结构动力学习题答案(刘晶波)
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同济大学2003-2016年结构动力学考博试题分解
同济⼤学2003-2016年结构动⼒学考博试题分解同济⼤学2008年结构动⼒学考博试题同济⼤学2009年结构动⼒学考博试题共5道⼤题1：什么是结构⾃由度；2：有两道题都是关于两⾃由度的计算题：都是采⽤振型叠加法；3：设计⼀个实验⽅案，测定⼀种结构材料的阻尼⽐4：证明瑞利--理兹法计算的结构基频⽐精确解⼤同济⼤学2010年博⼠⽣⼊学考试结构动⼒学⼀、简答题⼀．结构⾃由度⼆．达朗贝尔原理三．⽆阻尼单⾃由度系统在初始条件下做⾃由振动，试写出描述该系统振动的位移解。
设初试位移为u0，初始速度为v0。
四．判断结构动⼒分析中直接数值积分的稳定条件。
⼆、计算题1.计算系统的运动⽅程，并求解⾃振频率。
图 12.图2 中为均质杆，计算：（1）通过均质杆轴向振动⽅程建⽴杆的特征⽅程；（2）应⽤Rayleigh 商原理，采⽤假定振型法求解杆的振动基频。
图 21.介绍获得阻尼系数的两种试验⽅法，写明步骤及公⽰。
2.多⾃由度系统的全部振型为[ ][ d c]，已知[]T[M][ ][ ]I （单位阵），[ ] [F c K] 1 [ d][d] [ 1 d]T 。
其中，[ d ]证明：对应[c]的结构剩余柔度矩阵为为保留振型；[c]为剩余振型；[ d ]为对⾓阵，其对⾓元素为系统保留振型所对应各阶特征值。
3.P 点的简谐位移激励Z( )t Z0 cos(t) ，图中m，c，k，Z0，ω均为已知数，求：1.⽤u t( )推导系统的运动⽅程及固有频率和阻尼⽐；2.⽤W t( )Z t( )u t( )推导系统的运动⽅程。
图 36.两层框架结构如图4 所⽰，已知m1=m2=1kg，K1=2000，K2=4000，ω=50rad/s，阻尼都为0.05。
1.求所有振型及⾃振频率；2.求系统Rayleigh 阻尼；3.⼴义质量、⼴义刚度、⼴义阻尼；4.⽤振型叠加法求稳态响应。
图 41. 如图 5，按集中质量建⽴单元质量矩阵。
图 52. 写出等截⾯欧拉梁弯曲⾃由振动⽅程。
结构动力学
p
图 1 静力荷载作用简支梁
p(t)
惯性力
图 2 动力荷载作用简支梁
以这种方式抵抗结构加速度的惯性力，是结构动力学问题与静力学问题区别的更重要特征。 一般来说， 如果惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部外荷载的一个重要部分， 解题时必须 考虑问题的动力特性。 2. 阻尼就是使自由振动衰减的各种摩擦和其他阻碍作用。 当结构的阻尼小鱼结构的临界阻尼时， 一般结构的自由振动振幅不断衰减， 最后振幅降为 0， 结构停止振动。当结构的阻尼大于临界阻尼时，结构的自由振动不会出现震荡，结构的振幅 直接降为 0。 典型结构体系的真实阻尼特性是很复杂和难确定的， 因此通常采用自由振动条件下的具有相 同衰减率的等效粘滞阻尼比ε来表示实际结构的阻尼。并且在建立结构的运动方程时，考虑 阻尼对于结构的作用，采用阻尼与速度的乘积作为结构的阻尼力。
பைடு நூலகம்
1. 答：结构动力问题在以下两个重要方面不同于静力问题。 一、根据定义，动力问题具有随时间变化的性质。由于荷载和反应随时间变化，显然动力问 题不像静力问题那样具有单一的解，而必须建立相应于反应过程全部时间的一系列解答； 二、下图叙述了静力问题和动力问题第二个、并且更重要的问题。如果图 1 所示的简支梁承 受静荷载 P，则它的弯矩、剪力和挠曲线形状直接依赖于给定的荷载，而且可根据力的平衡 原理求得。如果图 2 所示的荷载是动力荷载，则梁所产生的位移将于加速度有联系，而这些 加速度又产生与其反向的惯性力， 梁的弯矩和剪力不仅要平衡外荷载还要平衡由于梁的加速 度所引起的惯性力。
清华结构动力学_刘晶波（全10章总结）
p(t)
t
(d) 地震荷载
1.3 结构动力计算的特点
1、动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问 题复杂且要消耗更多的计算时间。
2、与静力问题相比，由于动力反应中结构的位移随时间 迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又 产生重要影响。
p
p(t)
惯性力
(a) 静力问题
(b) 动力问题
静力问题和动力问题受力的区别
结构静力反应和动力反应不同的外因： 荷载不同 （是否随时间变化）
静荷载： 大小、方向和位置不随时间变化或缓慢变化的荷载。 例如：结构的自重、雪荷载等。
动荷载： 随时间快速变化或在短时间内突然作用或消失的荷载。
荷载随时间变化是指其大小、或方向、或作用点随时 间改变，
作用点随时间变化的荷载称为移动荷载。
(b) 与集中质量法相比，有限元 法中的广义坐标也采用了真实的物 理量，具有直接、直观的优点，这 与集中质量法相同。
结构动力学
（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程： 描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程）
运动方程是进行结构动力分析的基础
运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
fs = fs (u ,u&)
fs是位移和速度的 非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
2.2 运动方程的建立
1. 利用牛顿（Newton）第二定律
F = ma
单质点体系的受力分析
