贵州省贵阳市高中名校2021届高三元月月考数学(理)试题(含答案)

高三月考理科数学试题一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知i 为虚数单位，复数z 满足iz=1+i ，则z = A.1+iB.1-iC.-1+i D.-1-i2.集合}{{},,02a x x B x x A <=<-=若A B A = ,则实数a 的取值范围是A.(]2--，∞ B.[)∞+，2- C.(]2-，∞ D.[)∞+，2 3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在），（0-∞上单调递增的函数是 A.2)(x x f = B.xx f 2)(= C.xx f 1log )(2= D.x x f sin )(= 4.已知向量b a ,b a ⊥-==)(,22且，则向量b a 与的夹角是A.6π B.4π C.2π D.3π开始 5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为-4时， 则输入的0S 的值为 A.7 B.8 C.9 D.106.实数k y x ,,满足22,0103y x z k x y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+若的最大值为13，则k 的值为 A.1B.2 C.3 D.47.已知函数①,cos sin x x y +=②,cos sin 22x x y =则下列结论正确的是,1S S i ==1+=i i iS S 2-=?4<i S 输出结束是否A.两个函数的图象均关于），（041-成中心对称图形， B.两个函数的图象均关于直线4-x π=成轴对称图形，C. 两个函数在区间），（44-ππ上都是单调递增函数， D.两个函数的最小正周期相同.8.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ABC ∆的面积为S ，且222c b a S -+=）（，则C tan 等于A.43B.34 C.34- D.43- 9.已知P 是ABC ∆所在平面内一点且02=++,现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆ 内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是 A.41 B.31 C.32 D.214 4 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 84 正（主）视图 侧（左）视图 A.3160B.160C.23264+D.60 俯视图11.过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于B A ,两点O 为坐标原点，若3=AF , 则AOB ∆的面积为 A.22 B.2 C.223 D.22 12.已知函数)(x f 满足)1()(xf x f =，当[]3,1∈x 时，x x f ln )(=，若在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡331，内，曲线x ax x f x g 与-=)()(轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是A.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10，B.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 210，C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 13ln3， D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 213ln3， 44二、填空题:（本大题共4小题，每题5分，满分20分.将最后答案填在答题卡横线上）13.已知dx x n 16e 1⎰=，那么n xx ）（3-展开式中含2x 项的系数为. 14.已知圆052,1:22=+-=+y x y x O 直线上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ,则PA 的最小值为.15.观察下列等式：23333233323323104321632132111=+++=++=+=，，，，，⋅⋅⋅根据上述规律，第n 个等式为.16.表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为.三、解答题 ：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足).(12*∈=+N n a S n n（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）数列}{n c 满足n n na c =，求证：43321<+⋅⋅⋅+++n c c c c . 18.（本小题满分12分）（1）某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布)16.5.170(N 现从该省某校（2）求这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数；（3）在这50名男生身高在177.5cm 以上含（177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望. 参考数据： 若ξ~），（2σμN .则6826.0)-(=+≤<σμξσμP ， 9974.0)33-(=+≤<σμξσμP .19.（本小题满分12分）已知正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E,F 分别是AC 和BC 边上的中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A-BC-B.（1）求二面角E-DF-C 的余弦值；（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE?如果存在，求出BCBP的值；如果不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)如图，已知椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，双曲线1-2222=b y a x 的两条渐近线为21l l 、，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使21,l l l l 与又⊥交于点P ，设l 与椭圆C 的两个焦点由上至下依次为A ，B.（1）若21l l 与的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程； （2）若AP FA )12(-=,求椭圆C 的离心率21.（本小题满分12分）设函数,0),()(),1ln()('≥=+=x x xf x g x x f 其中)('x f 是)(x f 的导函数. （1）令()*+∈==N n x g g g x g x g n n )),((,)(11，猜测)(x g n 的表达式并给予证明；（2）若)()(x ag x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设*∈N n ，比较)()2()1(n g g g +⋅⋅⋅++与)(n f n -的大小，并说明理由. 22.（本小题满分10分）选修4-4参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(225225为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=. （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的21，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C ，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值.