2020高考数学二轮分层模拟仿真专练(四)文
高考数学二轮复习分层特训卷方法技巧专练四
专练(四)技法14 函数方程思想1．已知在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动(包含端点)，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D ．[0,1] 答案：C 解析：解法一将正方形ABCD 放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，C (1,1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC →＝(1－x,1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32， 即EM →·EC →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.解法二 EM →·EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EB →＋12BC →·(EB →＋BC →)＝EB →2＋12BC →2＝EB →2＋12，又0≤|EB →|≤1，所以12≤EB →2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.2．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3 D.2π9答案：B解析：如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，设V (r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，则V ′(r )＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝8π27.3．[2019·陕西西安二模]已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋4，若存在实数t ，当x ∈[1，t ]时，f (x －a )≤4x (a >0)恒成立，则实数t 的最大值是( )A ．4B ．7C ．8D ．9答案：D解析：作函数f (x )＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2的简图如图所示．由图象可知， 当函数y ＝f (x －a )的图象经过点(1,4)时， 有x ∈[1，t ]，f (x －a )≤4x (a >0)恒成立， 此时t 取得最大值，由(1－a )2＋4(1－a )＋4＝4， 得a ＝5或a ＝1(舍)，所以4t ＝(t －5＋2)2， 所以t ＝1(舍)或t ＝9，故t ＝9.4．[2018·全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sinB ＝4a sin B sinC ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．答案：233解析：∵ b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴ 由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C ＞0，∴ sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc＞0，∴ cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴ S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.5．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.则a n ＝________，b n ＝________.答案：3n －2 2n解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3，又因为q >0，所以q ＝2.所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8 ①.由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16 ②，联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为________．答案：53解析：取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1，∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a ，∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c－5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.7．已知函数f (x )＝lg 1＋2x＋4x·aa 2－a ＋1，其中a 为常数，若当x ∈(－∞，1]，f (x )有意义，则实数a 的取值范围为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞ 解析：参数a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与变元x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．由1＋2x ＋4x·a a 2－a ＋1>0，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，得1＋2x ＋4x·a >0，故a >－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x .当x ∈(－∞，1]时，y ＝14x 与y ＝12x 都是减函数，因此，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x 在(－∞，1]上是增函数， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋12x max ＝－34，所以a >－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 8．关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立，则a 的取值集合为________________________________________________________________________．答案：{2e}解析：关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x－12x 2－1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞. 因为g ′(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1x2， 令φ(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，则φ′(x )＝x (e x－1)．因为x ≥12，所以φ′(x )≥0，故φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－e2>0. 因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1211812e --＝2e －94，所以a －94＝2e －94，解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}．9．[2018·全国卷Ⅱ节选]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.求l 的方程．解析：由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.10．已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k恒成立，求实数k 的最小值．解析：(1)因为a 1＝2，a 23＝a 2(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，所以公差d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )， 解得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)由(1)知S n ＝n (n ＋1)， 则b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3. 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则需使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.。
2020高三二轮数学模拟卷理(4)答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(四)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，则M∩N＝( )A．{1} B．{1，2}C．{2} D．[1，2]2．若复数z满足(z－1)i＝4＋2i，则|z|＝( )A．25 B.17C．5 D．173．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生人数如下表所示：考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为( )A．15，20，10，5 B．15，20，5，10C．20，15，10，5 D．20，15，5，104．等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a2＜0且a5＜0”是“数列{S n}单调递减”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.34 C.32D.326．设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．若非零向量a 、b 满足|a |＝2|b |＝4，(a －2b )·a ＝0，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．4 B ．8 C.14D.188．执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝7，则输入的整数K 的最大值是( )A ．18B ．50C ．78D ．3069．已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为( )A. 3 B ．2 C.5D ．410．P 为圆C 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，Q 为圆C 2：x 2＋y 2＝25上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.1325B.35C.1225πD.35π 11．已知F 是双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM |＝2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A.1＋172B.1＋174C.2＋52D.2＋5412．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12(a <0)，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，则f （n ）－4a n ＋1(n ∈N *)的最小值为( )A.374B.358C.283D.274题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，若f (m )＝2，则f (－m )＝________.14．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －5≥0，x ＋y －7≤0，x －2≥0若z ＝x ＋ay 的最小值为4，则实数a的值为________．15．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1，则数列b n ＝a 2n －7a n ＋6的最小值为________．16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．19．(本小题满分12分)如图1，正方形ABCD 的边长为4，AB ＝AE ＝BF ＝12EF ，AB∥EF ，把四边形ABCD 沿AB 折起，使得AD ⊥底面AEFB ，G 是EF 的中点，如图2.(1)求证：AG⊥平面BCE；(2)求二面角C AE F的余弦值．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝e x，h(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a＝1，b＝c＝0，求函数F(x)＝f(x)h(x)的单调区间；(2)若a＝c＝0，b>0，且G(x)＝g(x)－h(x)≥m(m∈R)对任意的x∈R都成立，求mb的最大值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F 的距离为52.(1)若N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，过点N ，P 的直线l 1与抛物线相交于另一点Q ，求|QF ||PF |的值；(2)若直线l 2与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆M ：(x －a )2＋y 2＝1相交于D ，E 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，试问：是否存在实数a ，使得|DE |为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q ()5，－3，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1，3]，求a 的取值范围．高考仿真模拟卷(四)答案1．解析：选B.因为M ＝{x |1≤x ＜3}，N ＝{1，2}，所以M ∩N ＝{1，2}．故选B. 2．解析：选C.由(z －1)i ＝4＋2i ，得z －1＝4＋2ii ＝2－4i ，所以z ＝3－4i ，所以|z |＝5.3．解析：选D.由题意知，四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生总人数为100，抽取的学生人数与学生总人数的比值为50100＝12.所以应从A ，B ，C ，D 四所中学抽取的学生人数分别为20，15，5，10.4．解析：选C.因为a 5＝a 2q 3＜0，a 2＜0，所以q ＞0，所以a n ＜0恒成立，所以S n －S n －1＝a n ＜0，{S n }单调递减，故为充分条件；S n －S n －1＝a n ＜0⇒a 2＜0，a 5＜0，故为必要条件．故选C.5．解析：选B.依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34.6．解析：选A.因为a ＝log 123<log 122＝－1，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2<1，c ＝2>1，所以a <b <c .7．解析：选A.由(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，得a ·b ＝a 22＝|a |22＝8，从而a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝82＝4，故选A.8．解析：选C.第一次循环S ＝2，n ＝2，第二次循环S ＝6，n ＝3，第三次循环S ＝2，n ＝4，第四次循环S ＝18，n ＝5，第五次循环S ＝14，n ＝6，第六次循环S ＝78，n ＝7，需满足S ≥K ，此时输出n ＝7，所以18<K ≤78，所以整数K 的最大值为78.9．解析：选B.设长方体三条棱的长分别为a ，b ，c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6bc ＝8ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2c ＝4.再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2. 故选B.10．解析：选B.