2020.西安地区八校联考数学(文)
2020年5月陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试卷及解析
（2）由（1）,令 有 , 存在两个极值点 、 即
由题意知： ,
∴
令 ,即 和 时, ,所以有 在区间内分别单调递减
∴ 时,有 ,即
由①②两式消去 得 ,
整理得 ,
解得 或 （舍去）,
∴ ．
故选C．
9.已知sinα、cosα是方程5x2﹣ x﹣2＝0的两个实根,且α∈（0,π）,则cos（α+ ）＝（）
A. B. ﹣ C. D. ﹣
【答案】D
【解析】
根据韦达定理可得 , ,结合 ,可得 ,根据两角和的余弦公式可得 ,由此可得结果.
（2）（点差法）：设 , , 的中点为 ,椭圆 的右焦点为 ,直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,则： ,∴ ,∴ , ,∴ ,即： ,故不存在.
21.设函数 ．
（Ⅰ）讨论 在区间 上的单调性；
（Ⅱ）若 存在两个极值点 、 ,且 ,求 的取值范围．
【答案】（1） 时, 在 上单调递减, 上单调递增； 时, 在 上的单调递增；（2）
【解析】
（1）利用导函数 ,讨论在 、 时 的取值范围及其对应的单调区间即可；（2）由 存在两个极值点,即可得 ,同时可用 表示出 、 ,进而代入函数式得到 ,利用导函数研究其单调性,结合单调区间边界值即可确定 的范围
【详解】（1）由题意,得
当 时, ： 时, 在 上单调递减； 时, 无递减区间
当 时, ： 时, 在 上单调递增； 时, 在 上的单调递增
【答案】-13
【解析】
作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移,可得当x＝y＝1时,z＝2x+y取得最小值．
陕西省部分重点高中2020年12月联考高三数学试卷(文科)答案
高三数学试卷参考答案#文科$!!#"因为"$&##%&$#$%''((所以"% $&%((%)(%*(%"'!+!,"因为$+槡$%!%+)-(所以$+的实部与虚部分别为%!(槡%+)!'!."这/个数中+('(*(((!!是质数(故所求概率为*/!"!#"从(月+日到(月*日白天的平均气温呈下降趋势!这!0天白天的平均气温的极差大于)1!这!0天中白天的平均气温为+)1的频率为02'(比其他平均气温的频率都要大!这!0天中白天的平均气温大于+)1的只有"天!故选#!*!."因为函数%##$的图象关于点#!(0$对称(所以将%##$的图象向左平移!个单位长度后所得图象关于原点对称(故选.!)!3"因为&'&'$(&'('(所以&'&($%)&''((则&')($&')&4&'&($&'"'%)&''((所以 4 $!%)$%*!(!,"该长方体的外接球的半径*$槡+*4/4)+槡$!0(则该长方体的外接球的表面积为" *+$"0 !&!3"%##$$#5-6+#785+##$!+#5-6"##(因为+$5-6"#的最小正周期为+ "$ +(所以%##$的最小正周期为 "!/!."依题意可设&的方程为#+"%++)$ (将#+()$代入(得++"%)+)$ $%*(则&的方程为#+"%++)$%*(即++'0%#++0$!(则&的实轴长+,槡$+'0(离心率-$!4+0槡'0$槡!*'!!0!3"由三角形的面积公式可得!+,.5-6)$槡'",.槡$/'(则,.$')!由余弦定理可得/+$,+4.+%+,.785)(+,.%,.$,.$')(即/()(则)")&外接圆的半径*$/+5-6)()+9槡'+槡$+'#当且仅当,$.$)时(等号成立$!!!!,"由三视图可知(该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点(另外两个顶点是正方体棱的中点(其直观图如图所示!正视图的面积为+9+%+9!+9+9!%!+9!9!$'+(故该三棱锥的体积为!'9'+9+$!!!+!#"%0##$$##%+$:#%#+4+#$##%+$#:#%#$(设函数1##$$:#%#(10##$$:#%!(易证1##$(1#0$$!*0!令%0##$*0(得#*+)令%0##$$0(得#$+!所以%##$;-6$%#+$$"'%:+4,*0(故,*:+%"'!!'!!'"5-6 %785 5-6 %+785 $<=6 %!<=6 %+$%!+%'+$!'!!"!)"因为"$/(所以,+$/(所以椭圆#+"4++/$!上一点到两焦点的距离之和为+,$)!!*!%'"作出可行域(如图中阴影部分所示*由图可知(当直线$$++%'#(即+$'+#4$+经过点"#!(0$时($取得最大值(故$;=>$+90%'9!$%'!!)!#0(!$"因为%##$$?8@/#4+#$?8@/#!4+#$(所以%##$在#!"(4A $上单调递减(又!$!4+#$/(所以%##$的值域为#0(!$!!(!解*#!$由题意可得,'$,!2+$'(,+4,"$,!24,!2'$'0(2*!+,-('分………………………………………………………………解得,!$!(2$'!*分……………………………………………………………………………………………故,3$,!23%!$'3%!!)分…………………………………………………………………………………………#+$由#!$可得,+3$'+3%!(则/3$?8@',+3$+3%!(/分…………………………………………………………故43$!4'4*4+4+3%!$#!4+3%!$3+$3+!!+分………………………………………………………!&!解*#!$由表中数据可得.5$!*9#!04!!4!'4!+4/$$!!(!分…………………………………………….6$!*9#+'4+*4'04+)4!)$$+"(+分………………………………………………………………………B 7/$/*8$!5868%*.5.6/*8$!5+8%*.5+$!'*!%*9!!9+")!*%*9!!+$'!!(*分………………………………………………………………7,$.6%7/.5$+"%'!!9!!$%!0!!()分…………………………………………………………………………故6关于5的线性回归方程为6$'2!5%!02!!(分……………………………………………………………#+$当5$!*时(6$'2!9!*%!02!$')2"*'*(!0分…………………………………………………………所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告!!+分…………………………………………………………!/!#!$证明*在直三棱柱")&%"!)!&!中()!&!0)&(+分…………………………………………………………………………………………………………………因为)&1平面"!)&()!&!2平面"!)&(所以)!&!0平面"!)&!"分……………………………………………………………………………………#+$解*在直三棱柱")&%"!)!&!