上海市高考理科数学试卷及解析(2002年-2012年)
8．（4 分）（2002•上海）曲线 _________ ．
（t 为参数）的焦点坐标是
9．（4 分）（2002•上海）若 A、B 两点的极坐标为 _________ （极角用反三角函数值表示）
，B（6，0），则 AB 中点的极坐标是
10．（4 分）（2002•上海）设函数 f（x）=﹣sin2x，若 f（x+t）是偶函数，则 t 的一个可能值是 _________ ．
=
=ห้องสมุดไป่ตู้
=，
故答案为：
点评： 本题有两点注意： （1）用特殊值求二项式展开式各项系数和，高考中常在填空中出现． （2）分式极限求解法则要熟练掌握．
6．（4 分）（2002•上海）已知圆 x2+（y﹣1）2=1 和圆外一点 p（﹣2，0），过点 P 作圆的切线，则两条切线夹角的 正切值是
．
考点： 两直线的夹角与到角问题；直线与圆的位置关系． 1825155
3．（4 分）（2002•上海）方程 log3（1﹣2•3x）=2x+1 的解 x= ﹣1 ．
考点： 对数的运算性质． 1825155
专题： 计算题． 分析： 由 log3（1﹣2•3x）=2x+1，知 1﹣2•3x=32x+1，故 3•（3x）2+2•3x﹣1=0，由此能够求出方程的解． 解答： 解：∵ log3（1﹣2•3x）=2x+1，∴ 1﹣2•3x=32x+1，
11．（4 分）（2002•上海）若数列{an}中，a1=3，且 an+1=an2（n∈N*），则数列的通项 an= _________ ．
12．（4 分）（2002•上海）已知函数 y=f（x）（定义域为 D，值域为 A）有反函数 y=f﹣﹣1（x），则方程 f（x）=0 有 解 x=a，且 f（x）＞x（x∈D）的充要条件是 y=f﹣﹣1（x）满足
，所以 SO=
=1，
所以 tan∠SEO= = = ，∠SEO=30°
故答案为：30° 点评： 本题是基础题，考查二面角的平面角的求法，本题的关键是求出正四棱锥的高，找出二面角的平面角，考
查计算能力，逻辑推理能力．
5．（4 分）（2002•上海）在二项式（1+3x）n 和（2x+5）n 的展开式中，各项系数之和分别记为 an、bn、n 是正整
3．（4 分）（2002•上海）方程 log3（1﹣2•3x）=2x+1 的解 x= _________ ．
4．（4 分）（2002•上海）若正四棱锥的底面边长为 是 _________ ．
cm，体积为 4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小
5．（4 分）（2002•上海）在二项式（1+3x）n 和（2x+5）n 的展开式中，各项系数之和分别记为 an、bn、n 是正整
21．（16 分）（2002•上海）已知函数 f（x）=a•bx 的图象过点 A（4、 ）和 B（5，1）．
（1）求函数 f（x）的解析式； （2）记 an=log2f（n）、n 是正整数，Sn 是数列{an}的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn≤0； （3）对于（2）中的 an 与 Sn，整数 104 是否为数列{anSn}中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理 由．
数，则
= _________ ．
6．（4 分）（2002•上海）已知圆 x2+（y﹣1）2=1 和圆外一点 p（﹣2，0），过点 P 作圆的切线，则两条切线夹角的 正切值是
_________ ．
7．（4 分）（2002•上海）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的 9 名增至 14 名，但只任取其中 7 名裁判的评分作为有效分，若 14 名裁判中有 2 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的 概率是
2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科）
2002 年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1．（4 分）（2002•上海）若 z∈C 且（3+z）i=1（i 为虚数单位），则 z= _________ ．
2．（4 分）（2002•上海）已知向量 与 的夹角为 120°，且| |=2，| |=5，则（2 ﹣ ）• = _________ ．
∴ 3•（3x）2+2•3x﹣1=0，
∴
，或 3x=﹣1（舍）．
故答案为：﹣1． 点评： 本题考查对数的运算性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
4．（4 分）（2002•上海）若正四棱锥的底面边长为 是 30° ．
cm，体积为 4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小
考点： 二面角的平面角及求法． 1825155
22．（18 分）（2002•上海）规定
，其中 x∈R，m 是正整数，且 Cx0=1，这是组合数
Cnm（n、m 是正整数，且 m≤n）的一种推广． （1） 求 C﹣155 的值； （2）组合数的两个性质：①Cnm=Cnn﹣m；②Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m．是否都能推广到 Cxm（x∈R，m 是正整数）的情 形？
∴ 有效分中没有受贿裁判评分的概率 P= = ，
故答案为： ．
点评： 本题考查等可能事件的概率公式，考查利用概率知识解决实际问题，是一个基础题，解决这种题目的关键 是弄清题意，特别是本题的满足条件的事件数的做法．
8．（4 分）（2002•上海）曲线
（t 为参数）的焦点坐标是
（0.1） ．
考点： 抛物线的简单性质． 1825155
．
（1）当
时，求函数 f（x）的最大值与最小值；
（2）求 θ 的取值范围，使 y=f（x）在区间
上是单调函数．
20．（14 分）（2002•上海）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%出售，同时，当顾客在该商场内
消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围（200，400）（400，500）（500，700）（700，900）…
专题： 计算题． 分析： 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 14 名裁判中选出 7 个，共有 C147 种结果，满足
条件的事件是选出的 7 个人中没有受贿裁判，共有 C127，根据等可能事件的概率公式得到结果． 解答： 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从 14 名裁判中选出 7 个，共有 C147 种结果 满足条件的事件是选出的 7 个人中没有受贿裁判，共有 C127
数，则
=
．
考点： 数列的极限；二项式定理． 1825155
专题： 计算题． 分析： 先求出各项系数之和 an、bn，代入所求极限表达式，再由极限运算法则可求． 解答： 解：由题可知：二项式（1+3x）n 和（2x+5）n 的展开式中，分别令 x=1 即可得 an=4n、bn=7n，
将 an=4n、bn=7n，代入
y﹣0=k（x+2），即 kx﹣y+2k=0，由圆心（0，1）到直线 l 的距离等于半径 1．
可得
=1，
2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科）
∴ k=0（舍去）或 k= ，
故两切线夹角的正切值即直线 l 的斜率 ，
故答案为 ． 点评： 本题考查求圆的切线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，以及求两直线的夹角的方法．
（1）若 a∥ b，则 l⊥ m．（2）若 l⊥ m，则 a∥ b．
（3）若 a⊥ b，则 l∥ m．（4）若 l∥ m，则 a⊥ b．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
15．（4 分）（2002•上海）函数 y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π 的大致图象是（ ）
A．
考点： 平面向量数量积的运算． 1825155
分析： 根据向量 与 的夹角为 120°，且| |=2，| |=5 可得：（2 ﹣ ）• =2 2﹣ • =2×
，得到答案． 解答：
解：∵ 向量 与 的夹角为 120°，且| |=2，| |=5
∴ （2 ﹣ ）• =2 2﹣ • =2× 故答案为：13． 点评： 本题主要考查向量数量积的运算法则．属基础题．
2002 年上海市高考数学试卷及解析（理科）