设Q (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则P (2x －x 0，2y －y 0)代入x 2＋y 2＝9，得(2x －x 0)2＋(2y －y 0)2＝9，化简得：⎝⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝94，又x 20＋y 20＝25表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 的轨迹是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x 2＋y 2＝r 2(1≤r ≤4)，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为16π－π25π＝1525＝35.故选B.11．解析：选A.由题意得，F (c ，0)，该双曲线的一条渐近线为y ＝－bax ，将x ＝c 代入y ＝－b a x 得y ＝－bca，所以bc a＝2a ，即bc ＝2a 2，所以4a 4＝b 2c 2＝c 2(c 2－a 2)，所以e 4－e 2－4＝0，解得e 2＝1＋172，故选A.12．解析：选A.二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12图象的对称轴为直线x ＝－a ＋82，由f (a 2－4)＝f (2a －8)及二次函数的图象，可以得出a 2－4＋2a －82＝－a ＋82，解得a ＝－4或a ＝1，又a <0，所以a ＝－4，所以f (x )＝x 2＋4x ，所以f （n ）－4a n ＋1＝n 2＋4n ＋16n ＋1＝（n ＋1）2＋2（n ＋1）＋13n ＋1＝n ＋1＋13n ＋1＋2≥2（n ＋1）·13n ＋1＋2＝213＋2，又n ∈N *，所以当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时等号成立，当n ＝2时，f （n ）－4a n ＋1＝283，n ＝3时，f （n ）－4a n ＋1＝294＋2＝374<283，所以最小值为374，故选A. 13．解析：因为函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，所以f (－x )＝－tan x －sin x ＋2 017，从而f (－x )＋f (x )＝4 034，又f (m )＝2，所以f (－m )＝4 032.答案：4 03214．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，假设z ＝x ＋ay 在点C (2，1)处取得最小值，则2＋a ＝4，a ＝2，此时y ＝－12x ＋12z ，其在点C (2，1)处取得最小值，符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点B (2，5)处取得最小值，则2＋5a ＝4，a ＝25，此时y ＝－52x ＋52z ，其在点C 处取得最小值，不符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点A (8，－1)处取得最小值，则8－a ＝4，a ＝4，此时y ＝－14x ＋14z ，其在点A 处取得最小值，符合题意．所以a 的值为2或4.答案：2或415．解析：由S n ＝2n －1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1＋1＝2n －1，a 1＝1适合上式，所以a n ＝2n－1.则b n ＝a 2n－7an ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －722－254. 所以当n ＝3时(b n )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722－254＝－6.故答案为－6. 答案：－616．解析：该球形容器最小时，十字立方体与球内接，此时球直径2R 等于由两个正四棱柱组合而成的几何体的对角线，即2R ＝42＋42＋22＝6，球形容器的表面积为4πR 2＝36π. 答案：36π 17．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)由题意可知，不等式f (x )≥m 有解，即m ≤f (x )max .因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值，且最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2.从而可得m ≤2 .18．解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30. P (ξ＝0)＝15×14×13＝160，P (ξ＝10)＝45×14×13＋15×34×13＋15×14×23＝960＝320，P (ξ＝20)＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝2660＝1330，P (ξ＝30)＝45×34×23＝25.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×160＋10×320＋20×1330＋30×25＝1336.(2)记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A ，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B ，则A ，B 互斥．又P (A )＝⎝⎛⎭⎫343×160＝91 280， P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫342×14×320＝811 280，故甲、乙两队总得分之和为30分且甲队获胜的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝901 280＝9128. 19．解：(1)证明：连接BG ，因为BC ∥AD ，AD ⊥底面AEFB ，所以BC ⊥底面AEFB ，又AG ⊂底面AEFB ，所以BC ⊥AG ，因为AB ＝12EF ，且AB ∥EF ，所以AB 綊EG ，因为AB＝AE ，所以四边形ABGE 为菱形，所以AG ⊥BE ，又BC ∩BE ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以AG ⊥平面BCE .(2)由(1)知四边形ABGE 为菱形，AG ⊥BE ，AE ＝EG ＝BG ＝AB ＝4， 设AG ∩BE ＝O ，所以OE ＝OB ＝23，OA ＝OG ＝2， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (－2，0，0)，E (0，－23，0)，F (4，23，0)，C (0，23，4)，D (－2，0，4)，所以AC →＝(2，23，4)，AE →＝(2，－23，0)，设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0，所以⎩⎨⎧2x ＋23y ＋4z ＝0，2x －23y ＝0，令y ＝1，则x ＝3，z ＝－3，即平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，1，－3)，易知平面AEF 的一个法向量为AD →＝(0，0，4)，设二面角C -AE -F 的大小为θ，由图易知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝437×4＝217.20．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )h (x )＝x 2ln x ，F ′(x )＝2x ln x ＋x (x >0)． 令F ′(x )>0，得x >1e，故F (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；令F ′(x )<0，得0<x <1e，故F (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e .(2)由题意知，G (x )＝e x －bx ，故G ′(x )＝e x －b ， 又b >0，令G ′(x )＝e x －b ＝0，得x ＝ln b ，故当x ∈(－∞，ln b )时，G ′(x )<0，此时G (x )单调递减；当x ∈(ln b ，＋∞)时，G ′(x )>0，此时G (x )单调递增．故G (x )min ＝b －b ln b ，所以m ≤b －b ln b ，则mb ≤b 2－b 2ln b . 设r (b )＝b 2－b 2ln b (b >0)，则r ′(b )＝2b －(2b ln b ＋b )＝b －2b ln b ，由于b >0，令r ′(b )＝0，得ln b ＝12，b ＝e ，当b ∈(0，e)时，r ′(b )>0，r (b )单调递增；当b ∈(e ，＋∞)时，r ′(b )<0，r (b )单调递减，所以r (b )max ＝e 2，即当b ＝e ，m ＝12e 时，mb 取得最大值e2.21．解：(1)因为点P (2，t )到焦点F 的距离为52，所以2＋p 2＝52，解得p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ，P (2，2)，所以l 1的方程为y ＝45x ＋25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝45x ＋25，y 2＝2x ，可解得x Q ＝18，又|QF |＝x Q ＋12＝58，|PF |＝52，所以|QF ||PF |＝5852＝14.(2)设直线l 2的方程为x ＝ny ＋m (m ≠0)，代入抛物线方程可得y 2－2ny －2m ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2n ，y 1y 2＝－2m ，① 由OA ⊥OB 得，(ny 1＋m )(ny 2＋m )＋y 1y 2＝0， 整理得(n 2＋1)y 1y 2＋nm (y 1＋y 2)＋m 2＝0，②将①代入②解得m ＝2或m ＝0(舍去)，满足Δ＝4n 2＋8m >0， 所以直线l 2：x ＝ny ＋2，因为圆心M (a ，0)到直线l 2的距离d ＝|a －2|1＋n 2， 所以|DE |＝2 12－（a －2）21＋n 2，显然当a ＝2时，|DE |＝2，所以存在实数a ＝2，使得|DE |为定值． 22．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos(θ－π3)＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3.作图如图所示．(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos αy ＝sin α(α为参数)，所以点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.23．解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1.x －1，x ≥1.当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝[a －2，2－a ]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2； 当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2－a ，x ≥a ，2<x <a ，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3. 综上，a 的取值范围为[1，3]．。
【高考推荐】2020-2021高考数学二轮复习小题专项练习(四)三角恒等变换与正余弦定理文
小题专项练习(四) 三角恒等变换与正余弦定理C.13D.238．[2018·安徽马鞍山高三第三次模拟]已知sin α－2cos α＝3，则tan α＝( )A ．±22 B ．± 2C ．－ 2D ．－229．[2018·山东烟台适应性练习]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin2A ＋3a sin B ＝0，b ＝3c ，则c a的值为( )A ．1 B.33C.55 D.7710．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝12，且△ABC的面积为25，则a ＋b 的值为( )A ．5＋5 5B ．5C ．10 5D ．5＋10 511．[2018·衡水联考]△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ab sin C ＝20sin B ，a 2＋c 2＝41，且8cos B ＝1，则b ＝( )A ．6B ．4 2C ．3 5D ．712．如图，在海岸线上相距26千米的A ，C 两地分别测得小岛B 在A 的北偏西α方向，在C的北偏西π2－α方向，且cos α＝63，则BC 之间的距离是( )A ．303千米B ．30千米C ．123千米D ．12千米二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2018·河南洛阳第三次统考]已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P (3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.14．[2018·江苏南师附中四校联考]已知tan π4＋θ＝3，则sin θcos θ－3cos 2θ的值为________．15．[2018·广西钦州第三次质量检测]△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________.16．[2018·高考押题预测卷]如图，在△DEF 中，M 在线段DF 上，EM ＝DE ＝3，DM ＝2，cos ∠F ＝35，则△MEF 的面积为________．∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝43，故选C.6．B 由sin(C －A )＝12sin B ，得2sin(C －A )＝sin(C ＋A )，∴2sin C cos A －2cos C sin A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ， ∴sin C cos A ＝3cos C sin A ，由正余弦定理，得 c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3a ·a 2＋b 2－c 22ab ，得4c 2－4a 2＝2b 2＝2×16＝32， ∴c 2－a 2＝8，故选B.7．B 由2cos2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin2θ，得2cos 2θ－sin 2θ22cos θ－sin θ＝23sin θcos θ，即2(cos θ＋sin θ)＝23sin θcos θ，∴1＋2sin θcos θ＝3sin 2θcos 2θ，∴sin θcos θ＝－13，或sin θcos θ＝1(舍)，∴sin2θ＝－23，故选B.8．D 由sin α－2cos α＝3，得sin 2α－22sin αcos α＋2cos 2α＝3sin 2α＋3cos 2α，∴2sin 2α＋22sin αcos α＋cos 2α＝0，∴2tan 2α＋22tan α＋1＝0，∴(2tan α＋1)2＝0，∴tan α＝－22，故选D.9．D 由b sin2A ＋3a sin B ＝0， 得2b sin A cos A ＋3a sin B ＝0，∴2sin B sin A cos A ＋3sin A sin B ＝0， ∴sin B sin A (2cos A ＋3)＝0，在△ABC 中，sin B ≠0，sin A ≠0，∴2cos A ＋3＝0，∴cos A ＝－32，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3c 2＋c 2＋23c 2·32＝7c 2，∴c a ＝77，故选D.。
【精品高考数学】[2020年新课标II 高考仿真模拟卷-文科数学]+答案
