重庆巴蜀中学数学全等三角形单元测试卷(含答案解析)

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2024年八年级数学上册《全等三角形》及答案解析

第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点8.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC=30,DE=4,BC=10，则AC的长是()A.5B.6C.7D.89.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列五个结论：①DE=DF；②BC=2DB；③AD⊥BC；④AB=3BF；⑤S△ADB=2S△BDF；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.5m2 B.2m2 C.5m2 D.4m22二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补，∠B与∠D互补，AB=AD，∠BAD=x°0<x<180，∠ACB=y°，数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y与x之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x+y=135，AC=10，求四边形ABCD的面积．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠DFE=90°，OC平分∠AOB，点F在OC上，∠DFE的两边分别与OA，OB交于点D，E．当FE⊥OB，FD⊥OA时，则FD与FE的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F作两条相互垂直的射线FM，FN，分别交OA，OB于点M，N，判断FM与FN的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD，如图③所示，∠DAB=∠DCB=90°，AC是∠DAB的平分线，AB= 50m，AD=30m，直接写出该空地的面积．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断．【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；若△ABC≌△DEF，∠A的对应角为∠D，所以∠A=∠D，故④说法正确；说法正确的有③④，共2个．故选：B．【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；B选项中两个图形能完全重合，是全等形，故选B．3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解．【详解】∵△ABC≌△EBD，∴BE=AB=2cm，BC=BD=5cm，∴CE=BC-BE=3cm，故选：C．4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO=∠DCO=90°，在△ABO和△DCO中，∠ABO=∠DCOBO=OC=CO∠BOA=∠COD，∴△ABO≌△DCO ASA∴证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，故选：B．5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D【答案】B【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL是解题的关键．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠A=∠D，∵AC=DF，A、添加BC=DE，不能判定△ABC≌△DEF；B、添加AE=DB，能判定△ABC≌△DEF；C、添加∠A=∠DEF，不能判定△ABC≌△DEF；D、添加∠ABC=∠D，不能判定△ABC≌△DEF；故选：B．6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键．根据全等三角形的判定分别证明△AOP≌△BOP(SAS)，Rt△P AE≌Rt△PBF HL，△OEP≌△OFP (AAS)，即可得到答案．【详解】解：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP(SAS)；∴AP=BP，∵OP平分∠MON，PE⊥OM,PF⊥ON∴PE=PF，∵PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，∴Rt△P AE≌Rt△PBF HL；∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，又∵∠OEP=∠OFP=90°,OP=OP，∴△OEP≌△OFP(AAS)．∴图中全等三角形有3对故选C．7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点【答案】B【分析】本题考查的是三角形的角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点，故选：B8.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于点E ，S △ABC =30,DE =4,BC =10，则AC 的长是()A.5B.6C.7D.8【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理．过点D 作DF ⊥AC 于点F ，根据角平分线的性质可得DE =DF =4，再由S △ABC =S △DBC +S △DAC ，即可求解．【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DE =4，∴DE =DF =4，∵S △ABC =S △DBC +S △DAC ，S △ABC =30，BC =10，∴30=12DE ×BC +12DF ×AC ，∴30=12×4×10+12×4×AC ，∴AC =5，故选：A ．9.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE =2BF ，给出下列五个结论：①DE =DF ；②BC =2DB ；③AD ⊥BC ；④AB =3BF ；⑤S △ADB =2S △BDF ；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD= BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解．【详解】解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∵BF∥AC，∴∠ACB=∠CBF，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BC=2DB，故②，③正确，符合题意；在△CDE和△BDF中，∠ACB=∠CBF CD=BD∠CDE=∠BDF，∴△CDE≌△BDF ASA，∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正确，符合题意；∵AE=2BF，∴AC=3BF=AB，故④正确，符合题意；∵BD=CD，∴S△ADB=S△ACD，∵AE=2BF，∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误，不符合题意；故选：A．10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.52m2 B.2m2 C.5m2 D.4m2【答案】A【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，证明△CDA≌△AEB(AAS)，得出AE=CD=2m,AD=BE=m，CF=DE=AD+AE=m+2m=3m，再根据=S四边形DEFE-S△ACD×2-S△BCF求解即可【详解】解：过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠CDA=∠AEB=90°，如图，∵a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，∴BF⊥直线c，CD=2m,BE=BF=m,∵∠CAB=90°,∠CDA=90°∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠EAB，在△CDA和△AEB中，∠DCA=∠EAB∠CDA=∠AEBAC=AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)，∴AE=CD=2m,AD=BE=m，∴CF=DE=AD+AE=m+2m=3m∴△ABC的面积=S四边形DEFE -S△ACD×2-S△BCF=3m×2m-12×2m×m×2-12×3m×m=52m2故选：A二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．【答案】130°/130度【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明△ADC≌△ABE AAS得出∠ADC=∠ABE，根据邻补角即可求解．【详解】解：∵在△ADC和△ABE中，∠C=∠E∠A=∠AAD=AB，∴△ADC≌△ABE AAS，∴∠ADC=∠ABE，∵∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-50°=130°，∴∠ABE=130°．故答案为：130°．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．【答案】105【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．根据全等的性质求出∠D=∠D ，利用四边形的内角和公式求出∠A的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD≌四边形A B C D ．∴∠D=∠D ，∵∠D =105°，∴∠D=105°，∵∠B=90°,∠C=60°，∴∠A=360°-90°-60°-105°=105°，故答案为：105．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．【答案】∠BAD=∠CAE【分析】在△ABE与△ACD中，已知AE=AD，∠AED=∠ADE，即已知一角及角的一边对应相等，根据“AAS”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【详解】解：可添加一个条件：∠BAD=∠CAE，使△ABD≌△ACE．理由：在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠CAE∠AED=∠ADEBD=CE，∴△ABD≌△ACE(AAS)．故答案为∠BAD=∠CAE14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．【答案】12【分析】根据平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，证明△ADC≌△C DA ，得到AD=C D，则S△C DC =12S△ACC，再推出S△ABC=S△ACC=24，则S△C DC=12S△ACC=12．【详解】解：由平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，∴∠DCA=∠DA C ，∠DAC=∠DC A ，∴△ADC≌△C DA ASA，∴AD=C D，∴S△C DC =12S△ACC，∵BC=CC ，△ABC的面积为24，∴S△ABC=S△ACC=24，∴S△C DC =12S△ACC=12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．【答案】52°/52度【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．【详解】解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG,NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=12∠BMC，∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-66°=114°，∴∠MBC+∠MCB=23∠ABC+∠ACB=76°，在△BMC中，∠BMC=180°-∠MBC+∠MCB=180°-76°=104°∴∠BMN=12∠BMC=52°．故答案为：52°．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．【答案】3或7或10【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL即可求解．【详解】解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，∠CAB=∠DBE=90°，∵ED=CB，当E在线段AB上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3tcm，∴BE=AB-AE=15-3tcm，∴15-3t=6，∴t=3；若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∴AE=0，∴t=0(舍去)，当E在线段AB延长线上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+6=21(cm)，∴t=7，若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+15=30(cm)，∴t=10，∴当t=3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：3或7或10．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由∠1=∠2可得∠EAD=∠BAC，再根据条件AB=AE，∠C=∠D，可利用AAS证明△ABC≌△AED AAS，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∠C=∠D∠BAC=∠EADAB=AE，∴△ABC≌△AED AAS，∴BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)BC∥AD，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△CDA．(1)利用SAS证明△ABC≌△CDA即可；(2)由△ABC≌△CDA，得∠BCA=∠CAD，进而可以判断BC与AD的位置关系．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，在△ABC与△CDA中，AB=CD∠BAC=∠ACDAC=CA，∴△ABC≌△CDA SAS；(2)解：BC∥AD，理由如下：∵△ABC≌△CDA，∴∠BCA=∠CAD，∴BC∥AD．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．【答案】(1)4；△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF(2)证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键．(1)结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形；(2)先证明△AME≌△CNF SSS，即可证明∠MAE=∠NCF．【详解】(1)解：有4对全等三角形，分别为：△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF，理由如下：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS；(2)证明：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS，∴∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．【答案】(1)详见解析(2)125°【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得△ABC≌△CDE是解题的关键．(1)根据平行线求出∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再说明∠B=∠CDE，最后结合AC=CE运用AAS即可证明结论；(2)根据全等三角形性质得出∠A=∠E=55°，进而根据平角定义即可解答．【详解】(1)证明∶∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，∵∠ACD=∠B，∴∠B=∠CDE，∵AC=CE，∴△ABC≌△CDE AAS．(2)解：∵∠A=55°，∵△ABC≌△CDE，∴∠A=∠ECD=55°，∴∠BCD=180°-∠ECD=180°-55°=125°．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．【答案】(1)∠ACE=37°(2)证明见解析(3)15【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．(1)根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=74°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=37°，然后根据∠ACE=∠ACD-∠ECH即可解答；(2)如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM=EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；(3)根据S△ACD=S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．【详解】(1)解：∵∠ACB=106°，∴∠ACD=180°-106°=74°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=53°，∴∠ECH=90°-53°=37°，∴∠ACE=∠ACD-∠ECH=74°-37°=37°．(2)证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE =∠ECH =37°，∴CE 平分∠ACD ，∴EN =EH ，∴EM =EN ，∴AE 平分∠CAF ．(3)解：∵AC +CD =16，S △ACD =24，EM =EN =EH ，∴S △ACD =S △ACE +S △CED =12AC ⋅EN +12CD ⋅EH =12(AC +CD )⋅EM =24，即12×16⋅EM =24，解得EM =3，∵AB =10，∴S △ABE =12AB ⋅EM =15．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD 与∠BCD 互补，∠B 与∠D 互补，AB =AD ，∠BAD =x °0<x <180 ，∠ACB =y °，数学兴趣小组在探究y 与x 的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y 757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y 与x 之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x +y =135，AC =10，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)60，100，15；(2)y =90-12x ，理由见详解；(3)S 四边形ABCD =50【分析】(1)观察表格发现：x 每增加10，y 减小5，由此即可得出α、β、θ的值．(2)根据表格猜想：y =90-12x ．延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，则可得△ABE ≌△ADE ，进而可得AE =AC ，∠EAB =∠CAD ，则可得∠EAC =x °．在△AEC 中，根据三角形内角和定理即可得出y 于x 之间的关系式．(3)延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ．由(2)得△ABE ≌△ADE ，则S △ABE =S △ADE ，进而可得S 四边形ABCD =S △AEC ．由x +y =135，y =90-12x 可得x =90，y =45．则可得∠EAC =90°，∠AEC =∠ACE =45°，进而可得AE =AC =10，可得S △AEC 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)观察表格发现：x每增加10，y减小5，∴α=65-5=60，β=80+2×10=100，θ=40-3×5=15．故答案为：60，100，15，x．(2)根据表格猜想：y=90-12证明：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，则∠ABC+∠ABE=180°，又∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABE=∠D，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴AE=AC，∠EAB=∠CAD，∴∠E=∠ACB=y°，∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=x°．在△AEC中，∠EAC+∠E+∠ACE=180°，∴x°+2y°=180°，y=90-1x．2(3)如图，延长CB到E，使BE=DC，连接AE．由(2)得△ABE≌△ADE，∴S△ABE=S△ADE，=S△ACD+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△AEC，∴S四边形ABCD∵x+y=135，y=90-1x，2x=135，∴x+90-12解得x=90，y=45，∴∠EAC=90°，∠AEC=∠ACE=45°，∴AE=AC=10，×10×10=50，∴S△AEC=12∴S=50．四边形ABCD【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB =∠DFE =90°，OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，∠DFE 的两边分别与OA ，OB 交于点D ，E ．当FE ⊥OB ，FD ⊥OA 时，则FD 与FE 的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F 作两条相互垂直的射线FM ，FN ，分别交OA ，OB 于点M ，N ，判断FM 与FN 的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD ，如图③所示，∠DAB =∠DCB =90°，AC 是∠DAB 的平分线，AB =50m ，AD =30m ，直接写出该空地的面积．【答案】(1)FD =FE ；(2)FM =FN ，理由见详解；(3)1600m 2【分析】(1)根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得FD =FE ；(2)先根据四边形内角和等于360°可得∠DFE =90°，由∠DFE =∠FMN =90°可得∠DFM =∠EFN ，再根据ASA 证明△DFM ≌△EFN ，则可得FM =FN ；(3)过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点．由(2)得△CFD ≌△CEB ，则可得FD =EB ，S △CFD =S △CEB ，进而可得S 四边形ABCD =S 四边形AECF ．证明△ACF ≌△ACE (，则可得AF =AE ，由AE =AB -BE 、AF =AD +DF 可求得BE 的长，进而可得AF 、AE 的长，由此可得S 四边形AECF 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)解：∵OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，且FE ⊥OB ，FD ⊥OA ，∴FD =FE ．(2)解：FD =FE ，理由如下：∵FD ⊥OA ，FE ⊥OB ，∴∠FDO =∠FEO =∠FEN =90°，∵四边形DOEF 中，∠FDO =∠FEO =∠AOB =90°，∴∠DFE =360°-∠FDO -∠FEO -∠AOB =90°，∴∠DMF +∠MFE =90°，又∵FM ⊥FN ，∴∠FMN =90°，∴∠DFM =∠EFN ，在△DFM 和△EFN 中，∠FDM =∠FENFD =FE ∠DFM =∠EFN，∴△DFM ≌△EFN (ASA )，∴FM =FN ．(3)解：如图，过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点，由(2)得△CFD≌△CEB，∴FD=EB，S△CFD=S△CEB，∴S四边形ABCD =S四边形AECF，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠CAB，又∵∠CFB=∠CEA=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE(AAS)，∴AF=AE，又∵AE=AB-BE,AF=AD+DF，∴AB-BE=AD+DF，∴50-BE=30+BE，解得BE=10，∴AF=AE=40，∴S四边形AECF=40×40=1600m2，∴S四边形ABCD=1600m2，答：该空地的面积为1600m2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)补全图形见解析，∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．(1)先证明△DOE≌△COF(SAS)，得∠PEC=∠PFD，再证△CPE≌△DPF(AAS)，得PE=PF，然后证△OPE≌△OPF(SSS)，得∠POE=∠POF，即可得出结论；(2)先证明△OCF≌△ODE(ASA)，可得OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，分两种情况进行求解即可．【详解】解：(1)∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴CE=DF，△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，PE=PF，OP=OP，∴△OPE≌△OPF(SSS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴射线OP平分∠AOB；(2)∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF=∠ODE=90°，∴∠COF=∠DOE，OC=OD，∴△OCF≌△ODE(ASA)，∴OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)补全图形如下，过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∵OP是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∠PMC=∠PND=90°，当PC=PD1时，在Rt△PMC和Rt△PND1中，PC=PD1，PM=PN∴Rt△PMC≌Rt△PND1(HL)，∴∠PCO=∠PD1O；当PC=PD2时，同理得Rt△PMC≌Rt△PND2HL，∴∠PCM=∠PD2N；∵∠PD2N+∠PD2O=180°，∴∠PCO+∠PD2O=180°，综上所述，∠PCO与∠PDO的数量关系为∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°；25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．【答案】(1)见解析；(2)50；(3)①见解析；63【分析】(1)证明△ABC≌△DAE AAS，即可得证；(2)同(1)法得到△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，分割法求出图形面积即可；(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，易证△AFB≌△DP A，△AFC ≌△EQA，得到DP=AF，EQ=AF，再证明△DPG≌△EQG AAS，即可得出结论；②根据全等三角形的性质，求出AG的长，进而利用面积公式进行求解即可．【详解】解：(1)证明：∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵BC⊥CA，DE⊥AE，∴∠ACB=∠DEA=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∠ACB=∠DEA∠ABC=∠DAEBA=AD∴△ABC≌△DAE AAS，∴BC=AE．(2)由模型呈现可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，∴AP=BG=3，AG=EP=6，CG=DH=4，CH=BG=3，则S实线围成的图形=12×4+6×3+6+4+3-12×3×6-12×3×6-12×3×4-12×3×4=50．(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q．图3由【模型呈现】可知，△AFB≌△DP A，△AFC≌△EQA，∴DP=AF，EQ=AF∴DP=EQ，∵DP⊥AG，EQ⊥AG∴∠DPG=∠EQG=90°，在△DPG和△EQG中，∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQDP=EQ∴△DPG≌△EQG AAS，∴DG=GE．②由①可知，BF=AP，FC=AQ，∴BC=BF+FC=AP+AQ，∵BC=21，∴AP+AQ=21，∴AP+AP+PG+GQ=21，由①△DPG≌△EQG得∴PG=GQ，∴AP+AP+PG+PG=21，∴AP+PG=10.5，∴AG=10.5，∴S△ADG=1×10.5×12=63．2。