18．（12 分）（2002•上海）已知点 A
和B
，动点 C 与 A、B 两点的距离之差的绝对值
为 2，点 C 的轨迹与直线 y=x﹣2 交于 D、E 两点，求线段 DE 的长．
19．（14 分）（2002•上海）已知函数 f（x）=x2+2x•tanθ﹣1，
考点： 复数代数形式的乘除运算． 1825155
分析： 先将（3+z）i=1，化简直接解得 Z 的表达式，化简就可以了．
解答： 解：因为（3+z）i=1，所以
．
故答案为：﹣3﹣i． 点评： 本题是基础题目，有两种解法，一是解答方法，二是设 Z=a+bi 代入方程，利用复数相等，求得 z．
2．（4 分）（2002•上海）已知向量 与 的夹角为 120°，且| |=2，| |=5，则（2 ﹣ ）• = 13 ．
B．
C．
D．
16．（4 分）（2002•上海）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，图（1）表示某年 12 个月 中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年 12 个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量 与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
A． 气温最高时，用电量最多 B． 气温最低时，用电量最少 C． 当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加 D． 当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
2012年高考数学试卷及解析上海卷(理科)
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）一、填空题（56分）： 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。
2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。
3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 。
4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 。
6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。
7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）。
若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。
10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf 。
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。
12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 。
13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 。
二、选择题（20分）： 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关 18．设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 三、解答题（74分）：19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。
2012年上海高考理科数学试卷及解析
2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（ 分）：．（ 上海）计算： （ 为虚数单位）．．（ 上海）若集合 ＞ ， ﹣ ＜ ，则 ．．（ 上海）函数 （ ） 的值域是 ．．（ 上海）若 （﹣ ， ）是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．．（ 上海）在的二项展开式中，常数项等于．．（ 上海）有一列正方体，棱长组成以 为首项、为公比的等比数列，体积分别记为 ， ， ， ， ，则（ ）．．（ 上海）已知函数 （ ） ﹣ （ 为常数）．若 （ ）在区间 ， ）上是增函数，则 的取值范围是 ．．（ 上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的体积为 ．．（ 上海）已知 （ ） 是奇函数，且 （ ） ，若 （ ） （ ） ，则 （﹣ ） ．．（ 上海）如图，在极坐标系中，过点 （ ， ）的直线 与极轴的夹角 ，若将 的极坐标方程写成 （ ）的形式，则 （ ）．．（ 上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）．．（ 上海）在平行四边形 中， ，边 、 的长分别为 、 ，若 、 分别是边 、 上的点，且满足 ，则的取值范围是 ．．（ 上海）已知函数 （ ）的图象是折线段 ，其中 （ ， ）、 （， ）、 （ ， ），函数 （ ）（ ）的图象与 轴围成的图形的面积为 ．．（ 上海）如图， 与 是四面体 中互相垂直的棱，，若 ，且 ，其中 、 为常数，则四面体 的体积的最大值是 ．二、选择题（ 分）：．（ 上海）若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则（）． ， ． ﹣ ， ． ﹣ ， ﹣ ． ， ﹣．（ 上海）在 中，若 ＜ ，则的形状是（）．锐角三角形 ．直角三角形 ．钝角三角形 ．不能确定．（ 上海）设 ＜ ＜ ＜ ， ，随机变量 取值 、 、 、 、 的概率均为 ，随机变量 取值、、、、的概率也均为 ，若记 、 分别为 、的方差，则（）． ＞．． ＜． 与 的大小关系与 、 、 、 的取值有关．（ 上海）设 ， ，在 ，， 中，正数的个数是（）． ． ． ．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 上海）如图，在四棱锥 ﹣ 中，底面 是矩形， 底面 ， 是 的中点，已知 ， ， ，求：（ ）三角形 的面积；（ ）异面直线 与 所成的角的大小．．（ 上海）已知 （ ） （ ）（ ）若 ＜ （ ﹣ ）﹣ （ ）＜ ，求 的取值范围；（ ）若 （ ）是以 为周期的偶函数，且当 时， （ ） （ ），求函数 （ ）（ ， ）的反函数．．（ 上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 轴正方向建立平面直角坐标系（以 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 海里 处，如图，现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标为（ ）当 时，写出失事船所在位置 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（ ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？．（ 上海）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： ﹣．（ ）过 的左顶点引 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 轴围成的三角形的面积；（ ）设斜率为 的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： ；（ ）设椭圆 ： ，若 、 分别是 、 上的动点，且 ，求证： 到直线 的距离是定值．．（ 上海）对于数集 ﹣ ， ， ， ， ，其中 ＜ ＜ ＜ ＜ ， ，定义向量集 （ ， ）， ， ，若对任意，存在，使得，则称 具有性质 ．例如 ﹣ ， ， 具有性质 ．（ ）若 ＞ ，且 ﹣ ， ， ， 具有性质 ，求 的值；（ ）若 具有性质 ，求证： ，且当 ＞ 时， ；（ ）若 具有性质 ，且 、 （ 为常数），求有穷数列 ， ， ， 的通项公式．年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（ 分）：．（ 上海）计算： ﹣ （ 为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算。
2012年高考真题试卷理科数学(上海卷)答案解析版(2)
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）一、填空题（56分）： 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。