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2020年新课标II 高考仿真模拟卷数学（文科） 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数32(1)izi =-，则z 在复平面内对应点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}2|30,{|14}A x x xB x x =-<=<<，则A B =IA ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)3．椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数m = A ．23 B ．25 C ．23- D ．25-4．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国5个传统节日(春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节)中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是 A ．310B ．25C ．35D ．7105．在四棱锥P ABCD -中，2PB PD ==，1AB AD ==，3PC ==，则AC =A ．2B．CD．6．若sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12B ．12-C．2D． 7．在平行四边形ABCD 中，60,BAD ︒∠=3AB AD =，E 为线段CD 的中点，若6AE AB ⋅=u u u r u u u r，则AC BD ⋅=u u u r u u u rA ．-4B ．-6C ．-8D ．-98．我国古代名著《九章算术》中用“更相减损术“求两个正整数的最大公约数，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a ＝2916，b ＝1998时输出的a ＝A ．18B ．24C ．27D ．549．将奇函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ+-+<<的图象向右平移ϕ个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调减区间为A ．5(,)1212ππ-B ．5(,)1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,)1212ππ 10．已知函数()ln f x x x ax =+，过点()1,1P 可作两条直线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是 A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．3y x =± B ．3y x =C ．2y x =±D ．2y x =12．已知定义在R上的奇函数()f x恒有(1)(1)f x f x-=+，当[0,1)x∈时，21()21xxf x-=+，则当函数1()()3g x f x kx=--在[0,7]上有三个零点时，k的取值范围是（）A．12,415⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B．22,915⎛⎤--⎥⎝⎦C．22,915⎛⎤--⎥⎝⎦D．221,9153⎛⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭第II卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高三第二次模拟考试卷 文科数学(四) 含答案解析
2020届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{2,}xA y y x ==∈R ，{1}B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{1}B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2．已知复数2i z =+，则1iz+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（ ） A ．5-B ．7-C ．9-D ．11-4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值 5．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则(3)0f x -<的解集为（ ） A ．(2,4) B ．(,2)(4,)-∞+∞U C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞U6．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线．下列说法正确的是（ ） ①若a b ∥，a c ∥，则b c ∥； ②若a α⊥，b α⊥，则a b ∥； ③若a α⊥，a β⊥，则αβ∥；④若αβ⊥，b αβ=I ，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥． A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④7．已知向量(1,1)=-a ，OA =-u u u r a b ，OB =+u u u ra b ，若OAB △是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB △的面积为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．228．如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ， 射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34(,)55A ，(1,0)C -．若π6BOC ∠=，则cos()βα-的值 是（ ）A ．34310- B ．34310+ C ．43310- D ．43310+ 9．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与函数(0)y x x =≥的图象交于点P ，若函数y x=的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(4,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A ．1744+ B ．1734+ C ．1724+ D ．1714+ 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则线段MN 长的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．22D ．3 11．过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线l 交C 于M ，N ，点M 处的切线与x 、y 轴分别交于点A 、B ，若AOB △的面积为2，则MF =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()()x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若(21)(1)ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2[0,]3B ．2[,0]3-C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足1OA =u u u r ，2OB =u u u r ，点C 为线段AB 的中点，若32OC =u u u r ，则AOB ∠= ．14．计算：2sin 503sin 20︒-︒= ．15．若ABC △的三边长a ，b ，c 满足23b c a +≤，23c a b +≤，则ba的取值范围为 ． 16．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参衰作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，且11a -，21a -，41a -成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11()n n n b n a a +=∈*N ，数列{}n b 的前n 项和n S ，求使215n S <成立的最大正整数n 的值．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD CDA ∠=∠=︒，PA ⊥面ABCD ，1PA AD DC ===，2AB =． （1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．19．（12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况,利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”．从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良的概率．附表及公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．20．（12分）已知1F，2F是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点，圆222:O x y c+=（122F F c=）与椭圆有且仅有两个交点，点66(在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过y正半轴上一点P的直线l与圆O相切，与椭圆C交于点A，B，若PA AB=u u u r u u u r，求直线l的方程．21．（12分）已知函数21()ln 12f x x x =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设21()ln 2g x x ax x =-+，证明：曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos()4ρθ+=．（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围．2020届高三第二次模拟考试卷文科数学（四）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】∵集合{2,}(0,)xA y y x ==∈=+∞R，{(,1]B x y ===-∞，∴(0,)(,1](0,1]A B =+∞-∞=I I ． 2．【答案】D【解析】2i z =+，∴2i 13i 1i 1i 22z -==-++，在复平面对应的点的坐标为13(,)22-， 所在象限是第四象限． 3．【答案】B【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，由414624S a d =+=，3125a a d =+=，解得19a =，2d =-， 所以112n a n =-，97a =-． 4．【答案】D【解析】在A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误；在B 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B 错误； 在C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差，故C 错误； 在D 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值． 5．【答案】B【解析】∵2()()f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴2()f x ax a =-，由()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以0a <，∴2(3)(3)0f x a x a -=--<，可化为2(3)10x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >． 6．【答案】D【解析】由平行公理知①对，由线面垂直的性质定理知②对， 由线面垂直及面面平行定理知③对，由面面垂直性质定理知④对． 7．【答案】B【解析】设(,)x y =b ，则(1,1)OA x y =---u u u r ，(1,1)OB x y =-++u u u r，由题意，得2222(1)(1)(1)(1)x y x y --+-=-+++，22110x y -+-=，解得1x y ==±，则2OA OB ==u u u r u u u r，故2OAB S =△． 8．【答案】C【解析】依题意，有3cos 5α=，4sin 5α=，cos β=，1sin 2β=，所以314cos()cos cos sin sin 525βαβαβα-=+=+⨯=． 9．【答案】D【解析】设P的坐标为(m ，由左焦点(4,0)F -，函数的导数()f x '=，则在P处的切线斜率()4k f m m '===+， 即42m m +=，得4m =，则(4,2)P ，设右焦点为(4,0)A，则21)a PF PA =-==，即1a =，∵4c =，∴双曲线的离心率c e a ==10．【答案】D【解析】作1MM AD ⊥于点1M ，作1NN CD ⊥于点1N ， ∵线段MN 平行于对角面11A ACC ，∴11M N AC ∥， 设11DM DN x ==，则1MM x =，11NN x =-，在直角梯形11MNN M，222211)(12)6()33MN x x =+-=-+，∴当13x =时，MN 的最小值为3．11．【答案】C【解析】设点11(,)M x y ，抛物线C 对应的函数的解析式为24x y =，求导得2xy '=，所以，抛物线C 在点M 处的切线AB 的方程为111()2x y y x x -=-，即21124x x x y =-， 令0x =，得214x y =-；令0y =，得12xx =，则点1(,0)2x A ，21(0,)4x B -，AOB △的面积为23111||1||222416AOBx x x S =⨯⨯==△，解得122x =±， ∴21124x y ==，所以1||13MF y =+=． 12．【答案】B 【解析】∵2()()x f x e f x -=，∴()()()x x xf x e f x e f x e--==-， 含()()xg x e f x =，()()g x g x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，∴()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， ∵(21)(1)ae f a f a +≥+，∴211(21)(1)a a ef a e f a +++≥+，∴(21)(1)g a g a +≥+，211a a +≤+，解得203a -≤≤，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】120︒【解析】∵点C 为线段AB 的中点，∴1()2OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，2221(2)4OC OA OB OA OB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1(14212cos )4AOB =++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，∴120AOB ∠=︒． 14．【答案】1 【解析】2sin 503sin 202sin(3020)3sin 20cos 20cos 20︒-︒︒+︒-︒=︒︒2sin 30cos 202cos30sin 203sin 20cos 203sin 203sin 20cos 20cos 20︒︒+︒︒-︒︒+︒-︒==︒︒cos 201cos 20︒==︒．15．【答案】35(,)43【解析】令b x a =，cy a =，由23b c a +≤，23c a b +≤，得23x y +≤，①32x y -≥，②又c a b c -<-<及a b c +>，得1x y -<，③1x y ->-，④1x y +>，⑤由①②③④⑤可作出图形，得到以点31(,)44D ，(1,0)C ，52(,)33B ，(1,1)A 为顶点的四边形区域，由线性规划可得3543x <<，01y <<，则b a 的取值范围为35(,)43，故答案为35(,)43．16．【答案】B【解析】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意， 综上所述，故B 获得一等奖．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）21n a n =+，n ∈*N ；（2）5． 【解析】（1）由题意知，2214(1)(1)(1)a a a -=--，即2111(1)(1)(5)a a a +=-+，解得13a =，故21n a n =+，n ∈*N ．（2）由1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++， 得1231111111111()()2355721232323n n S a a a a n n n =++++=-+-++-=-+++L L 3(23)nn =+，由23(23)15n n <+，解得6n <，故所求的最大正整数n 为5．18．