中(""!3平面")&(因为")1平面")&(所以""!3")!*分……………………………………………………………………又")$!(""!$+(所以"!)槡$*()分…………………………………………………………………………同理可得"!&槡$++!(分…………………………………………………………………………………………因为")3"&(")$!("&$+(所以)&槡$*!&分……………………………………………………………所以)"!)&的面积为!+槡槡槡9++9*%+$)!/分……………………………………………………………设点"到平面"!)&的距离为9(由:"%"!)&$:"!%")&(得!'槡9)99$!'9!+9!9+9+(!!分………………………………………………解得9$槡)'!!+分…………………………………………………………………………………………………+0!#!$解*%0##$$!#%!:!!分………………………………………………………………………………………因为曲线+$%##$的一条切线与直线+$:!%:#垂直(所以这条切线的斜率为:%!:(+分…………………令!#%!:$:%!:(得#$!('分…………………………………………………………………………………所以切点为#!(%!:$(所求切线的方程为+4!:$:%!:##%!$(即#:%!$#%:+%:$0!*分………………#+$证明*%0##$$!#%!:$:%##:!当#4#0(:$时(%0##$*0)当#4#:(4A $时(%0##$$0!)分…………………………………………………所以%##$;=>$%#:$$?6:%::$0!(分…………………………………………………………………………设函数1##$$#+%?6#%'"(则10##$$+#%!#$+#+%!#!当#4#0(槡++$时(10##$$0)当#4#槡++(4A $时(10##$*0!&分……………………………………………所以1##$;-6$1#槡++$$!+%!+?6!+%'"$%!"4!+?6+!/分………………………………………………因为?6+*槡?6:$!+(所以1##$;-6*0!!!分…………………………………………………………………又%##$5%##$;=>$0(所以%##$$#+%?6#%'"!!+分………………………………………………………+!!解*#!$因为(#%;+(+$(<#;+(0$((<槡$+*(所以;+4+槡+槡$+*(+分…………………………………………………………………………………………解得;$"(故抛物线&的方程为++$&#!"分…………………………………………………………………#+$由题意知(<#+(0$(因为直线=过点<(所以当(<3=时(点(到=的距离最大!)分……………………………………………………………………因为>(<$+%0%+%+$%!+(所以直线=的斜率为+((分………………………………………………………联立方程组+$+##%+$(++$&# (消去+得#+%)#4"$0!&分………………………………………………………设?##!(+!$(@##+(++$(则#!4#+$)(/分……………………………………………………………………所以?@$#!4#+4;$)4"$!0!!!分………………………………………………………………………因为(<槡$+*(所以)(?@的面积为!+槡槡9!09+*$!0*!!+分………………………………………++!解*#!$由#$"785(+$%"4"5-6 (得#+4#+4"$+$!)(+分…………………………………………………………即#+4++4&+$0('分……………………………………………………………………………………………则&的极坐标方程为 +4&5-6 $0("分………………………………………………………………………即 4&5-6 $0#或 $%&5-6$!*分……………………………………………………………………………#+$因为=的极坐标方程为' 785 4"5-6 $A (所以=的直角坐标方程为'#4"+%A $0!(分…………………………………………………………………由#!$知(曲线&表示圆心为�(%"$(半径为"的圆(&分…………………………………………………则&到=的距离B $#A 4!)#*$"(/分…………………………………………………………………………解得%')$A $"(即A 的取值范围为#%')("$!!0分…………………………………………………………+'!解*#!$由%##$*!4##%,#(得##%',#*!(!分………………………………………………………………则#%',$%!或#%',*!('分…………………………………………………………………………………即#$',%!或#*',4!(故不等式%##$*!4##%,#的解集为#%A (',%!$6#',4!(4A $!*分…………………………………#+$因为%##$$##%,#4##%',#(##%,%##%',$#$#+,#()分…………………………………………所以%##$的最小值为#+,#!(分…………………………………………………………………………………因为%##$*,槡4!&对#4 恒成立(所以,槡4!&$#+,#(&分………………………………………………又,4!&(0(所以,4,%!&(%+$6#/"(4A $!!0分…………………………………………………………。
2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(理科)(6月份)
Ⅱ 由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ．
Ⅰ 求 ；
Ⅱ 若该校共有 名学生，记每周平均锻炼时间在区间 的人数为ɛ，试求 ɛ ．
已知点 、 、 在球心为 的球面上，若 ＝ ＝ ， ＝ ，球心 到截面 的距离为 ，则该球的表面积为________．
在 中，内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， 是 的中点，若 ＝ 且 ＝ ，则 面积的最大值是________．
三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.
A. B. C. D.
12.已知函数 ，点 、 是函数 图象上不同两点，则 （ 为坐标原点）的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中相应的横线上）p*x-3y+5≥0
已知实数 ， 满足不等式组 ，则 ＝ 的最小值为________．
从 、 、 、 、 、 中任取两个不同的数，分别记为 、 ，则“ ”的概率为________．
【解答】
或 ，故①错误；
由线面垂直的性质定理可得 ，故②正确；
根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得 ，故③正确；
由面面平行的性质及几何特征可得 或 ， 异面，故④错误；
5.