【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-。
【答案】i 21-2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。
【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以}321{<<-=x x B A ，即)3,21(-。
【答案】)3,21(-3．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是 。
【解析】函数x x x x f 2sin 212cos sin 2)(--=--=，因为12s i n 1≤≤-x ，所以212s i n 2121≤-≤-x ，232sin 21225-≤--≤-x ，即函数)(x f 的值域为]23,25[--。
【答案】]23,25[--4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
【解析】【 设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan 。
【答案】2arctan5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 。
【解析】二项展开式的通项为k kk k k k k x C xx C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(3364-=-=C T 。
【答案】160-6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。
【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78。
2012年上海高考理科数学试卷及解析
2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1．（2012•上海）计算：= _________ （i为虚数单位）．2．（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=_________ ．3．（2012•上海）函数f（x）=的值域是_________ ．4．（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为_________ （结果用反三角函数值表示）．5．（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于_________ ．6．（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═_________ ．7．（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是_________ ．8．（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为_________ ．9．（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= _________ ．10．（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= _________ ．11．（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_________ （结果用最简分数表示）．12．（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是_________ ．13．（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C （1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为_________ ．14．（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是_________ ．二、选择题（20分）：15．（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣116．（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定17．（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ＞Dξ21B．Dξ=Dξ21C．Dξ＜Dξ21D．Dξ与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关118．（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100三、解答题（共5小题，满分74分）19．（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC 的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．20．（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．21．（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN 的距离是定值．23．（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（2012•上海）计算：= 1﹣2i （i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算。
2012年高考真题——理科数学(上海卷)(含答案解析)
2012年高考真题——理科数学（上海卷）（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习2012年高考真题——理科数学（上海卷）（含答案解析）1 计算：（为虚数单位）。
【答案解析】复数。
2 若集合，，则。
【答案解析】集合，，所以，即。
3 函数的值域是。
【答案解析】函数，因为，所以，，即函数的值域为。
4 若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。
【答案解析】设倾斜角为，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则，∴=。
5 在的二项展开式中，常数项等于。
【答案解析】二项展开式的通项为，令，得，所以常数项为。
6 有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则。
【答案解析】。
由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，∴++…+==，∴。
7 已知函数（为常数）。
若在区间上是增函数，则的取值范围是。
【答案解析】令，则在区间上单调递增，而为增函数，所以要是函数在单调递增，则有，所以的取值范围是。
8 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为。
【答案解析】因为半圆面的面积为，所以，即，即圆锥的母线为，底面圆的周长，所以圆锥的底面半径，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为。
9 已知是奇函数，且，若，则。
【答案解析】因为为奇函数，所以，所以，，所以。
10 如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则。
【答案解析】设直线上的任一点为P,因为,所以,根据正弦定理得,即，即。
11 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）。
【答案解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。
12 在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是。
2012年上海市高考数学试卷(理科)附送答案