【答案】（1）证明见解析；（2）66． 【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由90BAD CDA ∠=∠=︒，1AD DC ==，2AB =， 得2AC =，2BC =，∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥，PA AC A =I ，∴BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ． （2）由（1）得BC PC ⊥，3PC =，11632222PBC S PC BC =⨯=⨯⨯=△，11111222DBCS DC AD =⨯=⨯⨯=△，111113326P BDC DBC V S PA -=⨯=⨯⨯=△． 设点D 到平面面PBC 的距离为h ， 则1166133266D PBC PBC P DBC V S h h h V --==⨯===△，∴66h =， ∴点D 到平面PBC 的距离为6． 19．【答案】（1）列联表见解析，有超过99%的把握认为；（2）35． 【解析】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人， 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为：10010(0.0150.005)20⨯⨯+=人， 一没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人， 则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人， 可得列联表如下：∴22100(1555255)122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：100(0.0200.0150.005)1040⨯++⨯=， ∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1，2； 其余的3人记为a ，b ，c ，从中随机抽取3人，基本事件有：(1,2,)a ，(1,2,)b ，(1,2,)c ，(1,,)a b ，(1,,)a c ，(1,,)b c ，(2,,)a b ，(2,,)a c ，(2,,)b c ，(,,)a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个， ∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为63105P ==． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）143222y x =±+． 【解析】（1）依题意，得c b =，所以222a b c b =+，所以椭圆C 为222212x y b b+=，将点66代入，解得1b =，则2a =所以椭圆的椭圆方程为2212x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)(1)P m m >， 则直线l 方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O1=，即221m k =+，联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=，因为PA AB =u u u r u u u r，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k=+， 所以221619(12)m k =+，解得272k =，即k =±m =，所求直线方程为22y x =±+21．【答案】（1）()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增；（2）证明见解析． 【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=． 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增．（2）因为()g x 定义域为诶(0,)+∞，所以y 轴不是曲线()y g x =的切线．当经过坐标原点的直线不是y 轴时，设y kx =是曲线()y g x =的切线，切点是00(,)x y ，因为21()g x x a x '=-+，所以0000001ln 21x ax x kx x a k x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，消去k ，得2001ln 102x x -+=，即0()0f x =．由（1）知()f x 在1x =处取得最小值，则3()(1)02f x f ≥=>，所以0()0f x =无解，因此曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线．22．【答案】（1）22:1(3)169x y C y +=≠-，:6l x y -=；（2）22d ≤≤． 【解析】（1）222241:131x k k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y+=， 又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-，πcos()4ρθ+=cos sin 6ρθρθ-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化为参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==3tan 4ϕ=，所以22d ≤≤． 23．【答案】（1）[2,4]-；（2）19[,7]4． 【解析】（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，故2339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339x <-⎧⎨-+≤⎩，综上，不等式的解集为[2,4]-．（2）由题意：22()5f x x a a x x =-+⇔=-+，[0,2]x ∈．故方程2()f x x a =-+在[0,2]有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+的图象在区间[0,2]上右焦点，∵当[0,2]x ∈时，2195[,7]4y x x =-+∈， ∴实数a 的取值范围是19[,7]4．。
2020高考数学二轮复习疯狂专练24模拟训练四文
模拟训练四1．[2017·庄河高级中学]已知集合{}1,0,1,2M =-，{}2,N y y x x M ==∈，则MN =（ ）A ．{}1,1-B ．{}0,1C ．{}1,1,3,5-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【解析】由题意可得：{}0,1,4N =，则{}0,1M N =．本题选择B 选项．2．[2017·庄河高级中学]设复数12iiz --=，则复数1z -的模为（ ） AB ．4C．D ．2【答案】A【解析】由题意可得：12ii 2iz --==-，13i z ∴-=-+，z ==A 选项．3．[2017·庄河高级中学]已知平面向量a ，b 1a =，12b =，则2a b -=（ ） A ．1BC ．2D ．32【答案】A【解析】根据条件：1111224a b ⋅=⨯⨯=，∴()22211244144144a ba ab b -=-⋅+=-⨯+⨯=，∴21a b -=，故选A ．4．[2017·庄河高级中学]已知双曲线222:1(0)y C x b b -=>的一条渐近线的倾斜角为3π，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．【答案】C【解析】由题意可得：双曲线的渐近线为：y bx =±，则：πtan3b ==一、选择题（5分/题）据此有：2c e a ====．本题选择C 选项． 5．[2017·庄河高级中学]在等比数列{}n a 中，已知32a =，35726a a a ++=，则7a =（ ） A ．12 B ．18C ．24D ．36【答案】B【解析】由题意可得：()243126a q q ++=，整理可得：()()22340q q -+=，结合等比数列的通项公式可得：42732318a a q =⨯=⨯=．本题选择B 选项．6．[2017·庄河高级中学]执行如图所示的程序框图，若输入3m =，4n =，则输出a =（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】程序框图运行如下：首先初始化数值：3m =，4n =，0i =；执行第一次循环：11i i =+=，7a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环； 执行第二次循环：12i i =+=，10a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环； 执行第三次循环：13i i =+=，13a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第四次循环：14i i =+=，16a mi n =+=，此时满足判断条件，跳出循环，输出16a =．本题选D ．7．[2017·庄河高级中学]已知α为第二象限角，sin 410απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值为（ ） A ．12-B ．13C ．43-D ．3-【答案】C【解析】由题意可得：cos 410απ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，sin 14tan 47cos 4αααπ⎛⎫+ ⎪π⎛⎫⎝⎭∴+==- ⎪π⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，据此有：1147tan tan 144317αα--⎡⎤ππ⎛⎫=+-==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-．本题选择C 选项．8．[2017·庄河高级中学]设实数x ，y 满足约束条件()20200x y x y y m m +--->⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点()2,0处取得最大值：2202z =-⨯=．本题选择D 选项．9．[2017·庄河高级中学]某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（ ）A ．18B ．1C ．2D【答案】B【解析】，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有222x-=，解得12x =，故21x =，故新工件的体积为1． 10．[2017·庄河高级中学]已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕπ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，若()12f x f π⎛⎫⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．10C ．4D ．16【答案】C【解析】函数图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则：1sin 2ϕ=，结合2ϕπ<可得：6ϕπ=，由()12f x f π⎛⎫⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立可得：()21262k k ωπππ⨯+=π+∈Z ，解得：()244k k ω=+∈Z ，令0k =可得：min 4ω=．本题选C ． 11．[2017·庄河高级中学]已知函数()2222,2log ,2x x x f x x x ⎧-+=⎨>⎩≤，若0x ∃∈R ，使得()2054f x m m -≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =，则要考查的不等式转化为：2154m m -≤，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦．本题选择B 选项． 12．[2017·庄河高级中学]设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若y 轴上存在点()0,2A ，使得0AM AF =⋅，则p 的值为（ ） A ．2或8 B ．2C ．8D ．4或8【答案】A【解析】由题意可得：以MF 为直径的圆过点()0,2，设(),M x y ，由抛物线性质52pMF x =+=，可得52px =-，因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为552222p p -+=，已知圆半径也为52，据此可知该圆与y 轴相切于点()0,2，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即5,42p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得210160p p -+=，所以2p =或8p =．本题选择A 选项．13．[2017·庄河高级中学]设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12x f x +=，则14log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____．【答案】-【解析】由题意：144log 3log 30=-<，则：()()4log 311444log 3log 3log 32f f f +⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭14．[2017·庄河高级中学]在ABC △中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，2a b =，60C =︒，则=B ______． 【答案】6π【解析】由题意有：222222241cos 242a b c b b c C ab b +-+-===，解得：223c b =，据此有：::2a b c =则6B π=． 15．[2017·庄河高级中学]若直线1ax by +=（a ，b 都是正实数）与圆224x y +=相交于A ，B 两点，当OA OB ⊥（O 是坐标点）时，ab 的最大值为__________．【答案】14【解析】= 22122a b ab +=≥，则：14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，即ab 的最大值为14．16．[2017·庄河高级中学]已知1x =是函数()()22e (0)2xk f x x x kx k =--+>的极小值点，则实数k 的取值范围是__________．二、填空题（5分/题）【答案】()0,e【解析】由题意可得：()()()()()1e 11e x x f x x k x x k '=---=--，满足题意时有：ln 1k <，求解不等式可得实数k 的取值范围是()0,e ．。
2020-2021学年高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题及答案解析