八年级数学上册《全等三角形》单元测试题(含答案解析)

八年级数学上册《全等三角形》单元测试题(含答案解析)一、选择题（每题4分，共40分）1. 在三角形ABC中，AB=AC，点D是边BC上的一个点，且BD=DC。

以下结论正确的是（）A. AD平分∠BACB. AD垂直平分BCC. AD平分∠BD. AD平分∠C【答案】B【解析】因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，∠B=∠C。

又因为BD=DC，所以AD垂直平分BC。

2. 如果两个三角形的两边和它们夹角分别相等，那么这两个三角形（）A. 相似B. 全等C. 不一定全等D. 以上都对【答案】B【解析】根据SAS全等定理，如果两个三角形的两边和它们夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

3. 在全等三角形ABC和DEF中，如果∠A=40°，∠B=50°，那么∠E的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】因为三角形ABC和DEF全等，所以∠A=∠D，∠B=∠E。

所以∠E=∠B=50°。

又因为三角形内角和为180°，所以∠E=180°-∠A-∠D=60°。

4. 如果两个三角形的两边及其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形（）A. 相似B. 全等C. 不一定全等D. 以上都对【答案】C【解析】这种情况不能确定两个三角形全等，因为可能存在两种情况：一种是两个三角形全等，另一种是两个三角形不全等但相似。

5. 在全等三角形ABC和DEF中，如果AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm，那么DE的长度是（）A. 5cmB. 8cmC. 10cmD. 13cm【答案】C【解析】因为三角形ABC和DEF全等，所以对应边相等，即AB=DE，所以DE=5cm。

6. 如果两个三角形的三个角分别相等，那么这两个三角形（）A. 相似B. 全等C. 不一定全等D. 以上都对【答案】C【解析】如果两个三角形的三个角分别相等，那么这两个三角形不一定全等，但一定相似。

重庆市巴蜀中学校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

数学一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）1．的相反数是（）A．B．C．3D．2．地铁是城市轨道交通的一种，截止2024年年初，重庆已运营12条轨道交通线路，建成全国规模最大的山地城市交通运营网络，进入世界级轨道交通城市行列．下列分别是我国深圳、石家庄、重庆、北京的地铁图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列式子中，运算正确的是（）A．B．C．D．4．如图，在中，，在的延长线上取点D，过点D作．若，则的度数为（）A．38°B．42°C．52°D．62°5．设n为正整数，且，则n的值为（）A．3B．4C．5D．66．为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．7．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走m步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了n 步，则可列方程组为（）3-13-3-13224a a a+=358a a a⋅=632a a a÷=()32626a a=Rt ABC△90A∠=︒AB DE BC∥38C∠=︒D∠1n n<<+A ．B ．C ．D ．8．下列说法正确的是（）A ．等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是底边的高线B ．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等C ．有两个角相等的等腰三角形是等边三角形D ．全等的两个图形一定关于某条直线成轴对称9．如图，在长方形中，点E 是边上一点，连接、，将沿着翻折，点C 恰好落在边上的点F 处．若，，则面积是（）A ．9B ．12C ．15D ．1810．已知单项式串：，，，，…，，其中n ，为非负整数，，，，…，均为正整数．规定：，，，…，，整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法：①若，，，，则；②若，则所有满足条件的整式的和为；③若，则所有满足条件的整式有9个．其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）11．计算：______．12．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为______．13．如图，在中，，的垂直平分线交于点E ，交于点D ，连接．若10010060m n m n =+⎧⎪⎨=⎪⎩10060100m n m n =+⎧⎪⎨=⎪⎩10010060m n m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩10060100m n m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩ABCD BC AE DE CDE △DE AE 75DEC ∠=︒3CD =ADE △0a 1a x 22a x 33a x n n a x 0a 1a 2a 3a na 00M a =11M a x =2222020M a x M a x a =+=+()22n n n n M a x M n -=+≥n M ()n F M 00M a =()00F M a =11M a x =()11F M a =2220M a x a =+()220F M a a =+01a =12a =23a =34a =()36F M =()34F M =3M 3610x x +()6n n F M +=n M ()201π32⎛⎫--= ⎪⎝⎭ABC △6cm AC =AC BC AC AE的周长为，则的周长为______cm ．14．若，则______．15，则以a 、b 为边的等腰三角形的底边长为______．16．若关于x 的不等式组的解集为，且点关于y 轴对称的点在第二象限，则所有满足条件的整数m 的值之和为______．17．如图，在中，，点D 为外一点，连接、、，使得，，，则的度数是______．18．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，且都为8，则称这个四位数为“拜拜数”．例如：对于7216，因为，所以7216为“拜拜数”．请写出符合条件的最小“拜拜数”是______．已知一个“拜拜数”M 的千位数字是，百位数字是b ，十位数字是（其中，，，且a ，b ，c ，d 均为整数），记M 的千位数字与个位数字的乘积为，百位数字与十位数字的乘积为．若是一个自然数的平方，则满足此条件的最大“拜拜数”是______．三、解答题（本大题8个小题，共78分）19.（1）；（2）；（3）；（4）．20．（6分）化简求值：，其中，．21．（8分）在学习了全等三角形的知识后，一位同学进行了如下的探究，他发现：在一组对边平行且相等ABE △14cm ABC △2340x y +-=927x y⋅=30b +-=12333x m x x -⎧≥-⎪⎨⎪-<+⎩3x >-()27,4m +ABC △AB AC =ABC △AD BD CD 60ABD ∠=︒79ADB ∠=︒22BDC ∠=︒CBD ∠71268+=+=2a 2c d +14a ≤≤17b ≤≤127c d ≤+≤()F M ()K M ()()442F M K M a c d --++242x y xy ⋅()()23x x y ⋅-()1323a b a b ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭()()()23a b b a a a b +⋅-+-()()11222x x y x y x y ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭2x =1y =-的四边形中，它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离存在着一定的数量关系．这位同学利用三角形全等证明了他的猜想，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空．（1）如图，在四边形中，，，连接，于点F ．利用尺规作图，过点B 作的垂线，垂足为点E （不写作法，保留作图痕迹）·（2）在（1）问所作的图形中，求证：．证明：∵，∴___①___，∵，，∴在和中，∴．∴___③___．于是这位同学得到的结论是：在一组对边平行且相等的四边形中，___④___．22．（8分）为了解某校八年级学生的体育测试情况，随机抽取了该校若干名八年级学生的体育测试成绩进行了统计分析，并根据抽取的成绩绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图：成绩x /分频数频率40a b0.4550c 200.1请根据所给信息，解答下列问题：（1）上述图表中______，______，______，（2）请补全频数分布直方图；（3）若该校八年级共有2200名学生参加此次体育测试，估计该年级体育成绩不低于36分的学生人数是多ABCD AB CD =AB CD ∥AC DF AC ⊥AC BE DF =AB CD ∥BE AC ⊥DF AC ⊥90AEB CFD ∠=∠=︒ABE △CDF △______BAE DCF AB CD ∠=∠⎧⎪⎨⎪=⎩②()AAS ABE CDF ≌△△4350x ≤≤3643x ≤<2936x ≤<2229x ≤<a =b =c =少？23．（10分）如图，在和中，点C 在线段上，与交于点F ．若，，．（1）求证：；（2）若，，求的度数．24．（10分）“金秋墨彩庆华诞，笔落惊云书国魂．”为庆祝建国75周年，年级决定举行书法比赛，为奖励在比赛中表现优秀的同学，年级提前购买了甲、乙两种奖品。

2023-2024学年人教版八年级数学上册12章《全等三角形》单元检测卷及答案解析

2023-2024学年八年级数学上册12章《全等三角形》单元检测卷（满分120分）一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=()A.60°B.100°C.120°D.135°2.根据下列已知条件，能作出唯一的△ABC的是()A.AB=3，BC=4，CA=8B.AB=4，BC=3，∠A=60∘C.∠A=60∘，∠B=45∘，AB=4D.∠C=90∘，∠B=30∘，∠A=60∘3.下列说法正确的是()A.两个等边三角形一定是全等图形B.两个全等图形面积一定相等C.形状相同的两个图形一定全等D.两个正方形一定是全等图形4.如图，∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，可证明△ABC≌△BAD，可使用全等三角形的判定定理()A.SSSB.SASC.AASD.HL5.如图，AC=DC，BC=EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是()A.AB=DEB.∠ACB=∠DCEC.∠ACD=∠BCED.∠B=∠E6.如图，一个三角形玻璃被摔成三小块，现要到玻璃店再配一块同样大小的玻璃，最省事的方法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②去7.到三角形三边的距离相等的是()A.三条中线交点B.三条角平分线的交点C.三条高的交点D.三条中垂线的交点8.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ 的平分线.此角平分仪的画图原理是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS9.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出△COD≌△C′O′D′的依据是()A.SASB.AASC.ASAD.SSS10.如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC=180°，给出下列结论：①∠MAP=∠BCP；②PA=PC；③AB+BC=2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD 面积的2倍，其中结论正确的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（本大题共5小题，共15分）11.如图，△ABC≌△ADE，∠B=30∘，∠C=95∘，则∠EAD的度数为．12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AD平分∠BAC，若CD=3cm，则△ABD的面积为cm2．13.如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3=度．14.如图，D、C、F、B四点在同一条直线上，BC=DF，AC⊥BD于点C，EF⊥BD于点F，如果要添加一个条件，使△ABC≌△EDF，你添加的条件是(注：只需写出一个条件即可)．15.如图，MB//NC，∠MBC和∠NCB的平分线相交于点P，过点P作MB的垂线，交MB于点A，交NC于点D.若AD=10，则点P到BC的距离为，∠BPC=°．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16.(8分)如图，点C，E，B，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BF=CE.说明AC//DF．17.(8分)如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD.求证：EB=FC．18.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F．(1)如图 ①，过点A的直线与斜边BC不相交时，求证： ①△ABE≌△CAF; ②EF=BE+CF．(2)如图 ②，其他条件不变，过点A的直线与斜边BC相交时，若BE=10，CF=3，试求EF的长．19.(9分)下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程．已知：如图1，∠AOB．求作：射线OP，使它平分∠AOB．作法：如图2，①以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点P ；③作射线OP ．射线OP 就是∠AOB 的平分线．根据小明设计的尺规作图的过程，(1)使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接MP ，NP ．在△OMP 和△ONP 中，因为OP =OP OM =ON (ㅤㅤ)=(ㅤㅤ)所以△OMP≌△ONP ______(填推理的依据)．所以______(全等三角形的______相等)．即射线OP 平分∠AOB(角平分线定义)．20.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AC =2AB ，D 是AC 的中点.将一块锐角为45∘的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A ，D 重合，连接BE ，EC.试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并说明理由．21.(10分)如图，BD=CE，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE、CD交于点F．求证：点F在∠BAC的平分线上．22.(10分)如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，试说明：PM=PN．23.(11分)(1)特例探究：如图①，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上两点，∠EAF=45°，探究BE、EF、DF之间的数量关系．小明是这么思考的：延长FD，截取DG=BE.连接AG，易证△ADG≌△ABE，从而得到AG=AE，再由SAS证明△AGF≌△AEF，从而得出结论：________________________；(2)一般探究：如图②，四边形ABCD中，AD=AB，∠B与∠D互补，E、F分别是BC、CD上两点，且满足∠EAF=12∠BAD，探究BE、EF、DF之间的数量关系；(3)实际应用：如图③，四边形ABCD中，AB=AD，AC=6，∠DAB=∠DCB=90°，直接写出四边形ABCD的面积为________．答案1.【答案】C解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∵∠A=36°，∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−36°−24°=120°．故选：C．2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】C解：在△ABC和△BAD中，∠C=∠D∠ABC=∠BADAB=BA，∴△ABC≌△BAD(AAS)．故选：C．5.【答案】D解：A.AB=DE，AC=DC，BC=EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；B.AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；C.∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB，即∠ACB=∠DCE，AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；D.AC=DC，BC=EC，∠B=∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；故选：D．6.【答案】C7.【答案】B解：在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，故选：B ．8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】A解：过点P 作PK ⊥AB ，垂足为点K ．∵PK⊥AB ，PD ⊥BC ，∠ABP =∠CBP ，∴PK =PD ，在Rt △BPK 和Rt △BPD 中，BP =BP PK=PD ,∴Rt △BPK≌Rt △BPD(HL)，∴BK =BD ，∵∠APC +∠ABC =180°，且∠ABC +∠KPD =180°，∴∠KPD=∠APC ，∴∠APK =∠CPD ，又∵三角形内角和为180°，∴∠MAP =∠BCP ，故①正确，在△PAK 和△PCD 中，∠AKP=∠CDP PK =PD ∠APK =∠CPD ,∴△PAK≌△PCD(ASA)，∴AK =CD ，PA =PC ，故②正确，∴BK −AB =BC −BD ，∴BD −AB =BC −BD ，∴AB +BC =2BD ，故③正确，∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，∴S△BPK=S△BPD，S△APK=S△PDC，∴S四边形ABCP=S四边形KBDP=2S△PBD.故④正确．故选A．11.【答案】55∘12.【答案】15解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=3，∴△ABD的面积=12AB⋅DE=12×10×3=15．故答案为：15．13.【答案】135解：如图，在△ABC和△EDA中，AB=DE，BC=AD，AC=AE，∴△ABC≌△EDA(SSS)，∴∠1=∠DAE，则∠1+∠3=∠DAE+∠3=90°，∵△ADF是等腰直角三角形，∴∠2=45°，则∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°，故答案为135．14.【答案】AB=ED或∠B=∠D或DE//AB或∠A=∠E(答案不唯一)解：∵AC⊥BD于点C，EF⊥BD于点F，∴∠ACB=∠EFD=90°，∵BC=DF，∴根据HL，可以添加AB=ED，使得△ABC≌△EDF，根据ASA，可以添加∠B=∠D或DE//AB，使得△ABC≌△EDF，根据AAS，可以添加∠A=∠E，使得△ABC≌△EDF，故答案为：AB=ED或∠B=∠D或DE//AB或∠A=∠E.(答案不唯一) 15.【答案】59016.【答案】证明：∵CE=BF，∴CE+BE=BF+BE，即BC=EF，又∵AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE，∴AC//DF．17.【答案】证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD，在Rt△BDE与Rt△CDF中，BD=CDDE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴EB=FC．18.【答案】(1)证明： ①∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠CFA=90∘．∴∠EAB+∠EBA=90∘．∵∠BAC=90∘，∴∠EAB+∠FAC=90∘．∴∠EBA=∠FAC．在△ABE和△CAF中，∠AEB=∠CFA,∠EBA=∠FAC,AB=CA,∴△ABE≌△CAF(AAS)． ②由 ①知△ABE≌△CAF，∴AE=CF，BE=AF．∴EF =AF +AE =BE +CF ．(2)解：∵BE ⊥AF ，CF ⊥AF ，∴∠AEB =∠CFA =90∘．∴∠EAB +∠EBA =90∘．∵∠BAC =90∘，∴∠EAB +∠FAC =90∘．∴∠EBA =∠FAC ．在△ABE 和△CAF 中，{∠AEB =∠CFA,∠EBA =∠FAC,AB =AC,∴△ABE ≌△CAF(AAS)．∴AE =CF ，BE =AF ．∴EF =AF −AE =BE −CF =10−3=7．19.【答案】SSS ∠POM =∠PON 对应角解：(1)补全的图形如图所示；(2)证明：连接MP ，NP ．在△OMP 和△ONP 中，OP =OP OM =OM MP=NP ，∴△OMP≌△ONP(SSS)，故答案为：SSS ，∠POM =∠PON ，对应角．20.【答案】数量关系是BE =EC ，位置关系是BE ⊥EC ．理由：由题意可知∠AED =90∘，∠EAD =∠EDA =45∘，AE =DE ，所以∠EAB =∠EAD +∠BAC =45∘+90∘=135∘，∠EDC =180∘−∠EDA =180∘−45∘=135∘，所以∠EAB =∠EDC ．因为D 是AC 的中点，所以AD =CD =12AC ，又因为AC =2AB ，所以AB =AD =DC ．在△EAB 和△EDC 中，{AE=DE,∠EAB =∠EDC,AB =DC,所以△EAB ≌△EDC(SAS)．所以BE =EC ，∠AEB =∠DEC ．因为∠AED =∠AEB +∠BED =90∘，所以∠DEC +∠BED =90∘.所以BE ⊥EC ．21.【答案】证明：∵CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，∴∠FDB =∠FEC =90°，在△BDF 和△CEF 中，∠FDB =∠FEC =90°，∠BFD =∠CFE ，BD =CE ，∴△BDF≌△CEF(AAS)，∴FD =FE ．∴AF 平分∠BAC ．点F 在∠BAC 的平分线上．22.【答案】因为BD 为∠ABC 的平分线，所以∠ABD =∠CBD ．在△ABD 和△CBD 中，AB =BC,∠ABD =∠CBD,BD =BD,所以△ABD ≌△CBD(SAS).所以∠ADB =∠CDB ．又因为点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，所以PM =PN ．23.【答案】解：(1)EF =BE +DF ．(2)如图②，延长CB 至G ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠ABC+∠D =180°，∠ABC +∠ABG =180°，∴∠ABG =∠D ．又∵BG =DF ，AD =AB ，∴△ADF≌△ABG(SAS)．∴∠DAF =∠BAG ，AF =AG ．∴∠FAG =∠DAB ．又∵∠EAF=12∠DAB，∴∠EAF=12∠FAG．∴∠EAF=∠EAG．又∵AG=AF，AE=AE，∴△GAE≌△FAE(SAS)．∴GE=EF，即BE+DF=EF．(3)18．ACD≌△AEB，得到S四边形ABCD=S△ACE=18．【解答】解：(1)结论：EF=BE+DF⋅理由如下：延长FD到点G使DG=BE，连接AG，如图①中，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90∘，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠ABE=∠ADG,BE=DG∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠GAD，AE=AG，∴∠GAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90∘−45∘=45∘，在△AEF和△AGF中GA=EA∠GAF=∠EAF,AF=AF∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=GF;∴EF=GD+DF=BE+EF;(2)见答案．(3)如图③，延长CB，截取BE=CD，连接AE，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ABE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABE，在△ADC和△ABE中{AD=AB∠ADC=∠ABE,DC=BE∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE=6，∠DAC=∠BAE，∴∠DAB=∠CAE=90°，∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△ACE=18．。

