数列求和知识点总结

数列求和
1．求数列的前n项和的方法
(1)公式法
①等差数列的前n项和公式②等比数列的前n项和公式
(2)分组求和法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
(5)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广
2．常见的裂项公式
(1)1
n（n＋1）＝
1
n
－
1
n＋1
.
(2)1
（2n－1）（2n＋1）＝
1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2n－1
－
1
2n＋1
.
(3)
1
n＋n＋1
＝n＋1－n.
高频考点一分组转化法求和
例1、已知数列{a n}的前n项和S n＝
n2＋n
2
，n∈N*.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n＝2a n＋(－1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．
【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
【变式探究】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1
＋(－1)n
·(ln2－ln3)＋(－
1)n
n ln3，求其前n 项和S n .
高频考点二 错位相减法求和
例2、(2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为
q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2) 当d >1时，记c n ＝a n
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
【变式探究】已知数列{a n }满足首项为a 1＝2，a n ＋1＝2a n (n ∈N *
)．设b n ＝3log 2a n －2(n ∈N *
)，数列{c n }满足c n ＝a n b n .
(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{c n }的前n 项和S n . 高频考点三 裂项相消法求和
例3、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2
n －(n 2
＋n －3)S n －3(n 2
＋n )＝0，n ∈N *
.
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n ，有
1
a 1
a 1＋1＋
1
a 2a 2＋1＋…＋
1a n a n ＋1＜1
3.
【变式探究】已知函数f (x )＝x a
的图象过点(4,2)，令a n ＝1
f n ＋1＋f n
，n ∈N *
.
记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2017＝________.
【感悟提升】(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1
n ＋n ＋k ＝1
k
(n ＋k
－n )，
1n
n ＋k ＝1k (1n －1
n ＋k
)裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
【举一反三】在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2
n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12.
(1)求S n 的表达式；
(2)设b n ＝S n
2n ＋1
，求{b n }的前n 项和T n .
练习：
1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n
－12n ，其前n 项和S n ＝321
64，则项数n ＝( )
A ．13
B ． 10
C ．9
D ．6
2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *
)，则S 2 012＝( ) A ．2
2 012
－1 B ．3·2
1 006
－3 C ．3·2
1 006
－1 D ．3·2
1 005
－2
3．已知函数f (x )＝x 2
＋2bx 过(1,2)点，若数列{
1
f n
}的前n 项和为S n ，则S 2 012的值为( )
012,2 011) 010,2 011) 013,2 012) 012,2 013)
4．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *
)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )
B ．6
C ．10
D ．11
5．已知函数f (n )＝n 2
cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．－100 B ．0 C ．100 D ．10 200
6．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin
n ＋1π
2
，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则
S 2 014＝( )
A ．1 006
B ．1 007
C ．1 008
D ．1 009
7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n
(a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 013＝__________。

8．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n
－1，则a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n ＝__________。

9．对于每一个正整数n ，设曲线y ＝x
n ＋1
在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，
令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝__________。

10．已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *
)。

(1)求数列{a n }的通项公式。

(2)设⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n 。

11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n
＋3。

(1)求{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n 。

12．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列。

(1)求{a n }的通项公式。

(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 的前n 项和T n 。