最新高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤03．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．3 B．57 C．19 D．766．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．310．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB 的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=0.050 0.025 0.010P（K2≥k0）3.841 5.024 6.635K020．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后利用对称性求解即可．解答：解：==﹣2﹣i．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的基本概念，复数的乘除运算，考查计算能力．4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知结合等差数列的通项公式和前n项和列式求得公差．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a7=8，S7=42，得，解得：．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．3 B．57 C．19 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的定义f（x）+f（﹣x）=0，x=1，特殊值求解即可．解答：解：∵函数f（x）=+a，f（x）是奇函数，∴f（1）+f（﹣1）=0，即++a=0，2a=1，a=，故选：B点评：本题考查了奇函数的定义性质，难度很小，属于容易题．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．z=的几何意义是区域内的点（x，y）到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知BD的斜率最大，CD的斜率最小，由，解得，即B（，），即BD的斜率k==，由，解得，即C（，），即CD的斜率k==，即≤z≤，故选：D．点评：本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与三棱锥的组合体，结合图中的数据，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为直三棱柱，上部为直三棱锥的组合体；如图所示：∴该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+V三棱锥=×2×1×1+××2×1×1=．故选：A．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．10．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象，结合图象写出a的取值范围即可．解答：解：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象如下，结合图象可得，a的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA≤2，∴点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴﹣≤t≤，故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到在x=0处的导数值，再求出f（0），然后直接写出切线方程的斜截式．解答：解：由f（x）=e x，得f′（x）=e x，∴f′（0）=e0=1，即曲线f（x）=e x在x=0处的切线的斜率等于1，曲线经过（0，1），∴曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB 的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取PD中点E，连AE，EM，证明MN⊥平面PCD，可得MN⊥PC，即可证明PN=CN；（Ⅱ）设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN，四边形ANME是平行四边形，MN∥AE．由PA=AD得AE⊥PD，故MN⊥PD．又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，则MN⊥PC，PN=CN．…（6分）（Ⅱ）解：设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，故MF：FN=d1：d2=1：1．…（12分）点评：本题考查线面垂直的证明，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=0.050 0.025 0.010P（K2≥k0）3.841 5.024 6.635K0考点：独立性检验．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，列表确定基本事件，即可求出这2家中恰好中、小型企业各一家的概率．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，分别记为A1，A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6，把可能结果列表如下：A1 A2 B1 B2 B3 B4 B5 B6A1﹣+ + + + + +A2﹣+ + + + + +B1 + + ﹣B2 + + ﹣B3 + + ﹣B4 + + ﹣B5 + + ﹣B6 + + ﹣结果总数是56，符合条件的有24种结果．（若用树状图列式是：）从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为=．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）k AF==﹣k，所以ak=2，确定B的坐标，再求出B到n的距离．解答：解：（Ⅰ）m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0①，x2+4kx﹣4ka+4=0②，…（2分）由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，…（4分）故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1或k＞1．…（6分）（Ⅱ）F（0，1），k AF==﹣k，所以ak=2．…（8分）由△1=0得k2=ka+1=3，B（2k，k2），所以B到n的距离d===4 …（12分）点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数，利用f（x）的极小值点为x=t．推出t=＞0，然后求解单调区间，a=﹣表示出a与t的关系．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值，就是证明g（）=g（t）．（ⅱ）求出函数的g′（t）=﹣（1+）lnt，利用单调性以及极值，判断分别存在唯一的c ∈（1，1）和d∈（1，e2），推出g（c）=g（d）=0，化简即可．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣+=．t=＞0，…（2分）当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（4分）由f′（t）=0得a=﹣t．…（6分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值为g（t）=t++（﹣t）lnt，则g（）=+t+（t﹣）ln=t++（﹣t）lnt=g（t）．…（8分）（ⅱ）g′（t）=﹣（1+）lnt，…（9分）当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．…（10分）又g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e2），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，所以y=g（t）有两个零点且互为倒数．…（12分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的应用，考查计算能力．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC ⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第三部分 刷模拟 高考仿真模拟卷(四)文-人教版高三全册数学试题
2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析 因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析 綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1， 由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ， 可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22， 则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了 答案 C解析 因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析 模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析 根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析 因为f (x )是定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析 根据题意，设高三年级抽取x 人， 则高一抽取(180－x －65)人， 由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65， 解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时， 目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4， 即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2， 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9， 可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析 因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率． 解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离． 解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°， 所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直， 所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32， 所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33， 解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2， 即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2， 所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分 因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ， 由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围． 解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立， 即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。
2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题仿真模拟卷四课件文
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由 a，b 是异面直线⇒a，b 不平行．反之，若直线 a，b 不平行， 也可能相交，不一定是异面直线．
所以“a，b 不平行”是“a，b 是异面直线”的必要不充分条件．
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星
等与亮度满足 m2－m1＝52lg
f(x)＜0，而
B
中
x＜0
时，f(x)＝
x ex－
e－x>0，D
中，f(x)＝ ex－x e－x>0，排除
B，
D.
10．已知不等式 xy≤ax2＋2y2 对于 x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则 a 的取 值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[－1,4) C．[－1，＋∞) D．[－1,6]
∵AE⊥BD，∴A→E·E→O＝0，又A→E·A→O＝|A→E||A→O|·cos∠EAO＝|A→E||A→O|·|A→→E| ＝ |AO|
|A→E|2＝12454， ∴A→E·E→C＝12454.
8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )
A．8＋π2＋ 7 C．6＋32π＋ 3 答案 B
答案 C
解析 不等式 xy≤ax2＋2y2 对于 x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价于 a≥yx－ 2yx2 对于 x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，令 t＝yx，则 1≤t≤3，∴a≥t－2t2 在[1,3] 上恒成立，∵y＝－2t2＋t＝－2t－142＋18，∴t＝1 时，ymax＝－1，
－26.7，则 lg EE12＝25(m2－m1)＝25×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而EE12＝1010.1.
5．执行如图所示的程序框图，若输出结果为 1，则可输入的实数 x 的值 的个数为( )
2020高考数学二轮分层模拟仿真专练(二)文
2020高考数学二轮分层模拟仿真专练（二）文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案：A解析：因为函数y ＝log 2x 在定义域内为增函数，故U ＝{y |y >0}，函数y ＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P ＝{y |0<y <12}，所以∁U P ＝{y |y ≥12}．故选A.2．[2019·河南洛阳第一次统考]若复数z 为纯虚数，且(1＋i)z ＝a －i(其中a ∈R )，则|a ＋z |＝( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案：A解析：复数z ＝a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －1－(a ＋1)i 2，根据题意得到a －12＝0⇒a ＝1，z＝－i ，∴|a ＋z |＝|1－i|＝2，故选A.3．[2019·江西南昌二中模拟]设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p 或q 是真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞) 答案：B解析：若命题p 为真命题：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1,1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max 在x ∈[－1,1]上恒成立，又(3x )2max ＝3，所以a ≥3.若命题q 为真命题：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，则必须使x 2＋ax ＋1能取所有正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 是真命题，p ∧q 为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当p 为真命题，q 为假命题时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅，当q 为真命题，p 为假命题时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2,3)，故选B.4．[2019·江西南昌重点中学段考]一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成的，则该几何体的表面积为( )A ．13π B．12π C ．11π D．23π 答案：B解析：依题意知，题中的几何体是从一个圆台(该圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2)中挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1，母线长为2)后得到的，圆台的侧面积为π(1＋2)×2＝6π，圆锥的侧面积为π×1×2＝2π，所以题中几何体的表面积为6π＋2π＋π×22＝12π，故选B.5．[2019·湖南岳阳质检]函数f (x )＝(－x 2＋x )e x的图象大致为( )答案：A解析：令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，所以点(1,0)在函数f (x )＝(－x 2＋x )e x的图象上，所以排除B ，C.当x →＋∞时，f (x )→－∞，排除D ，故选A.6．