结构动力学作业答案(roy r.craig)
结构力学课后答案第10章结构动力学
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
*
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
/
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
！
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
（2）画出 和 图（在B点处作用一附加约束）
…
（3）列出刚度法方程
， ，
代入 、 的值，整理得：
(b)
解：
图 图
】
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载 和惯性力矩 共同引起的。
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
结构动力学习题解答一二章
2、 动量距定理法
适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析;
(2) 利用动量距定理J ,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法:
;
1、7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA,半径为rA,齿轮B的质量为mB,半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,
解:由齿轮转速之间的关系 得角速度 ;转角 ;
系统的动能为:
CA
;B D
图1-36
系统的势能为:
;
系统的机械能为
;
由 得系统运动微分方程
;
适用范围:所有的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1)设系统的广义坐标为 ,写出系统对于坐标 的动能T与势能U的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U;
(2)由格朗日方程 =0,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
1、2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。
方法一:衰减曲线法。
求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值 、 。
(2)由对数衰减率定义 , 进一步推导有
,
因为 较小,所以有
。
方法二:共振法求单自由度系统的阻尼比。
;L/2L/2
则固有频率为:
图1-33(b)
结构动力学习题解答
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
结构动力学试题及答案
结构动力学试题及答案（本文按试题和答案格式进行编写）试题一：1. 请问什么是结构动力学？2. 简述结构动力学的研究对象和主要内容。
3. 结构动力学分析常用的方法有哪些？4. 结构动力学分析中常用的数学模型有哪些？5. 结构动力学的应用领域有哪些？答案一：1. 结构动力学是研究结构在外力作用下的动态响应及其稳定性的学科。
2. 结构动力学的研究对象是各种工程结构，主要内容包括结构的振动、冲击响应、瞬态响应和稳态响应等。
3. 结构动力学分析常用的方法有模态分析法、频率响应分析法、时程分析法等。
4. 结构动力学分析中常用的数学模型有单自由度体系、多自由度体系、连续体系等。
5. 结构动力学的应用领域广泛，包括建筑结构工程、桥梁工程、风力发电机组、地震工程等。
试题二：1. 结构动力学分析中，模态分析的基本原理是什么？2. 简述模态分析的步骤和计算方法。
3. 常用的模态分析软件有哪些？4. 请问什么是结构的固有频率和阻尼比？5. 结构的模态振型对结构动力响应有什么影响？答案二：1. 模态分析是基于结构的振动特性，通过求解结构的固有频率、模态振型和阻尼比等参数，来研究结构的动力响应。
2. 模态分析的步骤包括建立结构有限元模型、求解结构的固有频率和模态振型、计算结构的阻尼比等。
常用的计算方法有有限元法、拉普拉斯变换法等。
3. 常用的模态分析软件有ANSYS、ABAQUS、MSC.NASTRAN等。
4. 结构的固有频率是结构在无外力作用下自由振动的频率，阻尼比是结构振动过程中能量耗散的程度。
5. 结构的模态振型对结构动力响应有很大影响，不同的模态振型会导致不同的振动特性和反应。
试题三：1. 结构动力学分析中，频率响应分析的基本原理是什么？2. 简述频率响应分析的步骤和计算方法。
3. 频率响应分析和模态分析有什么区别？4. 结构的频率响应函数和传递函数有什么区别？5. 频率响应分析在结构设计中的应用有哪些？答案三：1. 频率响应分析是研究结构在单频激励下的响应特性，通过求解结构的频率响应函数，来获得结构的响应。
结构动力学-习题解答
7-1（a)试求图示体系的自振频率与周期。
解
11
5 48
l3 EI
;
3.098
EI ml 3
;
l/2
T 2.027
ml 3 ;
7-6 某结构在自振10个周期后，振幅降为原来初始位移的10% （初位移为零），试求其阻尼比。
解： 1 ln10 0.0366 2 10
8-1试求图示梁的自振频率和振型。 m
y1(t)
解
EI 2m
a
a
y2
(t
)
a
12
21
1 4
a3 EI
a
I 2 m 0
11m1 1/ 2
m212
0
m1 21
22m2 1/ 2
1 1.153
a/2
2 0.181
令
1
11m1
2
1 1/ 2
0
1/ 4 1/3 2 4 / 3 5 / 24 0
x11 / x21 3.277; x12 / x22 0.61
;
9l / 64 (a)
5l / 32
11.817
EI ml 3 ;
l/2
T 0.531
ml3 ;
(b)
EI
7-1（c)试求图示体系的自振频率与周期。
m 刚性杆
解 由右面竖杆的平衡可求出铰处约束力。
EI
由水平杆的平衡：
结构动力学习题答案
3.4
m2 g k
( m1 + m2 ) u (0) = m2 2 gh
即 u (0) =
i
i
m2 2 gh m1 + m2
动力方程： ( m1 + m2 )( u − ust )′′ + K ( u − ust ) = 0
5 .0 1 = u st 2ξ
(1)
当 w wn = 1 时，发生共振有： Rd 1 =
当 w wn = 1 10 时， Rd 1 =
