旅行商问题(TSP)(精选PPT)
智能优化-TSP-旅行商问题
智能优化实验报告基于遗传算法的TSP问题求解研究一、问题描述1、TSP问题的概述旅行商问题 (Traveling Salesman Problem，简称 TSP) 是一个经典的组合化问题。
它可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，从一个城出发需要经过所有城市后回到出发地，应如何选择行进路线以使总行程短。
从图论的角度看，该问题实质是在一个带权完全无向图中找一个权值最的小回路。
在寻找最短路径问题上，有时不仅要知道两个指定顶点间的最短路径，还需要知道某个顶点到其他任意顶点间的最短路径。
旅行商问题也是经典的组合数学的问题，生活中随处可见这类组合数学问题。
例如，计算下列赛制下的总的比赛次数:n个球队比赛，每队只和其他队比赛一次。
在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。
一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该选择什么样的路径，这就是著名的“中国邮递员问题”。
一个通调网络怎样布局最节省?美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。
库房和运输的管理也是典型的组合数学问题，怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取。
上述的这些例子中，其中一部分就和旅行商问题有关系。
2、TSP问题研究意义解决旅行商问题有着极其重要的理论和现实意义。
从理论层面来讲，解TSP不仅为其他算法提供了思想方法平台，使这些算法广泛地应用于各种组合优化问题；而且经常被用来测试算法的优劣，如模拟退火算法、禁忌搜索、神经网络、进化算法等，都可用旅行商问题来测试。
从实际应用层面来讲，旅行商问题作为一个理想化的问题，尽管多数的研究成果不是为了直接的应用，但却被广泛地转化为许多组合优化问题，最直接的就是其在交通、物流和大规模生产中的应用。
3、TSP问题的解决TSP问题是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式。
[物流管理]TSP旅行商问题（TravelingSalemanProblem）
![[物流管理]TSP旅行商问题（TravelingSalemanProblem）](https://img.taocdn.com/s3/m/7b6b1127b80d6c85ec3a87c24028915f804d84c0.png)
TSP旅行商问题（Traveling Saleman Problem）什么是旅行商问题旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）是VRP的特例，由于Gaery[1]已证明TSP 问题是NP难题，因此，VRP也属于NP难题。
旅行商问题（TSP）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，简称为TSP问题，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。
最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。
TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。
如何确定最短路线。
TSP问题最简单的求解方法是枚举法。
它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。
可以形象地把解空间看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。
求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。
旅行商问题的历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由美国RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP 成为一个知名且流行的问题。
旅行商问题的解法旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于NP-Complete的问题，所以旅行商问题大多集中在启发式解法。
Bodin（1983）等人将旅行推销员问题的启发式解法分成三种：1、途程建构法（Tour Construction Procedures）从距离矩阵中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：1）最近邻点法（Nearest Neighbor Procedure）：一开始以寻找离场站最近的需求点为起始路线的第一个顾客，此后寻找离最后加入路线的顾客最近的需求点，直到最后。
2.旅行商TSP问题(1.1)
旅行商问题旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，简称为TSP问题，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。
最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。
目录目录旅行商问题 (1)目录 (1)1.简介 (1)2．研究历史 (2)3.问题解法 (2)4.解法思路 (2)途程建构法 (2)途程改善法 (2)合成启发法 (3)5.研究进展 (3)6.问题分析 (3)1.简介“旅行商问题”常被称为“旅行推销员问题”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