2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级(下)期末数学试卷及答案解析.

2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）下列四个数中，最小的数是（）A．B．0C．﹣0.5D．﹣π2．（4分）下列调查中，适合采用抽样调查的是（）A．旅客上飞机前的安检B．对“长征五号”遥八运载火箭零部件的检查C．调查我校初一某班的身高情况D．日光灯管厂要检测一批护眼灯管的使用寿命3．（4分）如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF，若BC＝7，CE＝3，则平移的距离为（）A．2B．8C．4D．54．（4分）已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．﹣3a＞﹣3b B．a+3＞b+3C．a+2＞b+2D．5．（4分）如图，数学课上老师布置了“测量酸奶瓶内部底面的内径”的探究任务，小熙想到了以下方案：如图，用图钉将两根吸管AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（）A．边边边B．全等三角形的对应角相等C．边角边D．三角形的稳定性6．（4分）估算的值（）A．在0到1之间B．在1到2之间C．在2到3之间D．在3到4之间7．（4分）如图，长方形的两个顶点在正五边形的边上，若∠1＝42°，则∠2的大小为（）A．12°B．24°C．42°D．48°8．（4分）下列命题是真命题的是（）A．两直线平行，同旁内角相等B．两边和一角相等的两个三角形全等C．三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等D．两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行9．（4分）如图，在△ABC中，点D在AC上，△ABD沿BD翻折到△EBD，且DE∥BC，若∠C＝70°，则∠DBC的度数为（）A．70°B．65°C．55°D．50°10．（4分）我国古典数学文献《算法统宗》中有一个“听客分银”的问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多4两，九两分之少半斤”其大意为：隔着墙听见客人在分银子，按每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两（这里半斤等于8两），设有客x人，银有y两，根据题意列方程组为（）A．B．C．D．11．（4分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D是AB上，点E在BC上，CE＝DE，∠C+∠ADE＝180°，若BD＝3，AC＝8，则AD的长为（）A．B．2C．D．312．（4分）对于两个多项式，若，满足下列两种情形之一：（1）a1≠0，a2＝0；（2）a1＝a2，b1＞b2；则称多项式P为“较大”多项式，多项式Q为“较小”多项式．对于两个多项式和，若将A1和A2中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作A3，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对A2和A3进行“优选作差”操作得到A4，……，以此类推，经过n次操作后得到的序列A1，A2，A3，…A n称为“优选作差”序列{A n}．现对，进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列{A n}，则下列说法：①A2025＝x+1；②；③当n＝2025时，“优选作差”序列{A n}中满足A k﹣A k+1＝A k+2的正整数k有1348个．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）13．（4分）4的平方根是．14．（4分）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（2﹣m，5），点Q的坐标为（8，2﹣3m），且PQ∥x轴，则PQ＝．15．（4分）已知一个等腰三角形的两边a，b满足|6﹣b|+（3a+b﹣12）2＝0，则此三角形周长为．16．（4分）已知方程组的解x，y满足y﹣3x＝3，则m＝．17．（4分）在图，在△ABC中，点D为BC中点，连接AD．点E为AB上一点，连接CE交AD于F．若CF＝3EF，S△AEF＝2，则S△ABC＝．18．（4分）若关于x的不等式组有且只有2个奇数解，且关于y的方程解为整数．则符合条件的所有整数a的和为．19．（4分）如图，点D是△ABC外一点，DB＝DC，连接DA，∠BDC＝∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，AB＝10，AC＝4，则AE＝．20．（4分）如果A与B均为两位自然数，A的十位数字比B的十位数字大1，A与B的个位数字之和为6，记A×B＝M，则称M为A与B的“六顺数”，例如32与24，32的十位数字比24的十位数字大1，个位数字之和为6，32×24＝768，故三位自然数768是32与24的“六顺数”．已知2268为A与B的“六顺数”，则A﹣B＝，若M为A与B的“六顺数”，规定：P（M）＝A+B，Q（M）＝A﹣2B，，已知G（M）能被7整除，则符合条件的M为．三、解答题（本大题7个小题，共70分）21．（10分）解二元一次方程组．（1）；（2）．22．（10分）（1）解不等式：2x﹣1＜3x+2，并将解集表示在下列数轴上．（2）解不等式组：．23．（10分）6月2日，中国航天又创造了一个新的历史时刻——嫦娥六号探测器成功着陆在月球背面的神秘领域，并采集两公斤珍贵的月壤样品．这一壮举不仅是中国航天事业的重大突破，也将为人类对月球奥秘的探索带来全新的启示．学校准备调查七年级学生对“嫦娥探月工程”有关知识的了解程度．设定“非常了解/A”“比较了解/B”，“了解一点/C”，“不了解/D”四个了解程度项进行调查．（1）在确定调查方案时，小明同学设计了三种方案：方案一：调查七年级的部分女生；方案二：调查七年级的部分男生；方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生．请问其中最有代表性的一个方案是．（2）小明采用了最有代表性的方案，用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，完成下列任务：①补全条形统计图；②求扇形统计图中m，n的值；（3）学校七年级共有2300人，求“比较了解”的学生大约有多少人？24．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，BD为对角线．（1）尺规作图：在线段BD上找一点E，使得∠DCE＝∠ADB；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）条件下，若BD＝CD，求证：AD＝CE．25．（10分）今年1月份，我校初一年级举行了“巧手匠心，数我最行”制作新年礼物盒的活动，某班用若干张完全相同的正方形纸板进行裁剪，已知每张正方形纸板可裁剪为如图1中两种样式中的一种（样式一、二裁剪的小长方形与小正方形是完全相同的）用裁剪下来的小长方形与小正方形做成如图2所示的横式与竖式的无盖新年礼物盒，图3分别是两类新年礼物盒的一种展开图．（1）该班甲组同学们计划制作横式与竖式的新年礼物盒各12个，甲组同学需要按照样式一和样式二各裁剪多少张正方形纸板才能恰好完成计划；（2）该班乙组同学们计划制作横式与竖式的新年礼物盒共33个，现同学们已经将20张正方形纸板按样式一裁剪，5张正方形纸板按样式二裁剪，根据已裁剪的材料乙组同学有多少种制作方案．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且满足，AB＝5．（1）如图1，将线段AB平移至A1B1，点A的对应点为A1（﹣6，4），连接AA1、AB1．①点B1的坐标为；②求△AA1B1面积是多少？（2）如图2，点，MN⊥y轴于N，点P以每秒个单位长度的速度从B出发向A运动，同时另一动点Q以每秒1个单位长度的速度从M出发，在射线MA上运动，当点P运动到A时两点都＝3S△AQN时，求运动时间t的值（单位：秒）．停止运动，当S△BPO27．（10分）如图1，在△ABC中，点D、E在BC边上，连接AD、AE，满足AD＝BD＝CE，且∠ABD＝∠BAD＝45°，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若EF平分∠AEB，∠DEA＝4∠DAE，求∠AGF的度数；（2）如图2，若EF∥AC，连接DF，证明：∠AFE＝∠BFD；（3）在（2）的条件下，如图3，BQ⊥DF于点Q，点M、N在边AC上，且AM＝CN，连接DM、DN，已知AD＝10，DQ＝6，BQ＝8，，直接写出DM+DN的最小值．2023-2024学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1．【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小进行比较，即可得出结果．【解答】解：∵|﹣0.5|＝0.5，|﹣π|＝π，又∵正数大于0，0大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小，∴四个数中最小的数是﹣π，故选：D．【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握“正数大于0，0大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小”是解决问题的关键．2．【分析】选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．【解答】解：A、对乘坐某班次飞机的乘客进行安检，是事关重大的调查往，适合普查，故A不符合题意；B、保证载人航天器成功发射，对其零部件进行检查，精确度要求高，适合普查，故B不符合题意；C、调查我校初一某班的身高情况，适合普查，故C不符合题意；D、调查日光灯管厂要检测一批护眼灯管的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3．【分析】根据对应点B、E之间的距离即为平移距离解答．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，∴平移的距离为BE的长度是7﹣3＝4．故选：C．【点评】本题考查了平移的性质，熟记性质并理解平移距离的表示是解题的关键．4．【分析】根据不等式的性质解答即可．【解答】解：A、不等式a＜b的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项符合题意；B、不等式a＜b的两边都加上3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；C、不等式a＜b的两边都加上2，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；D、不等式a＜b的两边都除以5，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．5．【分析】根据SAS公理解答即可．【解答】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB＝CD，∴此方案依据判断三角形全等的SAS公理，故选：C．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握SAS公理是解题的关键．6．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而估算4﹣的大小即可．【解答】解：∵22＝4，32＝9，而4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜4﹣＜2，故选：B．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．7．【分析】由正五边形的内角的性质可得∠E＝108°，由矩形的性质可得∠BAD＝90°，即可求解．【解答】解：如图，∵∠E是正五边形的内角，∴∠E＝108°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠1+∠BAD+∠BAE＝∠BAE+∠2+∠E，∴42°+90°＝∠2+108°，∴∠2＝24°，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，正多边形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．8．【分析】根据平行线的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、两边及其夹角相等的两个三角形全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；D、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．【分析】由折叠的性质得到∠E＝∠A，∠ABD＝∠EBD，由平行线的性质推出∠E＝∠CBE，由三角形外角的性质得到∠CDB＝∠A+∠ABD，而∠CBD＝∠CBE+∠EBD，因此∠CDB＝∠CBD，由三角形内角和定理即可求出∠DBC的度数．【解答】解：由折叠的性质得到∠E＝∠A，∠ABD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠E＝∠CBE，∴∠CBE＝∠A，∵∠CDB＝∠A+∠ABD，∠CBD＝∠CBE+∠EBD，∴∠CDB＝∠CBD，∵∠C＝70°，∴∠DBC＝×（180°﹣70°）＝55°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是由折叠的性质得到∠E＝∠A，∠ABD＝∠EBD，由平行线的性质推出∠E＝∠CBE，判定∠CDB＝∠CBD．10．【分析】根据“如果每人7两分银子，余下4两；按每人9两分银子，又缺8两”，即可列出关于x，y 的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵如果每人分七两，则剩余四两，∴y＝7x+4；∵如果每人分九两，则还缺八两，∴y＝9x﹣8．∴根据题意可列出方程组．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．【分析】过点E作EF⊥AC，连接AE，先证明△DBE≌△CFE，得到CF＝BD，求出AF的长，再证明△AFE≌△ABE，得到AF＝AB，进而求出AD的长即可．【解答】解：过点E作EF⊥AC，连接AE，则：∠CFE＝∠AFE＝90°∵∠C+∠ADE＝180°，∠ADE+∠EDB＝180°，∴∠C＝∠EDB，在△DBE和△CFE中，，∴△DBE≌△CFE（AAS），∴CF＝BD＝3，EF＝BE，∴AF＝AC﹣CF＝5，在Rt△AFE和Rt△ABE中，，∴△AFE≌△ABE（HL），∴AB＝AF＝5，∴AD＝AB﹣BD＝2；故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．12．【分析】根据题意列出A1到A10的值，找出值为x+1的规律，即可判断①，计算A1+A2+••••••+A10＝7x2﹣6x﹣13，即可判断②，找出A k﹣A k+1≠A k+2的k的值，根据规律计算k的个数，即可判断③．【解答】解：∵，，∴A3＝A2﹣A1＝x+1，，，A6＝A4﹣A5＝x+1，，，A9＝A7﹣A8＝x+1，，∴得A3，A6，A9的多项式为x+1，∴A3m＝x+1（m＝1，2，3，……），①∵2025÷3＝675，∴当A2025＝x+1，故①正确；②∵A1+A2+…+A10＝x2﹣1+x2+x+x+1+x2﹣1+x2﹣x﹣2+x+1+x2﹣2x﹣3+x2﹣3x﹣4+x+1+x2﹣4x﹣5＝7x2﹣6x﹣13，故②正确；③当k＝1时，＝x2﹣1﹣x2﹣x＝﹣1﹣x≠A3；当k＝2时，+x﹣x﹣1＝x2﹣1＝A4；当k＝3时，＝﹣x2+x+2≠A5；当k＝4时，（x2﹣x﹣2）＝x2﹣1﹣x2+x+2＝x+1＝A6；当k＝5时，＝x2﹣2x﹣3＝A7；当k＝6时，＝x+1﹣x2+2x+3＝﹣x2+3x+4≠A8；当k＝7时，A7﹣A8＝x2﹣2x﹣3﹣（x2﹣3x﹣4）＝x2﹣2x﹣3﹣x2+3x+4＝x+1＝A9；当k＝8时，＝x2﹣3x﹣4﹣x﹣1＝x2﹣4x﹣5＝A10；当k＝9时，＝x+1﹣x2+4x+5＝﹣x2+5x+6≠A11，∴当k＝1时，A1﹣A2≠A3，当k＝3，6，9，……时，A k﹣A k+1≠A k+2，当k+2＝2025时，k＝2023，∵2023÷3＝674……1，∴674+1＝675，∴在序列{A n}中，共有675个k的值使得A k﹣A k+1≠A k+2，∴在序列{A n}中，有2023﹣675＝1348（个）k值，使得A k﹣A k+1＝A k+2．故③正确，综上所述，正确的个数有①②③三个．故选：D．【点评】本题考查了整式的加减，新定义，数字的规律探索，解题的关键是找到满足条件的规律．二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）13．【分析】根据平方根的知识得出结论即可．【解答】解：4的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题主要考查平方根的计算，熟练掌握平方根的计算方法是解题的关键．14．【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．【解答】解：因为点P的坐标为（2﹣m，5），点Q的坐标为（8，2﹣3m），且PQ∥x轴，所以2﹣3m＝5，解得m＝﹣1，所以2﹣m＝2﹣（﹣1）＝3，则点P的坐标为（3，5），点Q的坐标为（8，5），所以PQ＝8﹣3＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．15．【分析】绝对值和偶次方相加为0，那么绝对值里面的数和被平方的数就为0，从而得到关于a，b的方程组，从而可求出a，b的值．【解答】解：∵|6﹣b|+（3a+b﹣12）2＝0，∴，∴，当a＝2为底时，腰长为6，6，能组成三角形，当b＝6为底时，腰长为2，2，不满足三角形构造条件，舍去．故周长为：6+6+2＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，非负数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．16．【分析】直接利用已知将两方程相加，进而得出等式求出答案．【解答】解：，则①﹣②得：y﹣3x＝m﹣1，∵y﹣3x＝3，∴m﹣1＝3，解得：m＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，正确将原式变形是解题关键．17．【分析】根据△AEF和△ACF等高，得出△ACF的面积＝6，S△DEF＝x，则S△DCF＝3x，得出S△BDE＝S ＝4x，S△ABD＝S△ACD，再根据S△ABD＝S△AEF+S△DEF+S△BDE＝2+x+4x＝2+5x，S△ACD＝S△ACF+S△DCF △CDE＝6+3x，得出x＝2，从而得出△ABC的面积．【解答】解：连接DE，＝2，∵CF＝3EF，S△AEF＝6，∴S△ACF＝x，则S△DCF＝3x，设S△DEF＝4x，∴S△CDE∵点D为BC中点，＝S△CDE＝4x，S△ABD＝S△ACD，∴S△BDE＝S△AEF+S△DEF+S△BDE＝2+x+4x＝2+5x，S△ACD＝S△ACF+S△DCF＝6+3x，∵S△ABD∴2+5x＝6+3x，∴x＝2，＝S△ABD+S△ACD＝2+5x+6+3x＝8x+8＝24，∴S△ABC故答案为：24．【点评】本题考查了三角形的面积，掌握两个三角形的高相等，面积之比等于底之比是解题的关键．18．【分析】先求出不等式组的解集，根据一元一次不等式组的整数解得出关于a的范围，求出a的值，再求出方程的解，根据方程的解为整数得出答案即可．【解答】解：解关于x的不等式组得：，∴＜x＜，∵关于x的不等式组有且只有2个奇数解，1，3，∴﹣1≤＜1，解得：﹣4≤a＜2，解关于y的方程得：y＝方程的解为整数，∴11﹣3a是2的倍数，当a＝﹣3时，y＝2；当a＝﹣1时，y＝7；当a＝1时，y＝4．符合条件的整数a的和为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次方程，能求出a的范围是解此题的关键．19．【分析】作DF⊥AC于F，先得△EBD≌△FCD（AAS），再得△AED≌△AFD（HL），得AE＝AF，得10﹣4＝AB﹣AC＝（BE+AE）﹣（CF﹣AF）＝AE+AF＝2AE，即可得AE＝3．【解答】解：作DF⊥AC于F，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠EBD＝∠FCD，∵DB＝DC，DE⊥AB，∴△EBD≌△FCD（AAS），∴DE＝DF，∵∠AED＝∠AFD，DA＝DA，∴△AED≌△AFD（HL），∴AE＝AF，∴10﹣4＝AB﹣AC＝（BE+AE）﹣（CF﹣AF）＝AE+AF＝2AE，∴AE＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线．20．【分析】根据“六顺数”的定义，结合2268＝54×42，得到A＝54，B＝42，相减后即可得出结果；设B＝10x+y，则A＝10（x+1）+6﹣y＝10x﹣y+16，分别表述出P（M），Q（M），根据G（M）＝能被7整除，求出满足条件的x，y的值，即可得出结果．【解答】解：∵268＝54×42，∴A＝54，B＝42，∴A﹣B＝54﹣42＝12；设B＝10x+y，则A＝10（x+1）+6﹣y＝10x﹣y+16（1≤x≤8，0≤y≤6，且x，y为整数），∴P（M）＝A+B＝20x+16，Q（M）＝A﹣2B＝10x﹣y+16﹣20x﹣2y＝﹣10x﹣3y+16，∴G（M）＝＝，∵G（M）能被7整除，∴＝7k（k为整数），∴20x+16＝14x+14+6x+2能被7整除，∴6x+2能被7整除，∴x＝2或x＝9，当x＝2时，﹣10x﹣3y+16＝﹣3y﹣4，∴，∴k（3y+4）＝8，∴3y+4＝1，2，4，8，∴整数y＝0；∴A＝36，B＝20，∴M＝36×20＝720，当x＝9时，﹣10x﹣3y+16＝﹣3y﹣74，∴＝7k，不满足题意舍去．故答案为：12，720．【点评】本题考查整式的加减运算与列代数式，理解“六顺数”的定义是解题的关键．三、解答题（本大题7个小题，共70分）21．【分析】（1）利用加减法解答即可求解；（2）先化简方程组，再利用加减法解答即可求解；本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．【解答】解：（1），①×2+②得，7x＝21，∴x＝3，把x＝3代入①得，6﹣y＝8，∴y＝﹣2，∴方程组的解为；（2）解：方程组化简得，，①+②×7得，27x＝﹣27，∴x＝﹣1，把x＝﹣1代入②得，﹣3+y＝﹣5，∴y＝﹣2，∴方程组的解为．【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．22．【分析】（1）先按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可；（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）2x﹣1＜3x+2移项得：2x﹣3x＜2+1，合并同类项得：﹣x＜3，系数化为1得：x＞﹣3，数轴表示如下所示：（2），解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＜﹣2，不等式组的解集为x＜﹣2．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23．【分析】（1）根据样本的代表性、普遍性进行判断即可；（2）①根据各组的频数即可补全条形统计图；②求出样本中“了解程度为A”，“了解程度为A“”的学生所占的百分比即可；（3）求出样本中“比较了解”的学生所占的百分比，估计总体中“比较了解”的学生所占的百分比，由频率＝进行计算即可．【解答】解：（1）根据样本的代表性、普遍性可知，方案三符合题意，故答案为：方案三；（2）①补全条形统计图如图所示：②样本中“了解程度为A”的学生所占的百分比为8÷（8+12+16+4）×100%＝20%，即n＝20，样本中“了解程度为B”的学生所占的百分比为12÷（8+12+16+4）×100%＝30%，即m＝30，答：m＝30，n＝20；（3）2300×30%＝690（人），答：学校七年级2300名学生中“比较了解”的学生大约有690人．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率＝是正确解答的关键．24．【分析】（1）作∠DCE＝∠ADB，交BD于点E，即点E为所求图形；（2）由“ASA”可证△ABD≌△EDC，可得AD＝CE．【解答】（1）解：如图所示：点E为所求图形；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，又∵∠ADB＝∠DCE，BD＝CD，∴△ABD≌△EDC（ASA），∴AD＝CE．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．【分析】（1）设甲组同学需要按照样式一裁剪x张正方形纸板，按照样式二裁剪y张正方形纸板，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设该班乙组同学们计划制作横式的新年礼物盒m个，则制作竖式的新年礼物盒（33﹣m）个，根据题意列出一元一次不等式组求解即可．【解答】解：（1）设甲组同学需要按照样式一裁剪x张正方形纸板，按照样式二裁剪y张正方形纸板，根据题意得，，解得，∴甲组同学需要按照样式一裁剪15张正方形纸板，按照样式二裁剪3张正方形纸板；（2）设该班乙组同学们计划制作横式的新年礼物盒m个，则制作竖式的新年礼物盒（33﹣m）个，根据题意得，，解得17≤m≤22，∵m是正整数m＝17，18，19，20，21，22，乙组同学有6种制作方案．【点评】此题考查了剪纸问题，二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，几何体的展开图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．26．【分析】（1）根据算术平方根、绝对值的非负性求出a、b的值，确定点A，点B的坐标，再根据平移的规律得到点A1，点B1的坐标，由坐标得到线段的长，根据各个部分面积之间的关系进行计算即可；＝3S△AQN，列方程求解（2）用含有t的代数式表示PF，AQ，再根据三角形面积的计算方法以及S△BPO 即可．【解答】解：（1）①∵+|3﹣b|＝0，且≥0，|3﹣b|≥0，∴a+4＝0，3﹣b＝0，解得a＝﹣4，b＝3，∴点A（﹣4，0），点B（0，3），∵将点A（﹣4，0）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到A1（﹣6，4），∴点B（0，3）也先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到B1（﹣2，7），故答案为：（﹣2，7）；②如图1，过点A1作A1D⊥x轴于点D，过点B1作B1E⊥x轴于点E，则A1D＝4，B1E＝7，DE＝|﹣2﹣（﹣6）|＝4，∴△AA1B1面积S＝（4+7）×4﹣×2×4﹣×2×7＝22﹣4﹣7＝11，答：△AA1B1面积是11；（2）如图2，过点P作PF⊥y轴于点F，则BP＝t，∵△BPF∽△BAO，∴＝＝，即＝＝，∴PF＝BP＝t，∴S△BOP由题意可得MQ＝t，∴AQ＝|t﹣|，＝×4×|t﹣|＝2|t﹣|，∴S△AOQ＝3S△AQN，∵S△BPO∴t＝6|t﹣|，解得t＝或t＝．【点评】本题考查算术平方根，绝对值的非负性，平移的性质，掌握平移的性质，理解算术平方根、绝对值的非负性是正确解答的关键．27．【分析】（1）由∠ABD＝∠BAD＝45°，根据三角形内角和定理，得到∠BDA＝90°，由∠DEA＝4∠DAE，在△ADE中，根据三角形内角和定理，求出∠DAE＝18°，∠DEA＝72°，由EF平分∠AEB，在△GDE中，根据三角形内角和定理，即可求解，（2）EG∥AB，由EF∥AC，EG∥AB，根据平行线的性质，得到∠FEA＝∠GAE，∠FAE＝∠GEA，结合AE＝EA，得到△FEA≌△GAE（ASA），FA＝GE，结合∠GEC＝∠BAD，AD＝EC，得到△FAD≌△GEC（SAS），∠FDA＝∠C，在△FBD和△FBE根据三角形内角和定理，得到∠BFD＝45°+∠C，∠AFE＝45°+∠C，即可求解，（3）作AC′⊥AD，AC′＝DC，作AH⊥DF，由∠QBD+∠BDQ＝90°，∠GDA+∠BDQ＝90°，得到∠QBD＝∠HDA，结合∠BQD＝∠DHA＝90°，BD＝DA，得到△QBD≌△HDA（AAS），DQ＝AH ＝S△FBD+S△FDA，，，，得到，＝6，根据S△ABD由（2）得，，，由△∠C′AD≌△CDA（SAS），得到，由△∠C′AM≌△DCN（SAS），得到C′M＝DN，在△DMC′中，根据三边关系得到DM+C′M≥DC′，即可求解，【解答】解：（1）∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∠ABD+∠BAD+∠BDA＝180°，∴∠ADE＝180°﹣90°＝90°，∵∠DEA＝4∠DAE，∴设∠DAE＝α，则∠DEA＝4∠DAE＝4α，∴即：90°+α+4α＝180°，解得：α＝18°，∴∠DAE＝α＝18°，∠DEA＝4α＝4×18°＝72°，∵EF平分∠AEB，∴，∴∠AGF＝∠DGE＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC＝180°﹣90°﹣36°＝54°，故答案为：54°，（2）作EG∥AB，交AC于点G，∵EF∥AC，EG∥AB，∴∠FEA＝∠GAE，∠FAE＝∠GEA，又∵AE＝EA，∴△FEA≌△GAE（ASA），∴FA＝GE，FE＝AG，∵EG∥AB，∴∠GEC＝∠ABD＝∠BAD＝45°，又∵AD＝EC，∴△FAD≌△GEC（SAS），∴∠FDA＝∠C，FD＝GC，∵∠BFD+∠ABD+∠BDF＝∠BFD+45°+90°﹣∠FDA＝∠BFD+45°+90°﹣∠C＝180°，∴∠BFD＝45°+∠C，∵EF∥AC，∴∠FEB＝∠C，∴∠AFE＝45°+∠C，∴∠AFE＝∠BFD，（3）作AC′⊥AD，AC′＝DC，连接MC′，作AH⊥DF交DF延长线于点H，∵BQ⊥DF，∠BDA＝90°，∴∠QBD+∠BDQ＝90°，∠GDA+∠BDQ＝90°，∴∠QBD＝∠HDA，又∵∠BQD＝∠DHA＝90°，BD＝DA，∴△QBD≌△HDA（AAS），∴DQ＝AH＝6，＝S△FBD+S△FDA，，，∵S△ABD，∴50＝4FD+3FD，解得：，由（2）得，，∴，∵AC′＝DC，∠C′AD＝∠CDA＝90°，AD＝DA，∴△∠C′AD≌△CDA（SAS），∴，∵AC′∥DC，∴∠C′AC＝∠ACD，又∵AC′＝DC，AM＝CN，∴△∠C′AM≌△DCN（SAS），∴C′M＝DN，∵DM+C′M≥DC′，∴，故答案为：．【点评】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形。