0 .5 = u st
(1 − 0.1 ) + (2ξ × 0.1)
2 2
1
(2)
2
由式(1),(2)可以解得 ξ = 4.95%
3.6 解：
TR =
[1 − (w w ) ] + [2ξ w w ]
ii
ii
ii
ii
ii
δ Wp = −m2 g sin θ i Lδθ
虚 功原理： δ Ws
+ δ WI + δ W D +δ W p = 0 得：
⎡ m1 + m2 ⎢ mL ⎣ 2
2.6 解：
ii ⎫ ⎧i⎫ m2 L ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎪ u ⎪ ⎡C 0 ⎤ ⎪ u ⎪ ⎡ k 0 ⎤ ⎧ u ⎫ ⎧ +⎢ ⎨ i ⎬+ ⎢ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎨ ii ⎬ m2 L ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎩θ ⎭ ⎩−m2 g sin θ i L ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
![[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解](https://img.taocdn.com/s3/m/198055225627a5e9856a561252d380eb629423b8.png)
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
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P2.3 解答2.3 如图所示，刚性梁AB 受到弹簧BC 的激励。
C 点的运动方程为z (t )。
试用B 点的位移u 为变量来推导系统的运动方程。
假设为小运动，采用牛顿定律来求解。
解：1. 画自由体受力图2. 列力矩平衡方程∑=0AM根据受力分析，可知：022211=+---L f Lf L f M c I3. 力与位移关系弹簧力2/11u k f =； 阻尼力2/11uc f c =； 弹簧力)(22u z k f -= 惯性力矩ML u dl Ll M u l uL l dl L M l a dm M L LLI 31)()(02200==⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰4. 将力与位移关系代入到力矩平衡方程，并化简：z k u k k u c u M 2211)41(4131=+++P2.13 解答2.13 一根均匀的杆的质量密度为ρ，其杆端有一集中质量M 。
应用假定振型法（L x x /)(=ψ）推导如下系统的轴向自由振动的运动方程。
解：1. 形函数及几何边界条件0),0(=t U )()(),(t u x t x U ψ=2. 建立虚功方程0'=+-=inertia nc W V W W δδδδ因为没有外力，所以0=nc W δu LAEudx L u L u AE Udx AEU V LL δδδδ===⎰⎰0)'( 对于惯性力而言，其虚功包括杆本身的虚功1inertia W δ和杆端集中质量的虚功2inertia W δ。
u uALdx x Lu u A Udx UA W LLinertia δρδρδρδ 3)(0221-=-=-=⎰⎰ u u M t L U t L UM W inertia δδδ -=-=),(),(2 3. 化简0)3(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-u u L AE u M ALδρ因为u δ为虚位移，即0≠u δ，所以运动方程为0)3(=++u L AEu M AL ρP3.7 解答3.7 一台机器的质量为70kg ，安装在弹簧上，弹簧的总刚度为15kN/m ，总阻尼为1.2kN.s/m 。
试求如下初始条件的运动u(t)。
解：1. 运动方程及其相关参数由图可知，其运动方程为0=++ku u c um 其中kg m 70=，m N k /1054⨯=，m s N c /1200⋅=。
所以sc c ms N m c s m k n d cr n cr n /rad 32.2532.0173.26132.02.37421200/2.374273.267022/rad 73.26705000022=-⨯=-====⋅=⨯⨯=====ζωωζωω2. 系统的自由振动解⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-t u ut u e t u d d n d t n ωωζωωζωsin cos )(000 3. 不同初始条件下的自由运动（a ）0,1000==umm u ()t t et ut u e t u td d n d t n 32.25sin 34.032.25cos 1001sin cos )(55.800+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--ωωζωωζω（b ）s mm uu /100,000== t e t ue t u t d dtn 32.25sin 2.2531sin )(55.80--===ωωζωP4.8 解答4.8 转动机械中的不平衡是很普遍的激励源。
下图正是这样一个例子。
（M －m ）是机械的质量，m 是转动不平衡块的质量，其转动圆频率为Ω。
a. 推导机械垂向运动方程；b. 推导系统稳态响应表达式并绘制频响曲线。
解：1. 向心力及其垂向分量向心力的大小2Ω=me F ，垂向分量为t me t F F u ΩΩ=Ω=sin sin 2。
2. 系统的运动方程t me ku u c uM ΩΩ=++sin 2 化简后可得：t Mme u u u n n ΩΩ=++sin 222ωζω 3. 系统的稳态响应[]22/1222212tan )sin()2()1(r rt r r k me u -=-Ω+-Ω=ζααζ现在考虑其频率响应幅值[][][]2/1222222/1222222/12222)2()1()2()1()2()1(r r r k me r r kme r r k me u nn nζωζωωζ+-⋅=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω⋅=+-Ω=定义静位移为kme U n20ω=，因此，[]22/122220)2()1()(r D r r r U U H s ⋅=+-==ΩζP5.1 解答5.1 用一个非常简单的模型来研究着陆的一架轻型飞机的冲击。