规则虽然简单，但在地点数目增多后求解却极为复杂。
以42个地点为例，如果要列举所有路径后再确定最佳行程，那么总路径数量之大，几乎难以计算出来。
多年来全球数学家绞尽脑汁，试图找到一个高效的算法。
TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。
如何确定最短路线。
TSP问题最简单的求解方法是枚举法。
它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。
可以形象地把解空间看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。
求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。
2．研究历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由美国RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
《图论旅行商》课件
2 时间复杂度计算
3 优缺点
动态规划算法的时间复 杂度为O(n²*2^n)，其中 n为节点数。
动态规划算法能够得到 全局最优解，但在节点 较多时，计算复杂度会 显著增加。
算法四：遗传算法
1 原理及步骤
2 时间复杂度计算
遗传算法通过模拟生物 进化的过程，使用交叉、 变异等操作来优化路径。
遗传算法的时间复杂度 较高，取决于种群规模 和迭代次数。
3 优缺点
遗传算法能够得到接近 最优解的结果，在处理 大规模问题时表现良好， 但迭代次数和参数选择 需要仔细调整。
应用案例
景点游览计划优化
使用图论旅行商问题算法可 以帮助游客制定最佳游览路 线，以最小化游览时间和步 行距离。
物流配送路线优化
通过优化物流路线，可以将 运输时间和成本降到最低， 提高物流效率。
1 原理及步骤
贪心算法每次选择与当 前节点距离最近的未访 问节点，并将其添加到 路径法的时间复杂度 为O(n²)，其中n为节点 数。
3 优缺点
贪心算法计算速度快， 但无法保证得到全局最 优解，只能得到近似解。
算法三：动态规划算法
1 原理及步骤
动态规划算法将问题划 分为子问题，并利用子 问题的解来构建最终问 题的解。
金融保险精准营销
利用图论旅行商问题算法可 以确定最佳营销路线，提高 客户接触率和销售效果。
结论
各算法的适用场景
暴力枚举法适用于节点较 少的情况，贪心算法适用 于规模较大但精度要求不 高的问题，动态规划算法 适用于节点较少且要求精 确解的问题，遗传算法适 用于处理大规模问题。
对比评价
各算法有各自的优点和局 限性，根据实际问题需求 选择合适的算法。
《图论旅行商》PPT课件
改进的遗传算法求解TSP问题_3旅行商问题_24_34
3 旅行商问题3.1 旅行商问题概述3.1.1 旅行商问题的定义和数学模型① 定义旅行商问题(Traveling Salesman Problem ，简记TSP)是组合数学中一个古老而又困难的问题，它易于描述但至今尚未彻底解决，现己归入所谓的NP 完全问题类，经典提法为：有一货物推销员要去若干个城市推销货物，从城市1出发，经其余各城市一次，然后回到城市1，问选择怎样的行走路线，才能使总行程最短（各城市间距离为己知）。
该问题在图论的意义下就是所谓的最小Hamilton 圈问题，由于在许多领域中都有着广泛的应用，因而寻找其实际而有效的算法就显得颇为重要了。
遗憾的是，计算复杂性理论给予我们的结论却是，这种可能性尚属未知。
若设城市数目为n 时，那么组合路径数则为(n-1)!。
很显然，当城市数目不多时要找到最短距离的路线并不难，但随着城市数目的不断增大，组合路线数将呈指数级数规律急剧增长，以至达到无法计算的地步，这就是所谓的“组合爆炸问题”。
假设现在城市的数目增为20个，组合路径数则为(20-1)! ，如此庞大的组合数目，若计算机以每秒检索1000万条路线的速度计算，也需要花上386年的时间。
尽管现在计算机的计算速度大大提高，而且已有一些指数级的算法可精确地求解旅行商问题，但随着它们在大规模问题上的组合爆炸，人们退而求其次，转向寻找近似算法或启发式算法，经过几十年的努力，取得了一定的进展。
② 数学模型设(,)G V E =为赋权图，{1,2,}V n ="为顶点集，E 为边集，各顶点间距离为ij c ，已知(0,,,)ij ij c c i j V >=+∞∈，并设则旅行商问题的数学模型可写成如下的线性规划形式：ij ij i jMinZ c x ≠=∑1,(,)0,ij i j x ⎧=⎨⎩边在最优路线上其它,1,1,.1,{0,1},ij j i ij i jij i j S ij x i V x j V s t x K K V x i j V ≠≠∈⎧=∈⎪⎪=∈⎪⎨⎪≤−⊂⎪⎪∈∈⎩∑∑∑这里，K 为V 的所有非空子集，K 为集合K 中所含图G 的顶点个数。
概述数学建模经典问题——旅行商问题.ppt
25
于是，dmin(i, 1)代表与第i个结点关联的所有边 中最长边的长度，dmin_j(i, 1) 代表与第i个结点关联 的所有边中次长边的另一个结点编号(其中一个结点 编号为i)，第i结点的dmin(i, k)和dmin_j(i, k)可由距 离矩阵w轻易求得。
通过对下界b2进行改进，可以得出一个求对称 型TSP更好的下界b3。
13
互间的距离设定为∞，其他数值不变。
二、多面体理论
从上世纪70年代开始的关于算法复杂性的研究 表明，要想为TSP找到一个好的算法，也即多项式 算法，似乎是不可能的。由于推销员的每条路线可 以用一个以1开始的排列来表示，因此所有可能的路 线有条。这样，若用枚举法来解决这一问题，即使 不太大，例如n＝30，用目前最快的计算机，也要 化几百万年才能求出一条最短的路线。