F = p(t) − fD − fs ma + f D + f s = p(t)
a = u&& fD = cu& fs = ku
t
(d) 地震荷载
1.3 结构动力计算的特点
1、动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问 题复杂且要消耗更多的计算时间。
2、与静力问题相比，由于动力反应中结构的位移随时间 迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又 产生重要影响。
p
p(t)
惯性力
(a) 静力问题
(b) 动力问题
静力问题和动力问题受力的区别
结构静力反应和动力反应不同的外因： 荷载不同 （是否随时间变化）
静荷载： 大小、方向和位置不随时间变化或缓慢变化的荷载。 例如：结构的自重、雪荷载等。
动荷载： 随时间快速变化或在短时间内突然作用或消失的荷载。
荷载随时间变化是指其大小、或方向、或作用点随时 间改变，
作用点随时间变化的荷载称为移动荷载。
(b) 与集中质量法相比，有限元 法中的广义坐标也采用了真实的物 理量，具有直接、直观的优点，这 与集中质量法相同。
结构动力学
（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程： 描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程）
运动方程是进行结构动力分析的基础
运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
fs = fs (u ,u&)
fs是位移和速度的 非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
2.2 运动方程的建立
1. 利用牛顿（Newton）第二定律
F = ma
单质点体系的受力分析
F = p(t) − fD − fs ma + f D + f s = p(t)
a = u&& fD = cu& fs = ku
结构动力学4-1
&& [ M ]{u(t )} + [ K ]{u(t )} = {0}
(−ω 2 [M ] + [K ]){φ }sin(ωt + θ ) = {0}
因为sin(ωt + θ)为任意的，可以消去，因此，
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
2
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自 振频率的关系 ，称为运动方程的特征方程。 由特征方程可解得自振频率ω和振型{φ}。
1
k22=1800
k23=－600
(c)
(d)
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 结构的质量阵、刚度阵：
1.0 u 1=1 u3 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 运动方程的特征方程：
0⎤ ⎡ 2. 0 0 ⎢ 0 1. 5 0 ⎥ [M ] = ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 .0 ⎥ ⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ 3000 − 1200 ⎢− 1200 1800 − 600⎥ [K ] = ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 600 600 ⎥ ⎦ ⎣
算例1 如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间 刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。 结构模型及各刚度元素：
1.0 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 u 1=1 u3 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
(−ω 2 [M ] + [K ]){φ }sin(ωt + θ ) = {0}
因为sin(ωt + θ)为任意的，可以消去，因此，
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
2
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自 振频率的关系 ，称为运动方程的特征方程。 由特征方程可解得自振频率ω和振型{φ}。
1
k22=1800
k23=－600
(c)
(d)
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 结构的质量阵、刚度阵：
1.0 u 1=1 u3 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 运动方程的特征方程：
0⎤ ⎡ 2. 0 0 ⎢ 0 1. 5 0 ⎥ [M ] = ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 .0 ⎥ ⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ 3000 − 1200 ⎢− 1200 1800 − 600⎥ [K ] = ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 600 600 ⎥ ⎦ ⎣
