小学奥林匹克数学 容斥原理试卷(二)
容斥原理(二)含答案-
容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的++---⨯=（人）方法二：664311210答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？30人参的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人？最少多少人？满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。
另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
六年级奥林匹克数学十七 容斥原理(二)
A
B C
7.在一次考试中,
100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有 人.全班45人中两科都不得100分的有 人.
8.在1,2,3,?,1000这1000个自然数中,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有 个.
十七、容斥原理（二）
1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为 人.
2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了 个病人.
3.两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸如图所示,则它们盖住
(平方厘米).
2
4.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有 个.
5.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有 人.
9.小于1000的自然数中,是完全平方.在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图),它们的面积都是100(cm)并知A、B
222两圆重叠的面积是20(cm),A、C两圆重叠的面积为45(cm),B、C两圆重叠面积为31(cm),
2三个圆共同重叠的面积为15(cm),求盖住桌子的总面积是 平方厘米.
六年级上册奥数试题-第5讲 容斥原理 全国通用(含答案)
第5讲容斥原理知识网络我们经常会遇到这样一类问题，题目中涉及到包含与排除，也就是说有重叠部分。
解答此类问题的主要依据是容斥原理。
容斥原理一：设A、B是两类有重叠部分的量（如图1所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，A与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b-ab容斥原理二：设A、B、C是三类有重叠部分的量（如图2所示），若A对应的量为a，B 对应的量为b，C以应的量为c，A与B重叠部分以应的量为ab，B与C重叠部分对应的量为bc，C与A重叠部分对应的量为ca，A、B、C三部分重叠部分对应的量为abc，则这三类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b+c-ab-bc-ca+abc重点·难点容斥原理的表述虽然简单，但涉及容斥原理的题型很多，范围很广。
我们往往会遇到一些看似与容斥原理无关的问题，然而通过恰当的转化，便可利用容斥原理顺利求解。
如何分析题目，准确找到重叠部分，将问题转化成可用容斥原理解决的问题是本节的难点。
学法指导解决本节问题的最基本方法是示意图法，即通过示意图来表示题目中的数量关系，使分析、推理与计算结合起来，达到使题目的内容形象化，数量之间关系直观化的目的。
因此，这就要求我们在解题过程中，仔细分析，找出所需量并用示意图表示出来，进而通过观察示意图，确定几类量的重叠部分，然后运用容斥原理解决问题。
经典例题[例1]分母是1001的最简真分数，共有多少个？思路剖析分母是1001的真分数有共1000个，为了方便计算，增加一个分数在1001个分数中考虑问题。
由于1001=7×11×13，所心1~1001的分子里只要含有7、11、13的倍数的就一定能同分母约分，即不是最简真分数，应排除掉。
因此，首先应考虑1~1001中，有多少个7、11或13的倍数。
解答因为1001=7×11×13，所以在1~1001的自然数中，7的倍数共有（11×13）个，11的倍数共有（7×13）个，13的倍数共有（7×11）个；7、11年公倍数有13个，7、13的公倍数有11个，11、13的公倍数有7个；7、11、13的公倍数有1个（即1001）。
容斥原理(二)(含答案)-
容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的++---⨯=（人）方法二：664311210答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？30人参的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人？最少多少人？满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。
另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
容斥原理(二)(含答案)-
容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的++---⨯=（人）方法二：664311210答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？30人参的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人？最少多少人？满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。
另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
小学奥数之容斥原理
五．容斥原理问题1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )A 43,25B 32,25 C32,15 D 43,11解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含铁的有43种2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )A，5 B，6 C，7 D，8解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③由（4）知：a1＝a2+a3……④再由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后将④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