2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1．（4分）计算：=（i为虚数单位）．2．（4分）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=．3．（4分）函数f（x）=的值域是．4．（4分）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．5．（4分）在的二项展开式中，常数项等于．6．（4分）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．7．（4分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．8．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．9．（4分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=．10．（4分）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．11．（4分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．12．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是．13．（4分）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．14．（4分）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．二、选择题（20分）：15．（5分）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定17．（5分）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关18．（5分）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．20．（14分）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．21．（14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP ⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．23．（18分）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案【解答】解：故答案为1﹣2i2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．【分析】由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案【解答】解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x ＜3}，所以A∩B=（﹣，3）故答案为（﹣，3）3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是．【分析】先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．【解答】解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x∵﹣1≤sin2x≤1∴﹣≤﹣sin2x≤则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣∴函数f（x）=的值域是故答案为：4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．【解答】解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2∴α=arctan2故答案为：arctan25．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣1606．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．【分析】由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V 1+V2+…+v n）==故答案为：7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1] ．【分析】由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f （x）+2，则g（﹣1）=﹣1．【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．【分析】取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．【解答】解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得ρ=f（θ）=故答案为：11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5] ．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设==λ，λ∈[0，1]，M（2+），N（），所以=（2+）•（）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．【分析】根据题意求得f（x）=，从而y=xf（x）=，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．【解答】解：由题意可得，f（x）=，∴y=xf（x）=，设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=10x2dx+（﹣10x2+10x）dx=10×+（﹣10）×+10×=﹣+5﹣==．故答案为：．14．（4分）（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．【分析】作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．【解答】解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB=，EF=，所以几何体的体积为：×=．故答案为：．二、选择题（20分）：15．（5分）（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关【分析】根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．【解答】解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：=（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）=且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选择A．18．（5分）（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选D三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．【分析】（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为；[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥PA．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而PA、AD是平面PAD的交线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，∴PD==2．∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴=（1，，1），=（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ===，∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△PAC中，PC==4．∴AE=PC=2，∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．【解答】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【分析】（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P 的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．