重庆巴川中学数学全等三角形单元复习练习(Word版含答案)

重庆巴川中学数学全等三角形单元复习练习(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，12），且△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．【答案】-83．【解析】【分析】先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝132，故可得出a的值．【详解】∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，∴223+213AB＝＝，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴1113•1313222 ABCS AB AC⨯⨯＝＝＝，作PE⊥x轴于E，连接OP，此时BE＝2﹣a，∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，∴111•••222 ABP POA AOB BOPS S S S OA OE OB OA OB PE ++＝﹣＝﹣，111113332222222a⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＝（﹣）﹣＝，解得a＝﹣83．故答案为﹣83．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程．2．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=1B′E=BE=2，DF=23,2∴GD=B′F=2，∴B′G=DF=23，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.3．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.4．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】 ∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠ ∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．5．如图,在ABC 中, 90,ACB ABD ︒∠=是ABC 的轴对称图形,点E 在AD 上,点F 在AC 的延长线上.若点B 恰好在EF 的垂直平分线上,并且5AE =,13AF =,则DE =______．【答案】4．【解析】【分析】连接BE ，BF ，根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ，进而可得DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ，然后可得ED 长．【详解】解：连接BE ，BF ，∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形，∴△ABD ≌△ACB ，∴DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，∴∠BCF=90°，∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上，∴BE=BF ，在Rt △DBE 和Rt △CBF 中BD BC EB FB =⎧⎨=⎩，∴Rt △DBE ≌Rt △CBF （HL ），∴DE=CF ，设DE=x ，则CF=x ，∵AE=5，AF=13，∴AC=AD=5+x ，∴AF=5+2x ，∴5+2x=13，∴x=4，∴DE=4，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 的延长线上，G 是AC 上一点，且CG ＝CD ，F 是GD 上一点，且DF ＝DE ．若∠A ＝100°，则∠E 的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE ，CG=CD 可得∠E=∠DFE ，∠CDG=∠CGD ，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E ，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G ，进而可得∠ACB=4∠E ，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF＝DE，CG＝CD，∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD，∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG，∴∠ACB＝4∠E，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝40°，∴∠E＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.7．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．【详解】延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：∵M 为EF 中点，∴ME ＝MF ，在△BME 和△GMF 中，BM MG BME GMFME MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BME ≌△GMF （SAS ），∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，∴FG ∥BE ，∴∠C ＝∠GFC ，∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，∴∠A ＝∠DFG ，∵AB ＝BE ，∴AB ＝FG ，在△DAB 和△DFG 中，AB FG A DFGAD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△DFG （SAS ），∴DB ＝DG ，S △DAB ＝S △DFG ，∵MG ＝BM ，∴DM ⊥BM ，∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝12×BG ×DM ＝12×8×3＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．8．如图，∠AOB ＝45°，点M 、点C 在射线OA 上，点P 、点D 在射线OB 上，且OD ＝，则CP +PM +DM 的最小值是_____．【答案】34．【解析】【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．【详解】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，则C′T＝OT＝2，∴D′T＝42，∴C′D′＝34，∴CP+PM+DM的最小值是34．故答案为：34．【点睛】本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是______________．【答案】2018180 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，∴∠BA1C=°180-2B∠=80°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°；同理可得∠EA3A2=（12）2×80°，∠FA4A3=（12）3×80°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（12）n-1×80°．∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（12）2018×80°，故答案为：（12）2018×80°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．10．已知，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=a ，则△A 7B 7A 8的边长为______．【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A 2B 2=2B 1A 2，进而得出A 3B 3=4B 1A 2=4a ，A 4B 4=8B 1A 2=8a ，A 5B 5=16B 1A 2…从而得到答案．【详解】∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．∵∠MON =30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．∵∠MON =∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=a ，∴A 2B 1=a ．∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4a ，A 4B 4=8B 1A 2=8a ，A 5B 5=16B 1A 2=16a ，以此类推：A 7B 7=64B 1A 2=64a ．故答案为：64a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB ，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=（）A ．102aB ．92aC ．20aD ．18a 【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论．【详解】解：1212B A B B =，11A B O α∠=，2212A B O α∴∠=，同理332111222A B O αα∠=⨯=， 44312A B O α∠=， 112n n n A B O α-∴∠=， 101092A B O α∴∠=，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．12．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若△ADC 的周长为14，BC=8，则AC 的长为A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】根据题意可得MN是直线AB的中点，所以可得AD=BD，BC=BD+CD，而△ADC为AC+CD+AD=14，即AC+CD+BD=14，因此可得AC+BC=14，已知BC即可求出AC.【详解】∴=根据题意可得MN是直线AB的中点AD BD++=AC CD ADADC的周长为14∴++=AC CD BD14=+BC BD CD∴+14AC BC=BD=已知8∴=，故选BAC6【点睛】本题主要考查几何中的等量替换，关键在于MN是直线AB的中点，这样所有的问题就解决了.⨯的正方形网格中，A，B是如图所示的两个格点，如果C也是格点，且13．在一个33ABC是等腰三角形，则符合条件的C点的个数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】【分析】根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案.【详解】解：根据题意，画出图形如图：共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.14．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°【答案】B【解析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH．∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°．∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°．∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．故选B．15．如图，ABC ∆中，AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，过D 作DE AC ⊥于点E ，若10AC =，4CB =，则AE =（）A ．7B ．6C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】连接BD 、AD,过点D 作DF ⊥CB 于点F ，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD ，DE=DF ，依据HL 定理可判断出Rt △AED ≌Rt △BFD ，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE ，再运用AAS 定理可证得Rt △CED ≌Rt △CFD ，证出CE=CF ，设AE 的长度为x ，根据CE=CF 列方程求解即可．【详解】如图, 连接BD 、AD,过点D 作DF⊥CB 于点F.∵AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，DE⊥AC，DF⊥BC，∴BD=AD，DE=DF ．∴Rt△AED≌Rt△BFD．∴BF=AE．又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA ，∴Rt△CED≌Rt△CFD，∴CE=CF，设AE 的长度为x ，则CE=10-x ，CF=CB ＋BF= CB ＋AE= 4＋x,∴可列方程10-x=4＋x ，x=3，∴A E=3；故选C.【点睛】本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．16．如图，Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 和BAC ∠的外角平分线AD 相交于点P ，分别交AC 和BC 的延长线于E ，D .过P 作PF AD ⊥交AC 的延长线于点H ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 交DH 于点G .下列结论：①45APB ∠=︒；②PB 垂直平分AF ；③BD AH AB -=；④2DG PA GH =+；其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】 ①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP ，再根据角平分线的定义∠ABP ＝12∠ABC ，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB ＝∠FPB ，再利用“角边角”证明△ABP 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相等得到AB ＝BF ，AP ＝PF ；③根据直角的关系求出∠AHP ＝∠FDP ，然后利用“角角边”证明△AHP 与△FDP 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF ＝AH ；④求出∠ADG ＝∠DAG ＝45°，再根据等角对等边可得DG ＝AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH ＝GF ，然后根据2PA 即可得到2DG PA GH =+. 【详解】解：①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线，∴∠ABP ＝12∠ABC ， ∠CAP ＝12（90°＋∠ABC ）＝45°＋12∠ABC ，在△ABP 中，∠APB ＝180°−∠BAP−∠ABP ，＝180°−（45°＋12∠ABC ＋90°−∠ABC ）−12∠ABC ，＝180°−45°−12∠ABC−90°＋∠ABC−12∠ABC ，＝45°，故本小题正确；②∵PF ⊥AD ，∠APB ＝45°（已证），∴∠APB ＝∠FPB ＝45°，∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP ＝∠FBP ，在△ABP 和△FBP 中， APB FPB PB PBABP FBP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB ＝BF ，AP ＝PF ；∴PB 垂直平分AF ，故②正确；③∵∠ACB ＝90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP ＋∠HAP ＝90°，∠AHP ＋∠HAP ＝90°，∴∠AHP ＝∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH ＝∠FPD ＝90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF ＝AH ，∵BD ＝DF ＋BF ，∴BD ＝AH ＋AB ，∴BD−AH ＝AB ，故③小题正确；④∵AP ＝PF ，PF ⊥AD ，∴∠PAF ＝45°，∴∠ADG ＝∠DAG ＝45°，∴DG ＝AG ，∵∠PAF ＝45°，AG ⊥DH ，∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，∴DG ＝AG ，GH ＝GF ，∴DG ＝GH ＋AF ，∴故DG GH =+.综上所述①②③④正确．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．17．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于G点，交AC于F点，且EG＝AE，分别延长CE，BG交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG则下列说法：①∠GDH＝45°；②GD＝ED；③EF＝2DM；④CG＝2DE+AE，正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】首先证明△AEC≌△GEC（SAS），推出CA=CG，∠A=∠CGE=45°，推出DE=DG，故②正确；再证明△EDC≌△GDB，推出∠CED=∠BGD，ED=GD，由三角形外角的性质得出∠HDG=∠HDE，进而得出∠GDH=∠EDH=45°，即可判断①正确；通过证明△EDC和△EMD是等腰直角三角形，得到ED2MD，再通过证明△EFC≌△EDC，得到EF=ED，从而可判断③错误；由CG=CD+DG，CD=AD，ED=GD，变形即可判断④正确．【详解】∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，CD=AD=DB，∠A=∠CBD=45°．∵EH平分∠AEG，∴∠AEH=∠GEH．∵∠AEH+∠AEC=180°，∠GEH+∠CEG=180°，∴∠AEC=∠CEG．∵AE=GE，EC=EC，∴△AEC≌△GEC（SAS），∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．∵∠EDG=90°，∴∠DEG=∠DGE=45°，∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，故②正确；∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，∴△EDC≌△GDB（SAS），∴∠CED=∠BGD，ED=GD．∵HD平分∠CHG，∴∠GHD=∠EHD．∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，∴∠HDG=∠HDE．∵∠EDG=∠ADC=90°，∴∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；∵∠EDC=90°，ED=GD，∴△EDC是等腰直角三角形，∴∠DEG=45°．∵∠GDH=45°，∴∠EDH=45°，∴△EMD是等腰直角三角形，∴ED MD．∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°，∴∠AFE=∠CFG=90°．∵∠EDC=90°，∴∠EFC=∠EDC=90°．∵EH平分∠AEG，∴∠AEH=∠GEH．∵∠FEC=∠GEH，∠DEC=∠AEH，∴∠FEC=∠DEC．∵EC=EC，∴△EFC≌△EDC，∴EF=ED，∴EF MD．故③错误；∵CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED，∴CG=2DE+AE，故④正确．故选B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．18．如图所示，在等边△ABC 中，E 是AC 边的中点，AD 是BC 边上的中线，P 是AD 上的动点，若AD =3，则EP ＋CP 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由等边三角形的性质得，点B ，C 关于AD 对称，连接BE 交AD 于点P ，则EP+CP=BE 最小，又BE=AD ，所以EP+CP 的最小值是3.故选B.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.19．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.20．等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（）A ．70°，70°B ．40°，100°C ．70°，40°D ．70°，70°或40°，100°【答案】D【解析】分析：由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解，小心别漏解．详解：若40°的角是顶角，则底角为：（180°﹣40°）=70°，∴此时另外两个角的度数是70°，70°；若40°的角是底角，则另一底角为40°，∴顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，∴此时另外两个角的度数是100°，40°．∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．故选：D ．点睛：此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．。

重庆市巴蜀中学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题(含解析)