算例1 如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间 刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。 结构模型及各刚度元素：
1.0 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 u 1=1 u3 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
结构动力学6-2(上网)
u ( x, t ) =
∑u
n =1
∞
n ( x, t )
=
∑φ
n =1
∞
n ( x) q n (t )
在梁中任意位置处，截面的弯矩和剪力可以通过以下两 ∞ 式求得： ′ M ( x, t ) = ∑ EI ( x )φn′( x ) qn (t )
n =1
′ ′ V ( x, t ) = ∑ [EI ( x )φn′( x )] qn (t )
振型阻尼系数Cn用振型阻尼比ζn表示
C n = 2ζ nω n M n
则有阻尼振型运动方程为
p n (t ) && & q n (t ) + 2ζ nω n q n (t ) + ω n q n (t ) = Mn
2
这是标准的有阻尼单自由度体系运动方程， 求得qn(t)后，同样可以求u(x,t)、M(x,t)和V (x,t)等。
∑
n =1 ∞
φn (ξ )
n
4
(1 − cos ωn t )φn ( x ) nπx (1 − cos ωn t ) sin L
梁中弯矩：
M ( x, t ) = EIu′′( x, t ) =
2 p0 L3 = 4 π EI
2 p0 L3
∑
n =1
φn (ξ )
n4
π
4
∑
n =1
∞
φn (ξ )
2 2
nπ ωn = 2 L
6.4 梁的动力反应分析
算例1 2、建立振型坐标的方程 振型质量：M n
=
φn ( x) = sin
∫
L
L
0
m( x)φ n ( x)dx = m
∑u
n =1
∞
n ( x, t )
=
∑φ
n =1
∞
n ( x) q n (t )
在梁中任意位置处，截面的弯矩和剪力可以通过以下两 ∞ 式求得： ′ M ( x, t ) = ∑ EI ( x )φn′( x ) qn (t )
n =1
′ ′ V ( x, t ) = ∑ [EI ( x )φn′( x )] qn (t )
振型阻尼系数Cn用振型阻尼比ζn表示
C n = 2ζ nω n M n
则有阻尼振型运动方程为
p n (t ) && & q n (t ) + 2ζ nω n q n (t ) + ω n q n (t ) = Mn
2
这是标准的有阻尼单自由度体系运动方程， 求得qn(t)后，同样可以求u(x,t)、M(x,t)和V (x,t)等。
∑
n =1 ∞
φn (ξ )
n
4
(1 − cos ωn t )φn ( x ) nπx (1 − cos ωn t ) sin L
梁中弯矩：
M ( x, t ) = EIu′′( x, t ) =
2 p0 L3 = 4 π EI
2 p0 L3
∑
n =1
φn (ξ )
n4
π
4
∑
n =1
∞
φn (ξ )
2 2
nπ ωn = 2 L
6.4 梁的动力反应分析
算例1 2、建立振型坐标的方程 振型质量：M n
=
φn ( x) = sin
∫
L
L
0
m( x)φ n ( x)dx = m
结构动力学习题解答
（4）
将（4）式代入方程（3）可以求得：
A= h
(ω
2
n
−ω
2 2
)
= + 4n ω 2 nω
2 2
6F
；
L 6 K − mω
(
2 2
)
+ 9C ω
2
2
α = arctg
ω n −ω
2
2
= arctg
3Cω 6 K − mω 2
；
（２） 求 f (t ) = δ (t ) 的解； 将 f (t ) = δ (t ) 代入方程（1）得
∑ M ,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤： （1）设系统的广义坐标为 θ ，写出系统对于坐标 θ 的动能 T 和势能 U 的 表 达 式 ； 进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
ωn =
=
1 rA
；
1.8 已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为 L，质量为 m，两弹簧刚度皆为 K，阻尼系
̇ = 0时 数为 C，求当初始条件 θ 0 = θ 0
结构动力学3-1
c 2 使：( ) − ωn 2 = 0 成立的阻尼c称为临界阻尼。 2m
临界阻尼记为ccr：
ccr = 2mω n = 2 km
3.2 有阻尼自由振动
u(t)
& u (t ) = [u(0)(1 + ω n t ) + u(0)t ]e
u(0)>-ωn u(0) u(0)
−ω nt
u(0)
u(0) -ω u(0) n t u(0) -ωn u(0)
ui u (t i ) 2πζ ) = = exp(ζω nTD ) = exp( ui +1 u (t i + TD ) 1−ζ 2
u1 TD ui TD ui+1 ti+TD t
u(t)
ti
——相邻振幅比仅与阻尼比有关，而与i的取值无关。
3.2.3 运动的衰减和阻尼比的测量
ui u (t i ) 2πζ = = exp(ζω nTD ) = exp( ) 2 ui +1 u (t i + TD ) 1−ζ