【答案】
D
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
又∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴所求值为 ，
陕西省西安地区八校联考2019-2020学年高三上学期第一次数学(文)试题(解析版)
西安市教育学会教研信息专业委会员2020届高三卷•启用前机密 西安地区陕师大附中 西安高级中学 西安高新一中 西安交大附中西安市83中 西安市85中西安市一中 西安铁一中 西安中学 西工大附中八校联考2020届高三年级数学（文科）试题注意事项：1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.2. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3. 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4. 保持纸面清洁，不折叠，不破损.5. 若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}|10A x Z x =∈+≥，(){}|lg 3B x y x ==-，则A B =I （ ） A. {}0,1,2 B. {}|13x x -≤<C. {}0,1,3,1,2-D. {}1,2,1,0-【答案】D 【解析】 【分析】根据交集运算结果求解即可【详解】{}{}|101,0,1,2,3,A x Z x A =∈+≥⇔=-L ，(){}{}|lg 3|3B x y x B x x ==-⇔=<， 则A B =I {}1,2,1,0- 故选：D【点睛】本题考查集合交集运算，属于基础题2.复数12ii-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. ()2,1-- B. ()1,2-C. ()2,1-D. ()1,2--【答案】A 【解析】 【分析】根据复数运算的除法法则求解即可【详解】()()()12122i i i i i i i ---==---，在复平面内对应的点为()2,1-- 故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算，复数与复平面的对应关系，属于基础题 3.函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】先求导，令()'0f x =，再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可【详解】由()()32234'36f x x x f x x x =+-⇒=+，令()'0f x =得0x =或2x =-，当()(),2,0,x ∈-∞-+∞时，()f x 单调递增，当()2,0x ∈-时，函数单调递减，()()20,04f f -==-，画出函数图像，如图所示：故函数图像有两个零点故选：C【点睛】本题考查导数研究函数零点个数，属于基础题4.若实数x ，y 满足()222013y x x y y ⎧≥-⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩，则241z x y =++的最小值为（ ）A. -2B. -3C. -5D. 0【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出可行域，再根据目标函数与可行域的位置关系求解即可【详解】如图所示，画出目标可行域，241z x y =++可转化为1124z y x -=-+，当交于点A 时，有最小值，求得1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入241z x y =++得min 2z =-故选：A【点睛】本题考查根据二元一次方程组求目标函数的最小值，属于基础题5.在一次技能比赛中，共有12人参加，他们的得分（百分制）茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为（ ）A. 89 54.5B. 89 53.5C. 87 53.5D. 89 54【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和方差定义求解即可 【详解】由题可知，中位数为：8791892+=，先求平均数： 787984868787919494989899999012x ++++++++++++==()()()()()()222222222222211211643314889953.512S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-++++++=⎣⎦ 故中位数为：89，方差为53.5 故选：B【点睛】本题考查茎叶图的识别，中位数与方差的求法，属于基础题6.已知()1,01ln ,0x x e f x x x x⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（e 为自然对数的底数），若1a f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()af x x =是（ ） A. 定义域为R 的奇函数 B. 在()0,∞+上递减的奇函数 C. 定义域为R 的偶函数 D. 在()0,∞+上递增的偶函数【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数，先求出a ，再求出()af x x =的具体表达式，进一步分析即可【详解】11ln f e e e e ⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭，则()()111a f f f e e e e ⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()11axxf x x -===，画出反比例函数的图像，显然B 项符合故选：B【点睛】本题考查分段函数的求值，函数图像奇偶性增减性的判别，属于基础题 7.已知点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ）A. ()2,0B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()0,2D. 10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】结合抛物线第一定义和图像即可求解【详解】2y px =可变形为2yx p =，则焦点坐标为10,4p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线第一定义，点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，即5AH =，即1354p +=，解得124p=，则抛物线焦点坐标为()02,故选：C【点睛】本题考查抛物线的基本性质，熟悉抛物线基本表达式特征，明确焦点位置，是解题关键，属于基础题8.已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，侧棱长为3的表面积为（ ） A. 20π B. 16πC. 12πD. 123π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出大致图像，确定球心在'PO 的连线上，再结合几何关系和勾股定理进行求解即可【详解】如图，由几何关系可知，3'33BO =⨯=，先将三角形'PO B 转化成平面三角形， 如图：23PB ='3PO =，OP OB R ==，则'3OO R =-，由勾股定理可得222''O B OO OB +=，即(()22233R R +-=，解得2R =，球体的表面积为：2416S R ππ==故选：B【点睛】本题考查锥体外接球表面积的求法，解题关键在于找出球心，属于中档题9.若x x ≤≤”是“223x x +≤≤”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】解不等式223x x +≤≤可得{|12}x x <<，是{|2x x ≤≤的真子集，故“2x ≤≤“223x x+≤≤”成立的必要不充分条件.故选B.10.函数()2cos 12sin x x x x f =+-的单调递增区间为（ ）A. (),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z C. ()2,236k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. ()22,263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数化简，再结合正弦函数增区间的通式求解即可【详解】()2cos 12sin 2cos 2sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+⎪⎝⎭，再令 22,2,622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦ 故选：A【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求法，属于基础题11.