数学一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1( )A ．5B ．-5C ．±5D ．252．下列计算正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列四组数中，是勾股数的是（）A ．10，8，6B ．，，CD ．10，15，4．已知中，，则的度数是（）A ．B ．C ．D ．5．点在一次函数的图象上，则点不可能在（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限6．已知一组数据是8，4，7，，10，其平均数是7.4，则的值为（）A ．7.4B ．8C ．9D ．107的结果应在（）A ．13和14之间B ．14和15之间C ．15和16之间D ．25和26之间8．正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．3412x x x ⋅=842x x x ÷=()336x x =222(2)4xy x y -=23242520-ABCD Y 130A C ∠+∠= D ∠5065115o130M 37y x =-M a a (y kbx =y kx b =+C ．D ．9．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（）A ．48B ．36C ．24D ．1810．某超市计划购进A ，B 两种水果，其中A 种水果的进价比B 种水果的进价低3元，用1200元购进A 种水果的数量是用800元购进B 种水果数量的2倍，求A 种水果的进价．若设A 种水果的进价为元，则根据题意可列方程为（）A．B ．C ．D ．11．如图，在四边形中，，，、的平分线、交于点．若，，则四边形的周长为（）A ．38B ．40C ．44D ．5612．已知甲、乙两车同时分别从相距的、两地相向而行，乙车途经服务站加油后．发现此时与甲车相距，乙车改变速度继续行驶小时后与甲车相遇．甲车到达地后立即原路返回，结果比乙车晚小时到达地．如图是两车距出发地的距离．与行驶时间之间的函数图象，则下列说法：（1），（2）点的坐标为，（3）直线的解析式为，（4）甲车返回的速度为（5）甲车返回途中乙车ABCD AC BD O G AB 2.5OG =8BD =ABCD x 120080023x x ⨯=+120080023x x ⨯=-120080023x x =⨯-120080023x x =⨯+ABCD AB CD 90A ∠= ABC ∠BCD ∠BE CE AD E 14BC =12AD =ABCD 320km A B 80km 47B 65A ()km y ()h x 80m =H ()6,0CD 6040y x =-100km /h从地出发后小时和小时都与甲车相距．其中正确的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．国内某大学芯片研究学院研发出了厚度约为0.000019米的芯片，用科学记数法表示数据0.000019应为．14．将直线向上平移6个单位后的函数表达式是．15．分解因式：．16．函数的自变量的取值范围是．17．已知，是一次函数图象上的两个点，当时，用“”连接，，的大小关系是．18．如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点、分别在轴和轴上，点．连接，并将沿翻折至长方形所在平面上，点的对应点为点，则点的坐标为．19．已知关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的值之和为．20．对于一个各数位上的数字均不为零且互不相等的数，将它各个数位上的数字分别平B 37839820km 32y x =-+2312x y y -=y =x ()111,P x y ()222,P x y 34y x =-+120x x <<<41y 2y ABCO O A C y x ()8,4B -BO ABO BO ABCO A E E x 3312373x x a x x -⎧+>⎪⎨⎪-≤-⎩y 34133y a yy y ++=--a m方后取其个位数字，得到一个新的数，称为的“精品数”，并规定，（其中、为非零常数）．例如，其各个数位上的数字分别平方后的数的个位数字分别是6、9、5，则475的“精品数”．已知，，则；对于一个两位数（的各数位上的数字均不为零且互不相等），在的十位数字和个位数字中间插入一个数，得到一个新的三位数，若是的9倍，且三位数是的“精品数”，则所有的值的和为．三、解答题：（本大题共7个小题，21题10分，22题8分，23-26每小题10分，27题12分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．21．计算题：；(2)22．如图，在中，是对角线．(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接和（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求证四边形是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．证明：∵垂直平分，∴．又∵四边形是平行四边形，∴①________n n m ()f m am bn =+a b 475m =695n =()48f =-()1418f =-()268f =s s s k s 's 's t s '()f t 212-⎛⎫+ ⎪⎝⎭222164211a a a a a a ⎛⎫--÷+ ⎪+++⎝⎭ABCD Y BD BD EF BD AD BC O E F BE DF EBFD EF BD BO DO =ABCD∴．在和中，②________∴，∴③________∵垂直平分，∴，④________∴，∴四边形是菱形．23．生态城市你我同创，绿色生活万家共享．为了宣传环保知识，我校八年级二班以此为契机举行了“环保知识知多少”的主题活动，共有道题，满分分．参加活动的学生分为两组，每组学生均为名．赛后根据成绩得到不完整的统计图表（如图），已知成绩统计表中，满足．组名学生成绩统计表成绩（分）人数请根据所给信息，解答下列问题：(1)________；________；(2)组同学的平均分是________分；OBF ODE ∠=∠BOF DOE OBF ODE OB OD ∠=∠⎧⎨=⎩()ASA BOF DOE ≌EF BD BE DE =BE ED DF FB ===EBFD 1060,A B 10m n 3m n =A 1030405060n 1m 1m =n =A(3)组同学的平均分是________分．如果依据平均成绩确定获胜组，你觉得________组获胜．24．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点，交轴于点．(1)求直线的解析式；(2)求直线、直线和轴所围成的三角形的面积；(3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集．25．如图，在中，，，，点为直角边，边上一动点，现从点出发，沿着的方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为．（点不与点、重合）(1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(2)根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质：________结合函数图象，当时，直接写出的值．26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A ，与轴交于点B ，直线与轴交于点，与轴交于点，，．B y kx b =+x ()4,0A y B 21y x =-AB (),3C m xD AB 21y x =-AB x x 21x kx b -<+Rt ABC △90ACB ∠=︒4BC =2AC =P BC CA B B C A →→A P x APB △y P B A y x x 3APB S = x xOy 11:32l y x =-+x y 2l x C y D 9AC =2OD OC =(1)求直线的解析式；(2)连接，点为直线上一动点，若有，请求出点坐标，(3)点为直线上一动点，点为轴上一动点，请间在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在锐角中，，，的角平分线、交于点．(1)如图，若，，求的长；(2)如图，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，使得．连接，点为的中点，连接．求证：；(3)如图，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转（即）得到线段，点、分别是线段、上的动点，且，若取最小值时，直接写出的面积．CD AD Q CD 5QAD OAB S S =△△Q M 1l N y xOy K M N C K MN ABC =60B ∠︒AB BC <ABC CE AD O 17OC =4OD =CD 2AC C CF 120BCF ∠=︒OF G OF CG ()12CG AO CO =+3AC C 75︒75ACF ∠=︒CF M N AC CF CM =AC =MN CMN参考答案与解析1．A【分析】根据开平方的运算法则计算即可．，故选：A ．【点拨】本题考查了开平方运算，关键是掌握基本的运算法则．2．D 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方，掌握以上运算的运算法则是解题的关键．同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，从而可判断A ，同底数幂的除法：底数不变，指数相减，从而可判断B ，幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可判断C ，积的乘方：把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断D ，从而可得答案．【解答】解：A ．，原计算错误，不符合题意；B ．，原计算错误，不符合题意；C ．，原计算错误，不符合题意；D ．，原计算正确，符合题意；故选：D ．3．A 【分析】本题考查了勾股数的定义，解题的关键是掌握两数平方和等于第三个数平方的三个正整数是勾股数．【解答】解：A 、∵，∴10，8，6是勾股数，符合题意；B 、∵，∴，，不是勾股数，不符合题意；C 、D 、∵不是正整数，347x x x ⋅=844x x x ÷=()339x x =222(2)4xy x y -=2226810+=()()()222222345+≠23242520-∴10，15，不是勾股数，不符合题意；故选：A ．4．C【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质平行四即可求出，进而可求出．【解答】解：在中，，，∵，∴，∴，故选：C ．5．C【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、三、四象限”是解题的关键．利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、三、四象限，结合点在一次函数的图象上可得出点不可能在第二象限．【解答】解：∵一次函数中的，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，又∵点在一次函数的图象上，∴点不可能在第二象限．故选：C ．6．B 【分析】本题考查了算术平均数的概念．熟记“公式：”是解决本题的关键．利用平均数公式计算即可求出a 的值．【解答】解：根据题意，得，解得，20-A ∠D ∠ABCD A C ∠∠=180A D ∠+∠= 130A C ∠∠=︒＋65A C ∠∠==︒180115D A ∠∠=︒-=︒0k >0b y kx b ⇔=+＜37y x =-M 37y x =-M 37y x =-3070k b =>=-<，37y x =-M 37y x =-M ()121n x x x x n=++⋅⋅⋅+847107.45a ++++=⨯8a =故选：B ．7．C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，解题的关键是：熟练掌握算术平方根的估算．先计算，根据算术平方根的知识进行估算，即可求解．∴，∴，故选：．8．D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．根据正比例函数图象所在的象限判定k 的符号，根据一次函数图象所经过的象限确定k 的符号，确定正比例函数的图象判定选项是否正确．【解答】解：∵正比例函数经过原点，故C 错误；A 、一次函数经过第一、二、三象限．故，，则，则正比例函数图象经过第一、三象限，故本选项图象不合题意；B 、一次函数经过第一、二、四象限．故，，则，则正比例函数图象经过第二、四象限，故本选项图象不合题意；D 、一次函数经过第一、三、四象限．故，，则，则正比例函数图象经过第二、四象限，故本选项图象符合题意；故选D ．9．C 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得是((10+=<<56<<151016<+<C kb y kbx =y kx b =+0k >0b >0kb >y kbx =y kx b =+0k <0b >0kb <y kbx =y kx b =+0k >0b <0kb <y kbx =OG斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．【解答】解：∵菱形，∴，，，∵，，∴，，∴，∴，∴菱形的面积是．故选：C ．10．D【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键．根据用1200元购进A 种水果的数量是用800元购进B 种水果数量的2倍，列方程即可．【解答】解：设A 种水果的进价为元，则B 种水果的进价为元，由题意，得，．故选：D ．11．B【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作，根据角平分线可证明得到，，从而推算出四边形的周长等于【解答】解：如下图所示，过点作，Rt AOB △AB OA ABCD AC BD ⊥2AC AO =12BO BD =2.5OG =8BD =25AB OG ==4BO =3AO ==26AC AO ==ABCD 1242AC BD ⋅=x ()3x +120080023x x =⨯+E EH AB ⊥(ASA)CED CEH △≌△CD CH =CD CH =ABCD 2AD BC+E EH AB ⊥的平分线交于点E ，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，同理可得：，∵，∴四边形的周长为，故选：B ．12．B【分析】由甲车函数图象经过点，可计算甲车去时速度，由“此时与甲车相距，乙车改变速度继续行驶小时后与甲车相遇”，可计算甲车返回速度，即可判断说法（4），由甲车去时速度，及甲车函数图象经过点，可计算得值，即可判断说法（1），由“甲车比乙车晚小时到达地”，及甲车函数图象经过点，可计算乙车到达地时间，即可判断说法（2），由点的坐标，可得点的坐标，由“此时与甲车相距，乙车改变速度继续行驶小时后与甲车相遇”，可计算乙改变后的速度，设直线的解析式为：，代入点的坐标，求出直线的解析式，即可判断说法（3），由“甲车比乙车晚小时到达地”，可以得到，甲车并没有追上乙，当甲车返回途中距离地时，两车相距，用甲车到达地的时间减去甲车开的时间，即可判断说DCB ∠AD DCE HCE ∠=∠AB CD 90A ∠= 90CDA ∠=︒90CDE CHE ∠=∠=︒∴CE CE =(ASA)CED CEH △≌△CD CH =AB BH =14AB DC BH CH BC +=+==ABCD 12141440AD AB DC BC AD BC BC +++=++=++=()4,32080km 47()1,m m 65A ()7.2,0A H D 80km 47()h 60km /v =乙CD 60y x b =+D CD 65A A 20km 20km A 20km法（5），本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是：从图中提取信息．【解答】解：由图可知，甲车去时速度为：，甲车返回速度为：，故说法（4）正确，∴，故说法（1）正确，∵甲车比乙车晚小时到达地，∴点的横坐标为：，∴点的坐标为：，故说法（2）正确，∴点的坐标为：，设乙车的速度为：，则：，解得：，设直线的解析式为：，将点代入，得：解得：，∴直线的解析式为：，故说法（3）正确，∵甲车比乙车晚小时到达地，∴甲车并没有追上乙，∴当甲车返回途中距离地时，两车相距，，故说法（5）错误，综上所述，（1）、（2）、（3）、（4）正确，（5）错误，故选：．13．【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n 是正整数；当原数的绝对值时，n 是负整数．【解答】解：，()h 320480km /÷=()()h 3207.240m 10k /÷-=()80180km m =⨯=65A H 67.265-=H ()6,0D ()6,320()km /h v 乙()480807v +⨯=乙()h 60km /v =乙CD 60y x b =+()6,320D 320606b =⨯+40b =-CD 6040y x =-65A A 20km 20km ()7.2201007h -÷=B 51.910-⨯10n a ⨯110a ≤<10≥1<50.000019 1.910-=⨯故答案是：．14．【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．一次函数（k 、b 为常数，）的图象为直线，当直线平移时k 不变，当向下平移个单位，则平移后直线的解析式为，理解“上加下减”是解题的关键．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数的图象向上平移6个单位后的函数表达式是：．故答案为：．15．【分析】提取公因式，应用平方差公式，即可求解，本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式的方法．【解答】解：，故答案为：．16．且##且【分析】本题考查了函数自变量的范围，解题的关键是一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，，且解得：且．