【解答】解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP ⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON 不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=，利用，求出，，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．【解答】解：（1）双曲线C1：左顶点A（﹣），渐近线方程为：y=±x．过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，由，得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（x1+b）（x2+b）．所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2=b2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=，由得，所以．同理，设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以==3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．23．（18分）（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．【分析】（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t 异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n．记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n；[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．【解答】解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设x k=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n．再取=（x1，x n）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+tx n=0，所以s、t异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x1=tx n＞t≥x1，矛盾；②若t=﹣1，则x n=sx1＜s≤x n，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n具有性质P，则A k也具有性质P．先证明若A k+1任取=（s，t），s、t∈A k，当s、t中出现﹣1时，显然有满足当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈A k+1，使得，从而因为A k+1s1、t1其中有一个为﹣1不妨设s1=﹣1，假设t1∈A k+1，且t1∉A k，则t1=x k+1．由（s，t）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．再用数学归纳法，证明x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立；假设当n=k时，A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，则x i=q i﹣1，i=1，2，…，k 当n=k+1时，若A k═{﹣1，x1，x2，…，x k+1}具有性质P，则A k═{﹣1，x1，x2，…，+1x k}具有性质P，═{﹣1，q，q2，…，q k﹣1，x k+1}．所以A k+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=﹣1或t=取=（x k+1﹣1=，不可能若t=﹣1，则x k+1=qt=q j≤q k且x k+1＞q k﹣1，因此x k+1=q k所以s=﹣1，x k+1综上所述，x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．由于＜＜＜…＜，已经有n﹣1个数对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，＜＜＜…＜…注意到＞＞＞…＞，所以==…=从而数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．。
2012上海市高考数学理科试卷及参考答案
2012年上海高考数学（理科）试卷及参考答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii +-13= （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = . 3．函数1sin cos 2)(-=x xx f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线lπα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则 =)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 .13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为 常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b . 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定. 17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值21x x +、32x x +、43x x +、54x x +、15x x +的概率也为0.2. 若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（ ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD .ABCD（D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设1sin πnn a =，n n a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ ） （A ）25. （B ）50.（C ）75.（D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数ABCD PE)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图.24912x y =援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P. 例如}2,1,1{-=X 具有性质P.（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分） （3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）2012年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1． 1-2i 2． )3,(21- . 3． ],[2325-- . 4． arctan2 5． -160 . 6．78. 7． (-∞, 1] . 8．π33 .9． -1 .10． )sin(1θπ- .11．3212． [2, 5] .13． 45.14．12232--c a c .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15. B ; 16． C ; 17． A ; 18． D ;三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19． [解]（1）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD . ……3分因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为32221=⨯⨯分 （2）[解法一] 则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2 )1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . 设与的夹角为θ，则222224cos ===⨯⋅BCAE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分[解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分 在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形， 所以∠AEF =4π. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分20[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .yAB C DPEF由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-1211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y = 中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度.6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立， 所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22． [解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(2-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形的面积1为21||||==y OA S . ……4分（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . (10)分（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分23． [解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分 所以x =2b ，从而x =4. ……4分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a . 由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . (7)分假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……12分 记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n .先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ； 当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . 当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ； 当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s与t 中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分 [解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211s t t s -=. 记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数.由于1221x x x x x x x xn n n n n n <<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x xn n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x x k q x x ，k =1, 2, …, n . ……18分。
2012年全国高考(上海卷)数学理试题及答案
2012年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学（理）一、填空题（56分）：1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。
2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。
3456V 1789 1011121314且大值是 。
二、选择题（20分）：15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ） A ．21ξξD D > B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关18．设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100三、解答题（74分）：192=，求： （（20（（)(x （21（（22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ． （1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值。
高考真题试卷理科数学(上海卷)答案解析版
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）一、填空题（56分）：1．计算：=+-ii 13 （i 为虚数单位）。
【解析】复数i i i i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-。
【答案】i 21-2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。
【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以}321{<<-=x x B A ，即)3,21(-。
【答案】)3,21(- 3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 。
【解析】函数x x x x f 2sin 212cos sin 2)(--=--=，因为12sin 1≤≤-x ，所以212sin 2121≤-≤-x ，232sin 21225-≤--≤-x ，即函数)(x f 的值域为]23,25[--。
【答案】]23,25[-- 4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
【解析】【 设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan 。
【答案】2arctan5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 。
【解析】二项展开式的通项为k k k k k k k x C x x C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(3364-=-=C T 。
【答案】160-6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。
【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78。
上海市高考数学试卷及答案理数
