n
，且a 1, a 2, a 3,……,a n 组成等差数列(n
为正偶数)，又f (1)＝n 2 , f (－1)＝n ,
(1) 求数列的通项公式a n ； (2) 试比较f (2
1)与3的大小，并说明理由；
注意：请将17题、18题的解答写在答卷纸上，19题至22题见答卷纸
江苏省南菁高级中学2007－2008学年度第一学期
高一竞赛班数学期末测试试卷答卷
7、____________ 8、____________ 9、_____ 10、____________ 11、__________
12、_____________13、____________14、___________15、___________16、_________
三、解答题：共80分。

17、（12分）解：
18、（12分）解：
19、（12分）在ABC ∆中，若角A 、B 、C 的对边成等差数列。

(1)求的值2
tan 2tan
C
A ⋅ （2）求的值C C A A cos 5cos cos 4cos 5+- （3）2
π
=-C A 若，求三边a 、b 、c 之比，
20、（12分）设无穷等差数列{n a }的前n 项和为n S
(Ⅰ)若首项2
31=
a ，公差d =1，求满足2
)(2k k S S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{n a }，使得对于一切正整数k 都有2
)(2k k S S =成立；
21、（16分）设数列}{n a 的各项都是正数，且对任意*
∈N n ，都有
n n n n a a a a S a a a a a a a a ++++=++++=++++ 32123213
333231,)(设. （1）求证：n n n a S a -=22； （2）求数列}{n a 的通项公式；
（3）若)(2)1(31*-∈⋅⋅-+=N n b n a
n n n 为非零整数，λλ，问是否存在λ，使得对任意
n n b b N n >∈+*1,都有；
22、（16分）定义在（－1，1）上的函数f(x)满足：①对任意的x 、y ∈（－1，1），都有
)1()()(xy
y
x f y f x f -+=+ ②当x ∈（－1，1）时，有f(x)＞0
（1）求证：函数f(x)在（－1，1）上的图像关于原点对称 （2）求函数f(x)在（－1，1）上的单调性并证明之 （3）⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f ＞求证：)(+
∈Z n。