故答案为：且．17．【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数中，51.910-⨯38y x =-+y kx b =+0k ≠m y kx b m =+-32y x =-+32638y x x =-++=-+38y x =-+()()322y x x +-()()()2231234322x y y y x y x x -=-=+-()()322y x x +-2x ≥4x ≠4x ≠2x ≥360x -≥40x -≠2x ≥4x ≠2x ≥4x ≠214y y <<()0y kx b k =+≠当时随的增大而增大是解答此题的关键．由一次函数可知，，随的增大而减小，及当时，求解即可．【解答】解：一次函数中的，∴该直线经过第一，二，四象限，随的增大而减小，当时，，又∵点，是一次函数图象上的两个点，且，∴即．故答案是：18．【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．设与交点为点D ，过点E 作轴于点F ，由可得，，由长方形与折叠的性质可得，从而，设，则，，在中，根据勾股定理得，代入即可解得，根据的面积可求得，进而在中，根据勾股定理可求得，结合点E 的位置可得点E 的坐标．【解答】解：设与交点为点D ，过点E 作轴于点F ，∵，∴，，∵在长方形中，，∴，∵由折叠有，0k >y x 34y x =-+40k =>y x 0x =4y =34y x =-+30-<40,>y x 0x =y =3044y =-⨯+=()111,P x y ()222,P x y 34y x =-+120x x <<124y y >>214y y <<214y y <<.1612,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭BE OC EF x ⊥()8,4B -4AO BC ==8AB OC ==ABCO BOD DBO ∠=∠BD OD =OD x =8CD x =-BD x =Rt BCD 222BC CD BD +=5OD BD ==ODE 125EF =Rt OEF △165OF ==BE OC EF x ⊥()8,4B -4AO BC ==8AB OC ==ABCO AB OC ∥ABO COB ∠=∠ABO EBO ∠=∠∴，∴，设，则，，∵在长方形中，，∴在中，，即，解得，∴，由折叠可得，∴，∵或，∴，即，∴，∵轴，∴在中，，∴点E 的坐标为．故答案为：．19．【分析】解不等式组，根据“仅有4个整数解”，确定的取值范围，根据“是整数”，确定的取值，解分式方程，根据“有整数解”，确定为奇数，最终确定的取值，相加，即可求解，本题考查了，根据分式方程及不等式组，求待定字母的取值，解题的关键是：熟练掌握分式方程及不等式组的解法．【解答】解：解不等式组，解得：，BOD DBO ∠=∠BD OD =OD x =8CD OC OD x =-=-BD x =ABCO 90BCO ∠=︒Rt BCD 222BC CD BD +=()22248x x +-=5x =5OD BD ==4OE OA ==8EB AB ==853DE BE BD =-=-=12ODE S OD EF =⋅ 12ODE S OE DE =⋅ 1122OD EF OE DE ⋅=⋅1154322EF ⨯=⨯⨯125EF =EF x ⊥Rt OEF △165OF ===1612,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭1612,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭12a a a y a a 3312373x x a x x -⎧+>⎪⎨⎪-≤-⎩5310x a x <⎧⎪+⎨≥⎪⎩∵仅有4个整数解，∴，解得：，∴整数的值为：，，，，，，，，，，解方程，解得：，且，∵有整数解，∴为奇数，且，∴整数的值为：，，，，∴符合条件的所有整数的值之和为：，故答案为：．20．【分析】本题考查有理数的计算和新定义问题；准确理解题意，根据三位数的特点，能用字母表示数，再结合数的特点逐步确定各位数字的具体数是解题的关键．（1）分别求出4与14的“精品数”，代入中，联立方程组即可求出a 、b 的值，从而确定的表达式，再求出的“精品数”是，代入所求的表达式即可；（2）设s 的十位数字为a ，个位数字为b ，分别表达出，由题意可得等式，再根据b 的取值与等式成立的条件确定，由此列式计算，从而确定；再结合t 是的“精品数”，进一步确定t 的值，从而求解．【解答】解：（1）4的“精品数”是6，∴；14的“精品数”是164，∴；∵，∴，∴，即：30110a +<≤37a -<≤a 2-1-0123456734133y a y y y ++=--32a y +=3y ≠y a 3a ≠a 1-157a 115712-+++=12660-236s '()f m am bn =+()f m 268m =464n =1001010s a k b s a b '=++=+，()10010910a k b a b ++=+5b =s 's '46m n ==，1416m n ==，()f m am bn =+846181416a b a b -=+⎧⎨-=+⎩12a b =⎧⎨=-⎩()2f m m n=-∵的“精品数”是，∴；（2）设s 的十位数字为a ，个位数字为b ，由题意可知，，∵是s 的9倍，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴满足条件的a 与k 为：或或，∴s '为135，315，224，∵t 是的“精品数”，∴t 为195，915，446，对应“精品数”为115，115，666，∵，∴，，∴所有的值的和为．故答案为：；．21．(1)(2)【分析】本题考查了二次根式、分式的运算以及负整数指数幂，268m =464n =()2682682464660f =-⨯=-10010s a k b '=++10s a b =+s '()10010910a k b a b ++=+()54a k b +=09b <≤5b =4a k +=19a ≤≤19k ≤≤13a k =⎧⎨=⎩22a k =⎧⎨=⎩31a k =⎧⎨=⎩s '()2f m m n =+()195195211535f =-⨯=-()9159152115685f =-⨯=()4464462666886f =-⨯=-()f t (35)685(886)236-++-=660-23641a a -+（1）先化简二次根式以及负整数指数幂，再算乘法，最后算加减；（2）先通分，再将除法化为乘法计算．【解答】（1（2）22．(1)作图见解析(2)，，，【分析】（1）分别以点B ，D 为圆心，以大于为半径画弧，分别交于两点，在过两点作直线，交于点O ，交于点E ，交于点F ，连接，；（2）先确定，再根据平行四边形的性质得，进而得出，根据“”得出，可得，然后根据线段垂直平分线的性质得，，最后根据“四条边相等的四边形是菱形”得出答案．【解答】（1）如图所示．212-⎛⎫ ⎪⎝⎭5443=+⨯-44=+-=222164211a a a a a a ⎛⎫--÷+ ⎪+++⎝⎭()()()22244411a a a a a a a +-++-=÷++()()()244141a a a a a +-+=⨯++41a a -=+AD BC ∥DOE BOF ∠=∠DE BF =BF DF=12B D BD AD BC BE DF BO DO =AD BC ∥OBF ODE ∠=∠ASA BOF DOE △△≌DE BF =BE DE =BF DF =（2）∵垂直平分，∴．∵四边形是平行四边形，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵垂直平分，∴，，∴，∴四边形是菱形．故答案为：，，，．【点拨】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．23．(1)；(2)(3)；EF BD BO DO =ABCD AD BC ∥OBF ODE ∠=∠BOF DOE OBF ODE OB ODDOE BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BOF DOE ASA ≌DE BF =EF BD BE DE =BF DF =BE DE DF BF ===EBFD AD BC ∥DOE BOF ∠=∠DE BF =BF DF =624647B【分析】（1）根据每组学生均为名求出的和，由即可求解；（2）根据加权平均数的计算方法可以解答本题；（3）根据角度占比计算组名学生竞赛成绩的平均分，与组比较即可得出答案．【解答】（1）根据题意得：解得：（2）平均分是（分）（3）根据扇形统计图可知，组学生竞赛成绩为分的角度为：所以平均分是（分）因为所以组竞赛成绩较好．【点拨】本题考查了二元一次方程组的解以及统计表和扇形统计图的运用，掌握扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小是关键．24．(1)(2)(3)【分析】（1）将，代入直线，求出得值，将点，，代入直线，就出、得值，即可求解，（2）将，代入，求出点坐标，计算，即可求解，（3）结合图象，找出直线，在直线下方所对应的得范围，即可求解，本题考查了，待定系数法求一次函数解析式，求直线围成的图形面积，根据直线交点求不等式的解集，解题的关键是：熟练掌握数形结合的思想．【解答】（1）10,m n 3m n =B 10A 31110m n n m =⎧⎨+++=⎩26n m =⎧⎨=⎩()3024015066011046⨯+⨯+⨯+⨯÷=B 60360180367272︒-︒-︒-︒=︒1803672725040603047360360360360︒︒︒︒⨯+⨯+⨯+⨯=︒︒︒︒4647<B 362y x =-+2142x <(),3C m 21y x =-m ()2,3C ()4,0A y kx b =+k b 0y =21y x =-D CDA S 21y x =-y kx b =+x解：将，代入直线，得：，解得：，将点，，代入直线，得：，解得：，∴直线的解析式为：，（2）解：当时，，解得：，∴点，，（3）解：根据图象得，当时，，25．(1)(2)见解析(3)或【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，求函数关系式等等：（1）分当时，当时，两种情况讨论求解即可；（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象求解即可；（3）根据函数图象求解即可．【解答】（1）解：当时，点P 在上运动，∴，∵，∴；当时，点P 在上运动，∴，∵，∴；(),3C m 21y x =-321m =-2m =()2,3C ()4,0A y kx b =+3204k b k b =⋅+⎧⎨=⋅+⎩326k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩AB 362y x =-+0y =021x =-12x =1,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭112143224CDA S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 2x <21x kx b -<+()()0421246x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩3x =92x =04x ≤≤46x <≤04x ≤≤BC BP x =90ACB ∠=︒()1042y AC BP x x =⋅=≤≤46x <≤AC 426AP x x =+-=-90ACB ∠=︒()1212462y AP BC x x =⋅=-+<≤综上所述，（2）解：函数图象如下所示，由函数图象可知，在时，y 有最大值4；（3）解：由函数图象可知，当时，或．26．(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）待定系数法求直线的解析式；（2）利用割补思想，问题转化为的面积，分两种情况讨论，点Q 在延长线上和点Q 在延长线上；（3）利用分类讨论的思想，然后将正方形的存在性问题转化为构造“一线三等角”的全等，利用全等三角形的性质，得出对应边相等，建立等量关系．【解答】（1）解：（1）当时，，．当时，，，．，()()0421246x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩4x =3APB S = 3x =92x =26y x =+49148,99⎛⎫ ⎪⎝⎭()5,4--()1,3-()5,5-()3,3()3,3-CD ACQ CD DC 0x =3y =(0,3)B ∴0y =1032x =-+6x =(6,0)A ∴9= AC，．，，．设直线的解析式为，则，解得：，；（2）解：设，∵，∴，而 ①点Q 在延长线上时，则，∴，Q 在x 轴上方，解得：，∴，解得：，∴ ；②点Q 在延长线上时，则，∴，Q 在x 轴下方，解得：，∴，解得：，∴ ，综上所述，点Q 的坐标为或．3OC ∴=(3,0)C ∴-2OD OC = 6OD ∴=(0,6)D ∴CD y kx b =+306k b b -+=⎧⎨=⎩26k b =⎧⎨=⎩26y x ∴=+(),26Q m m +5QAD OAB S S =△△1634525QAD S =⨯⨯⨯=△196272ACD S =⨯⨯=△CD 14527742ACQ Q S AC y =+==⋅ 17492Q y =⨯⨯1489Q y =148269m +=499m =49148,99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭DC 14527182ACQ Q S AC y =-==⋅ 11892Q y =⨯⨯4Q y =-264m +=-5m =-()5,4Q --49148,99⎛⎫ ⎪⎝⎭()5,4--（3）存在，理由：设点，①当时，如图，作于点，作于点．．∵正方形，．，，，，．，解得或，或．当时，同理，，∴，，∴,∴当时，同理可求②当时，如图过点作，作于点，作于点．1,32M n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭90CMN ∠=︒ME OC ⊥E NF EM ⊥F 90CEM MFN ∴∠=∠=︒MN CM ∴=90CME ECM ∠+∠=︒ 90CME FMN ∠+∠=︒ECM FMN ∴∠=∠CEM FMN ∴△≌△ME NF ∴=∴1|3|||2n n -+=2n =6n =-(2,2)M ∴(6,6)M -()6,6M -MEC CGK △≌△3KG EC ==6CG ME ==3OG =()3,3K (2,2)M ()5,5K -90CNM ∠=︒N EF OA ∥ME EF ⊥E CF EF ⊥F同理可证：，，．设，，解得：或0或（舍）或．当时，同理：，∴,∴，当，同理可求．综上所述，点K 的坐标为或或或．【点拨】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．27．(1)(2)证明见解析；【分析】（）过作于点，由平分，平分，得出，然后用所对直角边是斜边的一半和勾股定理求解即可；（）延长至，使得，连接，延长至，使得，证明和即可求解；CEM FMN △≌△CF NE ∴=ME NF =(0,)N a ∴1|3|32a n +-=||||n a =4n =12-(4,1)M ∴(0,3)M (4,1)M MEN KGM △≌△4,413NE MG ME KG ====-=()1,3K -(0,3)M ()3,3K -()1,3-()5,5-()3,3()3,3-CD =1D DK OC ⊥K AD BAC ∠CE ACB ∠60COD ∠=︒30︒2CG I GI CG =FI AD H OC OH =()SAS OCG FIG ≌()SAS ACH IFC ≌（）过作，过作交于点，连接，延长交于点，则，由旋转性质可得，，【解答】（1）解：过作于点，∴∵平分，平分，∴，，∵，，∴，∴，∴，则，∴，∴在中，由勾股定理得：，同理：（2）如图，延长至，使得，连接，延长至，使得，∵点为的中点，3N NP MC ∥C CP MN ∥P PF MN FP Q CM NP ==AC FC ==2PN CM ==1CP =PQ =D DK OC ⊥K 90OKD ∠=︒AD BAC ∠CE ACB ∠12DAC BAC ∠=∠12ACE ACB ∠=∠180BAC ACB B ∠+∠+∠=︒=60B ∠︒120BAC ACB ∠+∠=︒()1602DAC ACE ACB BAC ∠+∠=∠+∠=︒60COD DAC ACE ∠=∠+∠=︒30ODK ∠=︒122OK OD ==725CK OC OK =-=-=Rt ODK △222224212DK OD OK =-=-=CD ===CG I GI CG =FI AD H OC OH =G OF∴，∴，，∴，∴，由（）得，∴是等边三角形，∴，设，则，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，即，∴；（3）如图，过作，过作交于点，连接，延长交于点，∴四边形时平行四边形，，∴，∴，()SAS OCG FIG ≌FI OC =OCG FIG ∠=∠FI OC ∥180IFC OCF ∠+∠=︒160COD ∠=︒OCH △CH OC IF ==BCO OCA x ∠=∠=60ACH x ∠=︒+120BCF ∠=︒120OCF x ∠=︒-60IFC x ACH ∠=︒+=∠ACH CFI △CH FI ACH IFC AC CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ACH IFC ≌AH IC =2AO CO CG +=()12CG AO CO =+N NP MC ∥C CP MN ∥P PF MN FP Q MNPC 75CNP ∠=︒CM NP ==105FNP ∠=︒∴点在与成得直线上运动，∴当时，最小，即最小，∴，，∴，是等腰直角三角形，∵设，∴，，解得：∴，，∴的面积为：【点拨】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，用所对直角边是斜边的一半和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的的应用．P FC 45︒CP FP ⊥CP MN NQ FP ⊥60PNQ ∠=︒NQ FQ =FCP AC FC ==NQ FQ x ==PQ =2P N x =x 2PN CM ==1CP =PQ =CMN )11122CP PQ ⨯==30︒。