最新 文档
10
假定收益的数学性质与相同，则最小比率TSP的 数学模型也与标准TSP类似，仅目标函数不同：
min Z
i j dij xij
i j pij xij
毫无疑问，由于目标函数中的非线性因素，最 小比率TSP的求解比之标准TSP显得更为困难。
最新 文档
11
(3) 多人TSP
若标准TSP中，出发点有多个推销员同时出发，各自行 走不同的路线，使得所有的城市都至少被访问过一次，然后 返回出发点，要求所有推销员的总行程最短，则问题就成为 一个多人的旅行商问题（简记MTSP）。
若e j T 若e j T
最新 文档
16
称X为路线T的关联向量，其m=n(n-2)/2个分量中，恰好 有个为1，其余的都为0。
图有许多Hamilton回路，设为T1, T2… Ts,，对应的关联向 量记为X1, X2… Xs ，在m维空间Rm中，考虑这些向量生成的 凸包（convex hull） Qn ：
tsp问题
TSP问题求解旅行商问题(traveling saleman problem,简称tsp)：已知n个城市之间的相互距离，现有一个推销员必须遍访这n个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回出发城市。
如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短？用图论的术语来说，假设有一个图g=(v,e)，其中v是顶点集，e是边集，设d=(dij)是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过所有顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。
这个问题可分为对称旅行商问题(dij=dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)和非对称旅行商问题(dij≠dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)。
若对于城市v={v1,v2,v3,…,vn}的一个访问顺序为t=(t1,t2,t3,…,ti,…,tn),其中ti∈v(i=1,2,3,…,n)，且记tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为：min l=σd(t(i),t(i+1))（i=1,…,n）旅行商问题是一个典型的组合优化问题，并且是一个np难问题，其可能的路径数目与城市数目n是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，本文采用遗传算法求其近似解。
一．遗传算法：初始化过程：用v1,v2,v3,…,vn代表所选n个城市。
定义整数pop-size作为染色体的个数，并且随机产生pop-size个初始染色体，每个染色体为1到18的整数组成的随机序列。
适应度f的计算：对种群中的每个染色体vi，计算其适应度，f=σd(t(i),t(i+1)).评价函数eval(vi)：用来对种群中的每个染色体vi设定一个概率，以使该染色体被选中的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例，既通过轮盘赌，适应性强的染色体被选择产生后台的机会要大，设alpha∈(0,1)，本文定义基于序的评价函数为eval(vi)=alpha*(1-alpha).^(i-1) 。
旅行商问题
旅行商问题
TSP,Travelling salesman problem
问题描述：
给定一系列点，以及各点之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。
问题实质：
哈密尔顿回路问题
NP完全问题
解决方法：
早期方法：分支定界法，线性规划法，动态规划法
近代方法：遗传算法，模拟退火法，蚁群算法，禁忌搜索算法，贪心算法，神经网络算法
空间数结构术语：
问题状态：在解空间树中的每一个结点确定所求问题的一个问题状态
状态空间：由根结点到其它结点的所有路径则确定了这个问题的状态空间解状态：表示一些问题状态S，对于这些问题状态，由根到S的那条路径确定了这解空间中的一个元组
答案状态：表示一些解状态S，对于这些解状态而言，由根到S的这条路径确定了这问题的一个解
问题求解：
1.暴力求解：
运用枚举的思想，复杂度为O(n！)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对角线完全算法
结论: 若能在n×n距离矩阵中找出n个不同行也不同 列的元素，使它们的和为最小值。若这n个元素构成 一条哈米尔顿圈时，此圈便是最佳H圈。
矩阵的简化 :将矩阵的每一行的各元素减去本行的 最小元素称为对行简化，从第i行减去的数称为第i 行的约数，记为R（i）。将矩阵的每一列的各元素 减去本列的最小元素称为对列简化，从第j列减去的 数称为第j列的约数，记为R’(j)。各行各列的约数之 和称为矩阵的约数，记为R。矩阵经行的简化和列的 简化后所得矩阵称为该矩阵的简化矩阵。
引例
2. 问题分析 本题给出了某县的公路网络图，要求在不同的条件下，
灾情巡视的最佳分组方案和路线. 将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之
间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或 行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权 图，问题就转化为图论中一类称之为旅行推销员问题，
7
原始问题
•：
图论模型 构造一个图G=（V，E），顶点表示城市，边
