2020届陕西省西安地区八校联考数学理科试题

2020届陕西省西安地区八校联考数学理科试题
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．
5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合{}10A x Z x =∈+≥，(){}lg 3B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）． A ．{}0,1,2
B ．{}13x x -≤<
C ．{}0,1,3,1,2-
D ．{}1,2,1,0-
2．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-，i 为虚数单位，则z
i
=（ ）． A ．2i --
B ．12i -+
C ．2i -
D ．12i --
3．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）． A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．若已知实数,x y 满足()22,
20,13,y x x y y ≥-⎧⎪
+≥⎨⎪-≤≤⎩
则241z x y =++的最小值为（ ）．
A ．2-
B ．3-
C ．5-
D ．0
5．从6男4女中任选2男2女担任,,,A B C D 四种互不相同的工作，且每人担任其中的一项工作．若女甲不能担任工作C ，则不同的选派方案种数为（ ）． A ．1800
B ．1890
C ．2160
D ．2210
6．已知()6
22a a Z a ⎛⎫+∈ ⎪⎝
⎭的展开式中第1r +项是160-，则函数()a
f x x =是（ ）． A ．定义域为R 的奇函数 B ．在()0,+∞上递减的奇函数 C ．定义域为R 的偶函数
D ．在()0,+∞上递增的偶函数
7．已知点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ）． A ．（2，0）
B ．10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．（0，2）
D ．10,
32⎛⎫
⎪⎝⎭
8．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，侧棱长为在同一球面上，则该球的表面积为（ ）．
A ．20π
B ．16π
C ．12π
D ．
9．若
x x ≤≤223x x
+≤
≤”成立的（ ）． A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
10．函数()
22cos212sin 2f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）． A ．(),26212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢
⎥⎣
⎦ B ．(),21223k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣
⎦ C ．(),6
12k k k Z ππππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．(),12
3k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
11．已知双曲线C ：()22
10,0x y a b a b
-=>>的左焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线
被双曲线C e 为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程
为（ ）．
A ．3
y x =±
B ．5
y x =±
C ．35
y x =±
D ．5
y x =±
12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比y 关于年龄段x 的线性回归方程为0.4188y kx =-．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（ ）． A ．4200
B ．3900
C ．3700
D ．3500
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卷中相应的横线上） 13．已知平面向量(),2a m =，()2,b m =，且//a b a -，则m =______．
14．在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______．
15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为3
5，乙获胜的概率为25
，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．
16．金石文化，是中国悠久文化之一．“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件．在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如
图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是(()2
8dm +，则该工艺品共
有______个面，表面积是______．
三、解答题（本大题共7小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(2
22a b c bc --=，
2
sin sin cos 2
C
A B =，BC 边上的中线AM ． （Ⅰ）求角A 、C 的大小； （Ⅱ）求ABC △的面积．
18．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为平行四边形，M 为CD 的中点，
N 为PD 上一点，且1
2
DN NP =
（如图）．
（Ⅰ）证明：//PB 平面AMN ；
（Ⅱ）当平面PAB ⊥平面ABCD ，5
5566
PA PB AD AB ====，120BAD ∠=︒时，求二面角B AM N --的余弦值．
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设()()22n
n n f n a S =-+-．
（Ⅰ）若11a =，23a =，且数列(){}f n 为等差数列，求数列(){}f n 的通项公式； （Ⅱ）若()0f n =对任意n N +∈都成立，求当n 为偶数时n S 的表达式． 20．己知函数()()2sin f x mx x m R =+∈．
（Ⅰ）若()f x 在,33ππ
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递减，求m 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 的图像在原点处的切线也与函数()ln 1g x x x =+的图像相切，求m 的值．
21．已知A ，B ，C 顺次是椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点、上顶点和下顶
点，椭圆E
的离心率2
e =
12AB AC ⋅=． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若斜率为11
11k k ⎛-
<< ⎝⎭的直线l 过点()()0,4m m k ≠-，直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xoy 中，直线l
经过点()P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，
x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲
线S
的参数方程为1x k
y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（k 为参数），曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线S 的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围． 23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()25f x x x x =---． （Ⅰ）求不等式()238f x x ≥-的解集；
（Ⅱ）若存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，求a 的取值范围．。