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被双曲线C 截得的弦长为234e a （e 为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 3y x =±B. 5y x =±C. 35y x =±D. y x = 【答案】D 【解析】 【分析】可设左焦点的坐标为(),0c -，直线与曲线的两交点坐标为()(),,,A B A c y B c y --，代入双曲线方程可解得纵坐标，通过题设的通径可得参数,,a b c 基本关系，再结合222c a b =+即可求解 【详解】设1F (),0c -，直线与曲线的两交点坐标为()(),,,A B A c y B c y --()0,0A B y y ><，将()(),,,A B A c y B c y --代入22221x y a b-=，解得22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22324b e a a =，解得2283b c =，又因为222c a b =+，联立得：2235b a =，即双曲线的渐近线方程为：y x =±故选：D【点睛】本题考查双曲线通径的使用，双曲线的基本性质，无论是椭圆还是双曲线，通径公式都为22b a，属于中档题12.陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[]40,44，[]45,49，[]50,54，[]55,59的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[]40,44.由此求得爱看人数比y 关于年龄段x 的线性回归方程为0.4188y kx =-.那么，年龄在[]60,64的爱看人数比为（ ） A. 0.42 B. 0.39C. 0.37D. 0.35【答案】D 【解析】【分析】根据题意，可列出y 关于x 的表格，求出,x y ，代入0.4188y kx =-，求出k ，即可求解 【详解】由题，对数据进行处理，得出如下表格：求得49.5x =，0.195y =，因样本中心(),x y 过线性回归方程，将(),x y 代入0.4188y kx =-，得0.0124k =，即0.01240.4188y x =-，年龄在[]60,64对应的x 为62，将62x =代入0.01240.4188y x =-得：0.0124620.41880.35y =⨯-=，对应的爱看人数比为：0.35故选：D【点睛】本题考查线性回归方程的应用，样本中心(),x y 过线性回归方程是一个重要特征，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）13.已知平面向量(),2a m =r ，()2,b m =r，且()//a b a -r r r ，则m =______.【答案】2± 【解析】 【分析】由题，根据()//a b a -r r r，即向量平行的坐标运算即可求出参数m【详解】()2,2a b m m -=--r r ，(),2a m =r ，因为()//a b a -r r r ，所以222m mm --=，解得2m =±故答案为：2m =±【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题14.在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______. 【答案】3975 【解析】 【分析】根据等差数列下标性质进行求解即可【详解】由题，可设1523,156a a ==，则15225135026273156a a a a a a a a +=+=+=+=+L ， 故()23512531563975a a a ++=⨯+=L 故答案为：3975【点睛】本题考查等差数列下标性质的应用，属于基础题15.从1，2，3，5，6，7中任意取三个数，则这三个数的和为偶数的概率为______. 【答案】0.6 【解析】 【分析】根据题意，采用列举法，表示出所有的情况，再选出符合题意的个数，结合古典概型公式求解即可 【详解】由题可知，所有可能的情况为：()()()()()()()1,2,3,1,2,5,1,2,6,1,2,7,1,3,5,1,3,6,1,3,7，()()()()()()()()()()()1,5,6,1,5,7,1,6,7,2,3,5,2,3,6,2,3,7,2,5,6,2,5,7,2,6,7,3,5,6,3,5,7, ()()3,6,7,5,6,7，共计20个其中符合题意的有：()()()()()()()1,2,3,1,2,5,1,2,7,1,3,6,1,5,6,1,6,7,2,3,5,()()()()()2,3,7,2,5,7,3,5,6,3,6,7,5,6,7，共计12个故这三个数的和为偶数的概率为：120.620P == 故答案为：0.6【点睛】本题考查古典概型的计算，正确表示各个数的形式是解题关键，属于基础题16.金石文化，是中国悠久文化之一.“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是(()28dm +，则该工艺品共有______个面，表面积是______.【答案】 (1). 26 (2). ()()27283dm +【解析】 【分析】先由三视图还原出立体图，再结合立体图特点求解表面积即可【详解】由立体图可确定该几何体由26个面构成，其中有18个正方形面和8个正三角形面构成，先研究正视图，若设中间的正方形的边长为a ，则2BC =（正视图BC 长度会被压缩），该正八边形面积为()(22212242228822S a aa ⎫=+-⨯⨯=+=+⎪⎪⎝⎭，解得2a = 18个正方形面积为：218272⨯=，8232883⨯=故表面积为：(()27283dm +故答案为：26；(()27283dm +【点睛】本题考查由三视图还原立体图，多面体表面积的求法，还原立体图形、正确理解三视图与立体图线段关系是解题关键，属于难题三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(222a b c bc --=，2sin sin cos 2CA B =，BC 边上的中线AM . （1）求角A 、C 的大小； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）6A π=，23C π=（2）ABC S ∆= 【解析】 【分析】（1）将()(222a b c bc --=展开，结合余弦定理即可求得A ，再由2sin sin cos2CA B =可得sin 1cos B C =+，结合三角形内角和公式可求得C ； （2）结合（1）可判断ABC V 为等腰三角形，ACM ∆结合余弦定理即可求得,a b ，再结合正弦面积公式即可求解【详解】（1）由()(222a b c bc --=，得222b c a +-=.∴222cos 2b c a A bc +-==. ∵0A π<<，∴6A π=，由2sin sin cos 2CA B =，得sin 1cos B C =+， ∴5sin 1cos 6C C π⎛⎫-=+⎪⎝⎭，由此得sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0C π<<，∴62C ππ-=，即23C π=. （2）由（1）知，6A B π==，则a b =，在ACM ∆中，由余弦定理，得2222cos120722a a AM b b ⎛⎫=+-⋅⋅︒= ⎪⎝⎭，解得2a b ==. 故113sin 223222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题18.已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为平行四边形，M 为CD 的中点，N 为PD 上一点，且12DN NP =（如图）.（1）证明：//PB 平面AMN ；（2）当平面PAB ⊥平面ABCD ，55566PA PB AD AB ====，120BAD ∠=︒时，求三棱锥P ABN -的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）83【解析】 【分析】（1）要证//PB 平面AMN ，即证//PB 平面AMN 的一条线段，可连接BD ，交AM 于点E ，通过相似三角形证明//NE PB 即可；（2）采用等体积法进行转化，13P ABN N AB ABP P S V V d --∆=⋅=，平面PAB ⊥平面ABCD ，可通过几何关系先求出点D 到平面PAB 的距离，再结合12DN NP =求得点N 到平面PAB 的距离，结合体积公式即可求解；【详解】（1）证明：取AB 的中点H ，连接CH ，BD ，BD AM E ⋂=，连接NE .∵四边形ABCD 为平行四边形，M ，H 分别为CD ，AB 的中点， ∴根据平行线分线段成比例定理得13DE DB =， 又12DN NP =，得13DN DP =， ∴//NE PB ，又NE 在平面AMN 内，PB 不在平面AMN 内， ∴//PB 平面AMN .（2）由题意，得5PA PB ==，6AD AB BC ===， 120BAD ∠=︒.