如图所示，以一个线性弹簧的集中质量表示着陆的装置。
当弹簧触到地面时，质量m 具有一垂直下降速度V 。
接触时t=0，并令u(0)＝0。
(a)确定弹簧保持在接触地面时间内，质量的垂向位置u （t ）的表达式； (b)确定弹簧回弹脱离地面接触的时间。
解：1. 受力分析根据初始条件：V uu t ===)0(,0)0(,0 ，及上图可知，物体的受力图如右所示。
2. 运动微分方程所以，根据受力图，其运动微分方程为：mg ku um =+3. 垂向位置)(t u 的解t A t A kmgt u n n ωωsin cos )(21++=根据初始条件，可得mkVA kmg A n n==-=221,,ωω 所以，t Vt k mg t u n nn ωωωsin )cos 1()(+-=。
4. 弹簧回弹脱离地面的时间当弹簧再次脱离地面时，其运动状态为：g t u V t ut u =-==)(,)(,0)(111 。
因此，可以任意选取一个运动量来求解脱离时间1t 。
这里，我们取速度量，则有V t V t kmgt un n n -=+=111cos sin )(ωωω 11cos 1sin t t V g n n nωωω+=-nn V g t ωπω=-2tan1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-πωωn n V g t 11tan 21 ku um mg9.2 一均匀薄刚杆BC 的质量m ，长度L 附在一均匀弹性梁AB 上，设侧向位移很小。
应用恰当的自由体图，确定A 与B 点的边界条件。
解：1. A 点的边界条件为固支，即0),0(=t v00=∂∂=x xv2. B 点的边界条件刚体的受力图如上所示。
对于端部剪力边界条件，3232223222B x Lx L x Lvv mL v S EI m xt x t ===∂∂∂==+∂∂∂∂（注：2322222x L x LvL v tx t ==∂∂+∂∂∂为刚杆BC 的质心加速度）对于端部弯距边界条件，Lx Lx B xv t I xvEI M 222222)(==∂∂∂∂=∂∂=其中231mL I =解：1． 特征方程现拟采用如下通解形式x C x C x C x C x V λλλλcos sin cosh sinh )(4321+++=两端边界条件为自由端，所以L x x dx V d dx V d ==⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫,03322将边界条件代入通解表达式，可得0sin cos sinh cosh cos sin cosh sinh 00004321333322223322=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----C C C C L L L L L L L L λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ 如果上面方程有非零解，则其系数行列式为零。
化简后得特征方程：0)cos cosh 1(10=-L L λλλ由此可见，本系统有零固有频率，而其非零频的特征方程为：00cos cosh 1≠=-λλλL L2. 现确定零频率的个数。
当0=λ时，根据自由运动微分方程（10.12），可得：044=dx Vd 。
因此，我们可以假定解的形式为342321)(x a x a x a a x V +++=。
考虑边界条件，可知043==a a 。
因此，零频率的振型为x a a x V 21)(+=。
考察得到的振型函数可知，只可能存在2个相互正交的组合。
相对应的，存在两个零频率。
3. 求零频率的刚体模态（利用正交性）。
设x a a V 210+=，x b b V 211+=，则有：0010=⎰Ldx V AV ρ032)(222122111=+++L b a L b a b a b a由于L 具有任意性，所以022=b a 。
因此可以设0,022≠=b a 。
因此，上式变为：Lb b Lb b 1221202-=⇒=+ 所以，两个刚体模态为：10a V =，)21(11Lxb V -=。
可进一步，采用102=⎰L dx AV ρ正规化方法，求解1a 、1b 。
通过计算得到：ALa ρ11=，ALb ρ31=所以，正规化的刚体模态为ALρφ10=，)21(31Lx AL -=ρφ 4. 非零频率对于非零频的特征方程，只能采用数值的方法求解。
结果是：421)731.4(ALEIρω=，422)854.7(ALEIρω=。
5. 振型通过线性方程组，4个方程中的三个，我们可以得到弯曲模态的振型表达式（0≠ω）()()()()[]x x L L x x L L A x V n n n n n n n n n n λλλλλλλλsin sinh cos cosh cos cosh sin sinh )(+--+-=P11.26 解答11.26 运用假定振型法求解悬臂梁的2－DOF 模型。
其中，自由端的变形)(t v 和转角)(t θ被定义为模型的广义坐标。
相应的振型函数如下图所示。
解：（a ）推导基于如下一般多项式的形函数)(1x ψ和)(2x ψ。
32)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=L x d L x c L x b a x ψ （b ）推导此2－DOF 模型的运动微分方程。
解：（a ）由图可知，对于)(1x ψ而言，有：.0)(;1)(;0)0(;0)0('11'11====L L ψψψψ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==⇒032100L d Lc d c b a.2;3;0;0-====⇒d c b a所以， 32123)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=L x L x x ψ 对于)(2x ψ而言，有： .1)(;0)(;0)0(;0)0('22'22====L L ψψψψ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==⇒132000L d Lc d c b a.;;0;0L d L c b a =-===⇒所以， 322)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=L x L L x L x ψ（b ）1．首先求形函数的二阶导数。