重庆市八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（）A ．5B ．10C ．15D ．202．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 3．如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b ＋c4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA5．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝105°，∠D ＝25°，则∠ABE 等于（）A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°6．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙 7．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的条件是（）A ．AB=EFB ．AC=DFC ．∠B=∠ED ．CB=DE 8．下列判断正确的个数是（）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．A ．4B ．3C ．2D ．1 9．如图，AD 是ABC 的角平分线，:4:3AB AC = ，则ABD △与ACD △的面积比为（）．A ．4:3B ．16:9C ．3:4D ．9:16 10．如图所示，已知∠A ＝∠C ，∠AFD ＝∠CEB ，那么给出的条件不能得到ADF CBE △≌△是（）A．∠B＝∠D B．EB=DF C．AD=BC D．AE=CF11．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为( )A．50°B．65°C．70°D．80°12．如图，要判定△ABD≌△ACD，已知AB＝AC，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（）A．CD⊥AD，BD⊥AD B．CD＝BD C．∠1＝∠2 D．∠CAD＝∠B AD 二、填空题0,3，另13．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C的坐标为()8,8，则点A的坐标为____________一个顶点B的坐标为()14．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．若3BC =，且:5:4BD DC =，5AB =，则ABD △的面积是______．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为BC 上一点，连接AD ，过D 点作DE ⊥AB ，且DE =DC ．若AB =5，AC =3，则EB =____．16．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．18．如图，AB ＝8cm ，AC ＝5cm ，∠A ＝∠B ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向B 运动，同时，点Q 以x cm/s 的速度从点B 出发在射线BD 上运动，则△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值为_____________19．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为___．20．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．三、解答题21．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上的一点，过D 作DE ⊥AB 交AC 于点E ，CE=DE ．连接CD 交BE 于点F ．（1）求证：BC=BD ；（2）若点D 为AB 的中点，求∠AED 的度数．22．如图，CB 为ACE ∠的角平分线，F 是线段CB 上一点，,CA CF B E =∠=∠，延长EF 与线段AC 相交于点D ．（1）求证：AB FE =；（2）若,//ED AC AB CE ⊥，求A ∠的度数．23．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，若9AD =，6DE =，求BE 的长．24．如图①，∠BAD=90°，AB=AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥CA 的延长线点E ，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D ，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD ，得△ABC ≌△DAE 进而得到AC=DE ，BC=AE ，我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，连接BC 、DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．25．命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例．26．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．已知：如图1，∠B +∠C ＝∠BEC求证：AB ∥CD证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，∴∠B＝∠∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）∴∠＝∠（等式性质）∴EF∥∵EF∥AB∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，即可得出答案．【详解】∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，ABE CAFAB ACBAE FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△CAF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴阴影部分的面积为S△ABE+S△CDF=S△ACD，∵S△ABC=30，BD=12DC，∴S△ACD=20，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．A解析：A【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，故选为：A．【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．3．C解析：C【分析】由“AAS”可证△ABF≌△CDE，根据全等三角形的性质可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，则可推出AD＝AF＋DF＝a＋（b−c）＝a＋b−c．【详解】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，∵EF＝c，∴AD＝AF＋DF＝a＋（b−c）＝a＋b−c．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法并准确寻找全等三角形解决问题．4．C解析：C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC和△ONC中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.5．D解析：D【分析】依据SAS 即可得判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠D ＝∠E ＝25°，由三角形内角和定理可求出答案．【详解】解：在△ABE 和△ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠D ＝∠E ，∵∠D ＝25°，∴∠E ＝25°，∴∠ABE ＝180°﹣∠A ﹣∠E ＝180°﹣105°﹣25°＝50°．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6．B解析：B【分析】甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS 判定与△ABC 全等；丙可根据AAS 判定与△ABC 全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC 全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC 全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC 对应相等且均有50°内角，可根据AAS 判定乙与△ABC全等；则与△ABC 全等的有乙和丙，故选：B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．7．B解析：B【分析】根据AAS 定理或ASA 定理即可得．【详解】在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 8．D解析：D【分析】根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．【详解】解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误； ②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；③有两角和一边对应相等，满足AAS 或ASA ，此选项正确；④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．正确的有一个③，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．9．A解析：A过点D 作DE 垂直于AB ，DF 垂直于AC ，由AD 为角BAC 的平分线，根据角平分线定理得到DE=DF ，再根据三角形的面积公式表示出△ABD 与△ACD 的面积之比，把DE=DF 以及AB ：AC 的比值代入即可求出面积之比．【详解】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．∵AD 为∠BAC 的平分线，∴DE=DF ，又AB ：AC=4：3，∴S △ABD ：S △ACD =（12AB•DE ）：（12AC•DF ）=AB ：AC=4：3．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问题． 10．A解析：A【分析】直接利用全等三角形的判定方法进行判断即可；三角形全等的证明方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ；【详解】A ∵∠A=∠C ，∠AFD=∠CEB ，∠B=∠D ，三个角相等，不能判定三角形全等，该选项不符合题意；B ∵∠A=∠C ，∠AFD=∠CEB ，EB=DF ，符合AAS 的判定，该选项符合题意；C ∵∠A=∠C ，∠AFD=∠CEB ，AD=BC ，符合AAS 的判定，该选项符合题意；D ∵∠A=∠C ，∠AFD=∠CEB ，AE=CF ，∴AF=CE ，符合ASA 的判定，该选项符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确掌握判定方法是解题的关键；11．A解析：A【分析】根据题意可证明ABE ACD ≅，即得到B C ∠=∠．再利用三角形外角的性质，可求出DME ∠，继而求出BMD ∠．根据题意ABE ACD ≅（SAS ），∴30B C ∠=∠=︒∵DME B BDC ∠=∠+∠，BDC C A ∠=∠+∠∴307030130DME B A C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴180********BMD DME ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出DME B A C ∠=∠+∠+∠是解答本题的关键．12．C解析：C【分析】在△ACD 和△ABD 中，AD=AD ，AB=AC ，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．【详解】解：添加A 选项中条件可用HL 判定两个三角形全等，故选项A 不符合题意；添加B 选项中的条件可用SSS 判定两个三角形全等，故选项B 不符合题意；添加C 选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA ，结合已知条件不SS 判定两个三角形全等，故选项C 符合题意；添加D 选项中的条件可用SAS 判定两个三角形全等，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，判断直角三角形全等的方法：“HL”．二、填空题13．（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ 根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ 根据线段的和差可得OQ 可得答案【详解】解：作BP ⊥y 轴AQ ⊥y 轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析：（5，－5）【分析】根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ ，CQ ，根据线段的和差，可得OQ ，可得答案．【详解】解：作BP ⊥y 轴，AQ ⊥y 轴，如图，∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC ，∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACQ=90°．又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ ．在△BPC 和△CQA 中，BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．∵QO=QC-CO=8-3=5，∴A （5，-5），故答案为：（5，-5）．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．14．【分析】过点D 作DE ⊥AB 利用角平分线的性质可得CD ＝DE 再利用线段的比求得线段DC 的长度进而即可求解【详解】过点D 作DE ⊥AB ∵AD 平分∠BACDE ⊥ABDC ⊥AC ∴CD ＝DE 又∵且BD ：DC ＝5 解析：103【分析】过点D 作DE ⊥AB ，利用角平分线的性质可得CD ＝DE ，再利用线段的比求得线段DC 的长度，进而即可求解．【详解】过点D 作DE ⊥AB ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC∴CD ＝DE又∵3BC =，且BD ：DC ＝5：4，∴DE ＝DC ＝3÷（5＋4）×4＝43． ∵5AB =，∴ABD △的面积=43×5÷2=103 故答案是：103【点睛】本题考查了角平分线的性质，添加辅助线，是解题的关键． 15．2【分析】先证明△AED ≌△ACD 得到AE=AC=3最后根据线段的和差即可解答【详解】解：∵∠C=90°DE ⊥AB ∴△AED 和△ACD 都是直角三角形在Rt △AED 和Rt △ACD 中DE=DCAD=AD解析：2【分析】先证明△AED ≌△ACD 得到AE=AC=3，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：∵∠C =90°，DE ⊥AB ，∴△AED 和△ACD 都是直角三角形，在Rt △AED 和Rt △ACD 中，DE=DC,AD=AD ，∴△AED ≌△ACD （HL ），∴AE=AC=3，∴BE=AB-AC=5-3=2．故填：2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用HL 证明三角形全等是解答本题的关键．16．OA ＝OB （答案不唯一）【分析】由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可【详解】解：添加的条件是OA ＝OB 理由如下：∵AD ∥BC ∴∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 在△AOD 和解析：OA ＝OB （答案不唯一）【分析】由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D ,然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可．【详解】解：添加的条件是OA ＝OB ，理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D在△AOD 和△BOC 中A B AO BO AOD BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOD ≌△BOC （ASA ）．故答案为：OA ＝OB （答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理的内容是解答本题的关键．17．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴解析：32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．18．2或【分析】由∠A ＝∠B 可知△ACP 与△BPQ 全等时CP 和PQ 是对应边则分AP＝BQ和AP＝PB两种情况进行讨论即可【详解】设动点的运动时间为t秒则AP＝2tBP＝AB－AP＝8－2tBQ＝xt∵∠解析：2或5 2【分析】由∠A＝∠B，可知△ACP与△BPQ全等时，CP和PQ是对应边，则分AP＝BQ和AP＝PB两种情况进行讨论即可．【详解】设动点的运动时间为t秒，则AP＝2t，BP＝AB－AP＝8－2t，BQ＝xt，∵∠A＝∠B，∴CP和PQ是对应边，当△ACP与△BPQ全等时，①AP＝BQ，即：2t＝ xt，解得：x＝2，②AP＝PB，即：2t＝8－2t，解得：t＝2，此时，BQ＝AC，xt＝5，即：2x＝5，解得：x＝5 2故填：2或52．【点睛】本题考查全等三角形的性质，“分类讨论”的数学思想是关键．19．cm2【分析】如图延长AP交BC于T利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题【详解】解：如图延长AP交BC于T∵BP⊥AT∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP∠PBA=∠PBT∴△BPA≌解析：12cm2【分析】如图，延长AP交BC于T．利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题．【详解】解：如图，延长AP交BC于T．∵BP⊥AT，∴∠BPA=∠BPT=90°，∵BP=BP ，∠PBA=∠PBT ，∴△BPA ≌△BPT （ASA ），∴PA=PT ，∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==， 1122PBC ABC S S ∴==，故答案为12cm 2. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题．20．30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°可得∠ACD ＝∠BCE 利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE 则BE ＝AD ∠DAC ＝∠EBC 再证明∠DBE ＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】解析：30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°，可得∠ACD ＝∠BCE ，利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE ，则BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ，再证明∠DBE ＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．【详解】解：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ．即∠ACD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∠ADC ＝∠BEC ，∴△ACD ≌△BCE ．∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ．∵∠DAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠EBC ＋∠ABC ＝90°．∴△BDE 为直角三角形．∵AB ＝17，BD ＝5，∴AD ＝AB －BD ＝12．∴S △BDE ＝12BD ⋅BE ＝30．故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．三、解答题21．（1）见详解；（2）60°．【分析】（1）利用HL 直接证明Rt △DEB ≌Rt △CEB ，即可解决问题．（2）首先证明△ADE ≌△BDE ，进而证明∠AED=∠DEB=∠CEB ，即可解决问题．【详解】证明：（1）∵DE ⊥AB ，∠ACB=90°，∴△DEB 与△CEB 都是直角三角形，在△DEB 与△CEB 中，EB EB DE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DEB ≌Rt △CEB （HL ），∴BC=BD ．（2）∵DE ⊥AB ，∴∠ADE=∠BDE=90°；∵点D 为AB 的中点，∴AD=BD ；在△ADE 与△BDE 中，AD BD ADE BDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BDE （SAS ），∴∠AED=∠DEB ；∵△DEB ≌△CEB ，∴∠CEB=∠DEB ，∴∠AED=∠DEB=∠CEB ；∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180°，∴∠AED=60°．【点睛】该命题以三角形为载体，以考查全等三角形的判定及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定及其性质，来分析、判断或推理．22．（1）证明见解析；（2）120︒．【分析】（1）先根据角平分线的定义可得ACB FCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先根据平行线的性质可得B FCE ∠=∠，从而可得E FCE B ACB ∠∠=∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得30ACB ∠=︒，然后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）CB 为ACE ∠的角平分线，ACB FCE ∴∠=∠，在ABC 和FEC 中，B E ACB FCE CA CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC FEC AAS ∴≅，AB FE ∴=；（2）//AB CE ，F E B C ∴∠=∠，E FCE B B AC ∠=∴∠=∠∠=，ED AC ⊥，即90CDE ∠=︒，90E FCE ACB ∠∠+∠∴+=︒，即390ACB ∠=︒，解得30ACB ∠=︒，30B ∴∠=︒，180120B A ACB ∠=︒-∠=∴∠-︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．23．3【分析】根据同角的余角相等可得EBC DCA ∠=∠，根据“AAS”可证CEB △≌ADC ，可得9AD CE ==，即可求BE 的长．【详解】解：∵BE CE ⊥，AD CE ⊥，∴90E ADC ∠=∠=︒，∴90EBC BCE ∠+∠=︒．∵90BCE ACD ∠+∠=︒，∴EBC DCA ∠=∠．在CEB △和ADC 中，E ADC EBC ACD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CEB △≌ADC （AAS ），∴BE CD =，9AD CE ==，∴963BE CD CE DE ==-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．24．（1）见解析；（2）A(32，52)或(52，-32)．【分析】（1）过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ．根据“K 字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN ，即EN=DM ，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG ，即点G 是DE 的中点．（2）分情况讨论①当A 点在OB 的上方时，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．根据“K 字模型”即可证明AC BD OC AD DE ===，，再利用B 点坐标即可求出A 点坐标．②当A 点在OB 的下方时，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．同理即能求出A 点坐标．【详解】（1）如图，过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．∵∠BHA=90 ，∴∠2+∠B=90°．∵∠BAD=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠B=∠1 ．在△ABH 和△DAM 中1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≅△DAM （AAS ），∴AH=DM ．同理 △ACH ≅△EAN （AAS ），∴ AH=EN ．∴EN=DM ．在△DMG 和△ENG 中MGD NGE DMG ENG DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DMG ≅△ENG （AAS ）．∴DG=EG ．∴点G 是DE 的中点．（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅，∴AC BD OC AD DE ===，，设AC x =，则BD x =，∵1DE BD BE x =+=+，∴1OC AD DE x ===+，又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=，解得32x =， ∴32AC =，35122DE =+=．即点A 坐标为(32，52)．②当A 点在OB 的下方时，如图，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．根据①同理可得：52AP =，32MQ =．即点A 坐标为(52，32-)．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．25．逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；证明见解析．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题，再得出命题的正确性．【详解】解：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等的逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；在Rt BCE 与Rt CBD △中，BD CE BC CB =⎧⎨=⎩∴()Rt BCE Rt CBD HL ≌，∴DCB EBC ∠=∠．【点睛】此题主要考查了命题与定理的证明，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，进而利用全等三角形的证明方法求出即可．26．（1）BEF ，C ，CEF ，CD ；（2）证明见解析；（3）∠E ＝2∠F【分析】（1）过点E ，作EF ∥AB ，根据内错角性质即可得出∠B ＝∠BEF ，利用等量代换即可证出∠C ＝∠CEF ，进而得出EF ∥CD ．（2）如图3，过点N 作NG ∥AB ，交BM 于点G ，可以知道NG ∥AB ∥CD ，由平行线的性质得出∠ABN ＝∠BNG ，∠GNC ＝∠NCD ，由三角形的外角性质得出∠BMN ＝∠BCM +∠CBM ，证出∠BCM +∠CBM ＝∠BNG +∠GNC ，进而得出∠BCM +∠CBM ＝∠ABN +∠NCD ，由角平分线得出∠BCM ＝∠NCD ，即可得出结论．（3）如图4，分别过E ，F 作EG ∥AB ，FH ∥AB ，则EG ∥CD ，FH ∥CD ，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，∴∠B ＝∠BEF ，∵∠B +∠C ＝∠BEC ，∠BEF +∠FEC ＝∠BEC （已知），∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠FEC （等量代换），∴∠C ＝∠CEF （等式性质），∴EF ∥CD ，∵EF ∥AB ，∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；故答案为：BEF，C，CEF，CD；（2）如图3所示，过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，∵∠BMN是△BCM的一个外角，∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，∵CN平分∠BCD，∴∠BCM＝∠NCD，∴∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．【点睛】本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．。