连接CH ，PH （H 为AB 的中点）， 则PH AB ⊥，CH AB ⊥，且22534PH =-=，226333CH =-=∵平面PAB ⊥平面ABCD ，PAB ABCD AB =I ，CH 在平面ABCD 内，CH AB ⊥. ∴CH ⊥平面PAB ，∵//DC AB ，得D 点到平面PAB 的距离就是33CH = 又12DN NP =， ∴N 到平面PAB 的距离为2233d CH ==∴13P ABN N AB ABP PS V V d --∆=⋅=1164238332=⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查线面平行的证明，锥体体积的求法，属于中档题 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设()()22nn n a S f n =-+-.（1）若11a =，23a =，且数列(){}f n 为等差数列，求数列(){}f n 的通项公式；（2）若()0f n =对任意n ∈+N 都成立，求当n 为偶数时n S 的表达式. 【答案】（1）()()31225f n n n =-+-⨯=- （2）()122122nn n S +=-=-（n 为偶数）【解析】 【分析】（1）根据题意求出公差d ，即可求出通项公式；（2）由()()220nn n a S n N +-+-=∈，当2n ≥时，()111220n n n a S ----+-=，两式作差可得()()1133222n nn n a a --+=--=-，再令()2n m m N +=∈，则2212322m m m a a -+=⋅，结合前n 项和公式即可求解；【详解】（1）∵()()22nn n a S f n =-+-，11a =，23a =， ∴()1122121123a S f --=-⨯-=-=，()()()()2212223213241a a f a -++-=-++=-=，设等差数列为(){}f n 的公差为d ，则()132d =---=. ∴数列(){}f n 的通项公式为()()31225f n n n =-+-⨯=-.（2）()0f n =对任意n N ∈，都成立，即()()220nn n a S n N +-+-=∈ ①当2n ≥时，()111220n n n a S ----+-=②①-②得()()1133222n nn n a a --+=--=-. 令()2n m m N +=∈，则2212322mm m a a -+=⋅，∴()2221211322mm k mk k k k S a a -===+=∑∑()()224123221214mm -=⋅=--，故()122122nn n S +=-=-（n偶数）.【点睛】本题考查等差数列的基本求法，由n a 与n S 求数列前n 项和，对运算能力有较高要求，属于中档题 20.已知函数()()2sin f x mx x m R =+∈在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减. （1）求m 的最大值；（2）若函数()f x 的图像在原点处的切线也与函数()ln 1g x x x =+的图像相切，求m 的值. 【答案】（1）-1 （2）1m = 【解析】 【分析】（1）通过求导，再将函数在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减作等价转化，可得sin 2m x ≤-在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，求得()min sin 2x -，即可求解；（2）可先求出()f x 过原点的切线方程，再设函数()ln 1g x x x =+的图像在()000,ln 1x x x +处的切线为l ，根据点斜式得出()()()0000ln 1ln 1y x x x x x -+=+-，又0ln 1m x =+，结合()0,0点经过l ，即可求解 【详解】解：（1）∵()()2sin f x mx x m R =+∈，∴()2sin c 'os sin 2m x x x m x f +=+=， ∵函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数. ∴()'0f x ≤即sin 20m x +≤，sin 2m x ≤-在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，222,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则当22x π=即4x π=时，sin 2x -取最小值-1. ∴1m ≤-， ∴m 的最大值为-1.（2）()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()0,+∞. 由()'sin 2f x m x =+，得()'0sin0f m m =+=. ∴函数()f x 的图像在原点处的切线方程为y mx =， 由()ln 1g x x x =+，得()'ln 1g x x =+，设函数()ln 1g x x x =+的图像在()000,ln 1x x x +处的切线为l ，则l ：()()()0000ln 1ln 1y x x x x x -+=+- ①.且l 过原点，0ln 1m x =+，将0x =，0y =代入①，解得01x =. ∴ln111m =+=.【点睛】本题考查用导数和函数增减性求解参数问题，具体切线方程中参数的求法，学会等价转化，分离参数是解决参数类问题常用方法，属于中档题21.已知A ，B ，C 顺次是椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆E的离心率2e =，且12AB AC ⋅=u u u r u u u r . （1）求椭圆E 的方程； （2）若斜率12k =的直线l 过点60,5⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，试判断：以PQ 为直径的圆是否经过点A ，并证明你的结论.【答案】（1）221164x y += （2）经过，证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意，列出相应表达式，再结合222a b c =+，即可求解；（2）可联立直线和椭圆的标准方程，结合韦达定理表示出两根和与积的关系，再由向量证明0AP AQ ⋅=u u u r u u u r即可；【详解】（1）解：由題意得(),0A a ，()0,B b ，()0,C b -，2e =. ∴12AB AC ⋅=u u u r u u u r即()()22,,12a b a b a b -⋅--=-=，设椭圆的半焦距为()0c c >，得方程组2222212a b ca ab c⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆E 的方程为221164x y +=.（2）方法一：以PQ 为直径的圆经过点A .理由如下：∵椭圆E ：221164x y +=，()4,0A .直线l 的斜率12k =，且过点60,5⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴直线l ：1625y x =+， 由2216251164y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，并整理得2121280525x x +-=， 212128410525⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 与椭圆E 有两个交点.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12125x x +=-，1212825x x =-. ∵()()11224,4,x y AP A x y Q -⋅-⋅=u u u r u u u r()121212416x x x x y y =-+++()12121216164162525x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12125234364525x x x x =-++ 512823124364255525⎛⎫=⨯--⨯+ ⎪⎝⎭1602764360252525=--+=. ∴以PQ 为直径的圆经过点A . 方法二：同方法一，得12125x x +=-，121285x x =-. ∴PQ ===设PQ 的中点为()00,C x y ，则120625x x x +==-，00163255y x =-=-.∴12CA PQ ===.∴以PQ 为直径的圆经过点A .【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，韦达定理、向量法在解析几何中的应用，属于中档题22.在直角坐标系xOy 中，直线l经过点()P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线S的参数方程为1x k y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k为参数），曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围.