2012年上海高考数学(理科)试卷填空题(本大题共有14题，满分56分) 计算： 口二 (i 为虚数单位).1 i若集合 A {x|2x 1 0}，B {x| x 1 2}，则 A B= .函数f (x) 2 C0SX的值域是 .sin x 1若n (2,1)是直线i 的一个法向量，则I 的倾斜角的大小为 ______________ (结果用反三角 函数值表示).2在(x -)6的二项展开式中，常数项等于 .x有一列正方体，棱长组成以1为首项，弓为公比的等比数列，体积分别记为V 1, V 2,…,V n ,…，贝U Iim(V 1 V 2V n ).已知函数f(x) e |x a| (a 为常数).若f(x)在区间［1,+ )上是增函数，则a 的取值范 围是 . 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面，则该圆锥的体积为 .已知 y f(x) x 2 是奇函数，且 f(1) 1.若 g(x) f(x) 2，则 g( 1)____ .如图，在极坐标系中，过点 M (2, 0)的直线I 与极轴的夹角 f()三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).在平行四边形ABCD 中, / A=3 ,边AB AD 的长分别为2、1.若M N 分别 是边BC CD 上的点，且满足LB^J 述，则AM AN 的取值范围是 .|BC| |CD|已知函数y f(x)的图像是折线段ABC 若中A(0,0)，B( ,5)，C(1,0).函数y xf (x) (0 x 1)的图像与x 轴围成的图形的面积为_D 如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 . 9 .10.11.12.13.14.6 .若将I 的极坐标方程写成 f()的形式，则°若 AD=2c ,且 AB+BD=AC+CD=其中 a 、c 为 常数，则四面体ABCD 勺体积的最大值是 . 、选择题(本大题共有4题，满分20分)15•若1 .2 是关于x 的实系数方程x 2 bx c 0的一个复数根，则 ()(A )b 2,c 3.(B )b 2, c 3. ( C b 2, c 1. (D )b 2, c 1 .16•在 ABC 中，若 sin 2A sin 2 B sin 2C ,贝 U ABC 的形状是() (A )锐角三角形.(B )直角三角形.(C )钝角三角形.(D )不能确定. 17•设 10 人X 2 X 3X 4 104，X 5105.随机变量 1 取值X 1、X 2、X 3、X 4、x 5的概率均为0.2，随机变量 2取值 X 12X2、 X 2 X 3X 3 X 4:2、 2 、-笃％、笃x 1的概率也为o.2若记D 1、D 2分别为1、2的方差，则( )(A ) D 1 > D 2. (B ) D 1 — D2 . (C) D 1 V D 2.(D ) D 1与D 2的大小关系与X 1、X 2、X 3、X 4的取值有关.B n .在S 1,S 2, ,S 100中，正数的个数是 ( )20•已知函数 f(x) lg(x 1).(1) 若0f(1 2x) f (x) 1，求x 的取值范围；(6分)(2) 若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x) f (x)，求函数y g(x) (x [1,2])的反函数.(8 分)21 •海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 正方向建立平面直角坐标系(以 1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向 海里A 处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y 19 x 2 :②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 1yP /援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t ./O / XA/(1) 当t 0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时 两船恰好会合，求救援船速度18 •设 a n n sin 先，S n a 1 a 2(C ) 75. 74分)(A ) 25. (B ) 50.三、解答题(本大题共有5题，满分 19•如图，在四棱锥P-ABC 冲，底面ABCD1矩形, ABCD E 是PC 的中点.已知AB=2，PA=2.求： 三角形PCD 的面积；(6分) 异面直线BC与AE 所成的角的大小. (D ) 100.PA 丄底面 AD=2 2， (1)B -(6 分) y 轴12PECD的大小和方向；(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？( 8分)22. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C i：2x2 y2 1 .(1)过G 的左顶点引C i的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(4分)(2)设斜率为1的直线I交C i于P、Q两点，若I与圆x2 y2 1相切，求证：OPL OQ (6 分)(3)设椭圆C2 ：4x2 y2 1.若M N分别是G、C?上的动点，且OM L ON 求证：0到直线MN的距离是定值.(6分)23. 对于数集X { 1,X1，X2， ,X n}，其中0 X1 X2 X n，n 2，定义向量集Y {a|a (s,t),s X,t X}.若对于任意& Y，存在a? Y，使得a1 a2 0，则称X 具有性质P.例如X { 1,1,2}具有性质P.(1)若x>2,且{ 1,1,2, x}，求x 的值；(4 分)(2)若X具有性质P,求证：1 X,且当X n> 1时，X1=1； (6分)(3)若X具有性质P,且X1=1, X2=q (q为常数)，求有穷数列九x?, , X n的通项公式.(8分)2012年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1 .计算：「i= 1-2i (i为虚数单位).1 i2 .若集合A {x|2x 1 0} , B {x|x 1 2}，则A B=( ^,3).2 COSX3 .函数f(x) 的值域是［士却.sin x 1 -----------4 .若n ( 2,1)是直线I的一个法向量，则I的倾斜角的大小为arctan2 (结果用反三角函数值表示).25 .在(x 2)6的二项展开式中，常数项等于-160 .x6 .有一列正方体，棱长组成以1为首项，马为公比的等比数列，体积分别记为V1, V2,…,v n,…，则Iim(V1 V2 V n) 7 .7 .已知函数f(x) e|x a|(a为常数).若f(x)在区间［1,+ )上是增函数，则a的取值范围是(- ,1].8 •若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为撐.9 •已知y f(x) x2是奇函数，且f (1) 1.若g(x) f(x) 2，则g( 1) -1 .10•如图，在极坐标系中，过点M(2, 0)的直线|与极轴的夹角Ig若将I的极坐标方程写成f()的形式，则f()宀.O M x11 •三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是| (结果用最简分数表示).12 •在平行四边形ABC冲，/ A=3 ,边AB AD的长分别为2、1.若M N分别是边BC CD上的点，且满足|BM〔空]，则AM AN的取值范围是[2, 5]. |BC| |CD|13•已知函数y f(x)的图像是折线段ABC若中A(0,0)，B(? ,5)，C(1,0).函数y xf (x) (0 x 1)的图像与x轴围成的图形的面积为14•如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+C20=其中a、常数，则四面体ABCD勺体积的最大值是二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15•若1 2i是关于x的实系数方程(A) b 2,c 3. (B)16•在ABC 中，若sin2A(A)锐角三角形.(B)17.设10x-1 x2x3x4概率均为0.2，随机变量2取值若记D(A) D(D) D1&设a n(A) 25. x2 bx c 0的一个复数根，则b 2,c 3.( C) b 2, c 1. (D) b sin2 B sin2C，贝ABC的形状是直角三角形.(C)钝角三角形.(D) 104，X5 105.随机变量1取值％、X1 X2 X2 X3 X3 x4 X4 X52 21、D 2分别为1、2的方差，贝U1> D 2. (B) D 1= D 1与D 2的大小关系与捲、n sin 厉，S n a1 a2(B) 50.D 1V D 2.X4的取值有关.a n .在S1, S2 ,(C) 75.74分)2. (C)X2、三、解答题(本大题共有5题，满分19.如图，在四棱锥P-ABC冲，底面ABCD1矩形,ABCD E是PC的中点.已知AB=2，PA=2.求：三角形PCD的面积；(6分) 异面直线BC与AE所成的角的大小. 因为PAL底面ABCD所以PAL CD 从而CDL PD因为PD= 22(2 2)2 2 3，CD=2,PA丄底面AD=2 2，(1)(2)2,c不能确定.x2、x3、x4、x5的雪的概率也为0.2.(A ),S100中，正数的个数是 (D )D) 100.B -(6分)又AD L CD所以CDL平面PAD..... 3分Cc为■f c. a2c21 .EDC所以三角形PCD 勺面积为舟2 2 3 2_3. (2)［解法一］如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2, 0, 0) AE (1, .2,1)，BC设AE 与BC 的夹角为cos 32 42|AE||BC| 2 2、2由此可知，异面直线［ 解法二］取PB 中点.. EF// BC,从而/ AEF (或其补角)是异面直线/； BC 与 AE 所成的角 ……8分 F在 AEF 中，由 EF= .2、AF= 2、AE=2 知AEF 是等腰直角三角形， 所以/ AEF=「 因此异面直线BC 与 AE 所成的角的大小是7 ……12分20. 