[2019·江西赣州十四县(市)期中联考]古代有这样一个问题：“今有墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞长度与第三天打洞长度相同，问两鼠几天能打通墙相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：C解析：依题意得，大鼠每天打洞长度构成等差数列{a n }，且首项a 1＝1，公差d ＝12.小鼠前三天打洞长度之和为12＋1＋2＝72，之后每天打洞长度是常数2，令n ·1＋n (n －1)2·12＋72＋(n －3)·2≥2212(n 指天数，且n 是正整数)，则有n 2＋11n －100≥0，即n (n ＋11)≥100，则易知n 的最小值为6.故选C.7．[2019·河南开封定位考试]将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x (k >0)的图象重合，则k ＋m 的最小值是( )A ．2＋π4B ．2＋3π4C ．2＋5π12D ．2＋7π12答案：A解析：将函数y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后所得到的图象对应的函数解析式为y ＝－cos[2(x ＋m )]＝－cos(2x ＋2m )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋2m (m >0)，平移后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x ＝k2sin 2x (k >0)的图象重合，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1，－π2＋2m ＝2n π(n ∈Z )，得k ＝2，m ＝n π＋π4(n ∈Z )，又m >0，所以m 的最小值为π4，可知k ＋m 的最小值为2＋π4.故选A.8．[2019·山西太原一中检测]已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：D解析：令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线b ＝2a ，并平移，由图知，当平移后的直线过点(1,0)时，z 取得最大值，且z max ＝2×1－0＝2.故选D.9．[2019·河南郑州摸底]现有一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,2,3的四个小球，它们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为( )A.16B.56C.38D.58 答案：D解析：随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球的所有情况共有4×4＝16(种)，其中号码相同的情况共有6种，则号码不同的概率为P ＝1－616＝58，故选D. 10．[2019·辽宁五校期末]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.334或213 D.334或736 答案：D解析：由sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，得2sin B cos A ＝3sin 2A ＝6sin A cos A ，即sin B cos A ＝3sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，而C ＝π3，c ＝7，所以B ＝π6，b＝c tan B ＝7×33＝213，所以此时△ABC 的面积为12bc ＝12×213×7＝736；当cos A ≠0时，可得sin B ＝3sin A ，由正弦定理得b ＝3a ，又c ＝7，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－(7)26a 2＝cos π3＝12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.综上可知，△ABC 的面积为334或736.故选D.11．[2019·河北唐山期中]如图，在△ABC 中，CM →＝2MB →，过点M 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，则mn ＋m 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．6 3 答案：A解析：连接AM ，由已知可得AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23mAP →＋13n AQ →.因为P ，M ，Q 三点共线，所以23m ＋13n ＝1，所以mn ＋m ＝2n ＋m 3＋m ＝2n 3＋4m 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 3＋4m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23m ＋13n ＝109＋4n 9m ＋4m 9n ≥109＋24n 9m ×4m 9n ＝2，当且仅当4n 9m ＝4m 9n ，即m ＝n ＝1时取等号， 所以mn ＋m 的最小值为2.故选A.12．[2019·陕西汉中模拟]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A ，B 两点，且AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k ＝( )A. 2B.22C. 3D.33答案：B解析：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(易知k >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，可得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝4－2k 2k2.又AF →·BF →＝0，易知F (1,0)，所以(1－x 1)(1－x 2)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝0，即2k 2＋2＋(k 2－1)4－2k 2k 2＝0，解得k ＝22.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2019·陕西宝鸡四校第二次联考]已知α为锐角，且sin α·(3－tan 10°)＝1，则α＝________.答案：40°解析：由题意知sin α(3－tan 10°)＝sin α·3cos 10°－sin 10°cos 10°＝sin α·2(sin 60°cos 10°－cos 60°sin 10°)cos 10°＝sin α·2sin 50°sin 80°＝sin α·2cos 40°2sin 40°cos 40°＝sin αsin 40°＝1， 即sin α＝sin 40°.因为α为锐角，所以α＝40°. 14．[2019·山东邹城质监]观察下列各式：12＝1×2×36；12＋22＝2×3×56；12＋22＋32＝3×4×76；12＋22＋32＋42＝4×5×96；……照此规律，当n ∈N *时，12＋22＋32＋…＋n 2＝________.答案：n (n ＋1)(2n ＋1)6解析：第一个式子：12＝1×(1＋1)×[1＋(1＋1)]6；第二个式子：12＋22＝2×(2＋1)×[2＋(2＋1)]6；第三个式子：12＋22＋32＝3×(3＋1)×[3＋(3＋1)]6；第四个式子：12＋22＋32＋42＝4×(4＋1)×[4＋(4＋1)]6；……第n 个式子：12＋22＋32＋…＋n 2＝n ·(n ＋1)·[n ＋(n ＋1)]6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.15．[2019·福建福州质量抽测]随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，得到他们的期中考试数学成绩的茎叶图如图所示，估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是________.答案：76 83 解析：将甲班9名同学的成绩按从小到大的顺序排列，为52,66,72,74,76,76,78,82,96，故中位数为76；将乙班10名同学的成绩按从小到大的顺序排列，为62,74,76,78,82,84,85,86,88,92，故中位数为82＋842＝83.16．[2019·湖南四校摸底]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x＋a ，则f (16)＝________. 答案：12解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0，得f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＝f (x ＋5)，所以函数f (x )是以5为周期的函数，则f (16)＝f (3×5＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即1＋a ＝0，解得a ＝－1，所以当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x－1，所以f (－1)＝－12，则f (1)＝－f (－1)＝12，故f (16)＝12.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·河南郑州高中毕业班第二次质量预测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，若a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·2a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)依题意知a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2且n ∈N *)，且a n >0， 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，两式相除，得S n －S n －1＝1(n ≥2)，可知数列{S n }是以1为首项，公差为1的等差数列，所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以c n ＝(2n －1)·22n －1，则T n ＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1①，4T n ＝1×23＋3×25＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1②， ①－②得－3T n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1＝2＋2×8(1－22n － 2)1－4－(2n－1)×22n ＋1＝－103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53－2n ×22n ＋1，所以T n ＝(6n －5)×22n ＋1＋109.18．(12分)[2019·河南开封模拟]如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN . 解析：(1)取PA 的中点H ，连接EH ，DH . 因为E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE ∥平面PAD .(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA . 又AB ⊥PA ，所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG . 又EF ∩FG ＝F ，EF ，FG ⊂平面EFG ， 所以AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥CD .又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ， 所以MN ⊥平面EFG .因为MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . 19．(12分)[2019·广东七校联考]某物流公司每天从甲地运货物到乙地，统计最近200天配送的货物量，可得如图所示的频率分布直方图．(频率分布直方图中每个小组取中间值作为该组数据的代表)(1)估计该物流公司从甲地到乙地平均每天配送的货物量； (2)该物流公司拟购置货车专门运送从甲地到乙地的货物，一辆货车每天只能运送一趟，每辆货车每趟最多只能装载40件货物，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利1 000元；若未发车，则每辆货车每天亏损200元．为使该物流公司此项业务每天的营业利润最大，估计该物流公司应该购置几辆货车？解析：(1)根据题意及频率分布直方图得a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1320＋1320＋1160×40÷40＝180，易知从甲地到乙地每天配送的货物量为60件，100件，140件，180件的天数分别为25,50,100,25.故估计该公司从甲地到乙地平均每天配送的货物量为 60×25＋100×50＋140×100＋180×25200＝125(件)．(2)由(1)可知从甲地到乙地每天配送的货物量为60件，100件，140件，180件的天数分别为25,50,100,25，依题意知，(ⅰ)若购置1辆车，则物流公司每天的营业利润值为1 000；(ⅱ)若购置2辆车，则每天的营业利润值的可能取值为2 000,800，对应的天数分别为175,25，故平均利润值为2 000×175＋800×25200＝1 850；(ⅲ)若购置3辆车，则每天的营业利润值的可能取值为3 000,1 800,600，对应的天数分别为125,50,25，故平均利润值为3 000×125＋1 800×50＋600×25200＝2 400；(ⅳ)若购置4辆车，则每天的营业利润值的可能取值为4 000,2 800,1 600,400，对应的天数分别为25,100,50,25，故平均利润值为4 000×25＋2 800×100＋1 600×50＋400×25200＝2 350.因为2 400>2 350>1 850>1 000，所以为使该物流公司此项业务每天的营业利润最大，该物流公司应该购置3辆货车．20．(12分)[2019·湖南湘东六校联考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，点A (b,0)，B ，F 分别为椭圆C 的上顶点和左焦点，且|BF |·|BA |＝2 6.(1)求椭圆C 的方程．(2)若过定点M (0,2)的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点(G 在M ，H 之间)，设直线l 的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：(1)由离心率e ＝12得a ＝2c ①.由|BF |·|BA |＝26，得a ·b 2＋b 2＝26，∴ab ＝2 3 ②.又a 2－b 2＝c 2 ③，∴由①②③可得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2(k >0)，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，易知Δ>0，∴k >12.设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，PG →＋PH →＝(x 1＋x 2－2m ，k (x 1＋x 2)＋4)，GH→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1，k (x 2－x 1))．∵菱形的对角线互相垂直，∴(PG →＋PH →)·GH →＝0，∴(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋4k －2m ＝0，得m ＝－2k 4k 2＋3，即m ＝－24k ＋3k，∵k >12，∴－36≤m <0(当且仅当3k ＝4k 时，等号成立)．∴存在满足条件的实数m ，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－36，0. 21．(12分)[2019·北京朝阳区期中]已知函数f (x )＝2mx 3－3x 2＋1(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求f (x )在区间[－1,2]上的最大值和最小值；(2)求证：“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分不必要条件．解析：(1)由题意得f ′(x )＝6mx 2－6x ＝6x (mx －1)，所以当m ＝1时，f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.