表示连接两城市的路，边上的权W（e）表示距 离（或时间或费用）。于是旅行推销员问题就 成为在加权图中寻找一条经过每个顶点正好一 次的最短圈的问题，即求最佳Hamilton 圈的 问题。
8
基本概念
1•)：哈米尔顿路径(H路径): 经过图G每个顶点正好一次的路径; 2) 哈米尔顿圈(H圈)；经过G的每个顶点正好一次的圈; 3) 哈米尔顿图(H图): 含H圈的图。 4) 最佳H圈: 在加权图G=（V，E）中，权最小的H圈； 5) 最佳推销员回路: 经过每个 顶点一次的权最小闭通路; 6) TSP问题: 在完备加权图中求最佳H圈的问题。
2. 常见的构造型算法有两种：Christofides最小权匹 配算法 ，对角线完全算法。
3. 常见的改进型算法有两种：二次逐次修正法， Feiring矩阵逐次改进法。
❖ 分枝定界法
13
算法简介
❖ 二次逐次修正法 （1）任取初始H圈
C0=v1,v2,…,vi,…,vj,…vm,v1 （2）对所有的i,j,1＜i+1＜j＜m，若
10
TSP问题举例
❖ 计算机布线（续） 问题容易转化为TSP问题，每个管脚对应于图的顶点，
d(x,y)代表两管脚x与y的距离，原问题即为在图中寻求 最小权H路径。 ❖ 电路板钻孔
MetelcoSA是希腊的一个印刷电路板（PCCB）制造商。 在板子上对应管脚的地方必须钻孔，以便以后电子元件 焊在这板上。典型的电路板可能有500个管脚位置，大多 数钻孔都由程序化的钻孔机完成，求最佳钻孔顺序。此 问题其实就是求500个顶点的完备加权图的最佳H圈的问 题，即TSP问题。用求解出的H圈来指导生产，使Metclo 的钻孔时间缩短了30%，提高了生产效率。
14
例对下图的K6,用二边逐次修正法求较优H圈.
较优H圈: C3 v1v4v5v6v2v3v1 其权为W(C3)=192
15
分析: 这个解的近似程度可用最优H圈的权的下界与
其比较而得出.即利用最小生成树可得最优H圈的一个下界.
设C是G的一个最优H圈，则对G的任一顶点v, C-v是
G-v的生成树.如果T是G-v的最小生成树,且e1是e2与v关联
w(vi,vj)+w(vi+1,vj+1) ＜w(vi,vi+1)+w(vj,vj+1) 则在C0中删去边（vi,vi+1）和（vj,vj+1）而加入边（vi,vj） 和(vi+1,vj+1)，形成新的H圈C，即
C=v1,v2,…,vi,vj,vj-1,…,vi+1,vj+1,…,vi,v1 （3）C0C,重复步骤（2），直到条件不满足为止，最后得 到的C即为所求。
主讲：重庆大学 龚劬
1
主要内容
引例 基本概念 TSP模型的应用 算法简介 最佳灾情巡视路线的模型 的建立与求解
2
引例
•：
1. 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾 情巡视路线”中的前两个问题：
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、
组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到 全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府 所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政 府所在地的路线.
3
引例
•：
1）若分三组（路）巡视，试设计总路程最 短且各组尽可能均衡的巡视路线.
2）假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2 小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V
=35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分
几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.
4
引例公路边的数Βιβλιοθήκη 为该路段的公里数. 511
算法简介
TSP问题是NP-hard问题，即不存在多项式时间算法.
也就是说,对于大型网络(赋权图),目前还没有一个精确求解 TSP问题的有效算法，因此只能找能求出相当好（不一定最 优）的解的算法.
12
算法简介
❖ 近似算法或启发式算法
1. 一般是以构造型算法得到一个初始解，然后再用改 进型算法逐步改进。
的边中权最小的两条边,则w(T)+w(e1)+w(e2)将是w(C)
的一个下界.
取v=v3,得G-v3的一最小生成树(实线),其权 w(T)=122,与v3关联的权最
小的两条边为v1v3和v2v3,
故w(C) w(T)+w(v1v3)+w(v2v3)
=178. 故最优H圈的权
应满足178 w(C)192.
9
TSP问题举例
❖ 工件排序 设有n个工件等待在一台机床上加工，加工完i，接
着加工j，这中间机器需要花费一定的准备时间tij，问 如何安排加工顺序使总调整时间最短？
此问题可用TSP的方法求解，n个工件对应n个顶点， tij表示(i,j) 上的权，因此需求图中权最小的H路径。 ❖ 计算机布线
一个计算机接口含几个组件。每个组件上都置有若 干管脚。这些管脚需用导线连接。考虑到以后改变方便 和管脚的细小。要求每个管脚最多连两条线。为避免信 号干扰以及布线的简洁，要求导线总长度尽可能小。
即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有 顶点至少一次再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
6
原始问题
•：
旅行商问题(TSP，traveling salesman problem) 一个商人欲到n个城市推销商品，每两个城市i 和j之间的距离为dij，如何选择一条道路使得 商人每个城市正好走一遍后回到起点且所走路 线最短。