【答案】（1）普通方程为()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤，极坐标方程为4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭（2）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 （1）由1x k =得1k x=，代入y =S 的普通方程，再结合222x y ρ+=，cos x ρθ=即可求解的曲线S 的极坐标方程；（2）设直线方程为(y k x =+，由直线l 与曲线C 有公共点可得圆心到直线距离d r ≤，可解得k ，进而求得α的取值范围 详解】（1）显然，参数14k ≥，由1x k =得()104k x x =<≤，代入y =()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤， 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入2240x y x +-=，得24cos 0ρρθ-=，即4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭. ∴曲线S 的普通方程为()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤，极坐标方程为4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭. （2）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，曲线C 是以()02,为圆心，半径为2的圆.当2πα=时，直线l：x =-与曲线C 没有公共点， 当2πα≠时，设直线l的方程为(()tan y k x k α=+=.圆心()02,到直线l的距离为d ==由2d =≤，得0k ≤≤.∴03πα≤≤，即α的取值范围为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查曲线的普通方程和极坐标方程的求法，直线与圆的位置关系，属于中档题 23.已知函数()25f x x x x =---. （1）求不等式()238f x x ≥-的解集；（2）若存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}|6x x ≤ （2）(][),13,-∞+∞U 【解析】 【分析】（1）采用取绝对值方法可求得()f x 的分段函数，分三组方程求解即可；（2）存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，即求出()0f x 在区间[]00,6x ∈的最大值，使得()0max 42f x a ≥--即可求解a 的取值范围【详解】解：（1）∵()22262,22542,2562,5x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+<⎪=---=--≤≤⎨⎪-+->⎩，∴不等式()238f x x ≥-等价于下列不等式组，①2226238x x x x <⎧⎨-+≥-⎩或②22254238x x x x ≤≤⎧⎨--≥-⎩或③2256238x x x x >⎧⎨-+-≥-⎩， 由①得2203x x <⎧⎪⎨≤⎪⎩，得2x <，由②得259x x ≤≤⎧⎨≤⎩，得25x ≤≤；由③得536x x >⎧⎨-≤≤⎩，得56x <≤.∴不等式()238f x x ≥-的解集为{}|6x x ≤.（2）区间[]0,6上，当02x ≤<时，()()max 02f x f ==；当25x ≤≤时，()()max 53f x f ==；当56x <≤时，()()53f x f <=.∴在区间[]0,6上，()max 3f x =.由存在[]00,6x ∈使()042f x a ≥--成立，得342a ≥--，得1a ≤或3a ≥. ∴a 的取值范围为(][),13,-∞+∞U .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，存在性问题的等价转化，属于中档题。
2020届陕西省西安地区高三下学期八校联考数学(理)试题(B卷)解析
2020届陕西省西安地区高三下学期八校联考数学（理）试题（B 卷）一、单选题1．若集合{}|3x M y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（ ） A ．M S M ⋃=B ．M S S ⋃=C ．M S =D ．M S ⋂=∅ 答案：A先求解出两个集合，根据两个集合的包含关系即可确定出选项.解： {}|0M y y =>，{}|1S x x =>∴S M ⊆，∴M S M ⋃=，故选:A.点评：本题考查了集合之间的关系及集合的运算，属于简单题目，解题时主要是根据两个集合中元素所满足的条件确定出两个集合，再确定出两个集合之间的包含关系.2．若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D先根据()243i z i -=-+，利用复数的模和除法运算求得复数2+z i =，再利用复数的几何意义求解.解： ()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+， ∴2z i =-，故选：D.点评： 本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题.3．某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温︒的月份有4个C．最低气温低于0CD．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月答案：C︒的数据的折线图，由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)得最低气温低于0C︒的月份有3个．解：︒的数据的折解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，最低气温低于0C︒的月份有3个，故C错误．在D中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D正确；故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．4．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种答案：B试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B.【考点】1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5．函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．。
陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考数学试题(B卷)(文)(解析版)
陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考数学试题（B 卷） (文)一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合{}|3xM y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（ ）A. M S M ⋃=B. M S S ⋃=C. M S =D. M S ⋂=∅『答案』A『解析』{}|0M y y =>，{}|1S x x => ∴S M ⊆， ∴M S M ⋃=， 故选:A.2. 若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』D『解析』()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+， ∴2z i =-， 故选：D.3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 最低气温低于0C ︒的月份有4个D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 『答案』C『解析』由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得：在A 中，最低气温与最高气温为正相关，故A 正确；在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确； 在C 中，最低气温低于0C ︒的月份有3个，故C 错误．在D 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D 正确； 故选：C ．4. 如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为21()log ()I A P A =，若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ） A. 王教授在第4排 B. 王教授在第4排第5列 C. 王教授在第5列 D. 王教授在某一排『答案』B『解析』信息量最大时，()P A 最小，因为王教授在第4排第5列发生的概率最小，所以选B.5. 函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.『答案』D『解析』根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.6. 