当x 在[－1,2]内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝5，f (x )min ＝－4. 故f (x )在区间[－1,2]上的最大值和最小值分别为5和－4.(2)因为m >1，所以由f ′(x )＝6mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m ＝0得x ＝0或x ＝1m.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝2m ·1m 3－3·1m 2＋1＝－1m2＋1，且m >1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >0.又f (－m )＝m 2(－2m 2－3)＋1<0，所以f (x )有唯一零点．所以“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分条件．当m ＝－2时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12－34＋1>0，f (0)>0，f (3)<0，所以此时f (x )也有唯一零点．从而可知“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分不必要条件． 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·湖南衡阳八中模拟][选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若|AB |＝8，求α的值． 解析：(1)直线l 的普通方程为x ·sin α－y ·cos α＋cos α＝0，∵曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ，∴ρ2cos 2θ＝4ρsin θ，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)代入x 2＝4y ， 得t 2·cos 2α－4t ·sin α－4＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1·t 2＝－4cos 2α. ∵|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4sin αcos 2α2－4×－4cos 2α＝8， ∴cos α＝±22，α＝π4或α＝3π4. 23．(10分)[2019·福建福州二检][选修4－5：不等式选讲]已知不等式|2x ＋1|＋|2x －1|<4的解集为M .(1)求集合M ；(2)设实数a ∈M ，b ∉M ，证明：|ab |＋1≤|a |＋|b |.解析：(1)方法一 当x <－12时，不等式化为－2x －1＋1－2x <4，即x >－1， 所以－1<x <－12； 当－12≤x ≤12时，不等式化为2x ＋1－2x ＋1<4，即2<4，所以－12≤x ≤12； 当x >12时，不等式化为2x ＋1＋2x －1<4，即x <1，所以12<x <1. 综上可知，M ＝{x |－1<x <1}．方法二 设f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ，x <－12，2，－12≤x ≤12，4x ，x >12，函数f (x )的图象如图所示．因为f (x )<4，由图可得，－1<x <1，所以M ＝{x |－1<x <1}．(2)方法一 (综合法)因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1.而|ab |＋1－(|a |＋|b |)＝|ab |＋1－|a |－|b |＝(|a |－1)(|b |－1)≤0，所以|ab |＋1≤|a |＋|b |.方法二(分析法)要证|ab|＋1≤|a|＋|b|，只需证|ab|＋1－|a|－|b|≤0，只需证(|a|－1)(|b|－1)≤0，因为a∈M，b∉M，所以|a|<1，|b|≥1，所以(|a|－1)(|b|－1|)≤0成立．所以|ab|＋1≤|a|＋|b|成立．方法三(分析法)要证|ab|＋1≤|a|＋|b|，因为a∈M，b∉M，所以|a|<1，|b|≥1，所以|ab|＋1≥1，|a|＋|b|≥1，所以只需证(|ab|＋1)2≤(|a|＋|b|)2，只需证|ab|2＋2|ab|＋1≤|a|2＋2|ab|＋|b|2，只需证|ab|2＋1≤|a|2＋|b|2，只需证(|a|2－1)(|b|2－1)≤0，又|a|2<1，|b|2≥1，所以(|a|2－1)(|b|2－1)≤0成立．所以|ab|＋1≤|a|＋|b|成立．。
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考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。
粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。
如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。
万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。
只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。
2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。
如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。
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3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。
若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。
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4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。
如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。
5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。
然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。
不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。
请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。
6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD 播放。
14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。
听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。
听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。
2020高考数学二轮分层模拟仿真专练（四）文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·广东深圳高级中学期末]已知集合A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}，B ＝{－2，－1,4,8,9}，设C ＝A ∩B ，则集合C 的元素个数为( )A ．9B ．8C ．3D ．2 答案：D解析：A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{－2，－1,4,8,9}，则C ＝A ∩B ＝{－1,4}，集合C 的元素个数为2，故选D.2．[2019·福建晋江四校联考]复数z ＝a ＋i(a ∈R )的共轭复数为z ，满足|z |＝1，则复数z ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋iD ．i 答案：D解析：根据题意可得z ＝a －i ，所以|z |＝a 2＋1＝1，解得a ＝0，所以复数z ＝i.故选D.3．[2019·重庆一中月考]设a ，b ，c 是平面向量，则a ·b ＝b ·c 是a ＝c 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：由a ·b ＝b ·c 得(a －c )·b ＝0，∴a ＝c 或b ＝0或(a －c )⊥b ，∴a ·b ＝b ·c 是a ＝c 的必要不充分条件．故选B.4．[2019·黑龙江牡丹江一中月考]关于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0,0)对称 答案：D解析：∵g (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴g (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0,0)对称，故选D.5．[2019·湖北武汉武昌调研考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝( )A ．40B ．44C ．45D ．49 答案：B解析：解法一 因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n－1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，2n －1，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.解法二 因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n －1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，2n －1，n ≥2，所以{a n }从第二项起是等差数列，a 2＝3，公差d＝2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋4a 6＝4×(2×6－1)＝44.故选B.6．[2019·黑龙江哈尔滨四校联考]已知函数f (x )＝cos πx3，执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A ．670B ．67012C ．671D ．672 答案：C解析：执行程序框图，y ＝f (1)＝cos π3＝12，S ＝0＋12＝12，n ＝1＋1＝2；y ＝f (2)＝cos2π3＝－12，S ＝12，n ＝2＋1＝3；y ＝f (3)＝cos π＝－1，S ＝12，n ＝3＋1＝4；y ＝f (4)＝cos4π3＝－12，S ＝12，n ＝4＋1＝5；y ＝f (5)＝cos 5π3＝12，S ＝12＋12＝1，n ＝6；y ＝f (6)＝cos2π＝1，S ＝1＋1＝2，n ＝7……直到n ＝2 016时，退出循环．∵函数y ＝cos n π3是以6为周期的周期函数，2 015＝6×335＋5，f (2 016)＝cos 336π＝cos(2π×138)＝1，∴输出的S ＝336×2－1＝671.故选C.7．[2019·湖南衡阳八中模拟]如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则该截面的面积为( )A ．2 2B ．2 3C ．2 6D ．4 答案：C解析：易知截面是菱形，如图，分别取棱D 1C 1，AB 的中点E ，F ，连接A 1E ，A 1F ，CF ，CE ，则菱形A 1ECF 为符合题意的截面．连接EF ，A 1C ，易知EF ＝22，A 1C ＝23，EF ⊥A 1C ，所以截面的面积S ＝12EF ·A 1C ＝2 6.故选C.8．[2019·河北张家口期中]已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y的最小值是( )A ．1B ．2C ．2 3D ．4 答案：D解析：通解 ∵lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，∴lg 2x ＋3y＝lg 2，∴x ＋3y ＝1.又x >0，y >0，∴1x＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝12，y ＝16时等号成立，所以1x ＋13y的最小值是4.故选D.优解 ∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg 2x ＋3y＝lg 2，∴x ＋3y ＝1.又x >0，y >0，∴1x ＋13y＝x ＋3y 3xy ＝13xy ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22＝4，当且仅当x ＝12，y ＝16时等号成立，所以1x ＋13y的最小值是4，故选D.9．[2019·河北唐山摸底]已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的所有零点之和等于( )A ．5π B．6π C ．7π D．8π 答案：C解析：f (x )＝sin x －sin(2x ＋x )＝sin x －sin 2x cos x －cos 2x sin x ＝sin x －2sin x (1－sin 2x )－(1－2sin 2x )sin x ＝sin x －(3sin x －4sin 3x )＝2sin x (2sin 2x －1)，令f (x )＝0得sin x ＝0或sin x ＝±22.于是，f (x )在[0,2π]上的所有零点为x ＝0，π4，3π4，π，5π4，7π4，2π.故f (x )的所有零点之和为0＋π4＋3π4＋π＋5π4＋7π4＋2π＝7π，故选C.10．[2019·江西七校联考]图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥，在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域(由四条半径与大圆半径相等的四分之一圆弧围成)内的概率是( )A.12B.13C.4π－1 D ．2－4π 答案：C解析：设圆的半径为1，则该点取自阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 圆＝2×2－ππ＝4π－1，故选C.11．[2019·四川内江一模]设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意的x ∈R ，有f (－x )－f (x )＝0，且x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )>2x ，若f (a －2)－f (a )≥4－4a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞) 答案：A解析：对任意的x ∈R ，有f (－x )－f (x )＝0，所以f (x )为偶函数．设g (x )＝f (x )－x 2，所以g ′(x )＝f ′(x )－2x ，因为x ∈[0，＋∞)时f ′(x )>2x ，所以x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－2x >0，所以g (x )在[0，＋∞)上为增函数．因为f (a －2)－f (a )≥4－4a ，所以f (a －2)－(a －2)2≥f (a )－a 2，所以g (a －2)≥g (a )，易知g (x )为偶函数，所以|a －2|≥|a |，解得a ≤1，故选A.12．[2019·河北衡水中学五调]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆x 2－px ＋y 2－34p 2＝0交于C ，D 两点．若|AB |＝2|CD |，则直线l 的斜率为( )A ．±22B ．±32C ．±1 D．± 2 答案：C解析：由题设可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，为抛物线C 的焦点，所以|CD |＝2p ，所以|AB |＝4p .设直线l ：x ＝ty ＋p2，代入y 2＝2px (p >0)，得y 2－2pty－p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，则|AB |＝(1＋t 2)(4p 2t 2＋4p 2)＝2p (1＋t 2)＝4p ，所以1＋t 2＝2，解得t ＝±1，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖结果揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲团队获得一等奖．” 小王说：“甲或乙团队获得一等奖．” 