3.2 有阻尼自由振动
（1）当 ζ＜1时，称为低阻尼（Under damped）， 结构体系称为低阻尼体系； （2）当 ζ＝1时，称为临界阻尼（Critically damped）； （3）当 ζ＞1时，称为过阻尼（Over damped）， 结构体系称为过阻尼体系。 对于钢结构： ζ = 0.01 左右
自由振动反映结构本身的特性，对结构自由振动 的分析可以了解结构自振频率、阻尼比等概念。
3.1 无阻尼自由振动
&& & mu(t ) + cu(t ) + ku (t ) = p(t )
无阻尼：c=0 自由振动：p(t)=0 运动方程： 初始条件：
临界阻尼记为ccr：
ccr = 2mω n = 2 km
3.2 有阻尼自由振动
u(t)
& u (t ) = [u(0)(1 + ω n t ) + u(0)t ]e
u(0)>-ωn u(0) u(0)
−ω nt
u(0)
u(0) -ω u(0) n t u(0) -ωn u(0)
ui u (t i ) 2πζ ) = = exp(ζω nTD ) = exp( ui +1 u (t i + TD ) 1−ζ 2
u1 TD ui TD ui+1 ti+TD t
u(t)
ti
——相邻振幅比仅与阻尼比有关，而与i的取值无关。
3.2.3 运动的衰减和阻尼比的测量
ui u (t i ) 2πζ = = exp(ζω nTD ) = exp( ) 2 ui +1 u (t i + TD ) 1−ζ
3.2 有阻尼自由振动
（1）当 ζ＜1时，称为低阻尼（Under damped）， 结构体系称为低阻尼体系； （2）当 ζ＝1时，称为临界阻尼（Critically damped）； （3）当 ζ＞1时，称为过阻尼（Over damped）， 结构体系称为过阻尼体系。 对于钢结构： ζ = 0.01 左右
自由振动反映结构本身的特性，对结构自由振动 的分析可以了解结构自振频率、阻尼比等概念。
3.1 无阻尼自由振动
&& & mu(t ) + cu(t ) + ku (t ) = p(t )
无阻尼：c=0 自由振动：p(t)=0 运动方程： 初始条件：
结构动力学4-2
n =1
N
而 ωn = K n / M n 。
Cn ζn = 2ω n M n
有阻尼体系振型坐标的运动方程可写为如下形式：
pn (t) && & qn qn (t) = , n = 1, 2,L, N Mn
2
上式即为有阻尼单自由度体系在外荷载作用下的标准运 动方程，可以采用在单自由度动力问题反应分析中的 有关方法进行计算。
n
m
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
{u (t )} = ∑ {φ}n qn (t )
n =1
N
运动方程化为N个解耦的关于振型坐标的运动方程：
&& & M n qn (t ) + Cn qn (t ) + Kn qn (t ) = pn (t ) n = 1, 2, L, N
Rdn—相应于n阶自振频率的动力放大系数， 或称振型反应的动力放大系数。
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
从以上分析可以看出，对于满足阻尼正交条件的结构体 系,当采用振型叠加法分析时，多自由度体系的动力反 应问题即转化为一系列单自由度体系的反应问题，并 可以考虑初始条件的影响。 此时在单自由度体系分析中采用的各种分析方法都可以 用于计算分析多自由体系的动力反应问题，使问题的 分析得到极大简化，因为求解N个独立的方程比求解一 个N阶联立的方程组要简便得多。
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
2、不满足阻尼阵正交条件
采用振型展开：
{u} = ∑{φ}m qm (t )
m =1
L
其中L<N，比如：N＝40000，而L＝30 —100。 结构的运动方程为：
N
而 ωn = K n / M n 。
Cn ζn = 2ω n M n
有阻尼体系振型坐标的运动方程可写为如下形式：
pn (t) && & qn qn (t) = , n = 1, 2,L, N Mn
2
上式即为有阻尼单自由度体系在外荷载作用下的标准运 动方程，可以采用在单自由度动力问题反应分析中的 有关方法进行计算。
n
m
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
{u (t )} = ∑ {φ}n qn (t )
n =1
N
运动方程化为N个解耦的关于振型坐标的运动方程：
&& & M n qn (t ) + Cn qn (t ) + Kn qn (t ) = pn (t ) n = 1, 2, L, N
Rdn—相应于n阶自振频率的动力放大系数， 或称振型反应的动力放大系数。
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
从以上分析可以看出，对于满足阻尼正交条件的结构体 系,当采用振型叠加法分析时，多自由度体系的动力反 应问题即转化为一系列单自由度体系的反应问题，并 可以考虑初始条件的影响。 此时在单自由度体系分析中采用的各种分析方法都可以 用于计算分析多自由体系的动力反应问题，使问题的 分析得到极大简化，因为求解N个独立的方程比求解一 个N阶联立的方程组要简便得多。
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
2、不满足阻尼阵正交条件
采用振型展开：
{u} = ∑{φ}m qm (t )
m =1
L
其中L<N，比如：N＝40000，而L＝30 —100。 结构的运动方程为：