元月月考理科数学参考答案：一、1-4 ABCD 5-8 DBCC9-12 DACC二、13.135 14.2 15.2333332)1(...4321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++++n n n 16.27 三、17.解:}{n a 是公比为31的等比数列.而)1(21111a a S -==∴nn n a a ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=∴=-313131,3111 （1）因为,31nn n n na c ⎪⎭⎫⎝⎛==设n n c c c T +++=...21，则nn n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=31 (3133123113)21=n T 3113231311-...312311-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯n nn n ）（由错位相减，化简得：.4331432433121314343<⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=n nnn n n T 18.解：（1）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171…………………………（4分）（2）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数为10人……………（6分）（3）,9974.0)435.170435.170(=⨯+≤<⨯-Θξp ∴0013.029974.01)5.182(=-=≥ξp ，而0.0013×100000=130. 所以全省前130名的身高在182.5cm 以上，这50人中182.5cm 以上的有5人. 随机变量ξ可取0,1,2，于是954525)1(,924510)0(210151521025=======C C C P C C p ξξ,924510)2(21025===C C P ξ ∴1922951920=⨯+⨯+⨯=ξE .……………………………………………………(12分)19.解：（1）以点D 为坐标原点，以直线DA DC DB ,,分别为x 轴，y 轴，轴，z 建立空间直角坐标系xyz D -，则).0.3.1()1.3.0()0.32.0().0.0.2(.2.0.0F E C B A ）（ ).200().130(),0,31(，，，，，===DA DE DF易知平面CDF 的法向量为)2,00(1111，=DA ,设平面EDF 的法向量),,(z y x n =yxP则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0n DF n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.03,03z y y x 取)3,3,3(-=n ，,721cos ==nDA n DA 所以二面角C DF E --的余弦值为721.…………(6分) （2）存在.设)0,,(t s p ，则由023)1,3,0()2,,(=-=⋅-=⋅t t s DE AP 解得332=t ， 又)0,32,(),0,,2(t s PC t s BP --=-=，∵323,)32)(2(//=+-=--∴t s st t s 即.把332=t 代入上式得34=s ，∴22231BC BP WWW =,∴在线段BC 上存在点p ，使DE AP ⊥,此时，.31=BC BP ……………………12分 20.解：（1）因为双曲线1-2222=b y a x ，所以其渐近线方程为x a by ±=而两渐近线的夹角为ο60，所以3330tan ==οa b即b a 3=因为2=c ，所以2222=+b a所以1,3==b a ，椭圆C 的方程为1322=+y x ……6分 （2）因为1l l ⊥，所以直线l 的方程为22),(b a c c x bay -=-=其中因为直线2l 的方程为x aby =，联立直线2l l 与的方程解得点）（c ab c a P ,2因为λ=设点）（00,y x A 其中1-2=λy1l 2l PA BP则有（00y c x ⋅-）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-002y c abx c a λ 解得)1(,)1(022λλλλ+=++=c aby c a c x o 因为点）（0,0y x A 在椭圆12222=+by a x 上，所以1)1()()1(2222222222=++++λλλλc b ab c a a c ）（ 即22242222)1(c a a a c λλλ+=++）（ 等式两边同除以4a 得).1,0(,)1(22222∈+=++e e e λλλ）（ 代入1-2=λ，化简得0)246()224(24=-+--e e解得.22-=e 故椭圆的离心率为.22-………………………………12分21.（1）由题意设得，),0(1)(≥+=x xxx g 由已知，x xxx x xx g g x g x x x g 21111))(()(,1)(121+=+++==+=，,31)(3x x x g += 可猜测nxxx g n +=1)(，下面用数学归纳法证明.①当1=n 时，xxx g +=1)(1，结论成立，②假设k n =时结论成立，即,1)(kxx x g k +=那么，当1+=k n 时，,111111))(()(1x k x kxx kx xx g x g x g g x g k k k k ）（）（）（++=+++=+==+即结论成立.由①②可知，结论对*∈N n 成立，所以.1)(nx x x g n +=（2）已知)()(x ag x f ≥恒成立，即xaxx +≥+1)1ln(恒成立.设),0(1)1ln(≥+-+=x xax x x ）（φ 则,11111)(22'∆+∆-+=∆+∆-+=x a x x a x x φ 当a ≤1时，1,00)('==≥a x x 仅当φ时等号成立，∴）（x φ在[]∞+，0上单调递减，又[]∞+≥=，在）（，）（0000x φφ上恒成立， ∴1≤a 时，xax x +≥+1)1ln(恒成立（仅当0=x 时等号成立）. 当a>1时，对(]1,0-∈a x 有(]1,0)(,0)('-∴<a x x 在φφ上单调递增，∴0)0(1=<-φφ）（a ， 即1>a 时，存在0>x ，使0<）（x φ，故知xax x +≥+1)1ln(不恒成立. 综上可知，a 的取值范围是(].1-，∞……………………………………………8分 （3）由题设知)1ln()(,13221)()2()1(+-=-++⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++n n n f n n n n g g g ， 比较结果为).1ln()()2()1(+->+⋅⋅⋅++n n n g g g 证明如下：上述不等式等价于).1ln(113121+<++⋅⋅⋅++n n 在（2）中取a=1，可得.0,1)1ln(>+>+x xx x 令N n n x ∈=,1，则111ln +>+n n n . 由累加法可得113121)1ln(++⋅⋅⋅++>+n n ，结论得证.…………………………12分22.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x y x 422=+即：4222=+-y x ）（直线l 的普通方程为052=+-y x (5)分 （2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩为原来的21，得42222=+-y x ）（即14122=+-y x ）（再将所得曲线向左平移1个单位，得14221=+y x C ： 又曲线1C 的参数方程为为参数）θθθ(sin 2cos ⎩⎨⎧==y x ，设曲线1C 上任一点）（θθsin 2,cos P 则2102)sin(552252sin 2cos ≥+-=+-=→ϕθθθl p d （其中21tan -=ϕ） ∴点p 到直线l 的距离的最小值为210.………………………………………10分。