小李说：“丁团队获得一等奖．”小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖．”若这四位同学中只有两位的预测结果是对的，则获得一等奖的团队是________． 答案：丁解析：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵的预测结果是对的，小李的预测结果是错的，与题设矛盾；②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王的预测结果是对的，小张、小李、小赵的预测结果是错的，与题设矛盾；③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人的预测结果都是错的，与题设矛盾；④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵的预测结果是对的，小张、小王的预测结果是错的，与题设相符．故获得一等奖的团队是丁． 14．[2019·江苏无锡模考]以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．答案：y 2＝12x 解析：双曲线中，c ＝5＋4＝3，所以右焦点坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，所以p2＝3，p ＝6，抛物线的标准方程为y 2＝12x . 15．[2019·云南第一次统一检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x <3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，若f (m )＝－6，则f (m －61)＝________.答案：－4解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x <3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，f (m )＝－6，∴当m <3时，f (m )＝3m －2－5＝－6，无解；当m ≥3时，f (m )＝－log 2(m ＋1)＝－6，解得m ＝63，∴f (m －61)＝f (2)＝32－2－5＝－4.16．[2019·安徽定远中学月考]已知等差数列{a n }满足a 3＝6，a 4＝7，b n ＝(a n －3)·3n，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.答案：(2n －1)×3n ＋1＋34解析：因为a 3＝6，a 4＝7，所以d ＝1，所以a 1＝4，a n ＝n ＋3，b n ＝(a n －3)·3n ＝n ·3n，所以T n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n①，3T n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3－3n ＋11－3－n ×3n ＋1，所以T n ＝(2n －1)×3n ＋1＋34.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·华大新高考联盟教学质量测评]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，b ＝4，ac cos B ＝233S .(1)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状； (2)求a ＋c 的取值范围．解析：(1)由已知得ac cos B ＝33ac sin B ，得tan B ＝3，因为0<B <π，所以B ＝π3.因为a ，b ，c 成等差数列，b ＝4，所以a ＋c ＝2b ＝8，由余弦定理，得16＝a 2＋c 2－2ac cos π3，所以16＝(a ＋c )2－3ac ，得ac ＝16，所以a ＝c ＝b ＝4，所以△ABC 是等边三角形．(2)解法一 由(1)得(a ＋c )2－3ac ＝16≥(a ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22(当且仅当a ＝c 时取等号)， 解得0<a ＋c ≤8.又a ＋c >b ＝4，所以4<a ＋c ≤8， 所以a ＋c 的取值范围是(4,8]．解法二 根据正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝432＝833，所以a ＝833sin A ，c ＝833sin C ，所以a ＋c ＝833(sin A ＋sin C )．因为A ＋B ＋C ＝π，B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以a ＋c ＝833⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝833⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋32cos A ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6， 因为0<A <2π3，所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1则a ＋c ∈(4,8]．所以a ＋c 的取值范围是(4,8]．18．(12分)[2019·江西南昌模拟]如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝23，且△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，AC 与BD 交于点F .(1)求证：GF ∥平面PDC ； (2)求三棱锥G －PCD 的体积．解析：(1)连接AG 并延长，交PD 于点H ，连接CH .在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD 且AB ＝2DC ，∴AF FC ＝21.又E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心， ∴AG GH ＝21. 在△AHC 中，AG GH ＝AF FC ＝21，故GF ∥HC .∵HC ⊂平面PCD ，GF ⊄平面PCD ， ∴GF ∥平面PDC .(2)连接BE ，由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，知PE ⊥AD ，BE ⊥AD .∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3. 由(1)知GF ∥平面PDC ，连接FP ，V 三棱锥G －PCD ＝V 三棱锥F －PCD ＝V 三棱锥P －CDF ＝13×PE ×S △CDF .∵△ABD 为正三角形，∴BD ＝AB ＝23，则DF ＝13BD ＝233.又∠CDF ＝∠ABD ＝60°，∴S △CDF ＝12×CD ×DF ×sin∠FDC ＝32，则V 三棱锥P －CDF ＝13×PE ×S △CDF ＝32，∴三棱锥G －PCD 的体积为32. 19．(12分)[2019·湖南省长沙市检测卷]某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如下表：月份1 2 3 4 5 6 广告投入量x 2 4 6 8 10 12 收益y 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67bx差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(每个样本点的残差等于其实际值减去该模型的估计值)xy∑i ＝16x i y i∑i ＝16x 2i 7301 464.24 364(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： ①剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；②当广告投入量x ＝18时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x－y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.解析：(1)应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度高，回归方程的预报精度高．(2)①剔除异常数据，即月份为3的数据后，得 x －＝15×(7×6－6)＝7.2；y －＝15×(30×6－31.8)＝29.64.∑i ＝15x i y i ＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44；∑i ＝15x 2i ＝364－62＝328. b ^＝∑i ＝15x i y i －5x－y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝1 273.44－5×7.2×29.64328－5×7.2×7.2＝206.468.8＝3；a ^＝y －－b ^x －＝29.64－3×7.2＝8.04，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝3x ＋8.04.②把x ＝18代入回归方程得y ^＝3×18＋8.04＝ 62.04. 故预报值约为62.04万元． 20．(12分)[2019·广东广州调研]已知动圆C 过定点F (1,0)，且与定直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过点M (－2,0)的任一直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)方法一 依题意知，动圆圆心C 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等．结合抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹E 是以F (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，易知p ＝2.所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .方法二 设动圆圆心C (x ，y )，依题意得 (x －1)2＋y 2＝|x ＋1|，化简得y 2＝4x ，此即动圆圆心C 的轨迹E 的方程． (2)假设存在点N (x 0,0)满足题设条件．由∠QNM ＋∠PNM ＝π可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数， 即k PN ＋k QN ＝0. (*)依题意易知直线PQ 的斜率必存在且不为0，设直线PQ ：x ＝my －2(m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －2，得y 2－4my ＋8＝0. 由Δ＝(－4m )2－4×8>0，求得m >2或m <－ 2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.由(*)得k PN ＋k QN ＝y 1x 1－x 0＋y 2x 2－x 0＝y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝0，所以y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0) ＝0，即y 1x 2＋y 2x 1－x 0 (y 1＋y 2)＝0.消去x 1，x 2，得14y 1y 22＋14y 2y 21－x 0(y 1＋y 2)＝0，即14y 1y 2(y 1＋y 2)－x 0(y 1＋y 2)＝0. 因为y 1＋y 2≠0，所以x 0＝14y 1y 2＝2，于是存在点N (2,0)，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π.21．(12分)[2019·陕西西安中学期中]已知函数f (x )＝12x 2＋(1－x )e x，g (x )＝x －ln x－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ，a <1.(1)求函数g (x )的单调区间；(2)若对任意x 1∈[－1,0]，总存在x 2∈[e,3]，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)因为g ′(x )＝1－1x－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2＝x 2－(a ＋1)x ＋a x 2＝(x －a )(x －1)x2，a <1，又注意到函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以讨论如下．当0<a <1时，令g ′(x )>0，解得0<x <a 或x >1，令g ′(x )<0，解得a <x <1，所以函数g (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ≤0时，令g ′(x )>0，解得x >1，令g ′(x )<0，解得0<x <1，所以函数g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．综上，当0<a <1时，函数g (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)对任意x 1∈[－1,0]，总存在x 2∈[e,3]，使得f (x 1)>g (x 2)成立，等价于函数f (x )在[－1,0]上的最小值大于函数g (x )在[e,3]上的最小值．当x ∈[－1,0]时，因为f ′(x )＝x (1－e x)≤0，当且仅当x ＝0时不等式取等号，所以f (x )在[－1,0]上单调递减，所以f (x )在[－1,0]上的最小值为f (0)＝1.由(1)可知，函数g (x )在[e,3]上单调递增，所以g (x )在[e,3]上的最小值为g (e)＝e －(a ＋1)－ae.所以1>e －(a ＋1)－ae ，即a >e 2－2ee ＋1.又a <1，故所求实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1. 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·山东济南质量评估][选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ，y ＝a ＋12t(t为参数)，其中a >0，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P (0，a )满足1|PM |＋1|PN |＝4，求a 的值．解析：(1)由已知可知ρ2cos 2θ＝ρsin θ，由{ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ，y ＝a ＋12t(t 为参数)代入y ＝x 2，得34t 2－12t －a＝0，且Δ＝14＋3a >0.设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－43a ，所以t 1、t 2异号．所以1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝49－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43a ＝4，化简得64a 2－12a －1＝0，解得a ＝14或a ＝－116(舍)．所以a 的值为14.23．(10分)[2019·河南省郑州市检测卷][选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|3x －2a |＋|2x －2|(a ∈R )．(1)当a ＝12时，解不等式f (x )>6；(2)若对任意x 0∈R ，不等式f (x 0)＋3x 0>4＋|2x 0－2|都成立，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时，不等式f (x )>6可化为|3x －1|＋|2x －2|>6，当x <13时，不等式即为1－3x ＋2－2x >6，∴x <－35；当13≤x ≤1时，不等式即为3x －1＋2－2x >6，无解； 当x >1时，不等式即为3x －1＋2x －2>6，∴x >95.综上所述，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－35或x >95. (2)不等式f (x 0)＋3x 0>4＋|2x 0－2|恒成立可化为|3x 0－2a |＋3x 0>4恒成立，令g (x )＝|3x －2a |＋3x ＝⎩⎨⎧6x －2a ，x ≥2a 3，2a ，x <2a3，∴函数g (x )的最小值为2a ，根据题意可得2a >4，即a >2， 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．。