已知函数 f(x) lg(x 1).(1) 若0f(1 2x) f (x) 1，求x 的取值范围；(6分)(2) 若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x) f (x)，求函数21. 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 正方向建立平面直角坐标系(以 1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向 海里A 处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y 垢x 2 :②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.(1) 当t 0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ ［解］(1) t 0.5时，P 的横坐标X P =7t 2，代入抛物线方程y 19 x 2中，得P 的纵坐标y f =3....... 2分 由|AP=^，得救援船速度的大小为＞ 949海里/时.……4分,q2, 2 2,0) , E(1,2, 1),(0,20,0).……8 分，则 Q =P , =4 .BC 与 AE 所成的角的大小是刁F ,连接 EF 、AF,贝U P12分y g(x) (x [1,2])的反函数.(8 分)[解] (1)由2 2x 0，得 1 x 1. x 1 0由 0 lg(2 2x) lg(x 1) lg 寻 因为x 1 0，所以x 12 2x1x1 由21得f x i.3x3(2)当 x [1,2]时，2-x [0,1]，因此1得1寺10 . ……3分10x 10， i x t..... 6分x) lg(3 x).……10 分因为x 3 10y ，所以所求反函数是 y 3 10x ，x [0,lg 2].14分 y 轴 12DB E7由tan / OAI=T 21230，得/ OA=arctan $，故救援船速度的方向为北偏东arctan 厶弧度• ... 6分 (2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2). 由 vt .,(7t)L(12厂12)2，整理得 V 2 144(t 2 p) 337.……10分 因为t 2右2，当且仅当t =1时等号成立， 所以 v 2 144 2 337 252，即 v 25. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船• …… 22.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1 :2X 2 y 2 1 . 14分 (1) 过G 的左顶点引G 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 X 轴围 成 的三角形的面积；(4分) (2) 设斜率为1的直线I 交G 于P 、Q 两点，若I 与圆X 2 y 2 1相切，求证： OH OQ (6 分) (3) 设椭圆C 2 :4X 2 y 21.若M N 分别是G 、C ?上的动点，且OML ON 求证：O 到直线MN的距离是定值.(6分) ［解］(1)双曲线C-羊y 2 1，左顶点A(身，0)，渐近线方程：y 2 X . 2 2过点A 与渐近线y . 2 X 平行的直线方程为y , 2 (X 孚)，即y 2 X 1. 解方程组 y 2Xy <2 X 1 所以所求三角形的面积 (2)设直线PQ 的方程是y 故 |b ! 1，即 b 2 2.X b得22，得Xy 1X，得y 1 为 S 2|OA||y| 辛. 因直线与已知圆相切,X b . |b| 2由y22X2bx b 2设 P(X i , y i )、Q(X 2, y 2)，则 X i X 1X2X22b b 2 1又2,所以2( b 21) b 2b b 2 b 22故 OH OQ(3)当直线ON 垂直于X 轴时， | ON=1，|O 皓子，当直线ON 不垂直于 设直线ON 的方程为 10分由 IS 1，得4X y 1同理|OM |2出. 设O 到直线MN 的距离为则O 到直线MN 的距离为今.X 轴时，y kx (显然|k| 4 )，则直线OM 的方程为y £x . 2 X 2y1犬，所以|ON |2出4 k 2……13分d ，因为(|OM |2 |ON|2)d 2 |OM |2|ON |2，,Y 中与a 1垂直的元素必有形式(1, b). 所以x=2b ，从而x=4.(2) 证明：取 a 1 (x 1, x 1) Y .设a 2 (s,t) Y 满足 a ；a 2 由(st)x 10得st 0,所以s 、t 异 因为-1故1 X. 假设x k 选取a 1则s 、t 异号 若 s =-1，则 2, 若 t =-1，则 X n 所以X 1=1. (3) ［解法一］猜测记 A k { ^1,1,X 2,先证明：若A k 1具有性质P,则A k 也具有性质P. 任取 a 1 (s, t) , s 、t A k .当 s 、当 s 1 且 t 1 时，s 、t > 1. 因为A k 1具有性质P,所以有a 2从而s 1和右中有一个是-1，不妨设 假设 t 1 A k 1且 t 1 A k ，则 t 1 X k 1.所以厶亠亠 4 3，即d=身.厂 |OM |2|ON |2k 213综上，O 到直线MN 的距离是定值.……16分23.对于数集X { 1, X 1, X 2,, X n }，其中0 X 1 X 2X n , n 2 ,定义向量集(s,t), s X,t X}.若对于任意a 1 Y ，存在a 2 Y ,使得a 1 a ? 0，则称X P.例如X { 若x >2,且{ 若X 具有性质 若X 具有性质项公式.(8分) ［解］(1)选取 a 1 (x,2) X 1 X 2Y {a | a具有性质 (1)(2) (3) 1,1, 2}具有性质P.1,1,2, x}，求 x 的值；(4 分) P ，求证：1 X,且当 X n > 1 时，X 1 = 1 ； (6 分) P ，且X 1=1，X 2=q (q 为常数)，求有穷数列x 1, x 2, , x n 的通号.t 中之一为-1， 是X 中唯一的负数，所以s 、 1，其中1 k n ,则0 X 1 (X 1,X n ) 丫，并设 a ?(s, t) ，从而s 、 矛盾；sx n ，矛盾.n. n.，i=1,2, ,X k }，k=2, 3,2分.... 4分10分••…12分a 2 0 ；x k 1，与 15分 k ;,X k }另一为1,1 X n .Y 满足 a 1 a 2 0,即 sx-! tx n0 ,t 之中恰有一个为-1.(s,tj ， $、t 1 A k 1，使得 a 1 a 2 q =-1. 由(s,t) ( 1, X k 1) 0，得 s tX k 1 i 1q ，i =1,2,… P,则 A k { 1,1, X 2,,X k }有性质P ,则X,X k ,X k 1}有性质k 11,1, q, , q , X k 1}. (s,t)满足 a 1 a 2 0 ,1,1, x 2, { 1,1, x 2, 1 {0. X i t 中出现-1时，显然有a 2满足a 1s A k 矛盾.所以t 1 A k .从而A k 也具有性质P. 现用数学归纳法证明：x q i 1 , i=1,2,…，n. 当n=2时，结论显然成立； 假设n=k 时，A k { 当n=k+1时，若A , 1 也有性质P,所以A k 取 a (X k 1, q),并设 a 2 有且只有一个为-1.若t 1，则1,不可能； 所以 s 1 , x k 1 qt q综上所述，x i q i 1 x i q i 1 , i =1,2,…,n. ..... 18 分st[解法—-]设a 1 (环鮎),a ? 6, t ?)，则a 1 a ? 0等价于石 耳.记B 存|s X,t X,|s||t|｝，贝擞集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称. .. 14分注意到-1是X 中的唯一负数，B ( ,0) ｛ x ?, X 3, , x n ｝共有n-1个数, 所以B (0,)也只有n-1个数.由于总走 订号，已有n-1个数，对以下三角数阵注意到邯芋 号，所以启黑 善，从而数列的通项公式为X k 为(专* 1 q k 1，k=1,2,…,n...... 18分即X k 1s qt 0 .由此可得k 1 kq q ，又 X k 1q k 1，所以 X k 1 q k .。