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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠D CE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，则△ADF为等边三角形∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，∠DEC+∠EDB=60°，∠DCB+∠DCF=60°，∴∠EDB=∠DCA ，DE=CD，在△DEB和△CDF中，120EBD DFCEDB DCFDE CD，，∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB≌△CDF，∴BD=DF，∴BE=AD .(2).EB=AD成立；理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图所示：同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF，∴EB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.2．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP 和△CBP 中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ）， ∴PA=PC ，∵PA=PE ，∴PC=PE ；(2)、由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP=∠BCP ，∴∠DAP=∠DCP ，∵PA=PE ， ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E ， ∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等），∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP ＝CE理由是：在菱形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP ，在△ABP 和△CBP 中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴PA=PC ，∠BAP=∠DCP ，∵PA=PE ，∴PC=PE ，∴∠DAP=∠DCP ， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC 是等边三角形，∴PC=CE ，∴AP=CE考点：三角形全等的证明3．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，CG CDDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，AFE AFGAF AFEAF GAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）结论：AC＝AE+CD．理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．4．已知4AB cm =，3AC BD cm ==.点P 在AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为()t s ．（1）如图①，AC AB ⊥，BD AB ⊥，若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP △与BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”为改“60CAB DBA ∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP △与BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，PC 与PQ 垂直；（2）存在，11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可．【详解】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP 和△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）．∴∠ACP=∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC 与线段PQ 垂直．（2）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，34t t xt =-⎧⎨=⎩，解得11t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BQP ，则AC=BQ ，AP=BP ，34xt t t=⎧⎨=-⎩，解得232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．5．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF ．()1当点E 在线段AD 上时，①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =；②如图2，若点E 不与点A 重合，请说明BF DC AE =+；()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF ＝AE-CD【解析】【分析】（1）①根据等边对等角，求到B C ∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ∆是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC ∠=∠=︒，推出ABF ACD ∆∆≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ，由△DEF 为等边三角形得到DA ＝DG ，再推出AE ＝GF ，根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG ，由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】（1）①证明：AB AC =B C ∴∠=∠,60DF DE ADB =∠=︒，且E 与A 重合，ADF ∴∆是等边三角形60ADF AFD ∴∠=∠=︒120AFB ADC ∴∠=∠=︒在ABF∆和ACD∆中AFB ADCB CAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD∴∆∆≌BF DC∴=②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，∵∠ADB＝60°DE＝DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°∴∠DAG＝∠AGD∴DA＝DG∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG＝CD∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，BF CD BF BG GF AE∴+=+==故BF AE CD=-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。