在三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )『答案』B『解析』如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM ， 要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可. 在△ABC 中，当CM ⊥AB 时，CM 有最小值，此时有CM=42⨯=所以PM 的最小值为7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝.若a 2sinC ＝4sinA ，(a ＋c)2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.B. 2C. 3D.『答案』A『解析』由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-=，代入面积公式得= 8. 如果22log log 32x ππ-≤，那么sin x 的取值范围为（ ）A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 111,,1222⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 1,123⎡⎛⎤- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦『答案』B 『解析』∵22log log 32x ππ-≤，∴032x ππ<-≤，∴5,,6336x ππππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故选：B.9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ，1A 2A 为直径的两个圆的位置关系为（ ） A. 外切或外离 B. 相交或内切C. 内含或外离D. 内切或外切『答案』D『解析』设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，则： ①当P 在双曲线的左支时，如图所示：212OA PF a r ==+，∴两圆外切； ②当P 在双曲线的右支时，如图所示：212OA PF r a ==-，∴两圆内切； 故选D.10. 设点1F ､2F 分别为椭圆C ：22194x y +=的左､右焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，若使得120PF PF ⋅=成立的点的个数是（ ）A. 4B. 2C. 0D. 2或4『答案』A『解析』由题意知，())12,F F ，∵120PF PF ⋅=，∴点P 在以O23<<，∴使得120PF PF ⋅=成立的点的个数是4个，故选:A.11. 若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()0,1『答案』C『解析』』由题意：()21221'220ax x f x ax x x-+=-+==有两个不同正根，∴48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩， 即：102a <<， 故选:C.12. 如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A.3B.5225πC.16925πD.338125π『答案』D『解析』由题意，正方形ABCD 的边长为2设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得：22h =，(0a <<．正四棱锥体积213V a h =最大时，即V ．由452y a =-，则348y a '=-， 令0y '=，可得a ，即当a =体积取得最大值；h ∴ 正四棱锥底面正方形外接圆45r =．正四棱锥外接球的半径R ，可得22245R R ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得：2169250R =正四棱锥外接球的表面积23384125S R ππ==． 故选：D ．二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，则a =______. 『答案』1.『解析』∵函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数， ∴函数()()1y x x a =-+为偶函数， ∴1a =. 故答案为：1.14. 设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________．『答案』2『解析』两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >， 所以k =.15. 我国《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行､三列､两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地，将连续的正整数1，2，…，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上数的和为n N ，例如315N =，434N =，565N =，那么6N =______.『答案』111的『解析』由题意：()222666161262N +=++⋅⋅⋅+=，∴6111N =.故答案为:111.16. 设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 『答案』45-. 『解析』()343sin 4cos 5(sin cos )55f x x x x x =-=- 令34cos ,sin 55ϕϕ==，则()5(sin cos cos sin )5sin()f x x x x ϕϕϕ=-=-， 因为当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值， 所以5sin()5θϕ-=，所以2,2k k Z πθϕπ-=+∈，所以2,2k k Z πθϕπ=++∈，所以cos cos(2),2k k Z πθϕπ=++∈ 所以4cos sin 5θϕ=-=- 故答案为：45-， 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441n n S a n +=--，*n ∈N ，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()1nn n b S =-，求{}n b 的前99的项99T .解：（1）∵21441n n S a n +=--，∴2144(1)1(2)n n S a n n -=---≥，∴22144n n n a a a +=-- ，即：()2212n n a a +=+，∵0n a >，∴12(2)n n a a n +=+≥，∵11a =，21245S a =-，∴23a =，∴12n n a a +=+，*n N ∈， ∴()12121n a n n =+-=-； （2）2n S n =，∴()21nn b n =-，∴2222229912349899T =-+-+++-22123498994999994950=+++++-=⨯-=-.18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童1111ABCD A B C D -的组合体中AB AD =，90MAB ∠=︒.台体体积公式：(1'3V S S h =+，其中S ､'S 分别为台体上､下底面面积，h 为台体高.（1）证明：BD ⊥平面MAC ；（2）若1AB =，112A D =，MA =111A A B D -的体积为3，求该组合体的体积.（1）证明：由题可知ABM DCP -是底面为直角三角形的直棱柱，AD ∴⊥平面MABAD MA ∴⊥, 又MA AB ⊥，,AD AB A AD ⋂=,AB 平面ABCD ，MA ∴⊥ ABCD ,MA BD ∴⊥ 又AB AD =，∴四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥,又,MA AC A MA ⋂=,AC ⊂平面MAC ，BD ∴⊥平面MAC .（2）解：设刍童1111ABCD A B C D -的高为h ，则三棱锥111A A B D -体积112232V h =⋅⋅⋅⋅=，所以h =故该组合体的体积为(2211111223236V =⋅+++=+=. 19. “难度系数”反映试题难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小.“难度系数”的计算公式为1YL W=-，其中L 为难度系数，Y 为样本平均失分，W 为试卷总分(一般为100分或150分).