3．一次考试共有5道试题。
做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。
四年级下奥数试题——第六讲包容与排斥(含答案)沪教版
精讲精练四年级思维数学 第六讲包容与排斥原理思维目标：根据题意，合理解决重叠部分的问题即包容与排斥原理。
数学目标：看谁算的巧思维： 两个图形分别用A 、B 表示，重叠部分用AB 表示，盖住的面积用N 表示，那么： N=A+B －AB ； AB= A+B －N ；A= N －B+AB ；B= N －A+AB 数学：先观察式子中的数字，然后进行合理巧算。
【例1】一个长为8厘米、宽为6厘米的长方形与一个边长为4厘米的正方形(如右图)，放在桌子上。
它们盖住桌面的面积有多少平方厘米？金钥匙：A 面积：8×6=48（平方厘米）B 面积：4×4=16（平方厘米） AB 面积：3×3=9（平方厘米） N=A+B －AB = 48+16－9 =64－9=55（平方厘米）答：它们盖住桌面的面积有55平方厘米. 试金石：1、 四⑴班的每位学生都至少喜欢体育或文艺活动中的一种。
其中喜欢体育活动的有41人，喜欢文艺活动的有38人，两种活动都喜欢的有25人。
这个班共有学生多少人？学习目标 知识梳理AB2、某班从图书馆借来一批图书分给班上50位同学。
有30人各借到一本自然科学类书籍，有25人各借到一本文艺类书籍，既借了一本自然科学类书籍又借了一本文艺类书籍的学生有几人？【例2】某班40名学生在一次期中考试中每人至少有一门得优秀，语文得优秀的有14人，数学得优秀的有34人。
只有一门得优秀的各有多少人？金钥匙：根据题意，我们可以知道有些同学两门功课都得了优秀，在语文学科被算了一次，在数学学科也被算了一次，把两门学科得优秀的总人数去掉班级人数，多出的就是两门都得优秀的人数。
这样就能得出结果：34+14－40 数学一门：34－8=26（人）=48－40 语文一门：14－8=6（人）=8（人）答：数学一门得优秀的有26人，语文6人。
试金石：1、一次老师给全班同学做两道“动脑筋”的数学题，结果全班每人至少做对一题。
小学数学《容斥原理》练习题2
容斥原理1、已知在文氏图中，左边的圆表示喜欢吃牛肉的人，右边的圆表示喜欢吃羊肉的人．已知小明既喜欢吃牛肉又喜欢吃羊肉，那么他应该站在图中的哪个部分？2、已知在文氏图中，左边的圆表示会下围棋的人，右边的圆表示会下象棋的人．已知小明会下象棋，但不会下围棋，那么他应该站在图中的哪个部分？3、在文氏图中，左边的圆表示喜欢喝可乐的人，右边的圆表示喜欢喝雪碧的人，那么图中①部分的人是：4、在文氏图中，左边的圆表示会滑冰的人，右边的圆会跳伞的人，那么图中④部分的人是：5、在文氏图中，左边的圆表示上数学课外班的人，右边的圆表示上英语课外班的人，那么图中只参加一种课外班的人是图中哪些部分？6、在文氏图中，上面的圆表示喜欢吃西瓜的人，左下角的圆表示喜欢吃苹果的人，右下角的圆表示喜欢吃葡萄的人，那么既喜欢吃苹果又喜欢吃葡萄的是哪些部分？7、在文氏图中，上面的圆表示参加数学竞赛的人，左下角的圆表示参加英语竞赛的人，右下角的圆表示参加科技竞赛的人，那么同时参加数学竞赛和英语竞赛，但没有参加科技竞赛的人是哪些部分？8、在文氏图中，上面的圆表示有四条腿的动物，左下角的圆表示会游泳的动物，右下角的圆表示肉食动物，那么图中不吃肉的动物是哪些部分？9、在文氏图中，上面的圆表示参加数学竞赛的人，左下角的圆表示参加英语竞赛的人，右下角的圆表示参加科技竞赛的人，图中的数字表示每部分的人数，那么只参加一种竞赛的共有______人。
10、在柱助小学五年一班中，喜欢吃西瓜的有25人，喜欢吃樱桃的有20人，西瓜和樱桃都喜欢的有10人。
那么五年一班共有多少学生喜欢吃水果？11、在柱助小学五年一班中，喜欢吃西瓜的有35人，喜欢吃樱桃的有10人，西瓜和樱桃都喜欢的有5人。
那么五年一班共有多少学生喜欢吃水果？12、在柱助小学五年一班中，喜欢吃西瓜的有35人，喜欢吃樱桃的有15人，西瓜和樱桃都喜欢的有8人。
那么五年一班共有多少学生喜欢吃水果？13、华杯赛夏令营举办开营宴会，共40名学生参加。
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容斥原理（二）
【例题分析】
例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？
例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的
++---⨯=（人）
方法二：664311210
答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？
30人参
的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参
7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人？最少多少人？
满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。
另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有1
2
的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两
他们住的一套房子共有多少平方米？
3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
【试题答案】
1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12
的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
9623961
2
961696231
2
116⨯
+⨯-=⨯+-=()()()
人或人
答：两种刊物都订的有16人。
2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两
他们住的一套房子共有多少平方米？
38441284582014128458+---=++++=()
()
平方米或平方米
答：这套房子共有58平方米。
3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
4514420182276839-=++---=()
()
人人
44395-=()人
4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？ 设三年连续三好生人数为x 人 全班人数=⨯---++10354320x ……
全班人数=+38x
x 最大是3，最小是0
所以这个班最多有()38341+=名同学，最少有()380+=38名同学。