某校高三年级的杨老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分)，用于对该校高三年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下： （1）根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；（2）从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷，求抽取2套试卷中恰有一套学生的平均分超过96分的概率；（3）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设'i P 为第i 套试卷的实测难度系数，并定义统计量()()()222'''11221n n S P P P P P P n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，若0.001S <，则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理，否则认为不合理，试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理.解：（1）估计这480名学生第2套试卷的平均分的估计值为：1500.6496⨯=； （2）5套试卷中随机抽取2套试卷，共有10种可能，分别是：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，的恰有一套学生的平均分超过96分的有：()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5， 共6种，∴63105P ==； （3）222221(0.680.7)(0.660.64)(0.620.6)(0.620.6)(0.580.55)5S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 0.00050.001=<，故本专题的5套试卷对难度系数的预估合理.20. 已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形. 解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x x y x +=-； 令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形. 21. 已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0x >，证明()()21ln 1xe x x -+>.解：（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增 ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（2）由（1）得，当12a =，0x >时，212x x e x >++，即222122xx x x e x +->++=， 要证不等式()()21ln 1xe x x -+>，只需证明()21ln 1xx e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+， 只需证()2ln 12xx x+>+， 设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增， 又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：()()225519x y -+-=，以O 为极点、x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）.直线l ：0θθ=与曲线C 交于A 、B 两点，其中()00,θπ∈，04cos 5θ=. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求AB 的值.解：（1）因为圆C 的直角坐标方程为()()225519x y -+-=，即221010310x y x y +--+=，所以圆C 的极坐标方程为：210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；的（2）因为()00,θπ∈，04cos 5θ=，所以03sin 5θ=， 联立2010cos 10sin 310ρρθρθθθ⎧--+=⎨=⎩，可得214310ρρ-+=，则1214ρρ+=，1231ρρ=， 故12AB ρρ=-==23. 已知0a >，0b >，且222a b +=. (1)若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； (2)证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 解：（1）设,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得()22112a b +=. 故()222222141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 222214142b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭191422⎛≥++= ⎝. 所以92112x x ≥---. 当1x ≥时，92x ≤，得912x ≤≤；当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<；综上，9922x -≤≤.（2）()5511a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭5544b a a b a b=+++，()55222222b a a ba b a b=+++-，()()2222222224a ba b a b ≥++=+=.。
2020届陕西省西安地区高三下学期八校联考数学(文)试题(B卷)解析
答案：D
设线段 的中点为 ， ，分 在双曲线的左支和 在双曲线的右支上两种情况，结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.
解：
设线段 的中点为 ， ，则：
①当 在双曲线的左支时，如图所示：
，∴两圆外切；
②当 在双曲线的右支时，如图所示：
，∴两圆内切；
5．函数 的图像的大致形状是（）
A． B．
C． D．
答案：D
化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.
解：
根据
，
是减函数， 是增函数.
在 上单调递减，在 上单调递增
故选：D.
点评：
本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．最低气温低于 的月份有4个
D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月
答案：C
由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： 的数据的折线图，得最低气温低于 的月份有3个．
解：
解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： 的数据的折线图，得：
解：
由题意知， ，∵ ，
∴点 在以 为圆心，半径为 的圆上，∵ ，
∴使得 成立的点的个数是4个，
故选:A.
点评：
本题考查了椭圆的简单性质以及平面向量的数量积运算，属于中档题.
11．若函数 有两个不同的极值点 ， ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
答案：C
求出函数的导数，即可得 有两个不同正根，进而可得关于参数的不等式，即可求出实数 的取值范围.
2020年5月陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷数学(理)试卷及解析
,
解之得 （ 舍去）,
∴数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）得 ,
∴ ,
∴ ,
∴不等式 ,
即 ,
得
∴ （舍去）,或 （ ）,
故使得 成立的正整数 的最小值为 .
18.某单位招聘职员,共有三轮考核,每轮考核回答一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是 、 、 .且各轮问题能否正确回答互不影响.
所以 ,
解得 ,
所以 ,
可得 ,切点为 ,斜率 ,
所以切线为：
故选：A
8.执行如图所示程序框图,若输入的 , ,则输出的 是（）.
A. 15B.16C. 17D. 18
【答案】B
【解析】
按程序框图运行即可得到正确答案.
【详解】第一步： , , , , , , , 不成立,
第二步： , , , , 不成立,
【详解】（1）证明：因为四边形 为菱形,
所以 ,∵ 平面 ,
所以 , ,
故 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 .
（2）解：设 ,则 ,得 .
在菱形 中,由 , ,
可得 , ,
过 作直线 平面 ,以 为原点,直线 为 轴,
直线 为 轴, 为 轴建立空间直角坐标系 .
则 , , , , , , ,
,
设 ,（ ）
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
【答案】（1） ；（2） .
【详解】试题分析：（1）先根据同角三角函数关系cos2t＋sin2t=1消参数得普通方程：（x－4）2＋（y－5）2＝25,再根据 将普通方程化为极坐标方程： （2）将 代入 得 得 ,也可利用直角坐标方程求交点,再转化为极坐标